Teoría de control moderna Ecuaciones de estado

La teoría de control moderna es la disciplina que da una solución a los procesos de control actuales, los

cuales poseen un alto grado de complejidad. Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez más restrictivos en el desempeño de los procesos de control, al aumento la complejidad del sistema y al uso extendido de los ordenadores, aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de procesos de control complejos. Este enfoque nuevo se basa en el concepto de estado. El concepto de estado por sí mismo no es nuevo, dado que ha existido durante largo tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.

La teoría de control moderna contrasta con la teoría clásica de control en que la primera aplica a sistemas

con entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales, mientras que la segunda sólo se aplica a sistemas lineales con una entrada y una salida e variantes con el tiempo. Asimismo, la teoría del control moderna es esencialmente un enfoque en el dominio del tiempo y los procesos se representan mediante

ecuaciones de estado, en tanto que la teoría clásica de control es enfoque en el dominio de la variable

compleja s. Para poder comprender un poco más el significado de la teoría de control moderna y de las

ecuaciones de estado, se citan a continuación una serie de conceptos básicos.

Estado.

En la formulación de ecuaciones de estado de un sistema dinámico, conviene tratar primero el concepto básico de estado.

Son las condiciones pasadas, presentes y futuras de un sistema y que representan, en un momento determinado, a una de las fases o etapas de dicho sistema.

Estas condiciones a las que hace referencia la definición de estado, constituyen, en cada fase de evolución de un sistema o proceso, una imagen de la situación en la que se halla el sistema en el momento de producirse fase.

Otra definición posible sería:

El conjunto más pequeño de variables (variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el conocimiento de la entrada para t ³ t0, determina

por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ³ t0.

donde la idea de variables hace referencia a la idea de condiciones de la primera definición. Obsérvese que el concepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos. Se puede aplicar a sistemas biológicos, económicos, sociales y otros.

Variables de estado.

En general, un estado puede describirse con un conjunto de números, una curva, una ecuación o alguna otra expresión de naturaleza más abstracta. Desde un punto de vista matemático, es conveniente definir un conjunto de variables de estado y ecuaciones de estado para describir los sistemas. Existen varias reglas fundamentales con respecto a la definición de una variable de estado y a lo que constituye una ecuación de estado. Se considera seleccionado el conjunto de variables x1(t), x2(t),… , xn(t) para describir las

características dinámicas de un sistema. Con esto, estas variables se definen como las variables de estado del sistema. Entonces, estas variables de estado deben satisfacer las siguientes condiciones:

1. En cualquier momento t = t0, las variables, x1(t0), x2(t0),… , xn(t0) definen los estados iniciales del sistema

en el tiempo inicial seleccionado.

2. Una vez que se especifican las entradas al sistema para t > t0 y se definen los estados iniciales como se

acaba de describir, las variables de estado deben definir totalmente el comportamiento futuro del sistema. Por consiguiente, es posible definir las variables de estado como sigue:

Las variables de estado de un sistema se definen como un conjunto mínimo de variables,

x1(t), x2(t),… , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables en cualquier momento t0, más

la información con respecto a la excitación de entrada aplicada posteriormente, sea suficiente para determinar al estado de un sistema en cualquier momento t > t0.

Es necesario no confundir las variables de estado con las salidas de un sistema. La salida de un sistema es una variable que puede medirse, mientras que una variable de estado no siempre satisface este requisito, pues casi nunca puede medirse. Sin embargo, una variable de salida queda definida como una función de las variables de estado.

Vector de estado.

Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto, un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t ³ t0, una vez que se obtiene el estado en t = t0 y se especifica la

Espacio de estados.

Es el espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, el eje x2, …el eje xn.

Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

Ecuaciones de estado.

El análisis en el espacio de estados, se concentra en tres tipos de variables involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado.

El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada para t ³ t0. La

cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de elementos memorizadores que contiene el sistema.

Considérese un proceso de control con múltiples entradas, múltiples salidas y elementos de memoria. Si el número de entradas es r (u1(t), u2(t),… , ur(t)), el número de salidas es m (y1(t), y2(t),… , ym(t)) y el número de

elementos de memoria, que almacenan las variables de estado, es n (x1(t), x2(t),… , xn(t)), el sistema de

ecuaciones de estado se puede describir como:

x'1(t) = f1(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) x'1(t) = f2(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t)

…

x'n(t) = fn(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) (3.1.4.1)

Las salidas y1(t), y2(t),… , ym(t) del sistema se obtienen mediante: y1(t) = g1(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) y2(t) = g2(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t)

…

ym(t) = gm(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) (3.1.4.2)

Si se representan las ecuaciones (3.1.4.1) y (3.1.4.2) con sus vectores correspondientes: x(t) = (x1(t), x2(t),… , xn(t)) ;

u(t) = (u1(t), u2(t),… , ur(t)) ;

y(t) = (y1(t), y2(t),… , ym(t))

se obtienen las ecuaciones en forma vectorial:

x'(t) = f(x, u, t) (3.1.4.3)

y(t) = g(x, u, t) (3.1.4.4)

donde la ecuación (3.1.4.3) es la ecuación de estado del sistema, mientras que la ecuación (3.1.4.4) es la

ecuación de salida del sistema.

Linealizando estas ecuaciones de estado y salida en torno al punto de operación, se pueden escribir ambas de la siguiente forma:

x'(t) = A(t)·x(t) + B(t)·u(t) (3.1.4.5)

y(t) = C(t)·x(t) + D(t)·u(t) (3.1.4.6)

En estas ecuaciones se distinguen: la matriz de estado A(t), la matriz de entrada B(t), la matriz de salida C(t) y la matriz de transmisión directa D(t).

Si las funciones f y g no dependen de la variable temporal t, el sistema es invariante en el tiempo y sus ecuaciones se transforman en:

x'(t) = A·x(t) + B·u(t) (3.1.4.7)