Señales de prueba típicas

A diferencia de muchos circuitos eléctricos y sistemas de comunicación, las excitaciones de entrada a numerosos procesos prácticos de control no se conocen de antemano. En muchos casos, las entradas reales de un sistema de control pueden variar aleatoriamente con respecto al tiempo. Esto impone un problema al diseñador, pues resulta difícil diseñar un proceso de control que funcione en forma satisfactoria para cualquier señal de entrada. Para propósitos de análisis y diseño, se hace necesario suponer diversos tipos básicos de funciones de entrada, de tal manera que sea posible evaluar el desempeño del sistema con respecto a estas señales de prueba. Cuando estas señales se seleccionan de manera apropiada, no sólo se sistematiza el tratamiento matemático del problema, sino que las respuestas que producen permiten predecir el desempeño del sistema con otras entradas más complejas. En el problema de diseño se pueden especificar los criterios de desempeño con respecto a estas señales de prueba, de modo que un sistema pueda ser diseñado de acuerdo con tales criterios.

Para facilitar el análisis en el dominio del tiempo, se usan como señales de prueba típicas la función impulso, la función escalón, la función rampa y la función parabólica. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia, en condiciones normales de operación, determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería una buena señal de prueba. Para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general, el desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio.

Algunas de estas señales de prueba ya han sido comentadas en los apartados 2.4.1 y 3.1.3. A pesar de ello, se considera conveniente volver a tratarlas.

Función entrada impulso.

Una señal de impulso δ(t) es una función que se define como:

δ(t) = 0 0 t t A lím 0→ para 0 < t < t0 δ(t) = 0 para t0 < t < 0 (5.1.1.1)

donde A es el área de la función impulso y t0 la duración del mismo. Si A = 1 la función se denomina impulso unitario. En la figura 5.1a se muestra la función impulso con respecto al tiempo.

Función de entrada escalón.

La función de entrada escalón representa un cambio instantáneo de la variable de entrada de referencia. La función escalón, f(t), se define como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A para t > 0 (5.1.1.2)

donde A es una constante. Esta función no está definida para t = 0. Por otra parte, si se define la función escalón unitario, 1(t), como:

f(t) = 0 para t < 0

la función escalón se puede expresar de la siguiente manera:

f(t) = A·1(t) (5.1.1.4)

En la figura 5.1b se muestra la función escalón con respecto al tiempo.

Función de entrada rampa.

En el caso de una función rampa, se considera que la señal tiene una variación constante con respecto al tiempo. En términos matemáticos, una función de rampa se expresa como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A·t para t > 0 (5.1.1.5)

o simplemente:

f(t) = A·t·1(t) (5.1.1.6)

Si A = 1 la función se denomina rampa unitaria. En la figura 5.1c se muestra la función rampa con respecto al tiempo.

Función de entrada parabólica.

La representación matemática de una función de entrada parabólica es:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A·t2 para t > 0 (5.1.1.7)

o simplemente,

f(t) = A·t2·1(t) (5.1.1.8)

Si A = 1 la función se denomina función parabólica unitaria. En la figura 5.1d se muestra la función parabólica con respecto al tiempo.

Todas estas señales de prueba tienen como característica común que se describen con facilidad en términos matemáticos y, de la función impulso a la parabólica, se vuelven progresivamente más rápidas con respecto al tiempo. función impulso función rampa función escalón función parabólica tiempo t tiempo t tiempo t tiempo t f(t) f(t) f(t) f(t) A A a) c) b) d)

Figura 5.1 : Representación gráfica de las señales de prueba típicas para el diseño y análisis de los procesos de control.

El proceso de control al que se le aplica una función impulso proporciona a su salida una señal cuya transformada de Laplace es, directamente, la función de transferencia del sistema.

La función escalón unitario es muy útil como señal de prueba, pues su aumento inicial instantáneo de amplitud revela muchos datos sobre la velocidad de respuesta del sistema. Además, puesto que esta función tiene, en principio, un espectro de frecuencias muy amplio como resultado del salto o discontinuidad, esta señal de prueba equivale a la aplicación de muchas señales senoidales con un intervalo muy amplio de frecuencias.

La función rampa tiene la característica de probar el sistema con respecto a una variación lineal con el tiempo. La función parabólica es un grado más rápida que la rampa. En la práctica, pocas veces es necesario usar una señal de prueba más rápida que la función parabólica. Esto se debe a que, como se verá más adelante, para que un sistema siga o responda a una entrada de orden superior, debe ser también de orden superior, lo que significa que pueden aparecer problemas de estabilidad.