Estudiamos ahora los puntos de torsi´on de una curva el´ıpticaE/K, es decir, del subgrupo de torsi´onEtor(K) del grupo E(K). El teorema siguiente es una
consecuencia directa de 6.20:
Teorema 7.14 Sea E/K una curva el´ıptica determinada por una ecuaci´on de Weierstrass entera y seaP ∈E(K)un punto de orden m≥2.
a) Si mno es potencia de primo, entoncesx(P),y(P)∈O.
b) Si m=pn, para cada divisor primo no arquimediano P deK, sea r P la parte entera de vP(p)/(pn−pn−1). Entonces
vP(x(P))≥ −2rP, vP(y(P))≥ −3rP.
Para K = Q el teorema anterior implica que los puntos de torsi´on tienen coordenadas enteras salvo quiz´a por un denominador 4 en laxy un denominador 8 en lay (y en tal caso el punto tiene orden 2). M´as precisamente:
Teorema 7.15 SeaE/Quna curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera. Entonces todo punto de torsi´on de E(Q) (distinto de O) tiene coordenadas enteras, salvo quiz´a un ´unico punto de orden 2 con coordenadas (a/4, b/8), con a,b∈Z impares. Para que pueda existir tal punto es necesario quea1 sea impar.
Demostraci´on: Si existe un punto P = (x, y) de orden 2, entonces la tangente a la curva en dicho punto ha de ser vertical, luego la derivada respecto deY de la ecuaci´on de Weierstrass se ha de anular. Esto significa que
y=−a1x+a3
2 .
El teorema anterior afirma quev2(P)≤1, dondev2es la aplicaci´on definida
en 6.17 para la curva E/Q2 definida por la misma ecuaci´on de Weierstrass.
Para queP sea fraccionario es necesario quev2(P) = 1, con lo quev2(x) =−2
yv2(y) =−3. Entonces
−2 =v2(2y) =v2(a1x+a3)≥m´ın{v2(a1x), v2(a3)}.
Como v2(a3)≥0, el m´ınimo se alcanza env2(a1x) = v2(a1) +v2(x) =−2,
luegov2(a1) = 0 y as´ıa1es impar.
SiE(K) contiene otro punto de orden 2, de hecho ha de contener a los tres que hay enE(K), digamosPi = (xi, yi), para i= 1,2,3. Vamos a probar que en tal caso s´olo uno de ellos es fraccional. Si lo fueran dos de ellos, tambi´en lo ser´ıa el tercero, pues los puntos con coordenadas no enteras di´adicas forman un subgrupo deE(Q2) (el n´ucleo de la reducci´on m´odulo 2). El cambio
Y =Y0−a1
2X
0−a3
2
transforma la ecuaci´on en una de tipo b. Los puntos de orden 2 de esta ecuaci´on se caracterizan por tener la segunda coordenada nula, y han de corresponderse con los puntos de orden 2 de la ecuaci´on original, luego ser´an (xi,0). Esto implica que x1, x2, x3 son las ra´ıces del miembro derecho de la ecuaci´on de
Weierstrass de tipo b. En particular
x1x2x3= b6 4 =a6+ a2 3 4.
Por una parte,v2(x1x2x3) =−6, mientras que por otrav2(a6+a23/4)≥ −2,
y esta contradicci´on prueba el teorema.
Ejemplo La curva Y2=X3+ 8 contiene los puntos de coordenadas enteras
(1,±3) y (2,±4) que, no obstante, tienen orden infinito, pues, por ejemplo 2(1,3) = (−14/8,−13/8), 2(2,4) = (−14/8,13/8),
El teorema siguiente generaliza un resultado obtenido independientemente por Lutz y Nagell y permite en muchos casos calcular el subgrupo de torsi´on de una curva el´ıpticaE/Q:
Teorema 7.16 Sea E/Quna curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera, seaP = (x, y)un punto de torsi´on no nulo y llamemos
y0 =y+ (a
1x+a3)/2.
Entonces y0 = 0 si y s´olo si P tiene orden2. En caso contrario 2y0 ∈Z y
(2y0)2 | 4∆. Si adem´as a
1 es par entonces (2y0)2 | ∆ y si a3 tambi´en es par
entonces y0∈Zy 16y02|∆.
Demostraci´on: Observemos que el cambio de variables que transforma la ecuaci´on deE/Qen una ecuaci´on de tipo b hace corresponder el puntoP con el punto P0 = (x, y0). El punto P tiene orden 2 si y s´olo si lo tieneP0, lo que
ciertamente equivale a quey0 = 0.
Si P no tiene orden 2, el teorema anterior nos da que x, y ∈ Z, luego tambi´en 2y0 = 2y+a
1x+a3 ∈Z. El punto 2P tambi´en es de torsi´on, luego
sus coordenadas son enteras salvo quiz´a si tiene orden 2, pero en cualquier caso 4x(2P)∈Z.
Ahora necesitamos algunos c´alculos. Recordemos la f´ormula de duplicaci´on del teorema (2.21): x(2P) = x 4−b 4x2−2b6x−b8 4x3+b 2x2+ 2b4x+b6 .
Observemos que el denominador es (2y0)2. Por otra parte, una comprobaci´on
rutinaria nos da la siguiente identidad de polinomios:
u(X)(4X3+b 2X2+ 2b4X+b6)−v(X)(X4−b4X2−2b6X−b8) = ∆, (7.3) donde u(X) = 12X3−b2X2−10b4X+b2b4−27b6, v(X) = 48X2+ 8b 2X+ 32b4−b22.
Combinando ambas relaciones obtenemos que (2y0)2(u(x)−x(2P)v(x)) = ∆.
Multiplicando por 4 ambos miembros, el segundo factor es entero, con lo que (2y0)2 |4∆. Si a
1 es par entoncesx(2P) ha de ser entero y no hace falta
multiplicar por 4.
Finalmente, sia3tambi´en es par vemos que 4|b2, 2|b4, 4|b6, luego 4|u(x)
Ejemplo Consideremos la curvaE/Qdada por la ecuaci´on
Y2+XY +Y =X3, ∆ =−2·1.
Si (x, y) es un punto de torsi´on de orden>2 entonces (2y0)2|2·13, con lo
que 2y0=±1. La ecuaci´on en forma b es
Y02=X3+1 4X 2+1 2X+ 1 4, y al hacerY0 =±1/2 obtenemos X3+1 4X 2+1 2X= 0,
cuya ´unica ra´ız entera esx= 0. La relaci´on 2y0= 2y+x+ 1 nos da los puntos
(0,0) y (0,−1).
Por otra parte, si (x, y) fuera un punto de orden 2, la coordenadaxcumplir´ıa la ecuaci´on X3+1 4X 2+1 2X+ 1 4= 0, y 4xser´ıa una ra´ız entera de la ecuaci´on
X3+X2+ 8X+ 16 = 0.
Se comprueba que no existen ra´ıces enteras, luegoE(Q) ={O,(0,0),(0,−1)}.
Ejemplo Consideremos la curvaE/Qdada por la ecuaci´on
Y2=X3−43X+ 166, ∆ =−219·13.
El polinomio de la derecha no tiene ra´ıces enteras, por lo que no hay puntos de orden 2. Si (x, y) es un punto de torsi´on, se ha de cumplir quey2|215·13,
luegoy|128.
Esto nos da un m´aximo de seis posibles puntos de torsi´on (adem´as de O): (3,±8), (−5,±16), (11,±32).
Usando la f´ormula de duplicaci´on del teorema 2.21 comprobamos que si
P = (3,8) entonces
x(P) = 3, x(2P) =−5, x(4P) = 11, x(8P) = 3,
luego 8P = ±P, lo que implica que P tiene orden 7, 3 o 9. No puede tener orden 9 porque a lo sumo hay 7 puntos de torsi´on y si tuviera orden 3 ser´ıa
x(2P) = x(−P) = 3, luego P tiene orden 7 y concluimos que Etor(Q) es un
grupo c´ıclico de orden 7.
Del teorema anterior se sigue que si E/Q es una curva el´ıptica, entonces
Etor(Q) es un grupo finito. En realidad esto es tambi´en una consecuencia sencilla
Teorema 7.17 Sea E/Quna curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera y sea S el conjunto de los primos con buena reducci´on. Entonces el orden deEtor(Q)divide a
mcd p∈S(≤p|
˜
E(Z/pZ)|),
donde ≤p = 1 salvo si p= 2y E(Q) tiene un punto fraccional de orden 2, en cuyo caso≤2= 2.
Demostraci´on: Consideramos la curvaE/Qpdefinida por la misma ecua- ci´on. El n´ucleo de la reducci´on m´odulopesE1(Qp), que est´a formado por los
puntos de coordenadas no enterasp-´adicas. Como los puntos de torsi´on tienen coordenadas enteras (racionales), vemos que la reducci´on m´odulopes inyectiva enEtor(Q), salvo sip= 2 y hay un punto fraccionario de orden 2, en cuyo caso
el n´ucleo de la reducci´on tiene orden 2 y |Etor(Q)|divide a 2|E˜(Z/2Z)|.
La tabla siguiente contiene 15 ejemplos de curvas el´ıpticas sobre Q con la estructura de su grupo de torsi´on. Un notable teorema debido a Mazur asegura que el grupo de torsi´on de una curva el´ıptica sobre Qha de ser necesariamente uno de los 15 grupos que aparecen en la tabla.
Ecuaci´on ∆ Etor(Q) Generadores
Y2=X3−2 −26·33 1 O Y2=X3+ 8 −210·33 C 2 (−2,0) Y2=X3+ 4 −28·33 C 3 (0,2) Y2=X3+ 4X −212 C 4 (2,4) Y2−Y =X3−X2 −11 C 5 (0,0) Y2=X3+ 1 −24·33 C 6 (2,3) Y2=X3−43X+ 166 −219·13 C7 (3,8) Y2+ 7XY =X3+ 16X 28·34·17 C8 (−2,4) Y2+XY+Y =X3−X2−14X+ 29 −29·35 C9 (3,1) Y2+XY =X3−45X+ 81 210·35·11 C 10 (0,9) Y2+ 43XY−210Y =X3−210X2 212·36·53·74·13 C 12 (0,0) Y2=X3−4X −212 C 2⊕C2 (0,0),(0,2) Y2=X3+ 2X2−3X 28·32 C 2⊕C4 (−3,0),(−1,2) Y2+ 5XY−6Y =X3−3X2 22·36·52 C 2⊕C6 (2,−2),(0,0) Y2+ 17XY−120Y =X3−60X2 28·38·54·72 C 2⊕C8 (−40,400),(0,0)
Ejemplo Veamos c´omo se calcula el grupo de torsi´on de la ´ultima curva de la tabla. Es claro que (0,0) est´a en la curva, y aplicando la f´ormula de duplicaci´on se observa que su orden es exactamente 8. As´ı tenemos ya un subgrupoC8 de Etor(Q). Por otro lado, resolviendo el sistema de ecuaciones F(X, Y) = 0 y FY(X, Y) = 0 encontramos todos los puntos de orden 2, que son (24,−144), (−40,400) y (15/4,225/8). El primero es 4·(0,0), mientras que con el segundo obtenemos un nuevo subgrupo C2, con lo que en total tenemos un subgrupo C2⊕C8. Ahora hemos de probar que no hay m´as elementos de torsi´on.
ComoEtiene buena reducci´on m´odulo 11, sabemos queE(Q) se sumerge en ˜
E(Z/11Z). Ahora bien, el n´umero de puntos de esta reducci´on es a lo sumo 23 (cada valor dexda a lo sumo dos valores posibles paray, luego hay a lo sumo 22 puntos finitos). Por otra parte, dicho n´umero ha de ser m´ultiplo de 16, luego
Finalmente vamos a determinar los grupos de torsi´on sobreQde dos familias de curvas el´ıpticas especialmente simples, las de la formaY2=X3+AX y las
de la formaY2=X3+B.
Observemos que para estudiar la torsi´on deY2=X3+AXpodemos suponer
queAest´a libre de potencias cuartas, pues siA=m4A0, el cambioX =m2X, Y =m3Y0 transforma la curva enY2=X3+AX y la estructura del grupo de
torsi´on no var´ıa.
Teorema 7.18 Sea E/Q la curva dada por Y2 = X3+AX, con A ∈ Z (de
modo que∆ =−26A3 y j= 1728). Supongamos que Aest´a libre de potencias
cuartas. Entonces Etor(Q)∼= (C 2⊕C2 si−A es un cuadrado, C4 siA= 4, C2 en otro caso.
Demostraci´on: Seap≡ −1 (m´od 4) un primo que no divida a ∆. (Existe por el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritm´eticas.) Por el teorema 7.17 tenemos que |Etor(Q)| divide a|E˜(Z/pZ)|=p+ 1, donde hemos
usado el teorema 4.9, seg´un el cual la reducci´on m´odulopes supersingular. Si en particular tomamos p≡ 3 (m´od 8) vemos que 8 - |Etor(Q)|, pues en
caso contrario tendr´ıamos que 8|p+ 1.
Si elegimos p≡7 (m´od 12) vemos que 3-|Etor(Q)|.
Si q > 3 es primo, podemos tomarp≡3 (m´od 4q), de donde se sigue que
q-|Etor(Q)|, ya que en caso contrarioq|p+ 1≡4 (m´odq) yq|4.
Con esto podemos concluir que|Etor(Q)| |4.
En cualquier caso,E(Q) tiene un punto de orden 2, a saber, (0,0). Tendr´a tres puntos de orden 2 si y s´olo siX3+AX se escinde enQ[X], es decir, si y
s´olo si−A es un cuadrado.
S´olo falta ver queE(Q) tiene un punto de orden 4 si y s´olo siA= 4. Cier- tamente, paraA= 4 est´a el punto (2,4). En general, la f´ormula de duplicaci´on nos da que si existe un punto (x, y) que cumple 2(x, y) = (0,0), entonces
x4−2Ax2+A2= (x2−A)2= 0.
As´ı pues, ha de serx2 =A y, comoA no tiene potencias cuartas, xha de
ser libre de cuadrados. Ahora bien,xcumple la ecuaci´on
y2=x3+Ax= 2x3.
De aqu´ı se sigue quexno puede ser divisible entre primos impares, y la ´unica posibilidad resulta serx= 2, luegoA= 4.
Para estudiar la torsi´on deY2=X3+Bpodemos suponer queB est´a libre
de potencias sextas.
Teorema 7.19 SeaE/Qla curva dada porY2=X3+B, conB∈Z(de modo
Entonces Etor(E)∼= C6 siB = 1, C3 siB =−24·33 oB es un cuadradoB6= 1, C2 siB es un cubo, B6= 1, 0 en otro caso.
Demostraci´on: Sip≡ −1 (m´od 3) es un primo que no divide a ∆, entonces los teoremas 7.17 y 4.9 nos dan que|Etor(Q)|divide a|p+ 1.
Si tomamos p≡ 5 (m´od 12) vemos que 4 no puede dividir a |Etor(Q)|. Si p≡2 (m´od 9) vemos que 9 tampoco divide a|Etor(Q)|. Por ´ultimo, para todo
primo q > 3, podemos tomar p ≡ 2 (m´od 3q) y concluir que q no divide a
|Etor(Q)|.
En definitiva, tenemos que |Etor(Q)| |6. Claramente E/Q tiene un punto
de orden 2 si y s´olo siX3+Btiene una ra´ız enQ, si y s´olo siB es un cubo. La cuesti´on es cu´ando existe un punto de orden 3. Un puntoP tiene orden 3 si y s´olo si 2P=−P, si y s´olo six(2P) =x(P), pues esta ´ultima condici´on implica 2P =±P, pero 2P =P s´olo lo cumpleP =O. La f´ormula de duplicaci´on nos da
x4−8Bx
4(x3+B) =x.
Equivalentemente,x4=−4Bx. Una soluci´on esx= 0,y=B2. As´ı pues, si Bes un cuadrado hay un elemento de orden 3. La otra posibilidad esx3=−4B,
con lo quey2=−3B. En particularB <0. ComoBes libre de potencias sextas,
s´olo puede ser divisible entre los primos 2 y 3. M´as concretamente, ha de ser
B=−24·33. En resumen,E/Qtiene un punto de orden 3 si y s´olo siB es un
cuadrado oB =−24·33. A partir de aqu´ı el teorema es inmediato.
Observemos que la curvaY2=X3−24·33=X3−432 que aparece como caso
excepcional en el teorema anterior es precisamente la curva que consideramos en el cap´ıtulo II en relaci´on con el ´ultimo teorema de Fermat para exponente 3. Es f´acil ver que sus puntos de torsi´on son precisamente los puntos (12,±36) y
O que all´ı llam´abamos soluciones triviales.