SiE es una curva el´ıptica, podemos considerar la aplicaci´onE −→H0(E)
dada por P 7→ [P/O]. Esta aplicaci´on es inyectiva, pues si [P/O] = [Q/O] entonces [P] = [Q], luego existe una funci´onf ∈k(E) tal que (f) =P/Q. Por consiguiente f ∈ m(Q−1), pero dimQ= gradQ= 1 y m(Q−1) contiene a las
constantes, lo que nos lleva a un absurdo.
La aplicaci´on tambi´en es suprayectiva, pues si aes un divisor de grado 0, el teorema de Riemann-Roch nos da que dimaO = gradaO = 1, luego existe una funci´on f ∈m(a−1O−1) no nula. Entonces (f)aO es un divisor entero de grado 1, luego tiene que ser primo, es decir, un puntoP ∈E. Tenemos as´ı que [aO] = [P] o, equivalentemente, que [a] = [P/O].
A trav´es de esta biyecci´on podemos trasladar la operaci´on del grupo de clases a la curvaE. Notemos antes que siE est´a definida sobre k, entonces k(E) es una extensi´on de constantes dek(E), por lo que podemos considerar al grupo de
clases de grado 0 dek(E) como un subgrupo deH0(E), y el argumento anterior
muestra que la biyecci´on que hemos definido se restringe a una biyecci´on entre los divisores primos de grado 1 de k(E) (es decir, los puntos de E(k)) y las clases de divisores de grado 0 dek(E).
Definici´on 2.19 SiE es una curva el´ıptica, definimos enE la ley de compo- sici´on interna determinada por [(P+Q)/O] = [P/O][Q/O].
El razonamiento precedente muestra que E se convierte con esta operaci´on en un grupo abeliano isomorfo a H0(E) a trav´es del isomorfismo P 7→[P/O].
El elemento neutro de E es el punto O. Si E est´a definida sobre k, entonces
E(k) es un subgrupo de E isomorfo al grupo de clases de grado 0 de k(E). Conviene observar que, en t´erminos de la suma enE, el isomorfismo inverso de
E∼=H0(E) viene dado por
[Pm1
1 · · ·Prmr]7→m1P1+· · ·+mrPr. (Porque [Pm1
1 · · ·Prmr] = [(P1/O)m1· · ·(Pr/O)mr].)
La suma que acabamos de definir tiene una interpretaci´on geom´etrica simple:
R
P
P+Q Q
Teorema 2.20 SeaE una curva el´ıptica determinada por una ecuaci´on de Weierstrass y sean P, Q ∈ E. Llamemos R al tercer punto donde la recta que pasa por P y Q corta a E. Entonces P +Q es el tercer punto donde la recta que pasa porR y O corta aE.
Demostraci´on: Recordemos que, para una curva determinada por una ecuaci´on de Weierstrass, las fun- ciones coordenadas cumplenx∈m(O−2),y∈m(O−3).
De hecho, 1, x, y forman una base de m(O−3). Una recta proyectivaLes el conjunto de ceros de un polino- mioaX+bY+cZ. Su ecuaci´on af´ın esaX+bY+c= 0. La funci´onl =ax+by+c∈k(E) cumplel ∈m(O−3), luego tenemos que
(l) =P1P2P3/O3, para ciertos puntosPi∈E no necesariamente distintos entre s´ı ni distintos deO. Estos tres puntos son precisamente los puntos de corte de la rectaLconE. M´as precisamente, el n´umero de intersecci´onIP(E∩L) es el n´umero de veces queP aparece entre losPi.
En efecto, recordemos que si F es una forma lineal que no se anula en P y
f =L/G∈k(E), entoncesIP(E∩L) =vP(f). As´ı, siP 6= 0, podemos tomar
F = Z, con lo que IP(E∩L) = vP(l) es el n´umero de veces que P aparece entre los Pi. Si P =O, tomamos F =Y, con lo quef =l(Z/Y) =l/y. Sea (y) = Q1Q2Q3/O3, donde Qi son los puntos (finitos) donde la recta Y = 0 corta aE. EntoncesIO(E∩L) =vO(P1P2P3/Q1Q2Q3) es tambi´en el n´umero
de veces queO aparece entre losPi.
Observemos que el razonamiento vale incluso cuando la recta es Z = 0, en cuyo casol= 1 =O3/O3, y obtenemos queI
En las condiciones del enunciado, si llamamosL a la recta que pasa porP
yQ, entonces (l) = P QR/O3 y si L0 es la recta que pasa porO yR entonces
(l0) =ORS/O3, para cierto punto S ∈E. Hemos de probar que S =P +Q.
Ahora bien, esto es inmediato: [P/O][Q/O] = [O/R] = [S/O], luego ciertamente
S=P+Q.
Observemos que el opuesto−P de un punto finitoP ∈Ese calcula como el tercer punto de la recta (vertical) que uneOconP. En efecto, si llamamosQa este punto, el tercer punto de la recta que uneP conQesO, y el tercer punto de la recta que uneO conO esO, luegoP+Q=O.
Vamos a dar f´ormulas expl´ıcitas para la suma en una curva el´ıpticaEdefinida por un polinomio
F(X, Y) =Y2+a1XY +a3Y −X3−a2X2−a4X−a6.
Sea P = (x0, y0) ∈ E un punto finito. El punto −P es el tercer punto
(x0, y00) donde la recta X =x0 corta a E (adem´as de P y O). Tenemos que F(x0, Y) =c(Y −y0)(Y −y00). Comparando los coeficientes deY2sale c= 1 y
comparando los coeficientes deY obtenemos que−P= (x0,−y0−a1x0−a3).
Consideremos ahora dos puntos finitos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) en E.
Si x1 = x2 y y1+y2+a1x2+a3 = 0, entonces P1+P2 = O. Descartamos
este caso y consideramos la recta que uneP1 conP2(la tangente aEporP1si
son el mismo punto). Digamos que su ecuaci´on es Y =λX+µ. (Los valores expl´ıcitos de λ y µ son f´aciles de calcular y est´an dados en el enunciado del teorema siguiente). LlamemosP3 al tercer punto en que esta recta corta aE.
Se trata deP3=−P1−P2, luego es finito. Para calcularlo hacemos F(X, λX+µ) =c(X−x1)(X−x2)(X−x3).
Igualando los coeficientes deX3queda quec=−1, y conX2 obtenemos x1+x2+x3=λ2+a1λ−a2.
Sustituyendo en la ecuaci´on de la recta queda quey3=λx3+µ. Aplicando
la f´ormula para calcular el opuesto, obtenemos P1+P2 =−P3. En el teorema
siguiente damos expl´ıcitamente las f´ormulas resultantes:
Teorema 2.21 Sea E una curva el´ıptica determinada por una ecuaci´on de Weierstrass. Entonces
a) Si P0= (x0, y0)∈E es un punto finito,−P0= (x0,−y0−a1x0−a3).
b) Si P1 = (x1, y1),P2= (x2, y2) son puntos finitos deE tales que x1 =x2
yy1+y2+a1x2+a3= 0, entoncesP1+P2=O. En caso contrario, sean λ= y2−y1 x2−x1 , µ= y1x2−y2x1 x2−x1 , six16=x2, λ= 3x 2 1+ 2a2x1+a4−a1y1 2y1+a1x1+a3 , µ= −x 3 1+a4x1+ 2a6−a3y1 2y1+a1x1+a3 , six1=x2.
Entonces, P3=P1+P2 viene dado por
x3=λ2+a1λ−a2−x1−x2, y3=−(λ+a1)x3−µ−a3.
c) En particular se cumple la f´ormula de duplicaci´on:
x(2P) = x
4−b
4x2−2b6x−b8
4x3+b2x2+ 2b4x+b6.
(Para probar la f´ormula de duplicaci´on podemos partir de una ecuaci´on de tipo b, pues el cambio de variables cumpleX0=X.)
Estas f´ormulas muestran expl´ıcitamente que la suma de puntos racionales es de nuevo un punto racional. Tambi´en nos permiten demostrar el teorema siguiente:
Teorema 2.22 Si E/k es una curva el´ıptica, entonces las aplicaciones
+ :E×E−→E y −:E−→E
son regulares y est´an definidas sobrek.
Demostraci´on: No perdemos generalidad si suponemos que E est´a defi- nida por una ecuaci´on de Weierstrass. El teorema anterior muestra entonces que la restricci´on de la aplicaci´on inversa a la parte af´ın de E es polin´omica, luego es regular (y definida sobrek), luego determina una aplicaci´on racional en
E, pero toda aplicaci´on racional entre curvas proyectivas regulares es regular. En realidad, puesto que es su propia inversa, vemos que es un isomorfismo.
El teorema anterior muestra tambi´en que la suma es regular (y definida sobrek) en todos los puntos deE×E salvo a lo sumo en los de la forma (P, P), (P,−P), (P, O) y (O, P). Para ocuparnos de ´estos consideramos las traslaciones
τQ:E−→E dadas porτQ(P) =P+Q. El teorema anterior muestra que son regulares en un abierto (concretamente, paraP6=O,±Q), y por la regularidad deEson regulares enE. Adem´as, la inversa de una traslaci´on es otra traslaci´on, luego son isomorfismos (pero no de curvas el´ıpticas, pues no conservan el cero). Dado un par (P1, P2) ∈ E×E, podemos escoger traslaciones τ1 y τ2 de
modo que (τ1(P1), τ2(P2)) est´e en el abierto de E×E donde sabemos que la
suma es regular. Ahora basta observar que, en un entorno de (P1, P2), la suma
se descompone como E×Eτ1×τ2 −→ E×E−→+ E τ −1 1 −→E τ −1 2 −→E.
Ejemplo Consideremos la curva Y2=X3−25X. En la introducci´on hemos
comentado que los puntos (−4,6), (−5,0) y (45,300) est´an alineados, lo que equivale a que
(−4,6) + (−5,0) + (45,300) = 0.
Similarmente, 2(−4,−6) = (20.172/1.728,62.279/1.768). Estos resultados pueden comprobarse f´acilmente con las f´ormulas del teorema 2.21. Por ejemplo, la f´ormula de duplicaci´on es
x(2P) = x
4+ 50x2+ 625
4x3−100x .
Los puntos triviales (−5,0), (0,0) y (5,0) cumplen 2P =O.
Ahora podemos demostrar la implicaci´onc)⇒b) del Teorema 1 de la intro- ducci´on (la caracterizaci´on de los n´umeros congruentes):
Demostraci´on: Consideramos un naturalnlibre de cuadrados, suponemos que la curva el´ıptica E/Q dada porY2 =X3−n2X tiene un punto racional
distinto deO, (−n,0), (0,0), (n,0), y hemos de probar que existen tres cuadra- dos racionales en progresi´on aritm´etica de raz´onn(lo que a su vez implica que
nes congruente).
Es claro que para que un punto P de E/Q tenga orden 2 es necesario y suficiente que la tangente a la curva porP sea vertical, lo que a su vez equivale a queY = 0. En definitiva, los puntos exceptuados son precisamente los puntos de orden 2 deE/Q. As´ı pues, si la curva tiene otro punto racionalP, se cumplir´a queP6=O6= 2P. Pongamos queP = (x, y) y 2P= (x0, y0).
Sea Y = aX +b la tangente a la curva en P. Esta recta pasa por (x, y) (dos veces) y por (x0,−y0). Esto significa que si sustituimosY =aX+b en la
ecuaci´on deE, el polinomio resultante
(X+n)X(X−n)−(aX+b)2
tiene axcomo ra´ız doble y ax0 como tercera ra´ız. Teniendo en cuenta que es
m´onico, vemos que
(X+n)X(X−n)−(aX+b)2= (X−x)2(X−x0).
Ahora hacemosX =−n, con lo que
(b−an)2= (x+n)2(x0+n).
Sabemos quex+n6= 0 (puesP = (6 −n,0)), luego concluimos quex0+nes
un cuadrado. Similarmente llegamos a quex0 yx0−nson cuadrados.
A la vista de la demostraci´on anterior, la forma m´as natural de llegar a que el n´umero 5 es congruente consiste en observar que (−4,−6) es un punto no trivial de Y2 =X3−25X, calcular 2P = (x0, y0) (ver el ejemplo anterior),
obtener la progresi´on aritm´eticax0−5,x0,x0+ 5 y a partir de aqu´ı calcular la
Ejemplo El n´umero14 es congruente.
La curva el´ıptica Y2 = X3−142X tiene el punto racional P = (18,48).
(Es f´acil encontrarlo con un ordenador.) Aplicando la f´ormula de duplicaci´on obtenemos que x(2P) = 4225 144 = µ 65 12 ∂2 , de donde x(2P)−14 = µ 47 12 ∂2 , x(2P) + 14 = µ 79 12 ∂2 .
Seg´un la prueba del Teorema 1 de la introducci´on, un tri´angulo rect´angulo racional de ´area 14 es (a, b, c) = (21/2,8/3,65/6), que se obtiene haciendo
a= 79 12+ 47 12, b= 79 12− 47 12, c= 2· 65 12.
Ejercicio: Demostrar que el n´umero 15 es congruente y encontrar una terna asociada partiendo del puntoP = (−9,36).
Definici´on 2.23 Si E es una curva el´ıptica y P ∈E, definimos la traslaci´on porP como la aplicaci´onτP :E−→E dada porτP(Q) =P+Q.
Claramente, las traslaciones son isomorfismos de curvas, pero, como ya he- mos comentado, no son isomorfismos de curvas el´ıpticas porque no cumplen
τP(O) = O (salvo en el caso de τO, que es la identidad). Es claro que las traslaciones forman con la composici´on un grupo isomorfo aE.
Teorema 2.24 Si E es una curva el´ıptica y ω es una diferencial de primera clase enE, entonces ω es invariante por traslaciones, es decir, se cumple que
τP(ω) =ω para todoP ∈E.
Demostraci´on: Como τP es un isomorfismo,τP : Ω(E)−→ Ω(E) es un
k-isomorfismo, luego τP(ω)6= 0. Por consiguiente existe una funci´on no nula
fP ∈k(E) tal queτP(ω) =fPω. Tomando divisores vemos que (fP) = (τP(ω))/(ω) = (τP(ω))/(ω) = 1/1 = 1,
pues las diferenciales de primera clase en un cuerpo de g´enero 1 no tienen ceros ni polos. Esto implica que fP ∈k es una constante. Tenemos as´ı definida una funci´on f : E −→ k∗ tal que τP(ω) = f(P)ω. De esta relaci´on se sigue que
f(P+Q) =f(P)f(Q). En particularf(O) = 1. Vamos a ver quef es regular. Sea E∗ = E\ {O}. No perdemos generalidad si suponemos queE es una
curva plana definida por una ecuaci´on de Weierstrass. EntoncesE∗es una curva
af´ın. Consideremos el producto E∗×E∗, con funciones coordenadas u, v, x, y.
La funci´on que a cada par (P, Q)∈E∗×E∗ le asignaτ
P(x)(Q) =x(P+Q) es una funci´on racional en E∗ ×E∗, puesto que la suma es regular y x es
racional. Podemos llamarlaτ(x). Esto significa queτP(x)(Q)∈A1 se calcula (cuando est´a definido) mediante una funci´on racionalR(U, V, X, Y) a partir de las coordenadas (u, v) deP y (x, y) deQ. Para un punto prefijadoP = (u0, v0),
la funci´onτP(x)∈k(E∗) se calcula mediante la funci´onR(u0, v0, X, Y) a partir
de las coordenadas (x, y) deQ. Por lo tanto, la funci´on
dτP(x)
dx ∈k(E
∗)
se calcula mediante la derivada parcial deR(U, V, X, Y) respecto deX a partir de las coordenadas (u0, v0) deP y las coordenadas (x0, y0) deQ. Vemos, pues,
que la funci´ondτ(x)/dx:E∗×E∗−→A1es racional.
El mismo razonamiento prueba quedτ(α)/dx∈k(E∗×E∗), luego llegamos
a que τ(ω) ω = τ(α)dτdx(x) α ∈k(E ∗×E∗).
Ahora bien, antes hemos probado que, para cadaP, esta funci´on es la cons- tantef(P), es decir, que no depende de las coordenadasxey. En otros t´erminos, fijamos un puntoQ ∈E∗ y consideramos la aplicaci´on E∗ −→E∗×E∗ dada
porP 7→(P, Q) (claramente regular), la composici´on de ´esta y la precedente es la funci´onf. M´as precisamente, tenemos quef es regular en un abierto de E.
Ahora bien, la relaci´onf(P+Q) =f(P)f(Q) implica que f es regular en toda la curva E, pues, dado P ∈ E, sea Q ∈ E tal que f es regular en un entorno deP+Q, entonces f(P) =f(P+Q)/f(Q), y el segundo miembro es regular en un entorno deP.
Resulta as´ı que f : E −→ P1 es una aplicaci´on regular que no toma los valores 0 ni∞, luego no es suprayectiva y, por consiguiente, es constante. Como
f(O) = 1, ha de ser f = 1. Concluimos queτP(ω) =ω.
En virtud del teorema anterior, las diferenciales de primera clase en una curva el´ıptica se llaman tambi´en diferenciales invariantes. Notemos que una diferencial que no sea de primera clase no puede ser invariante por traslaciones, pues las traslaciones trasladan sus polos.