La topolog´ıa m´etrica - Curvas Elípticas

En esta sección mostraremos que la métrica de K induce una topolog´ıa sobre las variedades algebraicas definidas sobre K exactamente igual que en el caso complejo. Empezamos definiendo la topolog´ıa métrica sobre el espacio proyectivo Pn₍_K_{). Para ello definimos}

y llamamospi:Ai−→Kna la aplicación que a cadaP ∈Aile asigna lan-tupla resultante de eliminarxien la únican+1-tupla de coordenadas homogéneas deP que cumplexi= 1. Se comprueba inmediatamente que las composicionesp−i1◦pj son homeomorfismos de Kn _{en s´ı mismo (dotado de la topolog´ıa producto),} lo cual permite definir una única topolog´ıa en Pn₍_K_{) respecto a la cual los} conjuntosAi son abiertos y las aplicacionespi son homeomorfismos.

Definici´on 6.23 Llamaremostopolog´ıa m´etricaen Pn₍_K_{) a la ´}_{unica topolog´ıa} respecto a la cual los conjuntosAi son abiertos y las funcionespi:Ai −→Kn son homeomorfismos.

Notemos que todo el razonamiento precedente es válido si K es un cuerpo métrico arbitrario, no necesariamente discreto. Es obvio que si L es una ex- tensión algebraica deKconsiderada como cuerpo métrico con la única extensión posible del valor absoluto de K, entonces la topolog´ıa inducida en Pn₍_L_{) ex-} tiende a la de Pn(K). En particular esto se aplica cuando L es la clausura algebraicaKdeK.

SiV ⊂Pn(K) es una variedad proyectiva, llamaremostopolog´ıa m´etrica en

V a la restricción de la topolog´ıa métrica de Pn₍_K_{). En particular, si} _V _est´_a definida sobre K, la restricción a V(K) de la topolog´ıa métrica deV coincide con la restricción aV(K) de la topolog´ıa métrica de Pn₍_K_).

SiF ∈K[X1, . . . , Xn+1] es una forma, entonces el conjunto V(F) ={P ∈Pn(K)|F(P) = 0}

es cerrado para la topolog´ıa m´etrica, puesV(F)∩An+1se corresponde a trav´es

de la aplicaci´onpn+1 con el cerrado {X ∈K

|F(X,1) = 0}, y lo mismo vale para los dem´as abiertosAi.

Como consecuencia, todo subconjunto algebraico de Pn₍_K_{) es cerrado para} la topolog´ıa m´etrica o, equivalentemente, todo abierto para la topolog´ıa de Zariski es abierto para la topolog´ıa m´etrica (en Pn₍_K_{) y, por consiguiente, en} cualquier variedad proyectiva).

Se comprueba inmediatamente que la aplicaciónp:Kn_p+1\ {0} −→Pn(K) que a cadan+ 1-tupla le asigna el punto con tales coordenadas homogéneas es continua. De aqu´ı se sigue a su vez que toda aplicación regular φ :V −→W

entre variedades proyectivas enKes continua respecto de la topolog´ıa m´etrica. En efecto, es claro que no perdemos generalidad si consideramos

φ:V −→Pm(K).

En un entorno deP para la topolog´ıa de Zariski, la aplicaci´onφviene dada porφ(Q) = [F1(Q), . . . , Fm+1(Q)], donde losFi∈K[X1, . . . , Xm+1] son formas

del mismo grado que no se anulan simult´aneamente en P. Supongamos sin p´erdida de generalidad quex1(P)6= 0 yFm+1(P)6= 0. Entonces, el conjunto

es un entorno de P para la topolog´ıa de Zariski, luego también para la topolog´ıa métrica. Sobre este entornoU, la aplicación φ puede obtenerse como composición de tres funciones continuas:

a) La aplicaci´onU −→ Kn dada por [X1, . . . , Xn]7→ (X2/X1, . . . , Xn/X1)

(que es la restricci´on del homeomorfismoA1−→K

n ). b) La aplicaci´on polin´omicaX7→(F1(1, X), . . . , Fm+1(1, X)),

c) La aplicaci´onp:Km+1\ {0} −→Pm(K).

Ahora es fácil ver que la topolog´ıa métrica en un producto V ×W es el producto de las topolog´ıas métricas. En efecto, basta demostrarlo para el caso de Pn₍_K₎_×_Pm₍_K_{), y a su vez basta probar que la topolog´ıa métrica en un} abierto Ai ×Aj es la topolog´ıa producto. Ahora bien, la aplicación natural

Ai×Aj−→Kn+mes un homeomorfismo para la topolog´ıa m´etrica (porque es regular con inversa regular) y tambi´en para la topolog´ıa producto.

Por ´ultimo, observemos que si K es localmente compacto y V /K es una variedad proyectiva definida sobreK, entonces el conjunto de puntos racionales

V(K) es compacto respecto a la topolog´ıa m´etrica. Como V(K) es cerrado en un espacio proyectivo Pn₍_K_{), basta probar que ´este es compacto, pero ello} es evidente, ya que es espacio Pn₍_K_{) es la imagen por la aplicaci´}_{on continua}

p:Kn+1_{\ {}₀_{} −→}_Pn₍_K_{) del compacto}

C={x∈Kn+1_|P

i |

xi|= 1}.

Como primera aplicaci´on demostramos el teorema siguiente:

Teorema 6.24 Si K es localmente compacto y E/K es una curva el´ıptica, entonces el núcleoE1(K)de la reducción móduloPtiene ´ındice finito enE(K).

Demostración: En efecto, observemos queE(K) es un grupo topológico compacto respecto de la topolog´ıa métrica (es decir, la suma y la aplicación

P 7→ −P son continuas, porque son regulares). En la prueba de 6.16 hemos visto que

E1(K) ={P ∈E(K)|v(t(P))≥1, v(z(P))≥1}.

Si llamamosU al abierto enE(K) donde est´an definidastyz, tenemos que

E1(K)⊂U y las funciones t, z :U −→ K son continuas, al igual que lo es la

valoraci´onv :K −→Z∪ {+∞}. De aqu´ı concluimos queE1(K) es abierto en E(K).

Aunque no nos va a hacer falta, notemos que todo subgrupo abierto de un grupo topológico es también cerrado, ya que su complementario es una unión de trasladados, que también son abiertos. As´ı pues,E1(K) es abierto y cerrado

enE(K).

La conclusión del teorema es ahora inmediata, pues el compactoE(K) se descompone en unión disjunta de las clases (abiertas) móduloE1(K), luego ha

sucede que |E(K) : E0(K)| lo es igualmente. Este hecho tiene consecuencias

muy importantes sobre las reducciones de las curvas el´ıpticas, pero aqu´ı no estamos en condiciones de probarlo.2 _{Como ejemplo de dichas consecuencias,}

enunciamos sin demostraci´on el teorema siguiente:3

Teorema 6.25 Sea φ:E1−→E2 una isogenia no nula definida sobreK entre

dos curvas el´ıpticas definidas sobreK. Entonces E1 y E2 tienen el mismo tipo

de reducci´on (buena, multiplicativa o aditiva) sobre K.

(Este teorema sólo lo usaremos en la prueba del teorema 9.25, el cual, a su vez, no se usará en ningún otro lugar de este libro.)

2_V´_{ease mi libro sobre}_{Superficies aritm´}_eticas,_{teorema 10.42.}

Cap´ıtulo VII

Curvas el´ıpticas sobre

cuerpos num´ericos

Nos ocupamos ahora de las curvas el´ıpticas definidas sobre cuerpos numéricos, en particular sobreQ. En todo el cap´ıtulo,Kserá un cuerpo numérico,Oserá su anillo de enteros algebraicos y, para cada divisor primo no arquimedianoP

de K, representaremos por KP la compleci´on de K respecto de la valoraci´on vP, porOPel anillo de enteros deKP, porkP el cuerpo de restos, etc.

Si E/K es una curva el´ıptica definida sobre K mediante una ecuación de Weierstrass, para cada divisor primo no arquimedianoP deKpodemos consi- derar la curva el´ıptica E/KP definida mediante la misma ecuación. Es obvio que un cambio de variables sobre K que haga corresponder dos ecuaciones de Weierstrass para una misma curvaE puede verse también como un cambio de variables sobreKP. Por lo tanto, a cada curva el´ıpticaE/Kle podemos asociar una extensiónE/KP a través de una ecuación de Weierstrass, sin que importe la elección de ésta (dos ecuaciones para la misma curva dan lugar a extensiones isomorfas). Más aún, toda isogenia no nula entre dos curvas el´ıpticas se extiende (mediante las mismas ecuaciones) a una isogenia no nula entre las extensiones, luego curvas isógenas sobreK se extienden a curvas isógenas sobreKP.

A su vez, a partir de la extensi´on a KP podemos construir la reducci´on ˜

E(kP), que es una curva (tal vez singular) definida sobre el cuerpo finito kP. Podemos distinguir entre primosP sobre los queE/K tiene buena reducción, reducción multiplicativa o reducción aditiva.

7.1 El discriminante m´ınimo

Diremos que una ecuación de Weierstrass para una curva el´ıptica E/K es enterasi tiene sus coeficientes enO, de modo que también es una ecuación entera para todas las extensionesE/KP. Es claro que toda curva el´ıpticaE/K admite una ecuación de Weierstrass de tipo c que, mediante un cambio X = u2_X0_,

Y = u3_Y0 _{para un} _u _∈ _K∗ _{adecuado, se transforma en una ecuaci´}_{on entera.}

Toda ecuaci´on entera cumple obviamente que ∆∈O.

Fijada una ecuación de Weierstrass entera para una curva el´ıpticaE/K, una condición necesaria queE/K tenga mala reducción módulo un primoPes que

P | ∆, luego el conjunto de primos con mala reducción es siempre finito. Sin embargo, la condición no es suficiente, pues la ecuación no tiene por qué ser minimal sobreP. En esta sección vamos a estudiar si es posible encontrar una ecuación de Weierstrass para E/K que sea minimal para todos los divisores primos no arquimedianos de K, de modo que los primos con mala reducción sean exactamente los que dividen al discriminante de la ecuación.

En principio, para cada divisor primo no arquimediano P de K, podemos encontrar una ecuación de Weierstrass minimal sobreKP. Si su discriminante es ∆, entonces el naturalδP =vP(∆) es un invariante deE/K, de modo que E/K tiene buena reducción móduloP si y sólo siδP= 0. Esto nos lleva a la definición siguiente:

Definici´on 7.1 Llamamos discriminante m´ınimo de una curva E/K al ideal deK dado por

DE/K =Q P

PδP_, dondePrecorre los primos no arquimedianos deK.

En estos términos,E/K tiene mala reducción módulo un primo no arquime- dianoPdeK si y sólo siP|D_E/K. Naturalmente, esta definición no resuelve nuestro problema. La cuestión es siE/K admite una ecuación minimal global en el sentido siguiente:

Definici´on 7.2 Unaecuaci´on de Weierstrass minimalpara una curva el´ıptica

E/Kes una ecuaci´on de Weierstrass entera paraEcuyo discriminante ∆ cumpla (∆) = DE/K, es decir, una ecuaci´on que sea minimal para todas las curvas

E/KP, para todo primo no arquimedianoPdeK.

En principio, si E/K es una curva el´ıptica definida por una ecuaci´on de Weierstrass

Y2₊_a

1XY +a3Y =X3+a2X2+a4X+a6, ai∈O, para cada primo no arquimedianoP deKexiste un cambio de variables

X0=u2_PX+rP, Y =u3PY +sPu2PX+tP, uP, sP, tP∈OP, que transforma la ecuación en una ecuación minimal para E/KP. La relación entre los discriminantes será ∆ =u12

P∆P. Para todos los primosP salvo a lo sumo un n´umero finito de ellos tendremosvP(∆) =vP(∆P) = 0, luego tambi´en vP(uP) = 0 y podemos definir el ideal

a∆=Q

de modo que DE/K = (∆)/a12∆. Ahora observamos que la clase [a∆] no de-

pende de ∆. En efecto, si consideramos otra ecuaci´on de Weierstrass entera con discriminante ∆0_{, entonces ∆ =}_u12_∆0_{, para cierto}_u_∈_K∗_{, luego}

(∆0)a12_∆0 =DE/K= (∆)a12∆ = (∆0)(ua∆)12,

con lo quea∆0 = (u)a_∆.

Definici´on 7.3 Llamaremos clase de Weierstrassde una curva el´ıptica E/K

sobre un cuerpo num´ericoK a la clase de ideales deK determinada por cualquier ideala∆ correspondiente a cualquier ecuaci´on de Weierstrass para E. La

representaremos porWE/K.

Teorema 7.4 Una curva el´ıpticaE/K sobre un cuerpo numéricoKtiene una ecuación de Weierstrass minimal si y sólo si la clase de Weierstrass WE/K es la clase principal.

Demostraci´on: SiE/K tiene una ecuaci´on minimal con discriminante ∆, entonces (∆) =DE/K= (∆)/a12∆, luegoa∆= 1 y W = 1.

Rec´ıprocamente, supongamos queW = 1. Tomemos una ecuaci´on de Weiers- trass entera paraEy discriminante ∆. Para cada divisor primo no arquimediano

PdeK consideremos un cambio de variables

X=u2_PX0+rP, Y =u3PY0+sPu2PXP+tP

que la transforme en una ecuaci´on minimal paraP, digamos con coeficientes

aiPy con discriminante ∆P. La ecuación de partida será ya minimal para todos los primosPsalvo un número finito de ellos. Si llamamosSal conjunto de estos primos, podemos suponer queuP = 1 yrP =sP=tP= 0 para todo P∈/S. En cualquier caso,uP,rP,sP ytP sonP-enteros.

Por hip´otesis, existe u ∈K∗ _{tal que} Q

PvP(uP) _{= (}_u_{). Esto significa que} vP(uP) =vP(u), para todoP.

Por el teorema chino del resto podemos tomar r, s, t ∈ O tales que para todoP∈S se cumpla que

vP(r−rP), vP(s−sP), vP(t−tP)>m´ax i {vP(u

i PaiP)}.

Consideremos ahora la ecuaci´on de Weierstrass paraE determinada por el cambio de variables

X=u2X0+r, Y =u3Y0+su2X0+t.

Vamos a comprobar que tiene coeficientes enteros (llam´emoslosa0

i). Basta probar quevP(a0i)≥0 para todo primoP. SiP∈/S, entoncesu∈UP, luego la conclusi´on es clara. Supongamos que P ∈S y consideremos, por ejemplo, a0

que cumple

Tambi´en tenemos queu2

Pa2P=a2−sPa1+ 3rP−s2P, luego vP(u2a02) =vP(u2Pa2P−(s−sP)a1−3(r−rP)−(s2−s2P)) =vP(u2Pa2P−(s−sP)(a1+s+sP)−3(r−rP)) =vP(u2Pa2P), por la elecci´on derys. Concluimos quevP(a20) =vP(a2P)≥0.

Con los coeficientes restantes se razona de forma similar. El discriminante de la nueva ecuaci´on es ∆0=u−12∆, luego

vP(∆0) =vP(u−12∆) =vP((uP/u)12∆P) =vP(∆P). As´ı pues, hemos encontrado una ecuaci´on minimal paraE/K. Como consecuencia inmediata tenemos el teorema siguiente:

Teorema 7.5 SiKes un cuerpo numérico con número de clasesh= 1, enton- ces toda curva el´ıptica E/K admite una ecuación de Weierstrass minimal.

Puede probarse que el rec´ıproco es cierto, es decir, que si h > 1 entonces existen curvas el´ıpticas que no admiten ecuaciones minimales.

Ejemplo Consideremos el cuerpoK=_Q(√−10), que tiene n´umero de clases

h= 2 y consideremos la curvaE/K dada por

Y2₌_X3_{+ 125}_.

Su discriminante es ∆ =−24₃3₅6_{. Es f´}_{acil ver que en (el anillo de enteros}

de)K se cumple que 2 = p2_{, 5 =}_q2_{, mientras que 3 se conserva primo. Esto}

hace que la ecuaci´on deE sea minimal para todo primo deK salvo quiz´a para el primoq. El cambio de coordenadas

X =√−102X0, Y =√−103Y0

transforma la ecuaci´on en Y2 ₌ _X3₋₁_/_{8, que es minimal y tiene buena re-}

ducci´on en q. Por consiguiente, DE/K = (2433) y WE/K12 = [56], con lo que

WE/K= [q].

Es claro que_Z[√−10] no tiene elementos de norma 5, luego el idealqno es principal,WE/K6= 1 y as´ıE/K no tiene una ecuaci´on minimal global.

Los teoremas siguientes nos permitirán calcular ecuaciones minimales para curvas el´ıpticas definidas sobre _Q. En realidad el método puede generalizarse para cuerpos numéricos arbitrarios (es decir, a un método para decidir si existe ecuación minimal y que permite calcularla en caso afirmativo), pero el caso de_Q es mucho más sencillo. Empezamos por probar una versión global del teorema de Kraus:

Teorema 7.6 Sean c4, c6, ∆ ∈ Z tales que c34−c26 = 1728∆ 6= 0. Entonces

existe una curva el´ıptica E/_Q con una ecuaci´on de Weierstrass entera con co- variantesc4 y c6 (y discriminante∆) si y s´olo si v3(c6)6= 2 y se cumple una

a) c6≡ −1 (m´od 4),

b) c4≡0 (m´od 16) y c6≡0, 8 (m´od 32).

Demostraci´on: Si existe tal ecuaci´on ha de cumplir el teorema 6.6 para

K =_Q2 yK =Q3, luego cumple las condiciones del enunciado (ver la obser-

vaci´on tras 6.6).

Rec´ıprocamente, si se cumplen estas condiciones, el teorema 6.6 nos da que existen curvas el´ıpticasE2/Q2yE3/Q3que admiten ecuaciones de Weierstrass

enteras con covariantesc4yc6. Mediante un cambio de variables adecuado con u= 1, ambas se transforman en la misma ecuaci´on de tipoc:

Y2=X3−₄₈c4X−₈₆₄c6 . (7.1) Equivalentemente, para p= 2, 3, existen cambios de variable determinados por rp, sp, tp ∈Qp y u= 1 que transforman esta ecuaci´on en dos ecuaciones enteras sobre Qp. Vamos a ver que dado un n´umero natural arbitrariamente grandeN existen r,s,t∈Qtales que

vp(r−rp)≥N, vp(s−sp)≥N, vp(s−sp)≥N parap= 2,3 yvp(r),vp(s),vp(t)≥0 para todo primop >3.

En efecto, por la densidad de Qen Qp podemos aproximar rp por r0p ∈ Q y por el teorema de aproximaci´on podemos aproximar r0

2 y r03 por un mismo

n´umeror0_∈_Q_{. S´}_{olo falta probar que podemos aproximar}_r0 _{respecto a}_v₂ _y_v₃

mediante unr∈Qque sea entero respecto de los dem´as primos. Pongamos que

r0₌_a/b_{. Por el teorema chino del resto existe un}_m_∈_Z_{tal que}

vp(a−m)≥N+vp(b), parap= 2,3,

vp(m)≥vp(b) para todo primop|b, p >3.

Entoncesr=m/bcumple lo pedido. Igualmente se construyensyt. Ahora basta observar que si tomamosN suficientemente grande, el cambio de variables determinado por r, s, t y u= 1 transforma la ecuación (7.1) en una ecuación entera (que obviamente tendrá también covariantes c4 y c6). En efecto, las

fórmulas de 2.6 (teniendo en cuenta que los polinomios son funciones continuas) muestran que los coeficientes de esta ecuación estarán cerca de los de las ecuaciones obtenidas conrp,sp,tp, y todo número racional suficientemente próximo a un enterop-ádico es un enterop-ádico. En conclusión, el cambio de variable lleva a una ecuación con coeficientes enteros diádicos y triádicos. Obviamente también son enteros para los demás primos, luego están enZ.

Con esto podemos calcular f´acilmente los covariantes (y el discriminante) de las ecuaciones minimales de una curva dada:

Teorema 7.7 Sea E/_Q una curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera con covariantesc4 yc6y discriminante∆. Seauel mayor n´umero

natural tal quec0

4 =u−4c4 y c06 =u−6c6 son enteros y satisfacen las condicio-

nes del teorema anterior. Entonces toda ecuaci´on de Weierstrass entera con covariantesc0

Demostraci´on: El cambio de variables X =u2_X0_, _Y ₌_u3_Y0 _transforma

la ecuaci´on deE/Qen una ecuaci´on (no necesariamente entera) de covariantes

4,c06, la cual puede transformarse a su vez en la ecuaci´on (7.1) (conc0ien lugar deci).

Por otra parte, cualquier ecuaci´on entera de covariantesc0

i —y existe al me- nos una por el teorema anterior— puede transformarse en esa misma ecuación, luego también en la ecuación de partida.

En definitiva, hemos probado que la curva E/Q admite una ecuaci´on de Weierstrass entera de covariantesc0

4,c06 (y discriminante ∆0). La maximalidad

deuhace que dicha ecuaci´on sea necesariamente minimal.

As´ı pues, para encontrar una ecuación minimal a una curva dada sólo nos falta encontrar una ecuación entera con unos covariantes dados.

Definición 7.8 Una ecuación de Weierstrass con coeficientes en_Zestáreducida sia1,a3∈ {0,1}ya2∈ {−1,0,1}.

Teorema 7.9 Toda ecuación de Weierstrass con coeficientes en Z se trans- forma mediante un cambio de variables entero en una única ecuación reducida. Dados c4,c6,∆∈Zen las condiciones del teorema anterior, la ecuación redu-

cida con tales covariantes tiene los coeficientes siguientes:

a1 ≡ c4(m´od 2), [a1∈ {0,1}], a2 ≡ −c6−a1(m´od 3), [a2∈ {−1,0,1}],

a3 ≡ (b32−3c4b2−2c6)/16 (m´od 2), [a3∈ {0,1}, b2=a1+ 4a2], a4 = (b2−24a1a3−c4)/48,

a6 = (−b32−c6+ 36b2(a1a3+ 2a4)−216a3)/864.

Demostración: Consideremos una ecuación de Weierstrass entera con coe- ficientesa1, . . . , a6 y vamos a construir una nueva ecuación reducida con coefi-

cientesa0

1, . . . , a06, al mismo tiempo que construimos un cambio de variables con u= 1 y r, s, t ∈ Z que transforme una en la otra. Seg´un el teorema 2.6, ha de ser a0

1 =a1+ 2s, luego para que la ecuaci´on que obtengamos sea reducida

hemos de tomar necesariamente

a0₁≡a1(mód 2), a01∈ {0,1}, s= (a01−a1)/2. Similarmente, ha de ser a0 2 ≡ a2−a1−s2(mód 3), a02∈ {−1,0,1}, r= (a02−a2+a1+s2)/3, a0 3 ≡ a3+ra1(mód 2), a03∈ {0,1}, t= (a03−a3−ra1)/2, a0 4 = a4−sa3+ 2ra2−(t+rs)a1+ 3r2−2st, a0 6 = a6+ra4+r2a2+r3−ta3−t2−rta1.

Esto prueba la existencia de la ecuaci´on. Ahora vamos a probar que toda ecuaci´on de Weierstrass reducida puede recuperarse a partir de los covariantes

c4yc6como indica el enunciado, lo que en particular nos dar´a la unicidad. Para

adecuarnos a la notación del enunciado, a partir de aqu´ı los coeficientes de la ecuación reducida seránai en lugar dea0i.

Comoa1=a21, tenemos que

a1≡b2≡b22≡c4(m´od 2),

luegoa1ha de ser el que indica el enunciado. Igualmente,

a2=b2−a21−3a2≡b2−a21=b2−a1≡b32−a1≡ −c6−a1(mód 3), (b3₂−3c4b2−2c6)/16 = 27b6≡b6≡a23≡a3(mód 2), b2 2−24a1a3−c4 48 = −24a1a3+ 24b4 48 = −a1a3+b4 2 =a4, e igualmente se justifica la fórmula para a6.

Como consecuencia inmediata:

Teorema 7.10 Toda curva el´ıpticaE/Qadmite una ´unica ecuaci´on de Weiers- trass minimal reducida.

Demostración: Cuando transformamos una ecuación minimal en una ecuación reducida según el teorema anterior, la ecuación que obtenemos sigue siendo minimal, pues el cambio de variables tieneu= 1. Una ecuación minimal se transforma en otra mediante un cambio de variables entero con u= 1 (por el teorema 6.2 aplicado a todos los primos). Por consiguiente ambas tienen los mismos covariantes, luego si ambas son reducidas han de ser la misma.

En definitiva, dada una curva el´ıpticaE/Qdada por una ecuaci´on de Weiers- trass, podemos aplicar un cambio de variablesX =u2_X0_,_Y ₌_u3_Y0 _{para pasar}

a una ecuaci´on entera con covariantesc4 yc6, luego calculamos los covariantes

minimalesc0

4yc06según el teorema 7.7 y construimos la ecuación minimal según

el teorema anterior.

Resulta natural preguntarse si puede existir una curva el´ıptica E/K con

DE/K= 1, es decir, una curva con buena reducci´on m´odulo todos los primos no arquimedianos deK. El teorema siguiente muestra que la respuesta es negativa cuandoK=_Q:

Teorema 7.11 SeaE/Quna curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass entera de discriminante ∆ ∈ Z. Entonces ∆ no puede ser de la forma

d3_{, donde} _d _{es un entero cuyos divisores primos sean todos congruentes con} ₁

m´odulo8. En particular no puede ser∆ =±1.

Demostraci´on: En caso contrario ∆ =d3_{, con} _d_{≡ ±}_{1 (m´}_{od 8). Veamos}

quea1ha de ser impar. En caso contrario v2(b2)≥2,v2(b4)≥1,v2(c4)≥4, y

la relaci´on

6=c34+ 1728d3 (7.2)

implica quec6= 8c, pero entoncesc2≡27d3≡ ±3 (m´od 8), y esta congruencia

As´ı pues,a1es impar, luegob2tambi´en yc4≡b22≡1 (m´od 8). Sustituyendo

en (7.2)x=c4+ 12d,y=c6obtenemos

y2=x(x2−36dx2+ 432d2),

dondex≡5 (m´od 8). En particular,x6= 0. Ahora observamos que

Q=x2−36dx2+ 432d2= (x−18d)2+ 108d2>0,

luego tambi´enx=y2_{/Q >}_{0. Descompongamos} x= 3uQ

pvpQ

qvq_,

dondeprecorre los primos que dividen al mcd(x, d) yqlos divisores dexdistintos de 3 y que no dividen a d. Claramente vq(Q) = 0, luego vq =vq(y2) es par, luegoqvq _≡_{1 (m´}_{od 8). Por hip´}_{otesis tambi´en}_p_≡_{1 (m´}_{od 8), luego}

x≡3u≡1, 3 (m´od 8),

cuando ten´ıamos quex≡5 (m´od 8).

Ejemplo Las curvas siguientes muestran que la restricci´on sobre los divisores primos de ∆ es necesaria en el teorema anterior:

Y2₌_X3₋_X, _{∆ =} ₂6_,

Y2₊_Y ₌_X3_, _{∆ =}₋₃3_,

Y2₊_XY ₌_X3₋_X2₋₂_X₋₁_, _{∆ =}₋₇3_.

Por el contrario, siK=_Q(√29 ) y≤= (5+√29)/2 es la unidad fundamental de K, la curva Y2₊_XY ₊_≤2_Y ₌ _X3 _{cumple ∆ =} ₋_≤10_{, luego tiene buena}

reducci´on m´odulo todos los primos deK.

Terminaremos la sección justificando la existencia de ecuaciones minimales en un sentido más débil que no requiere ninguna hipótesis sobre el número de

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