En las secciones anteriores hemos estudiado los grupos de torsi´onE[m] de una curva el´ıpticaE. Estos grupos contienen mucha informaci´on sobreE. Por ejemplo, observemos que si dos isogenias coinciden sobre el grupo de torsi´on
Et, entonces son iguales, pues el n´ucleo de la diferencia es infinito. En realidad vemos que es suficiente con que coincidan sobre el grupo
E[q∞] = S∞ e=0
E[qe],
dondeq es un primo distinto de la caracter´ıstica del cuerpo de constantes. En esta secci´on veremos c´omo “encajar” los grupos E[qe] en una estructura m´as conveniente que su uni´on. Para ello necesitamos la noci´on de l´ımite proyectivo de un sistema de m´odulos:
Definici´on 3.19 Si A es un anillo conmutativo y unitario, un sistema pro- yectivo de A-m´odulos es una sucesi´on {Mn}∞n=1 de A-m´odulos junto con una
sucesi´on de homomorfismosφn :Mn −→Mn−1. Definimos el l´ımite proyectivo
del sistema como el subm´odulo M =←−l´ım
n Mn del producto Q n Mn formado por las sucesiones x= (x1, x2, x3, . . .)
tales que φn(xn) =xn−1, para todon >1. Llamaremosπn :M −→Mn a las restricciones de las proyecciones. Obviamenteπn+1◦φn+1=πn.
Ejercicio: Demostrar que si (M0,{πn0}) es otro m´odulo junto con homomorfismos π0
n:M0−→Mntales queπn0+1◦φn+1=πn0, entonces existe un ´unico homomorfismo φ:M0 −→M tal queφ◦π
n =π0n, as´ı como que esta propiedad determina el l´ımite
Es claro que si las aplicacionesφnson suprayectivas lo mismo sucede con las proyecciones πn. Sin m´as que cambiar “m´odulo” por “anillo” podemos definir el l´ımite proyectivo de un sistema proyectivo de anillos y homomorfismos de anillos.
Ejemplo Seap un n´umero primo y consideremos el sistema proyectivo for- mado por los anillosZ/pnZcon los epimorfismos naturalesZ/pn+1Z−→Z/pnZ dados por [x]7→[x]. LlamemosZp al l´ımite proyectivo.
Se trata de un anillo conmutativo y unitario, cuya unidad es 1 = (1,1,1, . . .). Adem´as, para todom∈Zno nulo tenemos que m1 = ([m],[m], . . .)6= 0, pues sim1 = 0 entoncespn|mpara todon≥1. As´ı pues,Zp tiene caracter´ıstica 0. Es claro que una sucesi´on ([x1],[x2],[x3], . . .) es una unidad deZp si y s´olo
sip-xn para todon, pero esto equivale a quep-x1. As´ı pues, el grupo de las
unidades deZp es
Up={x∈Zp|π1(x)6= 0}.
Para cada x∈Zp no nulo, definimos vp(x) como el m´ınimo naturalm tal queπm+1(x)6= 0. Sivp(x) =myπn(x) = [xn], entonces, para todo n > m,
xn≡0 (m´odpm) y xn6≡0 (m´odpm+1),
luego xn = ynpm, con (yn, p) = 1. Obviamente, si n ≤ m podemos elegir
xn=xm+1 y se cumple lo mismo. Entonces≤= (y1, y2, . . .)∈Up yx=≤pm. En resumen, hemos probado que todo elemento x∈Zp no nulo se expresa como x = ≤pm, donde ≤ ∈ U
p y m ≥ 0. La descomposici´on es ´unica, pues necesariamentem=vp(x).
De aqu´ı se sigue inmediatamente queZpes un dominio ´ıntegro, pues un pro- ducto de elementos no nulos es de la forma (≤pm)(≤0pn). Si fuera nulo, entonces ser´ıapm+n = 0, lo cual es imposible porqueZp tiene caracter´ıstica 0.
Llamemos Qp al cuerpo de cocientes deZp. Es f´acil ver quevp se extiende a una valoraci´on enQp cuyo anillo de enteros esZp y que restringida aQes la valoraci´onp-´adica. Vamos a probar queQp es completo con dicha valoraci´on y queQes denso enQp. De este modo,Qp resultar´a ser el cuerpo de los n´umeros
p-´adicos.
En efecto, si{xn}es una sucesi´on de Cauchy en Zp, para cada r≥0 existe un m ≥ 0 tal que si n ≥ m entonces vp(xn −xm) ≥ r, lo que implica que
πr(xn) = πr(xm). En particular, la sucesi´on πr(xn) es finalmente constante igual a un ciertoyr∈Z/prZ. En realidad, la condici´on de Cauchy implica que para cadar≥0 existe un m≥0 tal que si n≥mentonces πs(xn) =ys para todos≤r. De aqu´ı se sigue quey= (y1, y2, . . .)∈Zp, as´ı como quey= l´ım
n xn. Hemos probado que toda sucesi´on de Cauchy enZp es convergente (lo cual prueba que Zp es cerrado en Qp), pero necesitamos demostrar que lo mismo vale para toda sucesi´on de Cauchy enQp. Ahora bien, toda sucesi´on de Cauchy
{xn}est´a acotada, luego existe un r∈Z tal quevp(xn)≥r para todon≥0. Entonces es claro que{xnp−r}es una sucesi´on de Cauchy enZp, que converge a uny∈Zp, y la sucesi´on original converge aypr.
Por ´ultimo, si x ∈ Zp y πn(x) = [xn] entonces vp(x−xn) ≥ n, luego Z es denso enZp. Podemos identificar al cuerpo de los n´umerosp-´adicos con la clausura deQenQp, y entonces el anillo de los enterosp-´adicos es la clausura de Zen Qp, o sea, Zp, seg´un acabamos de probar. Por consiguiente,Qp es el cuerpo de cocientes del anillo de los enterosp-´adicos, y ´este es el cuerpo de los n´umerosp-´adicos.
Observemos que la topolog´ıa deZppuede describirse f´acilmente en t´erminos de su estructura de l´ımite proyectivo: Una base deZpla forman los conjuntos
B(n, a) ={x∈Zp|πn(x) =a}, n≥1, a∈Z/pnZ.
En efecto, basta observar que six0∈Zp cumpleπn(x0) =a, entonces B(n, a) ={x∈Zp |vp(x−x0)> n}.
Definici´on 3.20 SeaE una curva el´ıptica y sea l ∈ Z un n´umero primo. El m´odulo de Tatel-´adico deE es el l´ımite proyectivo deZ-m´odulos
Tl(E) =←−l´ımn E[ln], respecto de los homomorfismos naturalesP 7→lP.
En principioTl(E) es unZ-m´odulo, pero podemos dotarlo de una estructura mejor: tenemos queE[ln] es unZ/lnZ-m´odulo, luego si
α= (a1, a2, . . .)∈Zl, x= (P1, P2, . . .)∈Tl(E), podemos definir
αx= (a1P1, a2P2, . . .)∈Tl(E),
y es claro que as´ıTl(E) se convierte en unZl-m´odulo. Su estructura es f´acil de determinar:
Supongamos primero que l es distinto de la caracter´ıstica del cuerpo de constantes. Las aplicacionesE[le+1]−→E[le] tienen n´ucleo de ordenl2, luego
son suprayectivas. Es claro que si P y P0 forman una base de E[le+1] como
Z/le+1Z-m´odulo, entonces los puntoslP ylP0 forman una base deE[le] como Z/leZ-m´odulo. M´as a´un, si fijamos una base en E[le], aplicando aP yP0 un
cambio de base adecuado podemos exigir quelP ylP0 sea la base prefijada.
Fijamos una baseP1,P10 deE[l] y a partir de ella ir formamos basesPe,Pe0 deE[le], de modo quePe=lPe+1, Pe0 =lPe0+1. Con ellas podemos formar dos
elementosP,P0 ∈T
l(E) tales queTl(E) =hPi⊕hP0i. As´ı pues,Tl(E)∼=Zl×Zl. Si el cuerpo de constantes tiene caracter´ısticalpodemos razonar igualmente, con lo que llegamos al teorema siguiente:
Teorema 3.21 Si E es una cueva el´ıptica sobre un cuerpok yl es un n´umero primo, entoncesTl(E)∼=Zl×Zl sil6= cark, mientras que sil= carkentonces
Tl(E)∼=Zl o bienTl(E) = 0(seg´un siE es ordinaria o supersingular). Definimos en Tl(E) la topolog´ıa que tiene por base a los conjuntos de la forma
B(n, P) ={x∈Tl(E)|πn(x) =P}, n≥1, P ∈E[ln].
Sil 6= cark y fijamos una Zl-base P, P0 deTl(E), entonces el isomorfismo
inducido Zl×Zl −→ Tl(E) resulta ser un homeomorfismo cuando en Zl×Zl
consideramos la topolog´ıa producto. En efecto, una base deZl×Zl viene dada por los conjuntos
{(α, β)∈Zl×Zl|πn(α) =a, πn(β) =b}, n≥1, a, b∈Z/lnZ, que claramente se corresponden con los abiertos b´asicos
{x∈Tl(E)|πn(x) =aPn+bPn0}.
Igualmente se razona que sil= carkyTl(E)6= 0 entoncesTl(E) es topol´ogi- camente isomorfo aZl.
Siφ:E1−→E2 es una isogenia entre dos curvas el´ıpticas, es claro queφse
restringe a homomorfismos deZ/lnZ-m´odulosφ
n:E1[ln]−→E2[ln], los cuales
inducen un homomorfismo deZl-m´odulosφl:Tl(E1)−→Tl(E2). Tenemos as´ı
un monomorfismo de grupos
Hom(E1, E2)−→Hom(Tl(E1), Tl(E2)).
Es f´acil ver que es inyectivo (supuesto que l 6= cark), pero necesitamos un hecho m´as fuerte. Observemos que Hom(E1, E2) es simplemente un grupo
abeliano, mientras que Hom(Tl(E1), Tl(E2)) tiene una estructura natural de
Zl-m´odulo con las operaciones definidas puntualmente.
Teorema 3.22 SiE1yE2son curvas el´ıpticas sobre un cuerpo de caracter´ıstica
distinta del, entonces el homomorfismo natural deZl-m´odulos Zl⊗ZHom(E1, E2)−→Hom(Tl(E1), Tl(E2))
es inyectivo.
Demostraci´on: En primer lugar demostraremos que siM es un subgrupo finitamente generado de Hom(E1, E2), entonces el grupo
M∗={φ∈Hom(E1, E2)|mφ∈M para alg´unm≥1}
tambi´en es finitamente generado.
En efecto, observemos que por 3.6 el Z-m´oduloM es libre de torsi´on, luego es un Z-m´odulo libre de rango finito. Por consiguiente R⊗ZM es un espacio
vectorial real de dimensi´on finita. La aplicaci´on ( , ) definida en 3.7 se extiende a una forma bilineal enR⊗ZM, que a su vez nos da una extensi´on continua de
la aplicaci´on grado. Por lo tanto, podemos considerar el conjunto
U ={φ∈R⊗ZM|gradφ <1},
que es un entorno abierto de 0.
Por otra parte, si φ ∈M∗ y mφ =ψ ∈ M, la aplicaci´on φ7→ 1
m⊗ψ nos permite identificar aM∗ con un subgrupo deR⊗ZM.
Obviamente M∗∩U ={0}, luegoM∗ es un subgrupo discreto deR⊗ZM.
Esto implica que es finitamente generado (es un ret´ıculo).
Usando una vez m´as que Hom(E1, E2) es libre de torsi´on concluimos que,
de hecho,M∗ es unZ-m´odulo libre.
Pasemos ya a la prueba del teorema. Siφ∈Zl⊗ZHom(E1, E2) tiene imagen
nula en Hom(Tl(E1), Tl(E2)), podemos tomar un subgrupoM de Hom(E1, E2)
finitamente generado tal que φ ∈ Zl⊗ZM. Construimos el subgrupo M∗ y
fijamos una baseφ1, . . . , φt∈Hom(E1, E2). Pongamos que φ=α1φ1+· · ·+αtφt, αi∈Zl. Entonces, la imagen deφen Hom(Tl(E1), Tl(E2)) es
φl=α1(φ1)l+· · ·+αt(φt)l= 0.
Elijamos ai ∈ Z tales que πn(αi) = [ai]. Para cada P ∈ E1[ln], tomamos x∈Tl(E1) tal queπn(x) =P, y entonces
πn(φl(x)) =a1φ1(P) +· · ·+atφt(P) = 0, luego la isogenia
ψ=a1φ1+· · ·+atφt∈Hom(E1, E2)
se anula sobre E1[ln]. Seg´un el teorema 2.36 existe λ ∈Hom(E1, E2) tal que ψ=lnλ, pero entoncesλ∈M∗, luego
λ=b1φ1+· · ·+btφt, bi∈Z.
Por la unicidad de las coordenadas, ha de ser ai = lnbi, luego πn(αi) = 0 para todon, luego αi= 0 yφ= 0.
Ahora podemos precisar la estructura de los grupos de isogenias:
Teorema 3.23 Si E1 y E2 son dos curvas el´ıpticas, entonces Hom(E1, E2)es
Demostraci´on: Fijemos un primoldistinto de la caracter´ıstica del cuerpo de constantes. Sabemos queTl(E1) yTl(E2) sonZl-m´odulos libres de rango 2,
luego Hom(Tl(E1), Tl(E2)) es isomorfo al grupo de matrices 2×2 con coeficientes
enZl, luego es unZl-m´odulo libre de rango 4.
El teorema anterior nos permite ver aZl⊗ZHom(E1, E2) comoZl-subm´odulo
de Hom(Tl(E1), Tl(E2)), luego es libre y de rango menor o igual que 4. Por
consiguiente, todo subm´odulo finitamenteM generado de Hom(E1, E2) es libre
y determina unZl-subm´oduloZl⊗ZMdel mismo rango en Hom(Tl(E1), Tl(E2)),
por lo que rangM≤4.
Si Hom(E1, E2) no fuera finitamente generado, podr´ıamos encontrar una
sucesi´on de subm´odulos finitamente generados
M0√M1√M2√M3√· · ·
cuyo rango est´a acotado por 4, luego a partir de uno dado —que podemos suponer que es M0— todos tendr´an el mismo rango. Esto implica que los
cocientes Mn/M0 son finitos, luego existe un mn ≥ 1 tal que mnMn ⊂ M0.
As´ı pues, Mn ⊂M0∗, donde M0∗ es el m´odulo definido en la demostraci´on del
teorema anterior, donde hemos probado que es libre de rango finito. Ahora bien, esto es imposible, pues entonces la uni´on de los m´odulosMn tambi´en ser´ıa un m´odulo finitamente generado, alg´unMn contendr´ıa un generador de la uni´on y entoncesMn=Mn+1, contradicci´on.
As´ı pues, Hom(E1, E2) es finitamente generado, luego es libre y de rango
menor o igual que 4.
Ahora vamos a definir una forma bilineal en Tl(E) que nos aportar´a infor- maci´on sobre las isogenias duales. Primeramente definiremos formas bilineales sobre los grupos E[ln] y luego las combinaremos entre s´ı. Vamos a usar con frecuencia el siguiente hecho elemental:
Teorema 3.24 Un divisora=Pm1
1 · · ·Prmr en una curva el´ıpticaE es princi- pal si y s´olo si Pmi= 0 y PmiPi=O.
Demostraci´on: Basta observar que grada=Pmiy, supuesto queatenga grado 0, entoncesPmiPi es el punto deE correspondiente a [a] a trav´es del isomorfismoH0(E)∼=E. Ciertamente, aes principal si y s´olo si su clase es el
elemento neutro deH0(E), si y s´olo si su imagen enE esO.
Dada una curva el´ıptica E/k, fijamos un natural m >1 no divisible entre cark. Consideremos un punto T ∈ E[m]. Por el teorema anterior existe una funci´onf ∈k(E) tal que (f) =Tm/Om. La funci´onf est´a determinada porm yT salvo una constante.
Podemos tomarT0∈Etal quemT0=T, y entonces existeg∈k(E) tal que
(g) =m(T)/m(O) = Y R∈E[m]
T0+R
R .
Ahora observamos que (m◦f) =m((f)) = (gm), luego multiplicandof por una constante podemos suponer quem◦f =gm. De nuevo, la funci´ong est´a determinada pormyT salvo una constante.
Sea ahoraS∈E[m] un punto arbitrario yX ∈E. Tenemos que
g(X+S)m=f(mX+mS) =f(mX) =g(X)m.
Esto implica que las funcionesg(X+S) yg(X) (para unS fijo) tienen los mismos ceros y polos, luego el cocienteg(X+S)/g(X) es constante. M´as a´un, es una ra´ızm-sima de la unidad enk.
Definici´on 3.25 Sea E una curva el´ıptica sobre un cuerpok, seam > 1 un natural no divisible entre cark y sea Um el grupo de las ra´ıces m-simas de la unidad enk. Definimos elproducto de Weilde ordenmenE como la aplicaci´on
em:E[m]×E[m]−→Um dada por
em(S, T) =
g(X+S)
g(X) ,
donde g ∈ k(E) es cualquier funci´on que cumpla (g) = m(T)/m(O) y X es cualquier punto deE dondegno tenga un cero ni un polo.
Observemos que, aunquegest´e definida salvo una constante, ´esta se cancela en el cocienteem(S, T), luegoem(S, T) est´a un´ıvocamente determinado porm,
S yT. El teorema siguiente recoge las propiedades b´asicas de este producto.
Teorema 3.26 Sea E una curva el´ıptica sobre un cuerpok. Entonces:
a) em(S1+S2, T) =em(S1, T)em(S2, T), em(S , T1+T2) =em(S, T1)em(S, T2).
b) em(S, T) =em(T, S)−1.
c) Si em(S, T) = 1 para todoS ∈E[m], entonces T =O.
d) Para cadaσ∈G(k/k), se cumple queem(S, T)σ =em(Sσ, Tσ). e) Si S∈E[mm0],T ∈E
m, entoncesemm0(S, T) =em(m0S, T).
Demostraci´on: a) Claramente
em(S1+S2, T) =
g(X+S1+S2) g(X+S2)
g(X+S2)
g(X) =em(S1, T)em(S2, T). Para demostrar la linealidad en la segunda componente tomamos funciones
Sea h∈k(E) tal que (h) = T3O/T1T2. Entonces (f3/f1f2) = (hm), luego
existec∈k∗ tal quef3=cf1f2hm. Componiendo con la multiplicaci´on por m
obtenemos quegm 3 =cg1mg2m(m◦h)m, luegog3=c0g1g2(m◦h). As´ı, em(S, T1+T2) = g3(X+S) g3(X) = g1(X+S)g2(X+S)h(mX+mS) g1(X)g2(X)h(mX) = em(S, T1)em(S, T2).
b) Por el apartado anterior tenemos que
em(S+T, S+T) =em(S, S)em(T, T)em(S, T)em(T, S).
Basta probar que em(T, T) = 1 para todoT ∈E[m]. Recordemos queτP representa a la traslaci´onX 7→X+P. Observemos que
≥mQ−1 i=0 τiT ◦f ¥ =mQ−1 i=0 τiT((f)) = mQ−1 i=0 ((1 +i)T)m (iT)m = 1, luego mQ−1 i=0 τiT ◦f es constante y, simT0 =T la funci´on mQ−1 i=0 τiT0 ◦g tambi´en lo
es, ya que su potenciam-sima es la multiplicaci´on pormseguida de la funci´on anterior. Evalu´andola enX yX+T0 hemos de obtener el mismo resultado:
mQ−1
i=0
g(X+iT0) =mQ−1 i=0
g(X+ (i+ 1)T0).
Cancelando t´erminos, la igualdad se reduce a
g(X) =g(X+mT0) =g(X+mT).
As´ı pues,em(T, T) = 1.
c) Siem(S, T) = 1 para todoS∈E[m], entoncesg(X+S) =g(X), para todo
S ∈E[m] y todoX ∈E donde g est´e definida. Equivalentemente, τS(g) =g, para todo S ∈ E[m]. Por 2.35 c) tenemos que g ∈ m[k(E)], es decir, que
g=m◦h, para ciertah∈k(E).
As´ı, (m◦h)m=gm=m◦f, luegof =hm, luego (h)m= (f) =Tm/Om, luego (h) =T /O, lo cual s´olo es posible siT =O.
d) Si f y g definenem para T, es claro que fσ y gσ definenem para Tσ, luego em(Sσ, Tσ) = gσ(Xσ+Sσ) gσ(Xσ) = µ g(X+S) g(X) ∂σ =em(S, T)σ. e) Sif yg definenem paraT, entonces
(fm0) =Tmm0/Omm0, (m0◦g)mm0 = (mm0◦f)m0,
luegofm0
ym0◦gdefinene
mm0 paraT. Por consiguiente
emm0(S, T) =(m 0◦g)(X+S) (m0◦g)(X) = g(Y +m0S) g(Y) =em(m 0S, T).
Una consecuencia sencilla de estas propiedades es el teorema siguiente:
Teorema 3.27 Si E/k es una curva el´ıptica y m > 1 no es divisible entre cark, una condici´on necesaria para que E[m] ⊂ E(k) es que k contenga una ra´ızm-sima primitiva de la unidad.
Demostraci´on: La imagen deemenUmes un subgrupo, digamos de orden
d|m. Entonces
1 =em(S, T)d=em(dS, T),
para todoT ∈E[m], luegodS=O para todoS∈E[m], lo cual s´olo es posible sid=m. En definitiva, la imagen deem es todoUm.
Si E[m] ⊂ E(k), entonces cada em(S, T) es invariante por G(k/k), luego
em(S, T)∈k, es decir,Um⊂k.
Veamos ahora la conexi´on de el producto de Weil con las isogenias duales:
Teorema 3.28 Si φ : E1 −→ E2 es una isogenia entre dos curvas el´ıpticas, m es un natural no divisible entre la caracter´ıstica del cuerpo de constantes y
S∈E1[m],T ∈E2[m], entonces
em(S,φˆ(T)) =em(φ(S), T).
Demostraci´on: Podemos suponer queφno es nula. Seanf yglas funcio- nes que definenemparaT en E2. Seg´un el teorema 3.10, la isogenia dual est´a
determinada por la relaci´on ˆ
φ(T)/O=φ(T /O),
luego podemos tomarh∈k(E1) tal que
(h) = Oφ(T) φ(O) ˆφ(T). Claramente, µ φ◦f hm ∂ =φ((f)) (h)m = φ(T)m φ(O)m(h)m = ˆ φ(T)m Om y µ φ◦g m◦h ∂m = m◦φ◦f (m◦h)m =m◦ µ φ◦f hm ∂ .
Esto significa que las funcionesφ◦f /hmy (φ◦g)/(m◦h) definenempara ˆ φ(T). As´ı pues, em(S,φˆ(T)) = (φ◦g)/(m◦h)(X+S) (φ◦g)/(m◦h)(X) = g(φ(X) +φ(S)) g(φ(X)) h(mX) h(mX+mS) = g(φ(X) +φ(S)) g(φ(X)) h(mX) h(mX) =em(φ(S), T).
De aqu´ı deducimos una propiedad no trivial de las isogenias duales:
Teorema 3.29 Si φ, ψ : E1 −→ E2 son dos isogenias entre curvas el´ıpticas,
entonces φ\+ψ= ˆφ+ ˆψ.
Demostraci´on: Seaχ = φ\+ψ−φˆ−ψˆ. Hemos de probar que χ = 0. Para ello basta probar que χ se anula sobre todos los grupos E2[m], donde m
no es divisible entre la caracter´ıstica del cuerpo de constantes, ya que entonces su n´ucleo ser´a infinito. TomamosS∈E1[m],T ∈E2[m], de modo que
em(S, χ(T)) = em(S,φ\+ψ(T))em(S,φˆ(T))−1em(S,ψˆ(T))−1 = em((φ+ψ)(S), T)em(φ(S), T)−1em(ψ(S), T)−1
= em(φ(S), T)em(ψ(S), T)em(φ(S), T)−1em(ψ(S), T)−1= 1,
luegoχ(T) = 0, para todoT ∈E2[m].
Como aplicaci´on probamos lo siguiente:
Teorema 3.30 Sea E una curva el´ıptica y φ∈End(E). Entonces
φ+ ˆφ= 1 + gradφ−grad(1−φ)∈Z.
Demostraci´on: El teorema se cumple trivialmente si φ = 0. En caso contrario
grad(1−φ) = (1−φ)(1\−φ) = (1−φ)(1−φˆ) = 1−φ−φˆ+ gradφ.
Finalmente, veamos que podemos unir todos los productoseln en un ´unico
producto sobreTl(E).
SeaEuna curva el´ıptica sobre un cuerpoky sealun primo distinto de cark. SeaUln el grupo de las ra´ıcesln-´esimas de la unidad enk. Observemos que, al
igual que hemos obtenido el anillo de enterosl-´adicosZlcomo l´ımite proyectivo de los anillosZ/lnZ, podemos obtenerlo igualmente a partir de los gruposU
ln
con las aplicacionesUln+1−→Uln dadas porζ7→ζl.
Concretamente, tomamos una ra´ız l-´esima primitiva ζ1 ∈ Ul y vamos to- mando inductivamente ra´ıcesζn ∈Uln de modo queζnl+1 =ζn. De este modo
tenemos diagramas conmutativos
Z/ln+1Z // ≤≤ Uln+1 ≤≤ Z/lnZ //U ln
donde las flechas horizontales son los isomorfismos de grupos dados por [a]7→ζa n. Estos isomorfismos inducen un isomorfismo de grupos←−l´ım
n Z/l nZ
−→ ←−l´ım n Uln.
As´ı pues, podemos identificar el grupo aditivo deZlcon el grupo (multipli- cativo)←−l´ım
n Uln.
Ahora fijemosx, y∈Tl(E), de modo queπn(x),πn(y)∈E[ln], luego pode- mos calculareln(πn(x), πn(y))∈Uln. Estos elementos determinan un elemento
del l´ımite proyectivo, pues
eln+1(πn+1(x), πn+1(y))l=eln+1(πn+1(x), lπn+1(y))
=eln(lπn+1(x), lπn+1(y)) =eln(πn(x), πn(y)).
Llamamose(x, y)∈Zla la imagen de este elemento por el isomorfismo entre el l´ımite proyectivo yZl. El teorema siguiente es inmediato:
Teorema 3.31 SiE es una curva el´ıptica yl es un primo distinto de la carac- ter´ıstica del cuerpo de constantes, entonces existe una aplicaci´on
e:Tl(E)×Tl(E)−→Zl
que verifica:
a) e(S1+S2, T) =e(S1, T) +e(S2, T), e(S , T1+T2) =e(S, T1) +e(S, T2).
b) e(S, T) =−e(T, S).
c) Si e(S, T) = 0 para todoS∈Tl(E), entonces T = 0.
d) Para cadaσ∈G(k/k), se cumple quee(S, T)σ=e(Sσ, Tσ).
e) Si φ : E1 −→ E2 es una isogenia entre curvas el´ıpticas, S ∈ Tl(E1) y T ∈Tl(E2), entonces e(φ(S), T) =e(S,φˆ(S)).
Como aplicaci´on demostramos lo siguiente:
Teorema 3.32 SeaE una curva el´ıptica,φ∈End(E)y lun primo distinto de la caracter´ıstica del cuerpo de constantes. Entonces
N(φl) = detφ=φφ,ˆ Tr(φl) = 1 + gradφ−grad(1−φ) =φ+ ˆφ. En particular la norma y la traza deφl son enteros independientes del.
Demostraci´on: Tomemos una base S,T ∈Tl(E) y sea
µ
a b
c d
∂
la matriz deφlen dicha base. Entonces
(gradφ)e(S, T) =e((gradφ)S, T) =e( ˆφl(φl(S)), T) =e(φl(S), φl(T)) =e(aS+bT, cS+dT) = (ad−bc)e(S, T) = (detφl)e(S, T).
Por consiguiente gradφ= detφl. Un simple c´alculo muestra que toda matriz 2×2 cumple Tr(A) = 1 + detA−det(1−A).