Definici´on 6.7 SeaE/Kuna curva el´ıptica en P2(K) definida por una ecuaci´on
de Weierstrass entera. Llamaremosreducci´on deE/K m´oduloPa la curva (tal vez singular) en P2(k) definida por la ecuaci´on resultante de tomar restos m´odulo Pen los coeficientes de la ecuaci´on deE/K. La representaremos por ˜E/k.
Aqu´ı es crucial observar que la reducci´on ˜E/k depende de la ecuaci´on de Weierstrass considerada, de modo que dos curvas el´ıpticas isomorfas sobre K
pueden tener reducciones no isomorfas sobre k. Sin embargo, el teorema 6.2 garantiza que si tomamos dos ecuaciones de Weierstrass minimales para una misma curva el´ıptica E/K, una se transforma en la otra mediante un cambio de coordenadas entero, el cual induce un cambio de coordenadas en P2(k) que
hace corresponder las dos reducciones.
En definitiva, para una curva el´ıptica arbitrariaE/K, definimos lareducci´on ˜
E/kdeE/Km´oduloPcomo la reducci´on de cualquier curva el´ıpticaK-isomorfa aE/K definida por una ecuaci´on de Weierstrass minimal, de modo que la re- ducci´on no depende (salvok-isomorfismo) de la elecci´on de la ecuaci´on minimal. No obstante, conviene tener presente que cualquier ecuaci´on de Weierstrass en- tera, minimal o no, admite una reducci´on.
En la pr´actica, cuando hablemos de la reducci´on de una curva el´ıptica de- finida por una ecuaci´on de Weierstrass entera entenderemos que se trata de la reducci´on asociada a dicha ecuaci´on, mientras que si no hablamos de ninguna ecuaci´on en particular entenderemos que se trata de la reducci´on respecto a una ecuaci´on minimal cualquiera de la curva dada.
Consideremos una curvaE/K definida por una ecuaci´on de Weierstrass en- tera. Multiplicando las coordenadas homog´eneas de un punto de P2(K) por
una potencia adecuada deπpodemos hacer que todas sean enteras y al menos una de ellas unitaria. Esto se traduce en que los restos m´odulo P de estas coordenadas forman una terna no nula enk3y, en definitiva, tenemos una apli-
caci´on natural P2(K)−→P2(k), la cual se restringe a su vez a una aplicaci´on E(K)−→E˜(k). A esta aplicaci´on la llamaremos tambi´enreducci´onm´oduloP
y la representaremos porP7→P˜.
Llamaremos ˜Er(k) al conjunto de puntos regulares de ˜E/kcon coordenadas en k. Sabemos que puede ser todo ˜E(k) o bien ˜E(k) menos un punto (que en ning´un caso podr´a ser el neutro). El teorema 2.30 nos da que ˜Er(k) tiene estructura de grupo aunque la curva ˜E/k sea singular. Definimos
E0(K) ={P ∈E(K)|P˜∈E˜r(k)}, E1(K) ={P ∈E(K)|P˜=O}.
El conjuntoE0(K) es el de los puntos conreducci´on regular, mientras que E1(K) es eln´ucleode la reducci´on.
Teorema 6.8 Dada una curvaE/K definida por una ecuaci´on de Weierstrass entera, la reducci´on m´oduloPdetermina una sucesi´on exacta de grupos abelia- nos:
0−→E1(K)−→E0(K)−→E˜r(k)−→0.
Demostraci´on: Hemos de probar queE0(K) es un subgrupo de E(K) y
que la reducci´on es un epimorfismo de grupos. Evidentemente ˜O = O, luego
O∈E0(K). La f´ormula
−(x, y, z) = (x,−y−a1x−a3z, z)
prueba que−gP =−P˜, de donde concluimos que siP ∈Er(K) entonces tambi´en ˜
P ∈Er(K).
Consideremos ahora tres puntosP,Q,R∈E(K) tales queP+Q+R=O. Esto significa que son la intersecci´on con E de una recta r. Pongamos que la ecuaci´on deE/K esF(X, Y, Z) = 0.
Representamos cada uno de los tres puntos por una terna de coordenadas homog´eneas enteras y al menos una de ellas unitaria. Consideremos en primer lugar el caso en que dos de los puntos son distintos, por ejemploP 6=Q. Sea
Q−P=πrv, donder≥0 yvtiene coordenadas enteras, al menos una unitaria. Entonces la recta r est´a formada por los puntos L =P +tv, cont ∈K y se cumple que
dondet1∈K es el par´ametro que cumpleR=P+t1v. Despej´andolo a partir
de la coordenada unitaria dev vemos quet1∈O.
La reducci´on m´odulo P del polinomio F(P +T v) tiene por ra´ıces a los par´ametros de los puntos donde la recta ˜r corta a ˜E. En particular no puede ser id´enticamente nula (a /∈ P) y vemos entonces que dicha intersecci´on la forman los puntos ˜P, ˜Q, ˜R.
Llegamos a la misma conclusi´on si los tres puntos de partida son iguales. En tal caso tenemos que 3P =O. Llamamosr a la tangente aE porP, cuyos puntos ser´an de la formaL=P+tv, para cierto vector v que podemos tomar de coordenadas enteras y al menos una unitaria. Ahora F(P +T v) = aT3 y
como antes razonamos que ˜P es el ´unico punto de intersecci´on de ˜rcon ˜E. En cualquier caso, si suponemos que P,Q∈Er(K), podemos concluir que ˜
P+ ˜Q+ ˜R=O, luego ˜R∈E˜(k),R∈Er(K) y ^
P+Q=g−R=−R˜= ˜P+ ˜Q.
Con esto queda probado que Er(K) es un subgrupo y que la reducci´on es un homomorfismo. Veamos que es suprayectivo.
Seaf(X, Y) =Y2+a
1XY +a3Y−X3−a2X2−a4X−a6= 0 una ecuaci´on
de Weierstrass minimal paraE/K. Tomemos un punto en ˜Er(k), que podemos suponer distinto de ˜O. Digamos que sus coordenadas de Weierstrass son (α, β). Entonces ˜f(α, β) = 0 y la regularidad se traduce —por ejemplo— en que
∂f˜
∂X(α, β)6= 0.
(La alternativa es que la derivada respecto deY sea no nula.) Fijemosy0∈O
tal que ˜y0=β y consideremos el polinomiof(X, y0)∈O[X]. Su imagen enk[X]
tiene una ra´ız simple enα, luego el lema de Hensel implica que existex0 ∈O
tal quef(x0, y0) = 0 y ˜x0=α. El puntoP= (x0, y0) est´a enE/K y ˜P ∈E˜r(k)
es el punto de partida, luego la reducci´on es suprayectiva.
Las curvas el´ıpticas se pueden clasificar por su tipo de reducci´on m´oduloP:
Definici´on 6.9 Consideremos una curva el´ıpticaE/K dada por una ecuaci´on de Weierstrass entera.
a) E tienebuena reducci´onsobreK si ˜E/k es regular. En caso contrario se dice que tienemala reducci´onsobreK.
b) E tiene reducci´on multiplicativa sobre K si ˜E/k tiene un nodo. En tal caso la reducci´on puede serracionaloirracionalseg´un lo sea dicho nodo. c) E tienereducci´on aditivasi ˜E/k tiene una c´uspide.
Los t´erminos “reducci´on multiplicativa” y “reducci´on aditiva” hacen refe- rencia al teorema 2.30. Cuando hablemos del tipo de reducci´on de una curva el´ıptica en general, se entender´a que nos referimos al tipo de reducci´on de cual- quiera de sus ecuaciones minimales.
Es f´acil saber el tipo de reducci´on de una curva el´ıptica. El teorema siguiente es una consecuencia inmediata de 2.28 y 2.30.
Teorema 6.10 Sea E/K una curva el´ıptica determinada por una ecuaci´on de Weierstrass entera. Entonces:
a) E tiene buena reducci´on si y s´olo siv(∆) = 0.
b) E tiene reducci´on multiplicativa si y s´olo si v(∆)>0y v(c4) = 0.
c) E tiene reducci´on aditiva si y s´olo siv(∆)>0yv(c4)>0.
Ejemplo Si p≥5 es un n´umero primo, las curvas siguientes tienen las pro- piedades indicadas:
Ecuaci´on minimal ∆ c4 Reducci´on enQp Y2=X3+pX2+ 1 −24·33 28·p2 buena
Y2=X3+X2+p −24·33·p2 28 multiplicativa Y2=X3+p −24·33·p2 0 aditiva
Observemos que si K0/K es una extensi´on no ramificada entonces la valo-
raci´on deK0extiende a la deKy la reducci´onE
0(K0)−→E˜r(k0) extiende a la reducci´onE0(K)−→E˜r(k). Estas reducciones determinan una ´unica aplicaci´on
E0(Knr)−→E˜r, dondeKnr es la m´axima extensi´on no ramificada deK y no indicamos el cuerpo de restos en ˜Erporque ´este es k, la clausura algebraica de
k, luego ˜Er(k) es en realidad toda la curva ˜E(salvo el punto singular si lo hay). Tenemos queKnr es un cuerpo m´etrico discreto no necesariamente completo, pero las propiedades de las reducciones sobre los grupos E0(K0) implican las
propiedades an´alogas sobre E0(Knr). Por ejemplo, la reducci´on es suprayec- tiva. As´ı, al extenderKhastaKnr obtenemos todos los puntos de ˜Er. Esto es necesario para tener la unicidad en el teorema siguiente:
Teorema 6.11 SeanE/KyE0/Kdos curvas el´ıpticas definidas mediante ecua-
ciones de Weierstrass enteras con buena reducci´on m´odulo P y φ : E −→ E0
una isogenia definida sobreK. Entonces existe una ´unica isogeniaφ˜: ˜E−→E˜0
definida sobrektal que para todo punto P ∈E(Knr)se cumpleφ˜( ˜P) =φ](P). Demostraci´on: La unicidad es evidente. S´olo hemos de probar la existen- cia. Seaπ∈Otal quevP(π) = 1. Digamos queφviene definida por
φ(X, Y, Z) = [F1(X, Y, Z), F2(X, Y, Z), F3(X, Y, Z)],
para ciertas formasFi∈O[X, Y, Z] del mismo grado. Llamemos ˜Fi∈k[X, Y, Z] a la reducci´on de Fi. Si las tres reducciones son id´enticamente nulas sobre ˜E, entonces ˜Fi = ˜HiF˜, donde F(X, Y, Z) = 0 es la ecuaci´on de Weierstrass que define aE/K. Por lo tantoFi=HiF+πGi, para ciertas formasGi∈O[X, Y, Z]. En tal casoφ(X, Y, Z) = [G1(X, Y, Z), G2(X, Y, Z), G3(X, Y, Z)] es una defi-
divide a todos losFi(P) cuandoP recorreE(Knr) (y consideramos coordenadas homog´eneas enteras paraP), vemos que elN correspondiente a las formasGies una unidad menor que el correspondiente a las formasFi, luego tras un n´umero finito de pasos llegaremos a unas formas que definen a φcon N = 0. Conser- vando la notaci´on originalFi, lo que hemos probado es que podemos suponer que una de las formas ˜Fi no es id´enticamente nula en ˜E. Esto hace que
˜
φ(X, Y, Z) = [ ˜F1(X, Y, Z),F˜2(X, Y, Z),F˜3(X, Y, Z)]
define una aplicaci´on racional ˜φ: ˜E−→E˜0. Como las curvas son el´ıpticas, ser´a
—de hecho— una aplicaci´on regular. En principio no podemos asegurar que sea una isogenia, pues para ello hace falta que ˜φ(O) =O. El diagrama
E(Knr) φ // ≤≤ E0(Knr) ≤≤ ˜ E ˜ φ //E˜0
ser´a conmutativo sobre todos los puntos P ∈E(Knr) tales que ˜Fi( ˜P)6= 0 para alg´uni. Esto lo cumplen todos los puntos ˜P salvo a lo sumo un n´umero finito de ellos. Fijamos uno ˜P y observamos que cuando ˜Qrecorre los infinitos puntos que no anulan a alguna de las formas ˜Fi, la suma ˜P+ ˜Qtoma infinitos valores distintos, luego para alguno de ellos se cumplir´a que ˜P+ ˜Q tampoco anula a alguna de las formas. Esto implica que el diagrama conmuta enP, enQy en
P+Q. Por consiguiente: ˜
φ( ˜P+ ˜Q) =φ(^P+Q) =φ](P) +φ](Q) = ˜φ( ˜P) + ˜φ( ˜Q).
Ahora bien, si ˜φ(O) =U, tenemos queφ∗= ˜φ−U es una aplicaci´on regular
que cumpleφ∗(O) =O, luego es una isogenia, luegoφ∗( ˜P+ ˜Q) =φ∗( ˜P)+φ∗( ˜Q).
Expl´ıcitamente: ˜
φ( ˜P+ ˜Q)−U = ˜φ( ˜P)−U+ ˜φ( ˜Q)−U,
pero esto implica queU = 0, luego ˜φes una isogenia. S´olo falta demostrar que el diagrama conmuta sobre todos los puntos de E(Knr). FijadoP ∈E(Knr), como antes podemos encontrar un puntoQtal que ni ˜Qni ˜P+ ˜Qanulen a las tres formas ˜Fi. Esto significa que el diagrama conmuta sobreP+Qy sobreQ. Por consiguiente:
˜
φ( ˜P) + ˜φ( ˜Q) = ˜φ( ˜P+ ˜Q) =φ(^P+Q) =φ](P) +φ](Q) =φ](P) + ˜φ( ˜Q),
luego ˜φ( ˜P) =φ](P), y el diagrama conmuta enP.
De este teorema no se sigue que si las curvas E yE0 son is´ogenas entonces
de una isogenia no nula es no nula. Esto es cierto, pero lo demostraremos en la secci´on siguiente.
Volvamos ahora al ejemplo de la p´agina 147. Consideramos las curvas en sentido abstracto, es decir, sin prefijar ninguna ecuaci´on de Weierstrass. Ob- servemos que la tercera curvaY2=X3+ptiene reducci´on aditiva enQp, pero
tiene buena reducci´on sobre K =Qp(√6p). En efecto, sobre K la ecuaci´on ya
no es minimal, sino que el cambio
X=√3p X0, Y =√p Y0
la transforma enY2=X3+ 1, con discriminante ∆ =−24·33, y as´ıv(∆) = 0.
Esto no es casual, sino que ilustra el teorema siguiente, para el que conviene introducir una clasificaci´on alternativa de los tipos de reducci´on:
Definici´on 6.12 Diremos que una curva el´ıptica E/K tienereducci´on estable m´odulo P si tiene buena reducci´on m´odulo P. Diremos que tiene reducci´on semiestable si tiene buena reducci´on o bien reducci´on multiplicativa. Diremos que la reducci´on esinestablesi es aditiva.
El teorema siguiente explica por qu´e conviene agrupar bajo un mismo con- cepto la buena reducci´on y la reducci´on multiplicativa:
Teorema 6.13 Sea E/K una curva el´ıptica.
a) SiE tiene reducci´on semiestable sobreK, entonces tiene el mismo tipo de reducci´on (buena o multiplicativa) sobre cualquier extensi´on finita de K. b) SiEtiene reducci´on inestable sobreK, entonces existe una extensi´on finita
deK sobre la queE tiene reducci´on semiestable.
Demostraci´on: a) SeaK0una extensi´on finita deK. Fijemos una ecuaci´on
de Weierstrass minimal paraE sobreK y consideremos un cambio de variables semientero
X =u2X0+r, Y =u3Y0+su2X0+t, u, r, s, t∈O0
que la transforme en una ecuaci´on minimal sobreK0. Entonces
0≤v0(∆0) =v0(u−12∆), 0≤v0(c04) =v0(u−4c4).
Por consiguiente,
0≤v0(u)≤m´ın{v0(∆)/12, v0(c4)/4}.
Si E tiene reducci´on semiestable, entonces tenemos que v(∆) = 0 o bien
v(c4) = 0, luego tambi´env0(∆) = 0 o bienv0(c4) = 0 y en ambos casosv0(u) = 0.
As´ı pues, v0(∆0) = v0(∆) y v0(c0
4) = v0(c4). Esto nos permite concluir que la
b) Supongamos primeramente que cark6= 2. Entonces podemos aplicar el teorema 2.16, que nos permite sustituir a K por una extensi´on finita sobre la queE admita una ecuaci´on de Weierstrass en forma normal de Legendre:
Y2=X(X−1)(X−λ), λ6= 0, 1.
Es f´acil ver que ∆ = 16λ2(λ−1)2, c
4 = 16(λ2−λ+ 1). Distinguimos tres
casos:
Caso 1: λ∈O,λ6≡0,1 (m´odP). Entoncesv(∆) = 0, por lo que la ecuaci´on es minimal yE tiene buena reducci´on.
Caso 2: λ∈ O, λ ≡0,1 (m´odP). Entonces v(∆) > 0 y v(c4) = 0, luego la
ecuaci´on es minimal y su reducci´on es multiplicativa.
Caso 3: λ /∈ O. Sea r =−v(λ), de modo que v(πrλ) = 0. Adjuntando a K si es necesario el elemento π1/2 podemos hacer el cambio X = π−rX0,
Y =π−3r/2Y0, lo que nos da la ecuaci´on
Y2=X(X−πr)(X−πrλ).
Esta ecuaci´on tiene coeficientes enteros y cumple v(∆) > 0, v(c4) = 0,
luego es minimal y su reducci´on es multiplicativa.
Si cark= 2 razonamos igualmente con la forma normal de Deuring. En una extensi´on deK la curvaE admite una ecuaci´on de la forma
Y2+αXY +Y =X3, α36= 27.
Se cumple que ∆ = α3−27, c
4 =α(α3−24). De nuevo distinguimos tres
casos:
Caso 1: α ∈ O, α 6≡ 27 (m´odP). Entonces v(∆) = 0, luego la ecuaci´on es minimal y tiene buena reducci´on.
Caso 2: α∈O, α≡27 (m´odP). Entoncesv(∆)>0,c4 ≡816≡0 (m´odP),
luegov(c4) = 0 y as´ı la ecuaci´on es minimal y la reducci´on multiplicativa. Caso 3: α /∈ O. Tomamos r = −v(α) y hacemos el cambio X = π−2rX0,
Y =π−3rY0, con lo que la nueva ecuaci´on es
Y2+πrαXY +π3rY =X3,
que cumple ∆ =π9r((πrα)3−27π3r)≡0 (m´odP) y
c4=πrα((πrα)3−24π3r)≡(πrα)46≡0 (m´odP).
As´ı pues, v(∆)>0, v(c4) = 0, la ecuaci´on es minimal y su reducci´on es
Todav´ıa podemos decir m´as sobre el tipo de reducci´on de una curva en una extensi´on:
Teorema 6.14 Una curva el´ıptica E/K tiene reducci´on estable en una ex- tensi´on finita deK si y s´olo si j(E)∈O.
Demostraci´on: Supongamos que E tiene reducci´on estable en una ex- tensi´onK0 de K. Entonces v0(∆0) = 0 yv0(c0
4)≥0, luego v0(j(E))≥0 y esto
implica quev(j(E))≥0.
Rec´ıprocamente, supongamos quej(E)∈O. Consideremos primeramente el caso en que cark6= 2. Entonces podemos extender K de modo queE admita una ecuaci´on en forma normal de LegendreEλ. Entonces
j(E) = 28(λ
2−λ+ 1)3 λ2(λ−1)2 .
As´ı pues,λcumple
(λ2−λ+ 1)3−2−8λ2(λ−1)2= 0.
De aqu´ı se sigue queλ∈O,λ6≡0,1 (m´odP) y como en el teorema anterior concluimos queE tiene reducci´on estable.
Si cark = 2 consideramos una ecuaci´on en forma normal de Deuring, de forma que
j(E) = α
3(α3−24)3 α3−27 .
Razonando an´alogamente vemos que α ∈ O y α3 6≡ 27 (m´odP), luego la
ecuaci´on es minimal y su reducci´on es estable.
Por ´ultimo observamos que para que cambie el tipo de reducci´on de una curva con reducci´on inestable es necesario que la extensi´on deKsea ramificada:
Teorema 6.15 SeaE/K una curva el´ıptica dada por una ecuaci´on de Weiers- trass minimal y sea K0/K una extensi´on no ramificada. Entonces la ecuaci´on
deE sigue siendo minimal sobreK0 y, en consecuencia, el tipo de reducci´on es
el mismo sobre ambos cuerpos.
Demostraci´on: Supongamos que cark6= 2,3. Entonces el teorema 6.4 nos da que la ecuaci´on de E/K cumplev(∆)<12 ov(c4)<4 (ver la observaci´on
tras el teorema). Como la extensi´on K0/K es no ramificada, la valoraci´on de
K0 extiende a la deK, luego la ecuaci´on tambi´en es minimal sobre K0.
Supongamos ahora que cark = 3. Supongamos que existe un cambio de variables semientero (respecto deO0) que transforma la ecuaci´on minimal (sobre
K) en otra ecuaci´on entera con menorδP. Diremos que tal cambio esreductor y vamos a probar que entonces existe un cambio de variables reductor definido sobreO, lo que contradice la minimalidad sobreK de la ecuaci´on de partida.
Como cark6= 2, podemos aplicar cambios de variables enteros para trans- formar tanto la ecuaci´on minimal de partida como la ecuaci´on reducida en ecua- ciones de Weierstrass de tipo b. La composici´on del cambio reductor con estos dos cambios enteros sigue siendo un cambio reductor, luego podemos suponer que ´este pasa de una ecuaci´on de tipo b en otra de tipo b.
Si el cambio reductor est´a determinado por u, r, s, t ∈ O, el teorema 2.6 muestra que el hecho de que sea reductor equivale a que v(u)>0. M´as a´un, dicho teorema implica que podemos haceru=π, pues con ello estamos multi- plicando cada coeficientea0
i por un entero, luego los a0i siguen estando en O0 y el cambio sigue cumpliendov(u)>0, luego sigue siendo reductor.
La ecuaci´on de a1 implica que s = 0 y la de a3 que t = 0. El cambio se
reduce, pues, a
X =π2X0+r, Y =π3Y0, r∈O0.
Sea S ⊂O un conjunto de representantes de las clases de k, de modo que todo elemento deOse expresa de forma ´unica como P
i≥0
siπi. Podemos extender
S a un conjunto similarS0 paraO0.
Vamos a probar que siρ∈O0 podemos sustituirrporr+ρπ2de modo que
el cambio de variables sigue siendo reductor. Esto implica que podemos suponer quer=r0+r1π, conr0,r1∈S0.
En efecto, nos basamos en las ecuaciones
π2b0 2=b2+ 12r, π4b0 4=b4+rb2+ 6r2, π6b0 6=b6+ 2rb4+r2b2+ 4r3.
Llamamos g2(r), g4(r), g6(r) a los miembros derechos. Hemos de probar
que πi | g
i(r+ρπ2), parai = 2,4,6, lo que justifica que los coeficientes de la ecuaci´on transformada siguen siendo enteros. Ahora bien:
g2(r+ρπ2) = g2(r) + 12ρπ2= (b02+ 12ρ)π2, g4(r+ρπ2) = g4(r) +ρπ2(b2+ 12r) + 6ρ2π4
= (b04+ρb02+ 6ρ2)π4,
g6(r+ρπ2) = (b06+ 2b40ρ+b02ρ2+ 4ρ3)π6.
Ahora demostramos quer0,r1∈S, con lo quer∈Oy tenemos que el cambio
de variables est´a definido sobreO, que es la contradicci´on que busc´abamos. La ecuaci´on de b2 muestra que v(b2) ≥ 1, luego b2 = β2π, con β2 ∈ O, y
ahora la ecuaci´on deb4 nos permite concluir queb4=β4πconβ4∈O. De aqu´ı
se sigue que
g6(r)≡4r03+b6≡0 (m´odπ)
(la ´ultima congruencia porqueπ6 | g
6(r)). Esto implica que ˜r0 es puramente
r0∈S. (Existe un α∈O tal que ˜α= ˜r0, luego r0 es el primer coeficiente del
desarrollo en serie deα.)
Factoricemos 3 =κπ, conκ∈O(si carK= 3 es κ= 0). Un simple c´alculo nos da que
g4(r) =b4+r0b2+ 6r20+π2(r1β2+ 4κr0r1+ 6r12),
g6(r) = (b6+2r0b4+r20b2+4r03)+2πr1(b4+b2r0+6r20)+π3(r21β2+4κr0r21+4r13).
Sustituyendo la primera ecuaci´on en la segunda obtenemos
π6b06= (b6+ 2r0b4+r02b2+ 4r03) + 2r1b04π5−π3(8r13+r12(4κr0+β2)).
De aqu´ı deducimos que el primer par´entesis del segundo miembro ha de ser de la formaβπ3, conβ∈O. Dividiendo entreπ3 pasamos a que
8r13+r12(4κr0+β2)≡ −β(m´odπ),
pero por otra parteπ2b0
2= (β2+ 4κr0)π+ 4κr1π2, de donde
4κr0+β2≡0 (m´odπ).
En definitiva, llegamos a la congruencia r3
1 ≡β (m´odπ), de la que se sigue
que ˜r1 es puramente inseparable sobrek, luego est´a enk yr1∈S.
El caso cark= 2 es an´alogo, s´olo que requiere m´as c´alculos. El planteamiento es el mismo, pero ahora no podemos suponer que las ecuaciones sean de tipo b y hemos de trabajar con las f´ormulas para losai en lugar de losbi. De todos modos, mediante un cambio entero conu= 1 ys=t= 0 podemos transformar la ecuaci´on para exigir quea2 = 0. Como antes, podemos suponer queu=π,
si biensytno tienen por qu´e ser nulos.
Ahora demostramos que, para todoρ, σ,τ∈O0, si cambiamos
r7→r+ρπ3, s7→s+σπ, t7→t+τ π3,
el nuevo cambio de variables sigue siendo reductor, lo que nos permite suponer que
r=r0+r1π+r2π2, s=s0, t=t0+t1π+t2π2,
donde todas las variables con sub´ındices representan elementos deS0.
Ahora las ecuaciones son:
πa0 1 =a1+ 2s, π2a0 2 =−sa1+ 3r−s2, π3a0 3 =a3+ra1+ 2t, π4a0 4 =a4−sa3−(t+rs)a1+ 3r2−2st, π6a0 6 =a6+ra4+r3−ta3−t2−rta1.
Llamamosfi(r, s, t) a los miembros derechos. Las tres primeras ecuaciones implican que a1 =α1π, a3 =α3π, con αi ∈ O, as´ı como que r ≡s2(m´odπ). Expresamos 2 =κπ, conκ∈O.
Realizamos las sustituciones una a una. Primero cambiamos s 7→ s+σπ. Hemos de probar que los coeficientes a0
i siguen siendo enteros o, lo que es lo mismo, queπi |fi(r, s+σπ, t). Por ejemplo,
f4(r, s+σπ, t) =f4(r, s, t)−σπ2(α3+rα1+κt) =π4a04−σπ4a03.
Ahora cambiamos r7→r+ρπ3. Detallamos por ejemplo el casoi= 6: f6(r+ρπ3) = π6a06+ρπ3a4+ 3r2ρπ3+ 3rρ2π6+ρ3π9−ta1ρπ3
≡ ρπ3(a4+ 3r2−ta1)
≡ ρπ3(π4a04+s(a3+ra1+ 2t)) ≡ ρπ3sπ3a03≡0 (m´odπ6).
El cambio t7→t+τ π3 se trata similarmente.
A continuaci´on demostramos quer0, r1, s0, t0, t1 ∈S. La ecuaci´on dea4
nos da que 3r2+a
4≡0 (m´odπ), luegor02+a4≡0 (m´odπ). Esto implica que
˜
r0es puramente inseparable sobre k, luegor0∈S.
La ecuaci´on dea6 implica que a6+ra4+r3−t2 ≡0 (m´odπ), con lo que a6+r0a4+r03−t20≡0 (m´odπ). Esto prueba que ˜t0es puramente inseparable
sobrek, luego t0∈S. De la ecuaci´on dea2 obtenemos ques0∈S.
Ahora reducimos la ecuaci´on dea2 m´oduloπ2:
−sα1π+ 3r1π+ (3r0−s0)≡0 (m´odπ2).
La congruencia r ≡ s2(m´odπ) implica 3r
0−s20 ≡ 0 (m´odπ). Pongamos
que 3r0−s20=λπ, conλ∈O. Entonces
−sα1+r1+λ≡0 (m´odπ).
Esto implica que ˜r1∈k, luegor1∈S. Por ´ultimo reducimos la ecuaci´on de a6 m´oduloπ3:
π2(r2(a4+ 3ρ2)−t1(α3+κt0+ρα1)−t21)≡γ(m´odπ3),
dondeρ=r0+r1πyγ∈O. Esto implica queγ=π2γ0, conγ0∈O, con lo que r2(a4+ 3ρ2)−t1(α3+κt0+ρα1)−t21≡γ0(m´odπ).
La ecuaci´on dea4implica que el primer par´entesis es nulo m´oduloπ, y la de a3implica lo mismo para el segundo. As´ı pues,t21+γ0≡0 (m´odπ) y concluimos
como siempre quet1∈S.
Por el contrario, no podemos asegurar que r2 y t2 est´en en S. Veamos lo
m´aximo que podemos decir. En la ecuaci´on de a6 sustituimos r = ρ+r2π2, t=τ+t2π2(con ρ,τ ∈O), tomamos congruencias m´oduloπ6y agrupamos en
un ´unico t´erminoδtodos los sumandos que est´an enO:
Sustituimosa4por la f´ormula dea4yα3+κτ por la dea3: δ≡r2π2(sa3+ 2st+rsa1−3r2+ 3ρr2π2+ 3ρ2)−t2π3(ρα1+π2a03−rα1)−t22π4. Volvemos a sustituirr=ρ+r2π2: δ≡r2π2(sa3+ 2st+rsa1−3ρr2π2)−t2π3(π2a03−r2α1π2)−t22π4(m´odπ6). Equivalentemente: δ≡r2π2s(a3+ 2t+ra1)−3ρr22π4−t2π5(a04−r2α1)−t22π4(m´odπ6).
Aplicamos de nuevo la ecuaci´on dea3:
δ≡r2sa03π5−3ρr22π4−t2π5(a04−r2α1)−t22π4(m´odπ6).
De aqu´ı se sigue queδ=≤π4, con≤∈O. Dividiendo entre π4queda ≤≡ −3ρr22−t22≡r0r22+t22(m´odπ).
Ahora usamos quer≡s2(m´odπ), de donder
0≡s20(m´odπ): ≤≡(s0r2+t2)2(m´odπ).
El argumento usual de inseparabilidad nos da que ˜s0r˜2+ ˜t2 ∈k. En otros
t´erminos, existe un u∈Otal ques0r2+t2 ≡u(m´odπ). M´as expl´ıcitamente,
digamos quet2+s0r2=u+vπ, conv∈O0.
El teorema quedar´a probado si justificamos que podemos cambiar
r7→r−r2π2=r0+r1π, t7→t+s0r2π2=t0+t1π+uπ2+vπ3
de modo que el cambio de variables sigue siendo reductor, pues en tal caso sabemos que el t´ermino vπ3 tambi´en puede eliminarse, con lo que llegamos
finalmente a un cambio definido sobreO.
En la pr´actica hemos de probar que πi | fi(r−r
2π2, s0, t+s0r2π2), para
todo ´ındicei. Ve´amoslo por ejemplo parai= 4.
f4(r−r2π2, s0, t+s0r2π2) = f4(r, s0, t)−6rr2π2+ 3r22π4−2s20r2π2 ≡ −κr2π3(3r+s02)≡ −κr2π32s20
≡ −κ2r2s20π4≡0 (m´odπ4).