2.1. La dinámica del cuerpo rígido en la formulación newtoniana
2.1.4. Interacción resultante y momento de una fuerza
Sobre una partícula. La resultante de las fuerzas que concurren en una partícula se obtiene por medio de la suma vectorial de las mismas, generalmente expresando cada vector por sus componentes cartesianas y luego operando sobre una misma dirección. El método de las componentes cartesianas, para un sistema de dos dimensiones, en símbolos resulta:
𝑅x = ∑𝑛𝑖=1𝐹xi; 𝑅y = ∑𝑛𝑖=1𝐹yi
Su módulo es 𝑅 = √𝑅x2+ 𝑅y2 ; su dirección será definida por el ángulo 𝜃 = arctg ( 𝑅y
𝑅x ),
respecto a la horizontal.
Sobre un cuerpo rígido. Un cuerpo rígido puede estar sometido a la acción de distintas fuerzas aplicadas en distintos puntos del cuerpo. El módulo y la dirección de la fuerza neta sobre una partícula determina si ella acelera o no.
En la Figura 2.11 (extraída de Serway y Jewett, 2005, p.381), se muestra a una deportista que sostiene una vara rígida con sus manos, y se representan las tres interacciones que actúan sobre la vara: la gravitatoria Fg (o peso de
la vara) sobre su centro de masa en el punto C, la fuerza D ejercida por
su mano derecha en el punto A y la fuerza U ejercida por su mano izquierda en el punto B de la vara.
La fuerza resultante o neta está dada por ∑ 𝐅i y su dirección y sentido indicaran la
dirección y sentido en que acelerará el CM.
Sin embargo, hay un efecto que resulta de la posición en que están actuando estas fuerzas. Bastará observar lo que sucede si de pronto una de las manos deja de tocar la vara o si se reduce la intensidad de la fuerza que realiza la mano izquierda, por ejemplo. La vara tiende a rotar acelerando respecto a un punto. Para dar cuenta de esto se introduce la definición de momento de una fuerza respecto a un punto O como el producto vectorial
entre el vector posición r del punto de aplicación de la fuerza respecto a O, y la fuerza aplicada, 𝝉o= 𝒓 × 𝑭.
En la Figura 2.12 (adaptada de Creus, Massa y Cortés, 2007, p.183) se grafica el momento de F respecto al punto O.
El momento de fuerza es una magnitud vectorial cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a r y F, el sentido se determina mediante la regla de la mano derecha y señala el sentido de la rotación. Su módulo resulta de resolver el producto vectorial 𝜏o=
𝑟 𝐹 sen 𝜑.
El producto 𝑟 sen φ = 𝑙 es designado brazo de momento, y representa la distancia entre la recta de acción de la fuerza y el punto respecto
al cual se calcula el momento. El módulo del momento en función del brazo de momento resulta: 𝜏o = 𝐹𝑙. El mismo representa una
medida cuantitativa de la tendencia de la fuerza para iniciar o alterar la rotación del cuerpo. Una situación de aplicación básica del momento de una fuerza se presenta en el problema de nivel I, apartado 3.3.3.1, para el caso de una fuerza tangencial.
En la Figura 2.13, se observa un cuerpo al que se aplican las fuerzas F1, F2 y F3. El momento de
O 𝒍1 𝒍3 𝑭1 𝑭2 𝑭3
Figura 2.13. Momentos de Fuerzas Convención de signos: (+) Z Y X O r F M0
fuerzas resultante o momento neto respecto a un punto O, es la suma vectorial de los momentos de cada fuerza con respecto a dicho punto 𝝉0 = ∑ 𝝉i.
Los brazos de momento respectivos respecto al punto O, son 𝑙1, 𝑙2 = 0 y 𝑙3. El momento de F1, tiende a producir una rotación antihoraria, cuyo módulo es 𝐹1𝑙1, el momento de F2
respecto de O es el vector nulo, dado que su brazo de momento es cero, y el momento de
F3, cuyo módulo es 𝐹3𝑙3 tiende a producir una rotación horaria. El módulo del momento
neto se calcula según la expresión 𝜏0 neto= 𝐹1𝑙1− 𝐹3𝑙3.
En la práctica el signo se establece por medio de una convención que depende del sentido de la tendencia a la rotación que produce el momento de una fuerza. En la figura 2.13, se asignó el signo positivo a una tendencia a la rotación alrededor de O en sentido antihorario.
Una situación de aplicación del momento neto, se presenta en el problema de nivel II, apartado 3.3.3.2.
Ejemplo. Volviendo al caso de la deportista, Figura 2.11, el cálculo del módulo de la fuerza D aplicada por la mano derecha se deduce del análisis del equilibrio de los momentos de las tres fuerzas respecto al punto O, elegido en el otro extremo de la barra. En la misma, se observan los valores de las distancias horizontales entre las fuerzas y el extremo de la barra: 𝑙g para el peso de la barra 𝐅g, 𝑙U para la fuerza de la mano izquierda
𝐔 y 𝑙D para la de la derecha 𝐃. La ecuación de equilibrio de momentos resulta:
∑ 𝜏i = 𝐹g𝑙g − 𝑈 𝑙U+ 𝐷 𝑙D = 0
Si se reemplazan los brazos de momento por sus valores, queda:
2,25 Fg – (1,50 + 2,25) U + 0,75D = 0 (*)
Dado que el peso de la barra es conocido, en la última ecuación hay 2 incógnitas: los módulos de 𝐷 𝑦 𝑈. Su resolución demanda el planteo de otra ecuación. El equilibrio de fuerzas en la dirección vertical requiere que:
∑ 𝐹i = 𝐹g+ 𝐷 – 𝑈 = 0
En esta ecuación hay nuevamente dos incógnitas. De manera que para obtener la fuerza realizada por ambas manos de la persona, hay que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, utilizando el método de sustitución, se despeja U de esta última ecuación U = Fg+ D, y se reemplaza en (*):
2.25 Fg–3.75 (Fg+ D) +0.75 D = 0 Se obtiene -1.50 Fg+ 4.5 D = 0, de donde:
Es decir, la fuerza realizada por la mano derecha para mantener la vara en equilibrio es
0,34 Fg, hacia abajo, mientras que la mano izquierda realiza una fuerza hacia arriba de
1,34 Fg.