Nivel II: aro sobre radios

En la figura adjunta [Figura 3.9] se muestra un aro de radio R y masa M, montado sobre 5 radios distribuidos como se observa. Los 5 radios son varillas de masa m. El aro conjuntamente con las varillas está rotando respecto a un eje que pasa por su centro. En un determinado instante tiene aplicadas 4 fuerzas F1, F2, F3 y F4. Considerando:

R = 0,28 m; M = 2,0 kg; m = 0,15 kg; F1 = 25 N;

F2 = 12 N; F3 = 30 N; F4 = 15 N, ¿cuál es el

módulo de la aceleración angular del sistema?

El problema de nivel II plantea el caso de un rígido compuesto por elementos de geometría regular (un aro y cinco varillas), en rotación alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masa del mismo. Se pide la aceleración angular en el instante en que tiene aplicadas 4 fuerzas.

Desde el punto de vista conceptual, la resolución de este problema requiere que el estudiante identifique, por una parte, al momento de la resultante del sistema de fuerzas como la interacción responsable de la aceleración y, por otra, al momento de inercia respecto al centro de masa del sistema como la propiedad relevante en relación a la rotación.

El nivel II avanza en la modelización de un conjunto de elementos con una distribución geométrica de mayor complejidad y analiza la modificación de su velocidad de rotación bajo la interacción de un sistema de fuerzas no concurrentes.

Esto implica la consideración de nuevos entes y variables físicas a saber:

Figura 3.9. Esquema que acompaña al

enunciado del problema de nivel II F4

F3 F1

Nivel I Nivel II

Cuerpo rígido de masa única  Cuerpo rígido integrado por conjunto de masas Momento de fuerza tangencial  Momento neto del sistema no concurrente Eje de rotación en centro de masa  En el centro de masa del conjunto

Variables cinemáticas angulares  Relación causal entre momento neto y aceleración angular

Lo dicho demanda haber conceptualizado la misma relación en el nivel I y ampliarla en dos sentidos: uno dinámico y otro relacionado con la distribución de masa del cuerpo. El aspecto dinámico requiere identificar las fuerzas actuantes, diferenciar entre fuerzas tangenciales de no tangenciales, reconocer los sentidos contrarios de los momentos de fuerzas y los correspondientes brazos de momento. En relación con la distribución de masa, corresponde identificar la contribución a la inercia de rotación en el caso de los elementos en los que el eje de rotación no coincide con su centro de masa.

Resolución

Dado que el conjunto está impedido de trasladarse, puede entenderse como dato implícito que el sistema de fuerzas completo (peso P, fuerzas F1, F2, F3 y F4 y la reacción de apoyo

R ejercida por el eje) tiene resultante nula, el sistema cumple la primera condición de equilibrio. El sistema no cumple la segunda condición: es necesario evaluar el momento neto.

En un instante tiene aplicadas 4 fuerzas, dos tangenciales y dos no tangenciales. Para el caso de las fuerzas no tangenciales habrá que determinar el ángulo entre cada vector posición y el respectivo vector fuerza, a fin de realizar el producto vectorial. La determinación del momento neto implicará analizar las tendencias a la rotación de los cuatro momentos de fuerza implicados (apartado 2.1.4). Esta situación fue incluida en el enunciado 8 del Pretest (apartado 3.2.2, categoría a)

Como datos explícitos relativos al momento de fuerzas, se tiene los módulos de las 4 fuerzas, el radio del aro que es el brazo de momento de las dos tangenciales (enunciado 13 del Pretest). Como dato implícito se reconoce el ángulo entre las varillas, dado que están igualmente espaciadas (𝛼 =360°

5 = 72°), y a partir de ese valor se calculan los

ángulos requeridos en los productos vectoriales, (enunciado 10 del Pretest).

Por tanto, asumiendo una convención de signo positivo para giro antihorario, los módulos y signos de los momentos de las fuerzas tangenciales resultan:

𝑀4= 𝑟4 . 𝐹4. 𝑠𝑒𝑛 𝛼, con r4 = R = 0,28 m; F4 = 15 N; sen 90° = 1 ⟹𝑀4 = −4,20 Nm.

Los módulos y signos de los momentos de las fuerzas no tangenciales resultan:

𝑀2= 𝑟2 . 𝐹2. 𝑠𝑒𝑛 𝛼, con r2 = R/2 = 0,14 m; F2 = 12 N; α = 72º⟹ 𝑀2= +1,60 Nm.

𝑀₃= 𝑟₃ . 𝐹₃. 𝑠𝑒𝑛 𝛼; r3 = R = 0,28 m; F3 = 30 N; α = 272°=144º⟹ 𝑀₃= −4,94 Nm. El módulo y signo del momento neto del sistema de fuerzas F1, F2, F3 y F4 respecto al eje

de rotación (apartado 2.1.4) puede obtenerse realizando la suma de los vectores momentos de fuerza individuales en la dirección del eje de rotación (enunciado 9 del Pretest): 𝐌R =

∑4_𝑖=1 𝐌_𝑖 = −0,54 Nm.

La segunda cuestión que surge como diferencia con el nivel I, es el momento de inercia. En este caso habrá que considerar el aporte de cada elemento a la inercia a la rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del conjunto. Dado que el centro de del aro, coincide con el centro del conjunto, el momento de inercia para un aro respecto a un eje en su centro de masa es 𝐼𝑎 = 𝑚𝑅2, de Tabla 2.1. En el caso de las varillas, el eje

de rotación pasa por un extremo de las mismas (enunciado 11 del Pretest). En este caso se podría recurrir al teorema de ejes paralelos (apartado 2.1.7), o bien buscar en la tabla, el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el extremo de una varilla. Con cualquiera de los dos procedimientos resulta 𝐼𝑣 =

1 3 𝑚𝑅

2_.

El momento de inercia del conjunto respecto a un eje de rotación en el centro del conjunto se obtiene por la suma aritmética del momento de inercia del aro respecto a su centro de masa más el momento de inercia de las cinco varillas respecto al extremo de las mismas. Los datos explícitos a utilizar son la masa y el radio del aro, y las masas de cada una de las 5 varillas (enunciado 12 del Pretest). Resulta:

𝐼𝑜 = 𝑀𝑅2+ 5 3 𝑚𝑅

2_{, con R = 0,28 m; M = 2,0 kg y m = 0,15 kg, 𝐼}

𝑜= 0,18 kg m2

Finalmente con la 2° ley de Newton generalizada se obtiene el módulo de la aceleración angular instantánea: ∝ =𝑀𝑅

𝐼𝑜 = 2,8 s

−2

Trayectoria didáctica en el CD

La organización de la trayectoria autónoma se conforma por las mismas 5 páginas (1, 2, 3, 12 y 13) que se esquematizaron en la Figura 3.6. Si en la página (3) el estudiante opta con un clic por trayectoria orientada, o bien da la respuesta autónoma incorrecta enlazará con el subproceso momento de inercia del conjunto aro y varillas respecto al eje central.

En la primer página (4), de índole conceptual, se reconoce la ubicación del eje de rotación; en la segunda (5) se determina el aporte de cada elemento del conjunto individualmente; en la última página (6) se calcula el momento de inercia (enunciados 11, 12 y 27 del Pretest). En la Figura 3.10 se esquematizan los 3 pasos del subproceso momento de inercia.

A continuación el estudiante accede al subproceso momento neto del sistema de fuerzas, Figura 3.11.

Figura 3.10. Problema de nivel II: subproceso momento de inercia

Figura 3.11. Problema de nivel II: subproceso momento neto

Nivel III (13) Registro reflexivo de inquietudes

Cálculo MR

(7) Paso 1: cálculo de M1 (8) Paso 2: cálculo de M2 (9) Paso 3: cálculo de M3 (10) Paso 4 cálculo de M4

Interacción docente revisa notas hasta

encontrar error (11) Resultado MR Incorrecto (12) Resultado γ Correcto γ= 3 s -2 Interacción docente correcta / incorrecta explicación y continúa Incorrecto Cálculo Io

(4) Paso 1: reconocimiento de eje De rotación

(12)

Resultado γ Interacción docente: por pasos

(5) Paso 2: expresión matemática I = m r2_{+ 5 / 3 m r}2 (6) Resultado Io (3) Elección de trayectoria (1) Lectura enunciado (2) Respuestas cualitativa

Se aplica la definición de momento de fuerza para el caso de cada una de las cuatro fuerzas presentes (páginas 7, 8, 9 y 10), se determina el ángulo entre los vectores posición y fuerza (enunciados 8, 13, 15 y 17 del Pretest), el sentido de rotación (enunciado 14 del Pretest), y se calcula el momento neto en página 11 (enunciados 9 y 16 del Pretest). Seguidamente se calcula la aceleración angular instantánea (página 12) utilizando la 2° ley de Newton generalizada (enunciado 29 del Pretest). En caso de respuesta errada, el estudiante es alertado a través de la retroalimentación, aunque podrá continuar avanzando. Antes de pasar al siguiente nivel, en la página (13) se accede a la reflexión metacognitiva.

3.3.3.3.Nivel III: sistema conectado mediante una polea de