LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA DE HILBERT

Las primeras axiomatizaciones de la geometría euclidiana que satisfacen las exigencias de Pasch fueron publicadas casi al mismo tiempo, en 1899, por Pieri y Hilbert. Pieri, preocupado como muchos de sus contemporáneos con la idea de reducir todo lo posible el número de pri­ mitivos, usa sólo dos, punto y movimiento, que combina en

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axiomas, no siempre perspicuos. Ellos determinan la «geometría absoluta», pero, como Pieri señala (1899, 176, 177), basta un pequeño complemento para convertir la teoría en geometría euclidiana o lobachevskiana, según se desee. Hilbert, más atento a promover la inteligencia que a servir a una obsesión profesoral, adopta ocho primitivos. Gracias a esta liberalidad puede enunciar axiomas tan claros y tan obviamente idóneos que su libro llegó a ser el paradigma del método axiomático del siglo xx.

EL METODO AXIOMATICO

Tres de los primitivos de Hilbert son predicados monádicos:

S es un

punto,

11

es una recta, 1;; es un plano.

Uno es un predicado triádico:

S

está entre

11 y

1;;

(conforme a los axiomas, los tres sujetos

S,

11 Y

1;;

tienen

que ser

puntos

situados en una misma

recta).

Los cuatro restantes son predicados diádicos: dos expresan relaciones de

incidencia:

de un

punto

en una

recta,

de un

punto

en un

plano;

los otros dos expresan relaciones de

congruencia,

entre

segmentos

y entre

ángulos

(un

segmento

se define como

un par de puntos,

entendiéndose que todos los puntos que hay

entre

ellos están

dentro

del segmento; también se da una definición de

ángulo).

Los axiomas de Hilbert están ordenados en cinco grupos. Los tres primeros gobiernan las relaciones de

incidencia, estar entre

y

congruen­

cia,

respectivamente. El grupo IV contiene un sólo axioma, equivalente -en el contexto de esta teoría- al Postulado V de Euclides. Así, para convertir el sistema de Hilbert en una axiomatización de la geometría 10- bachevskiana basta reemplazar el Axioma IV.l por su negación. En la primera edición de Hilbert (1899), el grupo V constaba también de un solo axioma, el llamado Postulado de Arquímedes, parafraseable así: dados dos segmentos, existe siempre un número entero

n

tal que el mayor de esos segmentos es congruente con una parte del segmento for­

mado por

n

copias colineales y contiguas del segmento más pequeño. La

teoría determinada por los grupos I-IV y este Axioma V.l admite mod­

elos no isomórficos 1. Por una parte, tenemos el espacio de la geometría

griega, que comprende todos los puntos idealmente construibles -a partir de dos puntos dados- con regla y compás. Dicho espacio es denso (hay infinitos puntos en cualquier entorno de un punto dado), pero no es continuo (por ejemplo, si

r

es la distancia entre dos puntos dados y

:re es el cociente entre el diámetro y el radio de un círculo, no hay ningún

par de puntos cuya distancia sea precisamente igual a

:rer,

lo cual obvia­ mente genera discontinuidades en todas las rectas)2. Por otra parte, te­ nemos el espacio de la mecánica moderna, en que las partículas se mue­ ven con velocidades y aceleraciones que son derivadas (primeras y segundas) de la posición espacial con respecto al tiempo. Para que estos conceptos tengan sentido el espacio tiene que ser continuo, cada recta

1. No es posible ofrecer aquí una definición precisa de la manida y abusada palabra isomó,(ico.

Véase, por ejemplo, Bourbaki (1970, E IV.6). Informalmente, podemos decir que dos sistemas de obje­ tos 50n isomórficos si realizan el mismo esquema de relaciones, para lo cual, obviamente, se requiere ante todo que ambos sistemas sean equinumerosos, es decir, que haya una correspondencia biunívoca entre los elementos de un sistema y los del otro. Por ejemplo, los días de la semana ordenados de lunes a do­ mingo constituyen un sistema isomórfico a los días de la semana ordenados, a la inglesa, de domingo a sábado. En cambio, el sistema de los siete días de la semana no es isomórfico al de los doce meses del año (ordenados de enero a diciembre), pues no hay un par de días cuya relación mutua sea homóloga a la relación entre enero y agosto.

2. Si entre los puntos construidos con regla y compás hubiese segmentos de longitud, y n" sería posible «cuadrar» el círculo de radio r: _{el área de este círculo sería igual a la del rectángulo que} tiene dichos segmentos como lados.

ROBERTO TORRETTI

tiene que ser isomórfica al sistema de los números reales. El Axioma V.2, incluido en la segunda edición de la obra de Hilbert, está destinado pre­ cisamente a asegurar que la teoría sea, como se dice,

monomórfica

o

ca­

tegórica,

esto es, que todos sus modelos sean isomórficos. Traducido, reza así:

El sistema de los puntos de una recta con sus relaciones de

orden

y

congruencia no admite ser ampliado de modo que se preserven

las relaciones entre los puntos originales, las propiedades básicas del

orden lineal

y

la congruencia implicadas por los Axiomas

I-JII y

la vali­

dez del Axioma

V.l. Evidentemente, la geometría euclidiana de la regla y el compás viola este axioma, pues sus rectas «porosas» pueden enri­ quecerse -sin modificar las relaciones de orden y congruencia entre sus puntos- con todos los puntos que hagan falta para conferirles ge­ nuina continuidad, y e! espacio resultante también satisface los Axiomas I-III y V.l.

La parte más extensa de la obra de Hilbert

(1899)

se dedica a inves­ tigar la

independencia

de ciertos axiomas y a probar la

consistencia

re­ lativa de su teoría. Estos conceptos se definirán en el apartado VII. Pero es oportuno destacar aquÍ una característica insoslayable de las teorías axiomáticas que Hilbert entendió a fondo y puso en evidencia al valerse de esos métodos. Como una teoría axiomática utiliza términos primitivos cuya denotación posible está restringida sólo por las condiciones im­ puestas en los axiomas, una teoría dada admite múltiples .realizaciones, por sistemas de objetos de Índole radicalmente diversa. Como Hilbert proclamaba en las cervecerías de Gottingen, sus

puntos, rectas

y

planos

podrían ser

sillas, mesas

y

jarras,

si entre éstas existieran relaciones como las prescritas por sus axiomas. A lo sumo, cabe exigir que la teoría sea categórica, que sus diferentes realizaciones ilustren todas un mismo esquema estructural.

In document Moulines (Ed.) (1993) - La Ciencia - Estructura y Desarrollo (página 90-92)