• No se han encontrado resultados

EL METODO AXIOMATICO EN OTRAS CIENCIAS

(1934) y Ja§kowski (1934) mostraron independientemente que en lógica se puede prescindir de axiomas adoptando reglas de inferencia apro­

XII. EL METODO AXIOMATICO EN OTRAS CIENCIAS

El asombroso éxito de la física matemática en la explicación y predicción de los fenómenos a que se refiere ha movido a muchos a pensar que con sólo imitar sus métodos sus triunfos podrían duplicarse en otros campos. En particular, se ha visto en el método axiomático -no obstante su es­ casa popularidad entre los físicos- un medio seguro para lograr la pre­ cisión y nitidez que ostensiblemente distinguen, por ejemplo, a la mecá­ nica o la electrodinámica clásicas de la neurología o la literatura com­ parada. Animados por esta idea algunos autores de mérito se han ensa­ yado en axiomatizar las más diversas disciplinas, desde la embriología

(Woodger,

1937)

hasta la historia de la ciencia (Balzer, Moulines y Sneed,

1987).

No es posible hacer aquí justicia a estos esfuerzos, pero hay que señalar que su influencia práctica ha sido insignificante. Por

ROBERTO TORRETTI

ejemplo, el reciente manual de biología matemática de Murray (1989) ni siquiera nombra a Woodger. Por cierto, no está probado que las axioma­ tizaciones propuestas hasta la fecha en biología y ciencias humanas hayan sido óptimas. Pero antes de afanarse en mejorarlas será oportuno reflexionar sobre estas palabras del padre del método axiomático: «Es propio de una persona educada buscar la precisión en cada campo sólo hasta donde la admite la misma naturaleza del asunto» (Aristóteles, Eth. Nich. 1094a23-25).

BIBLIOGRAFIA

Aristóteles (1831), Opera, G. Reimer, Berlin. 2 vols. Ex recognitione I. Bekkeris edidit Aca­

demia Regia Borussica.

Baldus, R. (1928), "Zur Axiomatik der Geometrie. I. Über Hilberts Vollstiindigkeitsa­

xiom»: Malhemali�The Anna/en 100,321-333.

Balzer, W., C. U. Moulines y J. D. 5need (1987), An Archileclonic Jor Science: The slruclu­ ralisl program, D. Reidel, Dordrecht.

Bartelborth, P. (1988), Eine logische Rekonslruklion der klassischen Eleklrodynamik, Peter

Lang, Frankfurt a. M.

Birkhoff, G. y J. von NeumalID (1936), "The Logic of Quantum Mechanics»: Almals qf Ma­ lhelllalics 37,823-843.

Bolyai, J. (1832), "Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut fal­ sitate Axiomatis XI Euclidei (a priori ha ud unquam decidenda) independentem», en F. Bolyai, Tenlamenjuvenlutem studiosam in demenla malheseos pura: elemenlaris ac mbli­ mioris, lIlethodo intuitiva, evidenliaque huic propria, inlroducendi, Tomus primus, J. et 5. Kali, Maros Vasarhely.

Bostock, D. (1974), Logic and Arillullelic: Natural Number.l', Clarendon Press, Oxford. Bourbaki, N. (1970), Théorie des ensembles, Hermann, Paris.

Bunge, M. (1967), Foundations oJ Physics, 5pringer, Berlin. Bunge, M. (1974), Method, Model and Maller, D. Reidel, Dordrecht.

Cohen, P. J. (1963-64), "The independence of the continuum hypothesis»: Proceedings oJ the Nalional AcadelllY oJ Sciences 5 O; 1143-1148; 51; 105-110.

Cohen, P. J. (1966), Sel Theory and lhe Conlinuwn HYPOlhesis, W. A. Benjamin, New York. Descartes, R. (1641), Medilatiolles de prillla phi/osophia, en R. Descartes, (Euvres, Cerf, Paris,

vol. 7, ed. por C. Adam y P. Tannery.

Einstein, A. (1905), "Zur Elektrodynamik bewegter Karpep>: Allna/en der Physik (4) 17,

891-921.

Einstein, A. (1934), Mein Weltbi/d, Querido Verlag, Amsterdam, 2.' ed.

Einstein, A. y M. Grossmann (1913), En tw IIIj einer verallgemeinertell Relativiliitstheorie ulld einer Theorie der Gravitation, Teubner, Leipzig.

Euclides, Elementa, Teubner, Leipzig, 5 vols., ed. I. L. Heiberg.

Fraenkel, A. A. (1922), "Zu den Grundlagen der Camor-Zermeloschen Mengenlehre»:

Mathemalische Annalen 86, 230-237.

Frege, G. (1879), Begrijj.i·chrift, eille der aritlunelisdl llachgebildelell ForllleLlprache, Louis Ne­ bert, Halle a.5.

Frege, G. (1893), Grundgeselze der Arithmelik, begriffschriftlich abgeleilel, 1. Band, Olms,

Hildesheim. Reproducción facsimilar de la primera edición publicada en Jena en 1893.

Freudenthal, H. (1974), "The impact of von 5taudt's foundations of geometry», en R. 5. Cohen el al. (eds.), For Dirk Slruik, D. Reidel, Dordrecht, 189-200.

EL METO DO AXIOMATICO

Galileo Galilei (1638), Discorsi e dimostrazioni malelllaliche inlomo a due nuove scienze alle­ nenli al/a Mecanica & i Movilllenli Locali, Appresso gli EIsevirii, Leida.

Galileo Galilei (1966), Le Opere, G. Barbera, Firenze, 20 vols., Nuova ristampa della Edi­ zione Nazionale.

Giihde, U. (1983), T-Theorizitiil und Holismus, Peter Lang, Frankfurt a. M. /Bern. Gentzen, G. (1934), «Untersuchungen über das logische Schliessen»: Malhemali.l"che Zeil­

schrifl39, 176-210, 405-43l.

Gade!, K. (1930), «Die Vollstiindigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls»: Mo­ natshefle für Malhematik l/nd Physik 37,349-360.

Gade!, K. (1931), «Über formal unentscheidbare Siitze der Principia Malhemalica und ver­ wandter Systeme»: Monatshefte für Malhelllalik /l/Id Physik 38, 173-198.

Gade!, K. (1938), «The consistency of the Axiom of Choice and the Generalized Conti­ nuum Hypothesis»: Proceedings of Ihe Nalional Academy of Seienees 24, 556-557. Gade!, K. (1939), «Consistency-proof for the Generalized Continuum Hypothesis»: Pro­

ceedings of lhe National AcadelllY of Sciences 25, 220-224.

Gade!, K. (1940), The Consistency of Ihe Axiom of Choice and of Ihe Generalized Conlinl/wll Hypolhesis wilh Ihe Axioms of Sel Theory, Princeton University Press, Princeton.

Herbrand, J. (1929), «Non-contradiction des axiomes arithmétiques»: COlllples rendl/s de l'Acadélllie des Sciences 188, 303-304.

Hilbert, D. (1922), «Neubegründung der Mathematik. Erste Mittheilung»: Abhandlullgen aus delll Malhematischen Seminar der Halllbllrgischen Universitiil 1, 157-177.

Hilbert, D. (1923), «Die logischen Grundlagen der Mathematib: Mathemalische Annalen

88,151-165.

Hilbert, D. (1899), «Grundlagen der Geometrie», en Feslschrift zllr Feier der Enlhüllwlg des Gallss-Weber-Denklllals in GÜltingen.

Jasowski, S. (1934 ),«On the rules of supposition in formal logic»: Stlldia Logica, 1, 5-32.

Lobachevsky, N. 1. (1829-30), «O nachalakh geometrii»: Kasanski Veslnik, marzo 1829, 178-87; abril 1829, 228-41; nov.-dic. 1829,227-243; marzo-abril 1830, 251-283; julio-agosto 1830,571-636.

Lobachevsky, N. 1. (1898-99), Zwei geolllelrisehe Abhalldlwlgen, Teubner, Leipzig, 2 vols.

Traducido del ruso al alemán, con notas y una biografía del autor, por F. Engel. Ludwig, G. (1970), Deulllng des BegrijJs «phY.l'ikalisehe Theorie» l/lid axiolllalische Grzllldle­

gllllg der Hilberlra/l/Ilslrllktllr der QlIallle/lllleehanik durelz Hauplsiilze des Messens, Sprin­ ger, Heidelberg (Lecture Notes on Physics, nO 4).

Ludwig, G. (1985), An Axiolllatic Basis for QlIanll/1I1 Meehanics, Springer, Berlin, 2 vols. Moulines, C. U. (1975), «A Logical Reconstruction of Simple Equilibrium Thermodyna­

mics»: Erkellntnis 9,101-130.

Moulines, C. U. (1988), «Die Entstehung und Struktur der Axiomatisierung der Mechanik durch 1. Newton», en H. Poser y C. Burrrichter (eds.), Die geselzichlliche Penpektive in den Disziplinen der Wissellsclzaftsforschung, Technische Universitiit Berlin, Berlin.

Murray, J. T. (1989), Mathell1alical Biology, Springer, Berlin.

Nagel, E. (1939), «The formation of modern conceptions of formal logic in the develop­ ment of geometry»: Osiris 7, 142-224.

Newton,1. (1687), Philosophia: naluraUs principia lIIatlzelllatica, Jussu Societatis Regia: ac Typis Josephi Streater, Londini.

Pascal, B. (1950), L'(ElIvre de Pascal, Gallimard, París. Texto establecido y anotado por J.

Chevalier.

Pasch, M. (1882), Vorlesungen über nelleren Geolllelrie, Teubner, Leipzig. Peano, G. (1889), Aritlunelices principia nova lI1elllOdo exposita, Bocca, Torino. Peano, G. (1895-1908), Forllllllaire des Malhélllaliqlles, Bocca, Torino, 5 vols.

ROBERTO TORRETTI

grafia del punto e del moto»: Memorie del/a Reale Accademia del/e Scienze di Torino, Classe di Se. Fisiche, Malhemaliche e Nalurali (2) 48, 173-222.

Platón (1.920ss), CEuvres Completes, Société d'Édition Les Belles Lettres, Paris, 13 vols. Poncelet, J. V. (1822), Traité des propriétés projectives desfigures, Bachelier, Paris. Robb, A. A. (1914), A Theory ofTime and Space, Cambridge University Press, Cambridge. Rosser, J. B. (1936), «Extensions of sorne theorems of Gódel and Church»: Joumal ofSym-

bolic Logic 1, 87-91.

Saccheri, H. (1733), El/elides ab omni IliI'VO vindicatus: sive Conalus geolllelricus quo slabi­ liunlur prima ipsa universa: geometria: principia, Ex Typographia Pauli Antoni Montani, Mediolani.

Skolem, T. (1922), «Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengen­ lehre», en Proceedings of lhe 51h Scandinavian Mathematical Congress, Helsinki, pp. 217-232.

Sneed, J. D. (1971), The Logical Slructure of Malhemalical Physics, D. Reidel, Dordrecht. Spinoza, B. de (1663), Renati Des CarIes Principiorum Philosophia: Pars 1, elll, More Ceo­

melrico demonstrala:. Apud Johannem Riewerts, Amstelodami.

Spinoza, B. de (1677), Elhica Ordine Ceomelrico demonslrala, en B. D. S., Opera Poslhuma. Apud Johannem Riewerts, Amstelodami.

Stachel, J. (1986), «Do Quanta Need a New Logic?», en R. G. Colodny, (ed.), Frolll Quarks lo Quasars: Philosophical Problems of Modern Physics, University of Pittsburgh Press, Pittsburgh, 229-347.

Stegmüller, W. (1973a), Theorie und Erfalmlllg. Zweiler Halbband. Theorienstrukluren und TheoriendYllamik, Springer, Berlin.

Stegmüller, W. (1986), Theorie und Elfalmlllg. DriUer Teilband. Die Entwicklung des neuen Strukluralisl1ll1s seit 1973, Springer, Berlin.

Torretti, R. (1990), Creative Understanding: Philosophical Rejleclions on Physics, University of Chicago Press, Chicago.

Whitehead, A. N. Y B. Russell (1910-13), Principia Mathematica, Cambridge University Press, Cambridge, 3 vols.

Woodger, J. (1937), Axiomalic MetllOd in Bio!ogy, Cambridge University Press, Cambridge. Zermelo, E. (1908), «Untersuchungen übcr die Grundlagen der Mengenlehre 1»: Malhe­

malische Anna!en 65, 261-281.

LA PROBABILIDAD Y LA CAUSALIDAD