MARCO TEÓRICO ESPECÍFICO 1 Visión de la enseñanza de la matemática

La matemática se puede considerar como un leguaje lógico que nos permite comprender los fenómenos que circundan a nuestro alrededor. El pensamiento matemático permite que los estudiantes sean capaces de comprender la justicia en la sociedad (comparar los resultados estadísticos del CENSO).Ver la diferencia entre lo que merece ser igualitario (repartir los dulces en la cantidad de amigos) y lo que debe ser equitativo (determinar el sueldo dependiendo de las horas de trabajo). También a no engañar y a reconocer cuando hay o no honestidad en las acciones (comprender cómo funcionan las rebajas o pagar con crédito en las grandes tiendas).

Los estudiantes deben tener las herramientas necesarias para tomar las mejores decisiones, y no dejarse llevar ―por la corriente‖, por lo tanto, la matemática es una herramienta de libertad, pues permite la autonomía y la no dependencia ante otro que la sociedad calificó en algún momento como poderoso.

El conocimiento es poder, pero para que este conocimiento sea efectivo, no debe ser vacío, aprendido sin un fundamento significativo. El conocimiento es poder cuando me apropio de este, y la mejor forma de hacerlo es mediante su uso en la realidad.

Por lo tanto, la matemática debe ser aprendida bajo contextos reales y significativos, no solo de la copia y repetición de ejercicios, ya que si bien estos sirven para recordar y practicar los procedimientos a realizar, primero debe existir la necesidad de descubrir cómo resolver un problema, en el cual el pensamiento

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matemático sea lo que se necesite desarrollar la persona para poder dar con la solución.

Mi visión de la matemática que espero otorgar a los estudiantes es que comprendan que estas no son solo cálculos, procesos mecánicos y repetitivos; la matemática es un lenguaje para comprender la realidad y poder tomar decisiones en base a lo que estas nos permiten comprender. Es la puerta abierta a las habilidades del pensamiento lógico, científico, matemático; son las evidencias que justificarán nuestro actuar, los datos que nos permiten evaluar los hechos y decidir ante ellos. Son las diferentes formas de llegar al resultado, siendo no este lo más importante, pues para eso ya se inventaron las calculadoras y nuestras mentes pueden hacer mucho más que ellas.

5.2.2. Enseñanza basada en la Matemática Realista

La Matemática Realista son ideas básicas en las que está centrada la enseñanza de esta, las cuales responden a las preguntas cómo y por qué de la enseñanza matemática (Alsina, 2009)

El fundador de la enseñanza de la Matemática Realista fue el Dr. Hans Freudenthal, quien no limitaba su teoría al aprendizaje, sino más bien una teoría global, una ―filosofía‖, que se concretiza en un conjunto de teorías locales de enseñanza de tópicos de la matemática.

La enseñanza basada en la Matemática Realista está basada en seis principios que se presentan a continuación:

de actividad: La matemática se considera una actividad humana. La finalidad de la matemática es matematizar (organizar) el mundo que nos rodea, incluyendo a la propia matemática. La matematización es una actividad de búsqueda y de resolución de problemas, pero también es una actividad de organización de un tema de realidad: La matemática se aprende haciendo matemática en contextos

reales. Un contexto real se refiere tanto a situaciones problemáticas de la vida cotidiana y situaciones problemáticas que son reales en la mente de los alumnos.

de niveles: Los estudiantes pasan por distintos niveles de comprensión: Situacional: en el contexto de la situación.

Referencial: esquematización a través de modelos, descripciones, etc.

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General: exploración, reflexión y generalización.

Formal: Procedimientos estándares y notación convencional. de reinvención

guiada:

Proceso de aprendizaje que permite reconstruir el conocimiento matemático formal.

de interacción: La interacción entre los estudiantes y entre los estudiantes y los profesores puede provocar que cada uno reflexione a partir de lo que aportan los demás y así poder alcanzar niveles más altos de comprensión.

de inconexión: Los bloques de contenido matemático (numeración y cálculo, álgebra, geometría,...) no pueden ser tratados como entidades separadas.

(Tomado de Alcina, 2009, pág. 121) Estos son los principios en los que se basa la visión de la matemática que fundamenta la secuencia de clases planificada.

5.2.2.1. Teoría de Situaciones Didácticas

La propuesta de clases, considera elementos de diferentes teorías y que de acuerdo a lo observado en el diagnóstico, propongo para el diseño y la implementación de la secuencia

La teoría de situaciones didácticas fue desarrollada en Francia por Guy Brousseau (1986) con esta teoría se estudian y modelan fenómenos didácticos que ocurren cuando un profesor se propone enseñar una noción, un teorema o un procedimiento a sus estudiantes (Uriza, 2000, pág. 1). Esta información nos indica que una clase basada en la teoría de situaciones tiene un carácter intencional (cómo toda clase debe tenerlo), es decir tiene el propósito explícito de que los estudiantes aprendan.

La situación didáctica está planificada en base a actividades problematizadoras, pretendiendo provocar en los estudiantes la necesidad de resolverlas; para hacerlo los educandos ponen en práctica sus conocimientos previos o en ocasiones los construyen por sí mismos en un proceso que Brousseau denominó ―genético‖ (Panizza, 1999, pág. 3).

Existe una clasificación de situaciones didácticas, las cuales ordenadas correlativamente desarrollan una clase de matemática. Estas situaciones son las siguientes:

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1. Situación de acción: se genera una interacción entre los estudiantes y el medio físico. Los estudiantes deciden cómo organizarse para resolver el problema.

2. Situación de formulación: tiene por objetivo la comunicación entre los estudiantes con un lenguaje preciso en cuanto a la resolución del problema. 3. Situación de validación: los estudiantes defienden sus conclusiones ante los demás con el objetivo de validar su solución. Esto debe contar con pruebas que demuestren su validez y la explicación coherente de estas. 4. Situación de institucionalización: son las situaciones destinadas a

establecer como curso las soluciones al problema. Es decir, se ―establecen las convenciones sociales‖ (Uriza, 2000, pág. 2).

5.2.2.1.1. Resolución de problemas

En la Teoría de Situaciones Didácticas se entiende que la clase está dividida en cuatro situaciones, tanto didácticas como a-didácticas, con el objetivo de resolver el problema de la clase. Por lo tanto, la resolución de problemas es el medio para crear el conocimiento matemático, ya que crea en los estudiantes la necesidad de resolver dicho problema. Pero ¿qué es un problema? ¿Todas las preguntas funcionarán como problemas para desarrollar el pensamiento y con esto el conocimiento matemático?

Problema no es lo mismo que ejercicio, debido a que en los ejercicios se sabe qué algoritmo utilizar para resolverlo, en cambio, en los problemas ―no es evidente el camino a seguir, incluso puede haber varios; y desde luego no está codificado ni enseñado previamente‖ (Carrasco, 2008, pág. 13)

Entonces, según Bell (1978) ―para que una situación constituya un problema para una persona, debe estar enterada de la existencia de la situación, reconocer que debe ejecutar algún tipo de acción ante ella, desear o necesitar actuar, hacerlo y no estar capacitado, al menos en lo inmediato, para superar la situación.‖ (Carrasco, 2008, pág. 12).

5.2.2.1.1.1. Desde una perspectiva psicológica

Una situación problema es recibida de esa forma por los estudiantes cuando esta provoca en los estudiantes las ansias y deseos de resolverlo. Es de su interés a tal nivel que los estudiantes están dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzo para resolver la situación problema.

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Para Polya ―los estudiantes tienen que adquirir el sentido de la matemática como una actividad; es decir, sus experiencias con la matemática deben ser consistentes con la forma en que la matemática es hecha‖ (Carrasco, 2008, pág.16).

Por esta razón Polya propone cuatro fases en las cuales los estudiantes deben enfrentarse para poder resolver un problema.

1. Comprender el problema; los estudiantes comprender claramente qué se pide en este, pues pueden responder preguntas como: ¿cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuáles son las condiciones?, entre otras.

2. Captar las relaciones que existen entre los diversos elementos; en esta etapa el docente guía a los estudiantes activando los conocimientos y experiencias previas que les permitan relacionar lo que ya conocen con el problema, para que de esta forma los estudiantes sean capaces de crear un plan de resolución al problema.

3. Poner en ejecución el plan; los estudiantes analizan detalladamente cada parte de la solución.

4. Revisar y discutir la solución encontrada; los estudiantes reflexionan sobre lo realizado, para verificar el resultado y el razonamiento utilizado. Esta etapa permite que validen los conocimientos logrados y desarrollen las actitudes y habilidades necesarias para enfrentarse a otro problema.

5.2.2.1.1.2. Desde una perspectiva didáctica

Por otro lado, desde la didáctica matemática, se entiende como problema aquello que logra provocar un desequilibrio cognitivo en los estudiantes, dando inicio a la fase de reorganización de conocimientos(Parra & Saiz, 1994), donde los nuevos saberes son integrados al saber antiguo, a veces modificado. Por lo tanto, un nuevo saber puede cuestionar a uno antiguo si este no encaja cómodamente, esto es el desequilibrio cognitivo.

5.2.3.1.1. Conocimientos Previos

De acuerdo a los Planes y Programas de estudio (MINEDUC, 2013) los conocimientos previos que deben tener los estudiantes para poder trabajar el OA 23 de sexto básico, abarca los siguientes temas:

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 Gráficos de línea y de una barra

 Posibilidad de ocurrencia de evento

5.2.4. Evaluación

En cada una de las actividades de clases se considerará, el principio de evaluación formadora (I. Bordas, 2001)el cual ve la evaluación en cada acción, en cada decisión del docente dentro del aula. Como no se puede hablar en términos tan amplios, hablaré de dos evaluaciones, en proceso y del proceso.

- Evaluación en proceso:

Dentro de las actividades que se llevan a cabo durante la implementación, se pueden tomar decisiones, determinaciones en función de las acciones realizadas en la clase. Por ejemplo, si creo necesario realizar un cambio de puesto, este se realiza en base a la evaluación del lugar en el que se encuentran los estudiantes ¿Será conveniente mantener a estos estudiantes juntos si no están trabajando? ¿A dónde lo podría sentar ahora? Esto porque evalúo su comportamiento y trato de mejorarlo para que puedan lograr su aprendizaje y no distraer a sus compañeros.

Otro ejemplo que puede demostrar la evaluación en proceso es que deba modificar las planificaciones si al evaluar los cierres de las clases me doy cuenta que los estudiantes no han logrado del todo los aprendizajes esperados.

Dentro de las evaluaciones en proceso, se realizan heteroevaluaciones, en las cuales evalúa tanto el profesor como los estudiantes. Por ejemplo, cuando un estudiante está al frente de la clase, resolviendo un problema en el pizarrón, el docente evalúa el proceso que está llevando a cabo y a la vez los estudiantes. Esto permite que se desarrolle la capacidad de los estudiantes de realizar sus propios aprendizajes, es decir, es consciente de cómo aprende.

- Evaluación del proceso:

Es la evaluación que es realizada al término de la implementación para comprobar la calidad del aprendizaje logrado por los estudiantes con la secuencia. Esto mediante la realización de una actividad previa a la implementación que abarca los temas a trabajar durante la secuencia (de carácter diagnóstico).Una vez terminada la implementación de la secuencia de clases se realiza nuevamente la misma actividad. Estas acciones tienen el objetivo de comparar las evaluaciones y así determinar la eficacia de la secuencia de clases. Los resultados de esta evaluación se encuentran en la sección de reflexiones de la secuencia de matemática.

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Por último, el colegio pidió que realizara una evaluación calificada de los aprendizajes de los estudiantes al finalizar mi secuencia de clases. El protocolo de evaluación del colegio pide que la prueba tenga un texto (de cualquier tipo) que trate sobre el contenido a evaluar en la prueba; de este texto se deben responder tres preguntas escritas. El resto de la prueba puede tener ítems de selección única, verdadero y falso, desarrollo de problemas, etc. La prueba, su rúbrica y los resultados de los estudiantes se encuentran en el apartado ―análisis de aprendizaje‖

5.2.5. Base teórica de probabilidad

Desde el inicio de los tiempos, la humanidad notó que ocurrían fenómenos naturales a su alrededor. Como en aquellos tiempos no existían estudios, demostraciones empíricas ni tecnologías que pudieran darle una explicación lógica a estos fenómenos, las organizaciones sociales justificaron estos fenómenos como acciones de los dioses en los que creían. Por esta razón en diferentes culturas se veneraba a diferentes dioses, como el dios de la tierra (Pachamama para los Incas y Mapuches), el cual explicaba la fertilidad de la tierra en la que plantaban, o del sol (Ra para los egipcios, Inti para los Incas, etc.) que explicaba las sequias o el día y la noche, entre otros.

Luego se percataron que estos fenómenos naturales ocurrían cada cierto tiempo, existía una regularidad en ellos. Entonces comenzaron a prestar mayor atención a los ―ciclos de la naturaleza‖, pues descubrieron que estos eran constantes. Fue así como descubrieron que en cierta época del año sería muy difícil cazar, debido a que los animales estaban invernando, o que las plantas no darían frutos hasta el verano, por ejemplo.

Con el pasar de los años, pudieron determinar con mayor precisión el tiempo de ocurrencia de estos fenómenos, cuanto duraba y cada cuanto tiempo se repetiría el evento. Por otro lado, las sociedades también fueron avanzando en cuanto a las tecnologías y recreaciones, por lo que por un lado, se podía demostrar empíricamente los ―ciclos de la naturaleza‖ y además surgió la idea del azar como un juego, en la que los expertos en estas recreaciones lograban predecir los resultados debido a que habían podido determinar la recurrencia de los resultados. La sociedad comienza a avanzar en el pensamiento lógico, debido a la búsqueda de la verdad a todos los fenómenos que los rodean, por lo tanto, el desarrollo de tecnologías favorece la resolución de estas inquietudes; así mismo se desarrollan estrategias para poder determinar con mayor precisión la recurrencia de estos fenómenos.

Por lo tanto, cuando se comprende que existen ciertas estrategias para resolver los problemas probabilísticos se comienza a estudiar este tema como uno de los ejes de la matemática, debido al uso de este lenguaje para poder determinar los resultados.

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Con los años la definición de probabilidad fue variando de acuerdo al contexto, la utilidad, influencias filosóficas, etc. Por lo tanto, existen variadas definiciones de probabilidad. A continuación se presentan las definiciones extraídas de Batanero (2005, pág. 256), quien muestra los significados de probabilidades, según diversos autores que se refieren al tema:

Campos de problemas Significado de la probabilidad

Definición

Sorteos Adivinación

Intuitivo ―Frases y expresiones

coloquiales para cuantificar los sucesos inciertos y expresar su grado de creencia en ellos‖. Cálculos de esperanzas o

riesgos en juegos de azar

Clásica (Laplace)

―Fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador el número de todos los casos posibles‖ Estimación de parámetros

en poblaciones

Frecuencial (Bernoulli)

Basado en la Primera Ley de los Grandes Números se define la probabilidad como ―el número hipotético hacia el cual tiende la frecuencia relativa al estabilizarse‖

Mejora del conocimiento sobre sucesos inciertos, incluso no repetibles

Subjetiva (Keynes, Ramsey y De Finetti)

―Grados de creencia personal basados en el conocimiento y experiencia de la persona, quien los asigna sobre el suceso dado. Para ellos la probabilidad de un suceso siempre está condicionada por

un cierto sistema de

conocimientos y puede ser, por tanto, diferente para ciertas personas‖.

Cuantificar la incertidumbre

de resultados en

experimentos aleatorios abstractos

Axiomática ―modelo matemático que

podemos usar para describir e interpretar la realidad de los fenómenos aleatorios, y ha demostrado su utilidad en casi todos los campos de la actividad humana…‖

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5.3. ANÁLISIS DE CONTENIDO