Matemáticas necesarias
4 4 MATEMÁTICAS NECESARIAS PARA EL ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
do de la función de salida. función de transferencia proporciona un mecanismo útil para el análisis del comportamiento y el diseño de sistemas de control. Se tratará con mayor detalle en el capítulo 3.
Inversión de la transformada de mediante
expansión de fracciones parciales
El último paso en el proceso de solución de una ecuación diferencial mediante la transfor- mada de es la inversión de la ecuación algebraica de la variable de salida, Y(s), la cual se puede representar mediante
y(t) = (2-19)
Puesto que éste es el paso más difícil del procedimiento de. solución, esta sección tie- ne por objetivo establecer la relación general entre la transformada de la variable de sali- da y su inversa y(t). Con este procedimiento se puede realizar el de la respuesta del sistema mediante el análisis de su función transformada Y(s), sin tener que invertirla realmente. A continuación se establece la relación entre y medio del método de expansión de fracciones parciales, el cual fue introducido por primera vez por el físico bri- tánico Oliver Heaviside (1850-1925) como parte de su revolucionario “cálculo operacional”. Como se vio en la sección precedente, la transformada de la salida o va- riable dependiente de una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constan- tes, se puede expresar mediante
+ + . +
+ + , + 1 (2-18)
donde:
es la transformada de de la variable de salida es la transformada de de la variable, de entrada
son los coeficientes constantes de la variable de salida y sus derivadas
. . . son los coeficientes de variable de entrada y sus derivadas. Si la tabla 1, se puede ver que la transformada de de las funcio- nes más comunes es una relación de polinomios en las variables de la transformada de
Si se supone que éste es el caso de X(s), se puede demostrar que es la relación de dos polinomios:
Y(s) = + . . . + de X(s)]
DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE 45
donde:
N(s) = + + . . . . +
= + + +
. , son los coeficientes constantes del polinomio numerador N(s) de
do
. . . son los coeficientes constantes del polinomio denominador
de grado
Nótese que se supuso que el coeficiente de en
D(s)
es unidad, lo cual se puede ha- cer sin pérdida de la generalidad, ya que siempre es posible dividir el numerador y el denominador entre el coeficiente de y cumplir con la (2-20).Se puede demostrar que la ecuación (2-20) también representa el caso en que la varia- ble de salida responde a más de una función de forzamiento de entrada; sin embargo no representa caso en que el sistema o la señal de entrada. contengan retardos de tiempo (retardos de transporte o tiempos muertos). Con el; de simplificar, por el momento no se trata este caso tan importante, ya que se considera como especial al final de esta sección.
El primer paso de la expansión de fracciones parciales es la factorización del denominador
:
=
,
+
+
=
donde . . . , son las del polinomio, es decir, los valoresde que satisfa- cen la ecuación
. . . + = (2-22)
Es conveniente recordar que un polinomio de grado puede tener hasta k raíces distintas y, como se ve, siempre se puede factorizar de la manera que se muestra en la ecuación (2-21); se observa que, al hacer igual a cualquiera de las raíces resultantes en uno de los factores (s r), éste se hace cero, y entonces
La substitución de la ecuación (2-21)’ en la ecuación, (2-20) da como resultado
Y(s) =
(2-23)
A partir de esta ecuación es posible demostrar que la transformada Y(s) se puede ex- presar como la suma de k fracciones:
Y ( s ) = AI
46 NECESARIAS PARA EL DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
donde . . . , son una serie de coeficientes constantes que se evalúan mediante: un procedimiento de series. Este paso se conoce como “expansión en fracciones parciales”.
Una vez que se expande la transformada de la salida’, como se hizo en la ecuación se puede usar la propiedad distributiva de la transformada inversa para obtener la función inversa:
Las inversas individuales generalmente se pueden determinar mediante de una tabla de transformadas de como la tabla 1.
Para evaluar los coeficientes de las fracciones parciales y completar el proceso de inversión, se deben considerar cuatro casos:
1. Raíces reales no repetidas.
2. Pares no repetidos de raíces complejas conjugadas. 3. Raíces repetidas.
4. Presencia de tiempo muerto.
A continuación se expone cada uno de estos casos. Caso 1. Raíces reales no repetidas
Para evaluar el coeficiente de una fracción que contiene una raíz real no repetida se multiplican ambos miembros de la ecuación (2-24) por el factor lo que da como resultado la siguiente ecuación, después de reordenar:
. . + (2-26)
Nótese que, como la no se repite., no hay de los factores, a excepción de los de la fracción Al hacer = en la ecuación se obtiene la siguiente fór- mula para el coeficiente
A, = r,) = (2-27)
Esta fórmula se utiliza para evaluar los coeficientes de todas las fracciones que contienen raíces reales no repetidas. La inversa de los correspondientes de Y(S) en la ecua-
ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE 47
(2-28)
Si todas las de son raíces reales no repetidas, la función inversa es
+ + . . . + (2-29)
A continuación se ilustra este procedimiento por medio de un ejemplo. Ejemplo 2-6. De la ecuación diferencial de segundo orden
+ 3 + =
en la que es la función escalón unitario (ver ejemplo 2-la), encuéntrese la función c(t) que satisface a la ecuación para el caso en el que las condiciones iniciales son cero:
= 0; (0) = 0
Paso 1. Se obtiene la transformada de de la ecuación. ,
+ + =
Paso 2. Se resuelve para C(s).
+ + 5
+ + 2
= se obtiene de la tabla 2-1. Paso 3. Se invierte, C(s).
Las raíces del polinomio denominador son
3s + 2) = 0 - 3 =
0