Sistemas dinámicos de orden superior
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Figura 4-15. Respuesta de la unidad a un cambio escalón unitario en la función de forzamiento.
= + + + 1 )
Al regresar al dominio del tiempo se tiene
= C s e n K A + + + donde = 1 (4-8 1) = constantes a evaluar
Conforme el tiempo aumenta, el término se vuelve despreciable y la respuesta alcanza una oscilación estacionaria que se expresa
RESUMEN 1 6 9
K A
+ sen +
Como se verá en el capítulo 7, tal respuesta se vuelve importante en el estudio del control automático de proceso. La oscilación estacionaria se conoce como respuesta en frecuen- cia del sistema, cuya amplitud es igual a la ganancia del sistema multiplicada por la ampli- tud de la función forzada y la atenúa el factor
+
Como se definió en la sección 3-7, la relación de amplitud para este sistema es K
+
Tanto la relación de amplitud como el retardo de fase, son funciones de frecuencia de la función de forzada. En el capítulo 7’se examina la respuesta en frecuencia de
otros sistemas de orden superior.
4-5. RESUMEN
En este capítulo se presentó el desarrollo de los modelos matemáticos con que se describe el comportamiento de los procesos de orden superior. Los procesos que se expusieron son más complejos que los del capítulo 3 en consecuencia, los modelos son también más complejos. En particular, se desarrollaron funciones de transferencia de segundo y tercer orden; los ejemplos que se utilizaron representan casos de procesos interactivos y no interactivos. También se presentaron las respuestas de estos sistemas de orden supe- rior a un cambio escalón y senoidal en las funciones de forzamiento; asimismo se descri- bieron e hicieron notar las diferencias entre estas respuestas y las de los sistemas de primer orden; probablemente la diferencia más importante sea la respuesta a un cambio escalón en la función de forzamiento; por el contrario para los de primer orden, la pen- diente inicial de la respuesta es la más pronunciada de la curva completa, de respuesta; para los sistemas de orden superior éste no es el caso, ya que la pendiente más pronunciada ocurre más tarde en la curva de respuesta.
Los sistemas de orden superior presentados en este capítulo se obtuvieron porque se componen de sistemas de primer orden en serie, es decir, dichos sistemas no son intrínse- camente de orden superior. La mayoría de los procesos industriales son como los expues- tos aquí; si existen algunos procesos intrínsecamente de orden superior, son pocos y bastante aislados. Los ejemplos típicos de sistemas intrínsecos de segundo orden que se presentan en los textos de control son elementos de medición como los de presión de tubo de Bourdon y los de mercurio, los cuales son parte del circuito total de control sin embargo, las más‘de las veces su dinámica no es significativa, en
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ración con el proceso mismo, por tal motivo no se consideran aquí y se remite al lector a las referencias 1 y 2 para consultas al respecto.
Puesto que la mayoría de los procesos industriales se compone de procesos de primer orden en serie, su respuesta dinámica de circuito abierto es sobreamortiguada, pero una vez que se cierra el circuito de control, mediante la instalación de un controlador en la retroalimentación su respuesta se puede convertir en subamortiguada; este caso se estudia en el capítulo 6.
1. C. M. y D. K. Frederich, Modeling and of
Houghton Mifflin, Boston, 1978.
2. Tyner, M. y F. P. May, Engineering Control, Ronald Press, Nueva York, 1968.
P R O B L E M A S
1. Considérese el proceso que se muestra en la figura 16, la tasa de flujo de líquido, w, a través de los tanques tiene un valor constante de 250 Se puede supo- ner que la densidad del líquido se mantiene constante a 50 al igual que la capacidad calorífica, la cual posee un valor de 1.3 el volumen de cada tanque es de 10 Las pérdidas de calor al ambiente son despreciables.
Figura 4-16. Diagrama para el problema 4-1.
PROBLEMAS 171 Se debe dibujar el diagrama de bloques donde se muestre la manera en que los cambios de la temperatura de entrada y afectan a Es necesario
anotar los valores numéricos y las unidades de cada parámetro en todas las fun- ciones de transferencia.
4-2. Considérese el proceso que se muestra en la figura 4-17, acerca del cual se sabe lo siguiente:
a) La densidad de todas las corrientes es aproximadamente igual.
b) El flujo a través de la bomba, con velocidad constante, se expresa mediante
= +
donde A y B son constantes.
c) El conducto entre los puntos 2 y 3 es más bien largo, con longitud de L, m. El flujo a través de este conducto es altamente turbulento (flujo de acoplamiento); el diámetro del es de D, m; la caída de presión entre los dos puntos es
bastante vale
Se puede suponer que los efectos de energía que se asocian a la reacción (A B) son despreciables; en consecuencia, la reacción ocurre a una temperatura cons- tante. La tasa de reacción se expresa mediante
e) El flujo a través de la válvula de salida lo da
Tanque de mezclado
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Agua pura
Figura 4-18. Diagrama para el problema 4-3.
Obténgase el diagrama de bloques donde se muestre efecto de las funciones
forzadas y sobre las variables de respuesta y
4-3. Considérese el proceso que se muestra en la figura 4-18, en el que se mezclan dife- rentes corrientes. Las corrientes 5, 2 y 7 son soluciones de agua con el componente
A; la corriente 1 es de agua pura. En la tabla 8-4 aparecen los valores de estado estacionario para cada corriente. Se deben determinar las siguientes funciones de transferencia con valores numéricos:
Y
4-4. Considérese el proceso que se muestra en la figura 4-19; a uno de los tanques entra una corriente de gas, donde se mezcla con otra corriente, la cual es A
puro; de este tanque la mezcla gaseosa fluye a un separador en donde el componente
s c f h Tanque Ib A puro minuto Ib - -
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se difunde, a de una membrana semipermeable, a un líquido puro. Se puede suponer lo siguiente:
a) La caída de presión a través de la válvula es constante, y el flujo de puro a través de esta válvula se expresa mediante
donde esta en es decir pies cúbicos
por hora). La posición de la válvula, se relaciona con la señal neumática, mediante la siguiente expresión:
b) El flujo volumétrico de salida, del tanque es igual a la suma de los flujos de entrada; el gas se comporta como un fluido incompresible.
c) El gas en el interior del tanque esta bien mezclado.
d) Se supone que el gas en el separador esta bien mezclado, lo mismo se supone para el líquido.
e) La tasa de transferencia de masa a través de la membrana semipermeable la da
donde:
= tasa de transferencia de masa, = área transversal de la membrana,
= coeficientes de transferencia global de masa,
La cantidad de componente que se difunde en el líquido no afecta
mente al flujo volumétrico de gas y, por lo tanto, se puede considerar que el flujo que sale del separador es igual al que entra.
g) La cantidad de componente que se difunde en el líquido sí afecta al flujo volu- métrico; la densidad del flujo de líquido que sale del separador se expresa mediante
Ib
Se debe hacer lo siguiente:
1. Escribir el modelo matemático del tanque. 2. Escribir el modelo matemático del separador.
3. Dibujar el diagrama de bloques donde se muestren las variables de salida
y con la manera en que las afectan y También
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fracción de de mol A
Fase rica en agua
Figura 4-20. Diagrama para el problema
4-5. Considerese la unidad de extracción que se ilustra en la figura 4-20; el objeto de la unidad es remover el componente de un compuesto rico en B. La transferencia de a un medio acuoso se realiza a través de una membrana semipermeable; en este proceso la concentración de A es una función de la posición a lo largo de la unidad y del tiempo y, por tanto, la ecuación con que se describe la concentración es una ecuación diferencial parcial (EDP) de longitud y tiempo. Los sistemas que se describen mediante EDP se conocen como “sistemas distribuidos”; en el capítu- lo 9 se presentan más sistemas de este tipo. Una manera común de proceder con las EDP es dividir la unidad en secciones o “estanques” y suponer que en cada “es- tanque” la mezcla es buena; mediante las líneas punteadas se muestra la división en “estanques’ . Mediante dicho método se encuentra que las diferenciales de longi- tud, se pueden aproximar mediante mientras más pequeños son los “estan- ques”, mejor es la aproximación.
La transferencia de masa del componente A es
=
donde:
= moles de A que se transfieren por segundo
= superficie de la membrana a través de la cual tiene lugar la trans- ferencia,
= coeficiente de transferencia, constante, mol
= fracción de mol de A en la fase líquida 1 (fase rica en componente B); el subíndice se refiere al número de “estanque’:.
= fracción de mol de A en la fase líquida 2 (fase rica en agua), la cual debe estar en equilibrio con
Con la ley de Henry se puede relacionar con la concentración real de A en la fase líquida 2.
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donde:
= constante de la ley de Henry
= fracción de mol de en la fase líquida 2
Ni el componente ni el agua se transfieren a través de la membrana y el proceso se realiza de manera Obténgase el diagrama de bloque donde se muestre có- mo afectan las funciones de forzamiento y a las variables de salida