Se invierte para obtener c(t).

(a) = = = + 2)s 2 112 Se invierte obtener c,(t) = + 2 Se aplica la ecuación (2-46): c(t) = 1) =

Nótese que el escalón unitario 1) se debe multiplicar por el expo- nencial, para indicar que c(r) = 0 cuando

Para la función escalera se ve que

=

1

+ + + . .

MATEMÁTICAS NECESARIAS PARA EL ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Es notorio que C,(s) es la misma de la parte por tanto, el resultado de pasos

de expansión e inversión es el mismo. De la aplicación de la ecuación (2-46) a cada miem- bro resulta

= 1) + 2) + 3) + . . = +

+ + .

Si ahora se desea evaluar la función en = 2.5, la respuesta es

+ + . . .

= + = 0.791

Nótese que, después de los dos primeros, todos los términos son cero.

En la tabla 2-2 se resumen los cuatro casos precedentes. Puesto que con todos estos casos se cubren esencialmente todas las posibilidades de solución de ecuaciones diferen- ciales lineales con coeficientes constantes, la correspondencia uno a uno en la tabla 2-2 hace innecesaria la inversión real de la transformada de de la variable dependien- te, debido a que generalmente se pueden reconocer los términos de la función del tiempo

y(t) en la transformada de Y(s).

Tabla 2-2 Relación entre la transformada de y su inversa y(t).,

Denominador de Y(s) 1. real no repetida de la parcial A s - r Término de y(t)

2. Par de raíces complejas conjugadas

3. real que se repite m veces r) + Cw + (s + C sen de tiempo muerto en el numerador de 4. de y(t)

DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE 5 9

estabilidad

Al revisar la tabla 2-2 es evidente del denominador de la transformada de determinan la respuesta y(t); también se puede ver que, de la ecuación algunas de las raíces del denominador de son las de la siguiente ecuación:

+ + . . + = 0

donde . . . , son los coeficientes, de, la variable dependiente y sus derivadas en la ecuación diferencial (2-17). El balance. de las raíces del polinomio denominador pro- vienen de función de entrada o de forzamiento X(s).

Se dice que la (2-49) es la de la ecuación diferencial

y del sistema cuya respuesta representa. Sus raíces se

res (del alemán que significa o “propios”) de la

ecuación diferencial, y cuyo significado es que son, por definición, de la ecua- ción diferencial e independientes de la función de forzamiento de entrada. En la tabla 2-2 se puede ver que los eigenvalores determinan si la respuesta en tiempo va a ser monótona (casos 1 y 3) u oscilatoria (caso independientemente de que la función de forzamiento tenga o no Nótese que en el caso 2 las funciones seno y coseno cau- san las respuesta (ver figura 2-1). Los eigenvalores también determinan si la respuesta es estable o no es estable.

Se dice que una ecuación diferencial es estable cuando su respuesta en tiempo perma- nece limitada (finita) para una función de forzamiento limitante. En la tabla 2-2 se ve que para que se cumpla esta condición a fin de la estabilidad, todos los eigenvulores

deben tener partes reales r negutivus, debido a que el aparece ca& uno de los términos de la posible respuesta; y, para que este exponencial permanezca finito conforme se incrementa el debe cada caso r es, o bien la real o la parte real de la raíz). La estabilidad se con en el capítu- lo 6, cuando se estudie la respuesta de los sistemas de por retroalimentación.

Raíces de los polinomios

La operación que tiempo requiere en la inversión es encontrar las raíces del polino- mio denominador, D(s), cuando es de tercer grado o debido a que el proce- dimiento para encontrar las raíces es un procedimiento iterativo o de ensayo y error. Como el tiempo es valioso, es importante utilizar métodos eficientes para encontrar las raíces del polinomio; tres de los mttodos más eficaces son:

1. Método de Newton para

2. Método de Newton-Bairstow para rafces reales complejas conjugadas. 3. Método de Müller para raíces complejas y reales.

De éstos, el de Newton es el más conveniente para el espe-

60 MATEMÁTICAS NECESARIAS PARA EL ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

mio y su derivada. Este método funciona mientras no existe más que un par de raíces complejas conjugadas.

El método Newton-Bairstow se usa generalmente factores cuadráticos (factores polinómicos de segundo grado) del polinomio con calculadoras programables. A partir de los coeficientes de cada factor se pueden encontrar dos rafces, que pueden ser reales o un par de complejas conjugadas.

El método de es el mas eficiente para encontrar las rafces, reales o com- plejas de cualquier función, sin embargo, el calculo que implica es complicado, por lo que se debe usar la aritmética de números complejos para las raíces complejas. Por tal razón este método es recomendable cuando se usa una para calcular las raíces. En el apéndice D se lista un programa en FORTRAN encontrar las rafces de un polinomio mediante el de Müller. El algoritmo el método de

Bairstow se describe en cualquier texto completo de métodos se res- tringe la presentación al de Newton.

El problema de encontrar las rafces de un polinomio se puede plantear como signe: Dado el polinomio de grado

f,,(s) + + . . +

encuéntrense todas sus raíces, esto es, todos los valores de que satisfacen la ecuación =

Los tres pasos básicos que se requieren para resolver este problema por iteración de ensa- yo y error son los siguientes:

1. Se supone una aproximación inicial 2. Se calcula una mejor aproximación

3. verifica la convergencia dentro de una tolerancia de error especificado; no esta dentro de la tolerancia, se repiten los pasos 1 y 2 hasta que se alcanza la con- vergencia.

Después de que el procedimiento converge con el valor se toma este valor la primera raíz y se determina el polinomio de grado 1 mediante

=

Entonces se repite el procedimiento iterativo para se encuentra la segunda raíz después, a fin de encontrar y así, sucesivamente, hasta encontrar las raíces. El polinomio se conoce como “polinomio reducido”.

La diferencia básica entre los diferentes métodos de iteración es la fórmula que se utiliza en el paso 2 ‘del procedimiento de iteración para mejorar la aproximación a la raíz que se busca.

SOLUCIÓN DE DIFERENCIALES LA TRANSFORMADA DE 6 1

Método de Newton. La fórmula de iteración para el método de Newton esta dada por

= f donde:

es la aproximación previa a’ la raíz es la nueva aproximación

es el valor del polinomio en

=

Esta fórmula es muy eficaz en de la cantidad de iteraciones que se requieren para aproximar la raíz con una cierta tolerancia de error; sin embargo, se necesita evaluar el polinomio y su derivada en ca& mientras que en otros se re- quiere evaluar la función a cada iteración (por ejemplo, secante, Müller). A pesar de to- do, el método de Newton puede ser eficaz para polinomios cuando se utiliza el método de multiplicaciones anidadas para evaluar el polinomio y su derivada.

Multiplicaciones anidadas. Para evaluar el polinomio de grado de la ecuación (2-49) y su derivada en se de las multiplicaciones anidadas o división sintética, el cual consiste en el procedimiento; en el que son los coe- ficientes del polinomio y y son los dos conjuntos de variables que se usan para el cálculo: 1. Para = y = 2. Para = 2, . . . , 1, 0, sea = + 1, 2, . . . Entonces =

Por lo tanto, los valores del polinomio y su derivada se calculan con sólo efectuar 2n 1 multiplicaciones y sumas; en comparación, en la evaluación directa del polinomio y su derivada se requieren multiplicaciones y 1 sumas. Para un polinomio de quinto grado, con el método de multiplicaciones anidadas se requieren 9 multiplicaciones por iteración, en lugar de

Además del significativo ahorro en cálculo, con el método de multiplicaciones anida- das se tiene la ventaja de que, cuando ya se ha encontrado la raíz, el polinomio reducido de grado (n 1) esta dado por

62 NECESARIAS PARA EL DE LOS DE CONTROL

= + + . . + bjs (2-53)

Con esto se elimina la necesidad de hacer la división de la ecuación (2-51) después de encontrar cada raíz.

Ejemplo Dada la ecuación diferencial

+ + _{+ =}

donde S(t) es la función de impulso unitario en 0; y, dado que todas las condiciones iniciales son cero:

encuéntrese la respuesta mediante la transformada de

.