3-1 PROCESO TÉRMICO

Considérese el tanque con agitación continua ilustrado en la figura 3-1, se tiene interés en conocer la forma en que responde la temperatura de salida, a los cambios en la temperatura de entrada,

En este ejemplo se supone que los flujos de y salida, la densi- dad de los líquidos y la capacidad calorífica de los líquidos son constantes y que se cono- cen todas estas propiedades. El líquido en el tanque se mezcla bien y el tanque está bien aislado, es decir, el proceso es adiabático.

La relación que se desea entre la temperatura de entrada y la de salida da resul- tado un balance de energía en estado dinámico al contenido del tanque:

=

0, en términos de la temperatura .

=

donde:

= densidad del líquido a la entrada y a la salida, respectivamente, en = capacidad calorífica a constante del líquido a la entrada y a la

salida, respectivamente, en

= capacidad calorífica volumen constante del líquido, en = volumen del líquido en

entalpia del líquido a la entrada y a la salida, = energía interna del liquido en el tanque,

TÉRMICO 93

Puesto que se supone que la densidad y la capacidad calorífica permanecen constantes, sobre todo el rango de tempetarua de operación, la última ecuación se puede escribir como

=

Ésta es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden que expresa la rela- ción entre la temperatura de entrada y la de salida: ‘Es importante señalar que en esta ecuación sólo existe una incógnita, la temperatura de entrada, T,(t), es una variable de entrada y, por tanto, no se considera como incógnita, ya que se puede especificar la forma en que cambia, por ejemplo, un cambio en escalón o en rampa. Para indicar que existe una ecuación con una incógnita se escribe:

=

1 ecuación, 1 incógnita Con la solución de esta ecuación diferencial para cierta temperatura de entrada se obtiene de la temperatura de salida como función del tiempo. temperatura de entrada se conoce como variable o función de forzamiento, ya que es la que fuerza el cambio en la temperatura de salida; la temperatura de salida se conoce como variable de o variable de respuesta, ya que es la que responde a la función de for- zamiento.

Antes de resolver la ecuación anterior se hace un cambio de variable, con el que se simplifica la solución; se escribe el balance de energía del contenido del tanque en estado estacionario:

= 0 (3-3)

Al substraer la ecuación (3-3) de la ecuación (3-2) se tiene

=

Ahora se definen las siguientes variables de desviación, como se vio en el capítulo 2:

T(r) = T(t) = T,(t) donde:

T, = valores de estado estacionario de la temperatura de entrada y de sali- da, respectivamente, C

94 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

T(t), = variables de desviación de la temperatura de entrada y de salida, res- p e c t i v a m e n t e , C

Se substituyen las ecuaciones (3-5) y (3-6) en la (3-4) y se obtiene

=

La ecuación (3-7) es la misma que la ecuación con la excepción de que esta en tér- minos de las temperaturas de desviación. La solución de esta ecuación da por resultado la temperatura de desviación, T(t), contra el tiempo, para cierta función de forzamiento

Si se desea la temperatura real de salida, T(t), se debe añadir el valor de estado estacionario a T(t), debido a la ecuación (3-5).

La definición y utilización de las variables de desviación es muy importante en el análisis y diseño de sistemas de control de proceso. En toda la teoría de control se utilizan casi exclusivamente estas variables y, por tanto, se debe comprender bien el significado e importancia de las variables de desviación. Como se explicó en el capítulo 2, con su uso se tiene la ventaja de que su valor indica el grado de desviación respecto a algún valor de operación de estado estacionario; en la práctica, este valor de estado estacionario pue- de ser el valor deseado la variable. Otra ventaja en el uso de estas variables es que su valor inicial es cero, si se supone que se comienza a partir de un estado estacionario, con lo que se simplifica la solución de las ecuaciones diferenciales semejantes ecuación (3-7). Como se mencionó, dichas variables se usan ampliamente a lo largo de este libro.

La ecuación (3-7) se puede reordenar como sigue: + T(t) = sea

de manera que

+ =

Puesto que ésta es una ecuación diferencial lineal, con la utilización de la transformada

de se obtiene

+ T(s) =

P R O C E S O T É R M I C O 95 = + 0 1 + (3-11)

La ecuación (3-11) se conoce como de transferencia; es una función de transfe- rencia de primer orden porque se desarrolla a partir de una ecuación diferencial de primer orden. Los procesos que se describen mediante esta función se denominan procesos de primer orden, sistemas de primer orden o retardos de primer orden; algunas veces tam- bién se conocen como sistemas de capacitancia única, porque la función de transferencia es del mismo tipo que la descrita por un sistema eléctrico con una resistencia y un tor (R-C).

El nombre de “función de transferencia” proviene del hecho de que con la solución de la ecuación se transfiere entrada función de forzamiento, a la salida o va- riable de respuesta, T(t). Las funciones de transferencia se tratan con más detalle en la sección 3-3.

Si se supone que la temperatura de entrada, al tanque se incrementa en gra- dos C, es decir, sufre un cambio en escalón con grados de magnitud, esto se expresa matemáticamente como sigue:,

= + A

0 como se vio en el capítulo

T,(t) = Al obtener la transformada de se tiene

De la substitución en la ecuación (3-10) se obtiene

A

=

+

y con el uso de las fracciones parciales para obtener la transformada inversa se llega a