Transmitir a los alumnos la convicción de que la matemática es una cuestión de trabajo, estudio y perseverancia y, por lo tanto, es acce- sible a todos.
Favorecer en los alumnos la aproximación y la toma de conciencia acerca del carácter histórico, cultural y social de los conocimientos matemáticos.
Relevar no sólo de qué conocimientos matemáticos disponen los alumnos, que serán apoyo para las nuevas adquisiciones, sino también qué modalidades de actividad en la clase han aprendido a llevar ade- lante en el primer ciclo, ya sea para retomarlas y profundizarlas, ya sea para instalar nuevas modalidades propias del quehacer matemático, acordes con las posibilidades de los alumnos del segundo ciclo. Gestar una enseñanza que asuma que la construcción de algunos conocimientos requiere ya no simplemente de apoyarse en conoci- mientos anteriores, sino de cuestionar concepciones previas, reco- nocer sus límites y explicitar los errores a los que pueden conducir. Favorecer que los alumnos, al haberse enfrentado a diversos tipos de problemas que ponen en juego un nuevo sentido de un conoci- miento o una nueva noción, sean capaces no sólo de utilizar los nuevos conocimientos sino también de nombrarlos y de establecer múltiples relaciones entre ellos.
Proponer situaciones de enseñanza dirigidas a que los alumnos incluyan la estimación como una herramienta que, en muchos casos, permite responder lo que se plantea y, en otros, permite orientar los procesos que han de realizarse y tener mayor control sobre ellos y sobre los resultados obtenidos.
Propiciar el inicio de prácticas de argumentación y la reflexión de los alumnos en torno al carácter de sus afirmaciones: el grado de certeza, la particularidad o la generalidad, etcétera.
Favorecer que los alumnos sientan necesidad de afinar los medios para comunicar sus procedimientos y resultados experimentando la ! ! ! ! ! ! ! !
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G o b i e r n o d e l a C i u d a d A u t ó n o m a d e B u e n o s A i r e s S e c r e t a r í a d e E d u c a c i ó n z D i r e c c i ó n d e C u r r í c u l a 550Para el primer ciclo de la escuela primaria se propuso un enfoque de la enseñanza relativa al sistema de numeración que privilegia la utilización de los números ante diversos problemas y en contextos significativos, y propicia las reflexiones de los alumnos que van a permitirles reconocer regularidades y apoyarse en ellas para producir e interpretar, comparar y operar con núme- ros. En tercer grado se inicia el análisis del valor posicional de las cifras, que ha de ser profundizado en el segundo ciclo.
En el segundo ciclo los alumnos deben trabajar para disponer de mayores conocimientos sobre el sistema de numeración, lo que se relaciona con, por un lado, enfrentar nuevos y diversos problemas que ponen en juego las propieda- des del sistema decimal y de las operaciones básicas, y, por el otro, conceptua- lizar el sistema comprendiendo la organización recursiva de los agrupamientos, el rol jugado por la base y el significado de la posición de las cifras.
CONTENIDOS
potencia del lenguaje simbólico y de las diversas representaciones matemáticas para ordenar el propio pensamiento y para comunicarlo. Favorecer que los alumnos valoren el intercambio de ideas, aprendan a sacar provecho de los momentos de trabajo en grupos o colectivos, al mismo tiempo que desarrollan medios personales para el trabajo individual y aprenden a hacerse responsables de sus producciones. Favorecer que los alumnos revisen los temas trabajados buscando localizar los aspectos que dominan bien y aquellos para los que nece- sitan practicar, estudiar, pedir ayuda, reelaborar. Enseñarles a organi- zarse para estudiar y proveerles oportunidades de volver a trabajar los aspectos en los que han enfrentado dificultades.
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ATEMÁTICA S e g u n d o c i c l o "Mayores conocimientos sobre el sistema de numeración decimal" signi-fica fundamentalmente que los alumnos sean capaces de explicitar las rela- ciones aritméticas subyacentes a un número (que no se reducen a la descom- posición polinómica) y que sean capaces de utilizar la información contenida en la escritura decimal para desarrollar métodos de cálculo, redondeo, apro- ximación, encuadramiento, etc., que les permitan resolver problemas.
Se busca que los alumnos puedan "pensar" un número de muchas mane- ras según el problema que estén enfrentando. Se debe favorecer que esta- blezcan relaciones entre los distintos objetos de trabajo. Por ejemplo: se espe- ra que en el segundo ciclo los alumnos sean capaces de explicar por qué, cuando se multiplica un número por 10, se agrega un cero, y que se apoyen para ello en su comprensión del valor posicional. ("Al multiplicar por 10, por cada unidad tengo una decena, entonces si multiplico 15 por 10, tengo 15 decenas, que son 150 unidades.") Al mismo tiempo, para avanzar en la com- prensión del valor posicional es necesario abordar las relaciones multiplicati- vas subyacentes al sistema.
La investigación de otros sistemas de numeración puede favorecer la toma de conciencia de que los conocimientos matemáticos son productos históricos, fruto del esfuerzo humano por resolver problemas, y construir nue- vos conocimientos a partir de los límites de los anteriores. Es una oportuni- dad de comprender cómo, a lo largo de siglos, distintos pueblos fueron ela- borando los recursos necesarios para el desarrollo de sus actividades, pudie- ron llegar a los mismos o equivalentes logros en los lugares más dispersos del planeta y cómo se fueron difundiendo los conocimientos.
Las actividades que se propongan a raíz de los diversos sistemas de numeración no buscan que los alumnos los dominen sino que han de consti- tuirse en una ocasión para comparar, reflexionar, etc., y les permitan acercar- se a la posibilidad de establecer cuáles son los elementos y propiedades que definen un sistema de numeración, en el marco de la finalidad englobante, que es comprender mejor el sistema de numeración decimal.
Como orientación general puede señalarse que, para que los alumnos puedan explorar los distintos sistemas, se les deben proveer algunos datos, por ejemplo, algunos números escritos en un sistema dado y la información sobre el valor de algunos signos, de modo que puedan deducir los valores de otros e intentar explicar cómo funciona tal sistema. Es importante además plantear preguntas que provoquen reflexiones sobre el sistema que se está estudiando. Éstas han de dirigirse a analizar las características del sistema en estudio: el número de símbolos empleado, el significado de los distintos sím- bolos, el uso del cero, la posición de las cifras, la base utilizada, etcétera. Por ejemplo, en relación con el sistema egipcio: "¿Por qué no necesitaban un sím- bolo para el cero?"; "El orden de los símbolos, ¿cambia el valor total del núme- ro?"; "Con los símbolos disponibles, y respetando la regla de utilizar como máximo nueve símbolos de un tipo, ¿podían escribir cualquier número?"; "¿Hasta qué número se puede escribir usando solamente los símbolos para uno, diez, cien y mil?".
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G o b i e r n o d e l a C i u d a d A u t ó n o m a d e B u e n o s A i r e s S e c r e t a r í a d e E d u c a c i ó n z D i r e c c i ó n d e C u r r í c u l a 552Sintetizando, por un lado es necesario plantear actividades diferentes que "obliguen" a los alumnos a plantearse preguntas, cuestionarse sobre nuestro sistema y profundizar sus conocimientos y, por otro lado, se debe favorecer que aprendan a apoyarse en esos conocimientos para resolver pro- blemas, desarrollar métodos de cálculo, producir argumentos.
Comprender y utilizar las cuatro operaciones básicas ha sido y es un objetivo pri- mordial de la escolaridad obligatoria. Hoy se tiene conocimiento de que se trata de adquisiciones que se extienden a lo largo de por lo menos 10 años de expe- riencia escolar, para que, al finalizarla, los alumnos sean capaces de resolver una amplia variedad de problemas aditivos o multiplicativos que involucren diversas relaciones, campos numéricos, dimensiones o magnitudes en juego, etcétera.
En el curso del primer ciclo los alumnos elaboran los primeros sentidos de las operaciones, sentidos que habrán de ser retomados, ampliados e inclu- so rechazados en favor de formulaciones más precisas en el segundo ciclo. Suele suceder que su abordaje en este ciclo no esté del todo claro. ¿Qué hay que enseñar de la suma, la resta, la multiplicación y la división una vez que los niños ya "saben" las operaciones? En el segundo ciclo se deben proponer a los alumnos múltiples situaciones que les permitan construir nuevos sen- tidos de las operaciones básicas, no sólo en cuanto a la amplitud y la diver- sidad del campo de problemas que son capaces de resolver sino también en cuanto al abordaje de las operaciones en otros campos numéricos, la explo- ración y la formulación de las propiedades, la posibilidad de utilizar la escri- tura matemática para expresar relaciones, organizar el propio pensamiento y precisar el curso de acción que se lleva ante situaciones más complejas.
Si bien el estudio de situaciones que involucran sumas y restas de números natu- rales ha sido un asunto central en el primer ciclo, se propone para el segundo ciclo profundizar los sentidos de estas operaciones a través del tratamiento de problemas que involucren para los alumnos nuevas relaciones. Por ejemplo, "Un señor jugó al Bingo dos veces. Perdió en el primer juego $345. Cuando se retira- ba, dijo que entre las dos veces había ganado $184. ¿Qué le pasó en el segundo juego?, ¿ganó o perdió?, ¿cuánto dinero?". Este problema involucra dos transfor- maciones: la primera es una pérdida, la segunda se desconoce, pero se sabe el resultado final de ambas transformaciones. No se proveen los datos de la canti- dad de dinero con la que el señor llegó al Bingo –estado inicial–, y con la que se retira del mismo –estado final–. Trabajando con éste y otros problemas similares los alumnos irán reconociendo que es posible establecer lo que sucedió en el
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UMA Y RESTA DE NÚMEROS NATURALES EN SEGUNDO CICLOG
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ATEMÁTICA S e g u n d o c i c l o segundo partido a partir de los otros datos. En este caso, dado que el segundopartido permitió compensar la primera pérdida y obtener ganancia, la suma de estos dos datos establece la cantidad de dinero ganada en dicho partido.
En este tipo de situaciones hay diferentes elementos que pueden variar- se y que influyen en el grado de dificultad y, por lo tanto, en las estrategias
que los niños ponen en juego. Algunas de estas variables didácticas3son:
- el tamaño de los números, - el lugar de la incógnita,
- el tipo de transformaciones (por ejemplo: ganancias, pérdidas, composi- ción de ambas).
Los problemas de suma y resta en los que se combinan dos o más "deu- das" también pueden aportar un nuevo sentido para los alumnos. Por ejemplo, "Adriana le debía $224 a José. Salen juntos de compras y Adriana paga $87 por un gasto de José, que no llevó dinero. Ahora quieren saldar sus deudas con un solo pago. ¿Quién le deberá pagar a quién? ¿Cuánto?".
Es necesario, además, aumentar la complejidad de los problemas de suma y resta presentando situaciones que requieran un mayor desafío de organiza- ción y lectura de la información, problemas cuyos enunciados respondan a diversas formas de presentación de la información, problemas que exijan una identificación de los datos necesarios y problemas que involucren mayor can- tidad de cálculos, sean sumas y restas u otras operaciones combinadas.
Los niños han tenido la oportunidad en el primer ciclo de incorporar recursos de cálculo y aprender a reconocer problemas en los que se utilizan las operaciones de multiplicación y división. Sin embargo, la sistematización y la profundiza- ción de la diversidad de problemas que estas operaciones resuelven, y el recono- cimiento y la formulación de sus propiedades será trabajo específico de este ciclo.
Las propiedades que caracterizan la relación de proporcionalidad4 directa son
utilizadas inicialmente por los niños en forma implícita en los procedimien- tos de resolución de un problema multiplicativo y luego –a partir de los mis- mos problemas– podrán ser estudiadas en sí mismas. Será necesario provo- car en la clase un análisis de las diferentes estrategias y de las propiedades en las que se apoyan, pertinentes o no, más o menos económicas, para poder rechazarlas o incorporarlas para nuevos problemas. Es importante señalar que las relaciones entre los números que son datos del problema pueden
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3Las variables didácticas de
una situación son aquellos aspectos cuya modificación produce cambios en las estrate- gias de resolución de los alumnos y en su relación con las nociones puestas en juego.
4La relación de proporcionalidad
ha sido definida en Matemática.
Documento de trabajo nº 4, Ac-
tualización curricular, G.C.B.A., Secretaría de Educación, Sub- secretaría de Educación, Direc- ción General de Planeamiento, Dirección de Currículum, 1997, págs. 5 a 11, y también es anali- zada en el apartado "Rela- ciones entre variables", en este documento, pág. 591.