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1][570] [P] [S] [ ] MAXIMOS Y MINIMOS

In document Ejercicios Resueltos (página 164-173)

668. Costo mínimo: Tiene que construirse una cisterna subterránea con la finalidad de albergar 100 pies cúbicos de desechos radiactivos. La cisterna tendrá forma cilíndrica. La base circular y la cara lateral, todos bajo tierra, tienen un costo de $100 por pie cuadrado y la tapa, al nivel del suelo tiene un costo de $300 por pie cuadrado debido a la necesidad de protección. Más aun, la profundidad del tanque no puede exceder los 6 pies por que una capa de dura roca está por debajo de la superficie, lo que incrementaría el costo de la excavación enormemente si se penetrara. Por último, el radio del tanque no puede exceder 4 pies por limitaciones de espacio. ¿Qué dimensiones del tanque hacen del costo un mínimo?

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Rpta: el valor mínimo absoluto de C es $15,300 y ocurre cuando r = 2.30

669. Costo promedio mínimo: La función de costo de un fabricante es

Cuando se producen x artículos por día. Si a lo más 80 artículos pueden producirse por día, determine el valor de x que da costo promedio más bajo por artículo.

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670. Ingreso y utilidad máxima: El costo de producir x artículos por semana es

Pero no más de 3000 artículos pueden producirse por semana. Si la ecuación de demanda es

Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso y el nivel que maximiza la utilidad. [1][575] [P] [S] [ ]

671. Decisiones sobre producción: La función de costo de miles de dólares es

En donde el nivel de producción x está en miles de unidades por semana. La planta productiva disponible limita a x al rango . Si cada artículo producido puede venderse en $2.50, determine el nivel de producción que maximiza.

a) El ingreso. b) La utilidad.

¿Cómo cambian sus conclusiones si la planta productiva se incrementa a con la misma función de costo?

672. Decisiones sobre producción: La ecuación de demanda del producto de una compañía es , en donde x unidades pueden venderse a un precio de $p cada una. Si le cuesta a la compañía dólares producir x unidades por semana. ¿Cuántas unidades debería producir y vender la compañía cada semana con el objetivo de maximizar la utilidad, si la capacidad de producción es a lo más:

a) de 60 unidades b) de 40 unidades? [1][575] [P] [S] [ ]

673. Tiempo mínimo de reacción: En una prueba hecha por pilotos aviadores sobre la velocidad de reacción en una crisis simulada, se encontró el tiempo total requerido para reaccionar a la crisis variada con la edad del piloto de acuerdo con la formula

sobre un rango de edad Dentro de este rango, ¿a qué edad es el tiempo mínimo de reacción?

674. Diseño de depósito: Una compañía fabrica depósitos con capacidad de 50 pies cúbicos. La base debe ser cuadrada. Debido a las limitaciones de almacenaje y transporte, el tamaño de la base y la altura no deben exceder de 5 pies. Encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad de material utilizado.

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675. Diseño de depósito: Repita el ejercicio 21 para el caso de un depósito con base circular cuyo diámetro no debe exceder de 5 pies.

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676. Modelo de costos de inventarios: Un minorista en computadoras vende 30,000 modelos personales anualmente. El costo de cada nuevo pedido es de $1200 sin importar su tamaño y el costo de almacenaje de cada computadora es de $2 anuales. Más aun, solamente se pueden almacenar 5000 computadoras a la vez. ¿Cuántas veces al año debe reordenar para minimizar su costo total?

677. Fotosíntesis: Si una planta recibe una luz de intensidad , la razón de fotosíntesis, y medidas en unidades adecuadas, se encontró experimentalmente que estaba dada por

para Encuentre los valores máximos de cuando pertenece al intervalo [1][575] [P] [S] [ ]

678. Medida de población: El tamaño de cierta población de bacterias en el tiempo t (en horas) está dado por , donde a es una constante. Un biólogo placa observa a la población durante un periodo de dos horas desde a . ¿Cuáles serán la mayor y menor razón de crecimiento que observará?

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679. Utilidad y publicidad: De acuerdo con la estimación de una empresa, la utilidad P por la venta de su nuevo producto está relacionada con el gasto publicitario x mediante la formula

Donde P y x están ambas en millones de dólares. a) Pruebe que es una función creciente de x. b) Encuentre, si existe, el límite superior de la utilidad

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680. Epidemias: durante una epidemia la influencia, el porcentaje de la población de Montereal que ha sido infectada en el tiempo esta dada por

Encuentre el tiempo en el cual es máximo y dibuje la gráfica

681. Consumo de combustible: Una empresa de camiones de carga encuentra que a una velocidad de kilómetros por hora, sus camiones consumen combustibles a razón de

litros por agua. Construya la función que da el número de litros consumidos por kilómetro a una velocidad v. haga la gráfica de la función y calcule la velocidad en la cual es mínima.

682. Producción petrolífera: La razón de producir petróleo de un manto nuevo crece inicialmente y después disminuye conforme baja la reserva. En un caso particular la razón de producción está dada por barriles diarios, donde t está en años. Dibuje la gráfica de como una función de t.

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683. La temperatura en Vancouver durante un día promedio de verano varia aproximadamente de acuerdo a la fórmula

Donde ves el tiempo en horas medidas a partir de las 6 A.M. Dibuje la gráfica de la función.

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684. Dosificación de drogas: La siguiente formula es utilizada algunas veces para calcular la dosis de una droga que se dará a un niño de edad

Donde D es la dosis de un adulto C > 0 es una constante. ¿Cuáles son las asíntotas horizontales y verticales de esta función? Dibuje la gráfica de los dos casos.

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685. Curva de transformación de productos: (Véase p. 199) Una compañía automotriz puede usar su planta para fabricar tanto automóviles compactos como grandes o ambos. Si x y y son el número de automóviles compactos y grandes que se producen (en cientos por día), entonces la relación de transformación de producción es . Exprese y como una función de x encuentre las asíntotas horizontales y verticales y dibuje su gráfica.

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686. Funciones de costo promedio. Para la función de costo siguiente C(x), bosqueje la graficas de las funciones de costo promedio correspondientes

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687. Funciones de costo promedio. Para la función de costo siguiente C(x), bosqueje la graficas de las funciones de costo promedio correspondientes

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688. Funciones de costo promedio. Para la función de costo siguiente C(x), bosqueje la graficas de las funciones de costo promedio correspondientes

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689. Funciones de costo promedio. Para la función de costo siguiente C(x), bosqueje la graficas de las funciones de costo promedio correspondientes

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690. Publicidad y utilidades: Si una A (en miles de dólares) se gasta en publicidad por semana, una compañía descubre que su volumen de ventas semanal está dado por

Los artículos se venden con una utilidad de $2 cada uno. Si P denota la utilidad neta (esto es, utilidad generada por las ventas menos costos de publicidad), exprese P como una función de A y bosqueje su gráfica.

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691. Modelo logístico: Bosqueje la gráfica de la función del modelo logístico [1][586] [P] [S] [ ]

692. Si x unidades pueden ser vendidas a un precio $p cada una, con 4p+7x=480, demuestre que el ingreso marginal nunca es creciente.

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693. La ecuación de demanda de cierto artículo es p= ¿En qué nivel de ventas x el ingreso será creciente?

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694. La ecuación de demanda de cierto artículo es p= ¿En qué nivel de ventas x el ingreso marginal será creciente?

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695. La relación de demanda de un cierto articulo está dada por p=100-ln (2x+1). Demuestre que la demanda marginal siempre es creciente.

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696. Ingreso máximo: Una compañía determina que su ingreso total se describe mediante la relación

R=750000-

En donde R es el ingreso total u x es el número de artículos vendidos. a) Encuentre el número de artículos vendidos que maximiza el ingreso total. b) ¿Cuál es el monto de este ingreso total máximo?

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697. Ingreso máximo: La función de demanda para cierto bien está dado por P= para 0≤x≤10, donde p es el precio por unidad y x es el número de unidades pedidas.

a) Encuentre el número de artículos vendidos que maximizan el ingreso total. b) ¿cuál es el precio que produce el ingreso máximo?

c) ¿cuál es el monto de este ingreso máximo? [1] [588] [P] [S] [ ]

698. Utilidad máxima: Una compañía determina que la fabricación y venta del bien que produce, la relación de demanda está dada por p+0.002x=5. Mientras que la función de costo es C(x)=3+1.1x

a) Determine el nivel de producción que producirá la máxima utilidad. b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

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699. Epidemia: Durante cierta epidemia de influenza, la proporción de población baja de defensa que fue infectada, se denota por y (t), donde t es el tiempo en semanas desde que se inició la epidemia. Se Determina que

a) Cuál es la interpretación física de dyldt. b) ¿Para cual valor de t es máxima?

c) ¿Para cuales valores de t y creciente y para cuales es decreciente? [1] [588] [P] [S] [ ]

700. Diseño óptimo: Una compañía se dedica a la fabricación de unas pequeñas cajas con base cuadrada y sin tapa. S el material utilizado tiene un costo de 2 centavos por pulgada cuadrada. Determine las dimensiones de la caja que minimiza el costo del material, si la capacidad delas cajas debe ser igual a 180 pulgada

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701. Diseño Óptimo: Con respecto al problema anterior, si el material para la base de la caja tiene un costo de 4 centavos por pulgada cuadrada, ahora. ¿Cuáles son las dimensiones que minimiza el costo del material?

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702. Utilidad Máxima: Una compañía determina que el costo total C, el ingreso total R y el número de unidades producidas x están relacionadas por

Determina la tasa de producción de x que maximizara la utilidad de la empresa. Determine dicha utilidad u la utilidad cuando x=120.

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703. Movimiento de un objeto: un objeto que se lanza directamente hacia arriba desde el suelo, sigue la trayectoria dada por

Donde h se mide en metros y t en segundos, a) ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en chocar al suelo? b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto?

704. Ingreso Máximo: para la ecuación de la demanda

Determine el número de unidades, x que hace máximo el ingreso total e indique cual es el ingreso máximo.

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705. Producción final máxima: cuando hay n arboles por acre, el promedio de durazno por árbol es igual a (840-6n) para una variedad particular de duraznos. ¿Qué valor de n de la producción máxima de duraznos por acre?

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706. Contenido de humedad en el suelo: en cierto lugar la concentración de agua en el suelo está dada en términos de la profundidad x mediante la formula

C(x)=1-

Determine la profundidad en la cual c crece más rápidamente. [1] [590] [P] [S] [ ]

CAPITULO 14: MÁS SOBRE DERIVADAS

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