Matemática
Diagrama 1. Relación de los números racionales con otros sistemas
Dado que nuestro sistema numérico se encuentra en una relación de base diez, todos los sistemas numéricos también. Por ende, la continuidad de los números enteros también se encuentra en esta relación.
Para explicar esta relación, Centeno (1997) utiliza la recta numérica. Cada sistema numérico mencionado anteriormente quedaría representado de la siguiente manera.
Tabla 21. Sistemas numéricos representados en la recta numérica
Sistema ℕ
Sistema ℤ
Sistema ℚ
Como se observa en la tabla, cada sistema se subdivide en segmentos. En los números ℕ, el segmento es de números discretos, pero a medida que los sistemas se van ampliando, los segmentos se van subdividiendo en una mayor cantidad de partes, por ende, la relación que se
Racionales (ℚ) Enteros (ℤ) Naturales (ℕ) •Todos los ℕ y ℤ •0,1 ; 0,33 ; 2/5 •Todos los ℕ •-1 ; -2 ; -3... •0 •1 ; 2 ; 3...
135 establece ente los ℕ y los ℚ, es que un segmento de la recta de ℕ tiene infinitos segmentos, los cuales pertenecen al sistema ℚ. Esto se conoce como densidad y hace referencia a que entre dos ℕ consecutivos, podemos encontrar infinitos ℚ.
Dentro del sistema de los números racionales se encuentran los dos elementos que se desarrollarán en la secuencia. El primero de ellos refiere a las fracciones decimales, las cuales se definen como todas aquellas fracciones que tiene como denominador una potencia de 10. Tales como
1 10 ; 1 100 ; 1 1.000 ; 1 10.000; entre otras.
Por otra parte, este sistema también incluye la escritura de sus elementos como expresión decimal los cuales se definen por Centeno (1997) como números que pertenecen al sistema ℚ, los cuales se escriben como fracciones decimales. De modo que se cumpla que 𝑛 = 𝑎
10𝑏 siendo 𝑎 y 𝑏
números enteros y 𝑛 el número decimal que se compone de esta relación. Por lo tanto, todos los números perteneciente a los sistemas ℕy ℤ también son decimales, pero con la diferencia que estos se encuentran en la relación de 𝑛
1.
Historia del objeto matemático
Para el aprendizaje del objeto matemático, es necesario primero conocer la historia de este. En la Matemática, existe un principio llamado principio de posición, el cual en nuestro sistema en base a diez, le adjudica un valor a cada número entero y decimal según su posición. Hasta el siglo XVI, en el mundo se solía trabajar solo con números naturales y fracciones, hasta que en 1585 Simón Stevin propuso la incorporación de los números decimales. Según el matemático, las operaciones aritméticas –adición, sustracción, multiplicación y división- pueden realizarse con todos los sistemas numéricos. Stevin además planteó “fraccionar la unidad en décimas, centésimas, milésimas, etc. para medir cantidades de magnitudes menores que la unidad. Con este sistema, el resultado de una medida vendría siempre expresado mediante un número entero y fracciones decimales” (Batanero, Cid y Godino, 2003, p. 353).
La idea de Stevin se mantiene actualmente respecto al cálculo con números decimales, pero en 1620, la notación propuesta por el autor –que no consideraba el uso de la coma sino de números para representar el valor
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posicional, los cuales se leían primeras (décimos), segundas (centésimos), terceras (milésimas)- fue reemplazada por la actual, por la influencia de John Napier quien planteó el uso de la coma, para hacer la separación entre la parte entera y decimal (Centeno, 1997).
Tabla 22. Cuadro comparativo de los números de notación decimal propuesta por Stevin y Napier.
Precursor - año de la
propuesta Simón Stevin – 1585 John Napier - 1620
Notación numérica O ① ② ③
2 7 6 3
2,765
Lectura del número “2 comienzo, 7 primeras, 6 segundas, 3 terceras”
“Dos enteros y setecientos sesenta y tres milésimas”
El valor posicional de los números decimales se separa en enteros y decimales, el cual es equivalente al de los números naturales. Los números que se ubican a la izquierda de la coma corresponden a los enteros, mientras que los posicionados a la derecha son los decimales. “Los números naturales admiten un representante decimal cuya parte decimal es cero. Un número decimal admite un representante cuya notación decimal tiene un número finito de cifras” (Batanero, Cid y Godino, 2003, pp. 253 -254).
Ubicación curricular del objeto matemático
¿Por qué es necesario aprender sobre decimales? La respuesta está en nuestro entorno. La mayoría de lo que conocemos está en números decimales: longitudes, pesos, volúmenes, tiempos. “Los números naturales se muestran insuficientes cuando tratamos de medir magnitudes continuas como la longitud, área, volumen, peso, masa, intensidad de corriente, presión del aire, intensidad del sonido” (Centeno, 1997, p. 59), entre otros. Estas medidas, en la mayoría de los casos, se ubican con precisión entre dos números naturales.
En el contexto Matemático, los problemas con cualquier operación también han empujado el aprendizaje de números decimales. Si se quiere resolver una operación en donde el resultado no es exacto con números naturales, entonces se hace necesario acudir a los decimales.
137 asignatura es promover el pensamiento crítico, el análisis, la autonomía, la creatividad y la búsqueda de soluciones, entre otras capacidades. Todo esto mediante el desarrollo de cuatro habilidades del pensamiento matemático: resolución de problemas, argumentar y comunicar, modelar y representar.
Respecto a la ubicación curricular del objeto números racionales, específicamente los números decimales, se analizará la trascendencia de dicho objeto durante el tiempo. Es importante destacar que el curso en el cual se enmarca la propuesta didáctica es quinto año básico, por lo que el análisis de la ubicación curricular se realizará desde los años anteriores que abarquen el objeto y el curso después –sexto básico-.
A continuación se muestran los objetivos de aprendizaje del Programa de estudio de tercero y sexto básico (2013).
El objeto matemático, específicamente números decimales, comienza a abordarse en el curso de cuarto básico, con los siguientes objetivos:
Objetivos cuarto básico
OA 11: Describir y representar decimales (décimos y centésimos):
› representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo
› comparándolos y ordenándolos hasta la centésima
OA 12: Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la centésima en el contexto de la resolución de problemas.
Los estudiantes trabajan con decimales hasta la centésima y comienzan a resolver dos operaciones básicas con este sistema numérico: adición y sustracción. Se trabaja las representaciones de manera concreta, pictórica –figural- y simbólica –aritmética- y también se realizan actividades de relación de orden entre los números.
De manera contraria, en quinto básico, no es una exigencia curricular acudir a representaciones variadas para la resolución de problemas y la comprensión del objeto matemático. El énfasis se da en la equivalencia entre fracciones decimales y números decimales –tratamiento entre el registro aritmético-, la comparación de decimales, la resolución de problemas y operaciones básicas como la adición y sustracción.
Los objetivos a trabajar durante la secuencia son el objetivo 10 y 11, por lo que luego de la implementación los estudiantes tendrán que trabajar las operatorias con decimales: sustracción y adición.
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A continuación se muestra una descripción extensa de los objetivos, indicadores, habilidades, actividades y evaluación propuestas por el Programa de Estudio, Quinto año Básico de Matemática (2013) para el objeto en el nivel:
Objetivo OA 10: Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 𝟐, 𝟒, 𝟓y𝟏𝟎.
Indicadores
› Escriben el decimal que corresponde a una representación pictórica de una parte de una superficie en cuadrículas; de ángulos en círculos; de una parte de una superficie en círculos, y de una parte de la recta numérica.
› Describen el valor de cada cifra en un decimal dado.
› Representan de manera pictórica decimales asociados a fracciones de denominador 2, 4, 5 y 10. Por ejemplo, representan los decimales asociados a las fracciones 1/2, 1/4 y 2/5 de manera pictórica.
› Escriben en forma de decimal números dados en forma fraccionaria con denominadores 2, 4, 5 y 10.
› Expresan una representación pictórica en forma decimal y fraccionaria.
Habilidad
Representar: Usar representaciones y estrategias para comprender mejor problemas e información matemática.
Argumentar y comunicar: Comunicar de manera escrita y verbal razonamientos matemáticos.
Actividad
Representan en la recta numérica fracciones y decimales. Por ejemplo, representan las fracciones y los decimales siguientes: › 1 10, 2 10, 3 10, 4 10, 5 10, 6 10, 7 10, 8 10, 9 10 › 0,1 , 0,2 , 0,3 , 0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 , 0,8 , 0,9 Evaluación
a. Dibujan una cuadrícula de 10 por 10.
b. Representan las fracciones 3/4, 4/5 y 3/10 en la cuadrícula. c. A continuación determinan los decimales que corresponden a
esas representaciones.
d. Comparan las fracciones anteriores con los decimales determinados.
Al momento de evaluar, se sugiere considerar los siguientes criterios:
› Representan correctamente fracciones en cuadrículas de 10
por 10.
› Determinan decimales correspondientes a representaciones en cuadrículas de 10 por 10.
› Asocian correctamente los decimales correspondientes a fracciones dadas.
En este objetivo, los estudiantes deben relacionar fracciones con números decimales, esto mediante diferentes sistemas de representación: figural, aritmética y gráfica. Además, se trabaja con fracciones en donde el
139 denominador no supere el número 10.
Para el tratamiento en el registro aritmético entre fracciones y números decimales, los estudiantes deberán aprender a realizar las estrategias para su transformación, las cuales son la amplificación, simplificación o división con cociente decimal, del numerador y denominador de la fracción.
Se espera que los estudiantes, además de realizar conversiones de un registro a otro, logren identificar el valor posicional de cada decimal dado. Objetivo OA 11: Comparar y ordenar decimales hasta la milésima.
Indicadores
› Ordenan decimales hasta la cifra de las décimas en la recta numérica.
› Ordenan decimales hasta la cifra de las milésimas, explicando el procedimiento empleado por medio de ejemplos.
› Explican por qué son iguales los decimales cuyas cifras de las décimas son iguales y distintas de cero, y cuyas cifras de las centésimas y milésimas son cero. Por ejemplo, por qué son iguales 0, 4; 0,40; 0,400.
› Ordenan números decimales, aplicando la estrategia del valor posicional.
Habilidad
Argumentar y comunicar: Comprobar reglas y propiedades. Comunicar de manera escrita y verbal razonamientos matemáticos.
Representar: Usar representaciones y estrategias para comprender mejor problemas e información matemática.
Actividad Describen una estrategia para ordenar de manera decreciente los decimales 0, 21 , 0,24 , 0,28.
Evaluación
a. Ordenan de manera creciente los números 0,125, 0,5 y 0,75
en la recta numérica. Respecto de este ordenamiento, explican por qué, no obstante 125 es mayor que 5, 0,125 es menor que 0,5; lo mismo para 0,75 y 0,125: por qué 0,125 es menor que 0,75, no obstante que 125 es mayor que 75. b. b. Ordenan de manera decreciente los números 0,45, 0,145 y 0,6:
› completando los números hasta la cifra de las milésimas
› ubicando estos números completos hasta la cifra de las milésimas en la recta numérica
Al momento de evaluar, se sugiere considerar los siguientes criterios:
› Ordenan números decimales en la recta de manera creciente y decreciente.
› Reconocen que, para ordenar números decimales, es necesario completarlos hasta cifras adecuadas.
› Explican por qué, para ordenar números decimales, es necesario completar estos números hasta las cifras necesarias.
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En este objetivo, los estudiantes deben comparar y ordenar números decimales números decimales, hasta la milésima. Para esto usan diferentes sistemas de representación: figural, aritmética y gráfica.
Para el orden y la comparación los estudiantes pueden realizarlo de mediante la recta, la representación en cuadriculas, o también pueden utilizar la estrategia de igualar las cifras completando con números 0 los decimales.
En este objetivo también se espera que los estudiantes comprendan y argumenten la igualdad entre números decimales con diferentes cifras pero del mismo valor: 0,3 ; 0,30 ; 0,300
Hasta este objetivo se busca que los estudiantes comprendan lo que es un número decimal, cómo se representa y el valor posicional de los elementos que los componen –parte entera y decimal-, para luego, poder realizar operatorias con dicho elemento.
Objetivo OA 12: Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima.
Indicadores
› Explican por qué se debe mantener la posición de las cifras decimales en sumas y restas de decimales.
› Corrigen errores en la ubicación de decimales en sumas y restas de ellos. Por ejemplo, ubican de manera correcta las cifras de las décimas y centésimas en sumas y restas de decimales. › Usan estrategias de estimación para predecir sumas y restas de decimales.
Habilidad
Representar: Usar representaciones y estrategias para comprender mejor problemas e información matemática.
Argumentar y comunicar: Comunicar de manera escrita y verbal razonamientos matemáticos.
Actividad
Estiman sumas y restas de decimales y comprueban, realizando las operaciones correspondientes. Por ejemplo, estiman las siguientes sumas y restas:
a. 0,99 − 0,09 + 0,999
b. 0,95 + 0,709 + 0,304 − 0,549
c. 0,057 − 0,024 + 0,001
y comprueban la estimación realizada, resolviendo esas adiciones y sustracciones.
En este objetivo los estudiantes comienzan a trabajar con los dos principios básicos de la Matemática: adición y sustracción.
Las operaciones se realizan con decimales hasta la milésima, y se puede trabajar con más de dos elementos de la operación –sumandos, minuendo y sustraendo-, además las operaciones pueden estar combinadas.
141 Además de resolver correctamente el procedimiento, se espera que los estudiantes argumenten y comuniquen los pasos a seguir para su resolución.
Objetivo
OA 13: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima.
Indicadores
› Resuelven problemas que involucran adiciones y sustracciones de decimales hasta el centésimo.
› Resuelven problemas que involucran adiciones y sustracciones de fracciones hasta el centésimo.
› Evalúan las soluciones de los problemas en función del contexto.
› Distinguen entre problemas rutinarios y no rutinarios que
involucran fracciones o decimales y dan ejemplos de cada uno de ellos.
Habilidad
Resolver problemas: reconocer e identificar los datos esenciales de un problema matemático.
Resolver problemas aplicando una variedad de estrategias, como la estrategia de los 4 pasos: entender, planificar, hacer y comprobar.
Actividad
Resuelven problemas, aplicando el siguiente cálculo: En un cuarto de la distancia entre dos ciudades se encuentra un servicentro, y entre el servicentro y la mitad del camino hay 30
kilómetros. ¿A cuánta distancia se encuentran ambas ciudades? En base a todos los conocimientos adquiridos anteriormente, los estudiantes deberán resolver problemas rutinarios o no rutinarios.
Según Díaz y Poblete (2016), el trabajo con problemas rutinarios abarca el planteamiento, la formulación y resolución de problemas en contextos reales, fantásticos o matemáticos, los cuales para su resolución necesitan el conocimiento previo del contenido a trabajar. Mientras que, los problemas no rutinarios requieren un análisis y reflexión del problema planteado, “traduciendo el lenguaje natural al simbólico/formal, es decir, consiste en el pensamiento matemático que incluye la capacidad de generalización” (p. 794).
Ambos tipos de problemas pueden o no implicar situaciones reales para los estudiantes. Además se solicita en este objetivo, que los problemas a trabajar deben abarcar tanto fracciones decimales, números decimales, las dos operaciones trabajadas hasta ahora –adición y sustracción- y, el orden y comparación de decimales.
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utilizar la estrategia de cuatro pasos mencionada en las habilidades, pero también pueden sacar información del contexto para resolver.
Finalmente los estudiantes deben lograr distinguir entre problemas rutinarios y no rutinarios.
Por otra parte, en sexto básico se continúa trabajando el objeto de la siguiente manera:
Objetivos sexto básico
OA 7: Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales por números naturales de un dígito, múltiplos de 𝟏𝟎 y decimales hasta la milésima de manera concreta, pictórica y simbólica.
OA 8: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima
En este curso, a diferencia de quinto básico, curricularmente se solicita de manera explícita la diversidad de representaciones del objeto, utilizando estas para el trabajo del objeto con las operaciones – multiplicación y división- y problemas de planteamiento rutinarios y no rutinarios.
Análisis descriptivo de texto escolar
Los estudiantes del curso, en la gran mayoría de las clases, suelen trabajar únicamente con el texto escolar Savia de la editorial SM. Este libro se divide en dos tomos. El primero es un texto de contenidos y el segundo uno de ejercitación.
El texto escolar en su mayoría trabaja con el registro aritmético, algebraico y figural. Cabe destacar que este último registro aparece con el nombre de “registro gráfico” en el texto ya mencionado, lo que podría traer confusiones futuras a los estudiantes, debido a que el registro gráfico refiere a todos aquellos que pertenecen a la representación en la recta numérica, y no a los símbolos en modelos de área.
Las actividades en el texto escolar se organizan por objetivos de clases diarios, los cuales suelen estar relacionados unos con los otros, pero en otras ocasiones no. Por ejemplo, en la unidad de números decimales, en la primera clase solicita a los estudiantes que representen de manera “gráfica” y como fracción decimal, los números decimales que se les indica. En la segunda clase, los estudiantes deben componer y descomponer
143 números decimales de manera aditiva, mientras que en la tercera se trabaja la relación entre números decimales y fracciones decimales. Por lo tanto, en tres clases diferentes, se abordan tres contenidos distintos, que se relacionan.
Otro elemento a destacar, es que al inicio de la unidad, se presenta una clase llamada “Activo lo que sé”, en donde se presentan 6 actividades que van desde la lectura y escritura de decimales, orden y valor posicional, descomposición aditiva, orden y comparación, representación figural y por último la adición y sustracción de decimales. Esta actividad, tiene el objetivo de activar los conocimientos previos de los estudiantes, es por lo mismo que se presentan una actividad de cada objetivo a abordar en la unidad.
Para las clases de la secuencia de Matemática, se pudo hablar con la profesora de la asignatura quien autorizó a no utilizar el libro, puesto que las clases suelen estar cargadas de su uso, de manera contraria se propuso el trabajo con un cuadernillo de guías para la ejercitación Matemática, el cual se presenta en el apartado 3.6 Diseño clase a clase.
En síntesis los conceptos que fundamentan teóricamente esta secuencia son tres: constructivismo, teoría de representaciones semióticas y números racionales. La enseñanza de la Matemática implica una integración de saberes para su enseñanza, puesto que implica en primer lugar los modelos pedagógicos –constructivismo- junto con la teoría que fundamenta la visión que le daremos al área –teoría de representaciones semióticas-, para en segundo lugar, implicar las estrategias y metodologías a trabajar en el aula, y finalmente, pero no de menos importancia, el manejo del docente frente al objeto matemático para poder comunicar este conocimiento a sus estudiantes. Considerando estos elementos se podrá lograr la alfabetización matemática en la sala clase, lo que requiere tanto la aprehensión de la funcionalidad del objeto.
La importancia de la adquisición del objeto a trabajar y en general los saberes matemáticos, va más allá de su aprehensión, sino que refiere a las habilidades y lectura del mundo que se pueda hacer mediante las Matemáticas. Todo lo que rodea al educando se puede expresar mediante números, pero para su lectura es necesario desarrollar en los estudiantes el pensamiento matemático.
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