Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejercicio 1
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas (se deja el doble de espacio para que hagas las comprobaciones):
2 log
log
6
0
a
x
x
Al haber sólo dos logaritmos, intentaremos la operación dequitarlos; para ello, ponemos la ecuación en la forma:
log
A
log
B
2
log
x
log
x
6
; quitando logaritmos:x
2
x
6
; al resolver la ecuación de 2º grado se obtienen estos dos resultados:x
1
2
y
x
2
3
.No existen los logaritmos de números negativos, por tanto, ignoramos la primera de las soluciones.
x
3
log
1
log
1
b
x
x
log
x
1
log10
x
;1
9
x
log
6
1 log
3
c
x
x
log
x
6
log10
x
3
;x
4
log 3
5
log 2
1
1 log 5
d
x
x
log
3
5
log
10
2
1
5
x
x
;x
3
log
1
log 5
log 5
0
e
x
x
x
; evitamos el problema de las dos restas poniendo un paréntesis y cambiando el signo del segundo logaritmo:
log
x
1
log 5
x
log 5
x
0
;log
x
1
log
5
x
5
x
0
2
log
x
1
log
25
x
0
;log
x
1
log
25
x
2
;x
1
25
x
2 ;2 2
2
1
25
x
x
x
;2
x
2
2
x
24
0
;x
2
x
12
0
;soluciones:
x
1
3
y
x
2
4
; la única solución válida es:x
4
(Continuación)
2
log 2 log 11
2 log 5
f
x
x
log 2 11
x
2
log 5
x
2;2 2
22 2
x
25 10
x
x
2
3
x
10
x
3
0
; 1 21
;
3
3
x
x
2
log 3
log 2 log
g
x
x
23
x
2
x
;x
2
2
x
3
0
Soluciones:
x
1
3;
x
2
1
; Válida:x
1
2
2 log
log
6
1
h
x
x
2
2
10
6
x
x
;2
9
x
60
0
;20
3
x
Hacer la COMPROBACIÓN
20
20
2 log
log
6
1
3
3
;1 2
20
20 18
2 log
log
1
3
3
;1
20
2
2 log
log
1
2
3
3
;log 20 log 3 log 2 log 3 1
;log 20 log 2 1
;
log 10 2
log 2 1
;log 10 log 2 log 2 1
;log 10 1
evidente.
log 5
4
log 2
1
log
4 ;
2
i
x
x
Aplicamos propiedades de los logaritmos:5
4
4
2
x
x
;25
x
2
40
x
16
4
x
16
;25
x
2
36
x
0
; cuyas soluciones son:1 2
36
0;
25
x
x
; Válida:x
1
0
Hacer la COMPROBACIÓN
1
log 4 log 2
log 4
2
;1 2
4
log
log 4
Ejercicio 2
Despeja en valor de x en
log
x
log
y
log
x
y
log
x
log
x
y
y
;x
x
y
y
;2
x
xy
y
;x
xy
y
2;x
1
y
y
2Solución:
2
1
y
x
y
Ejercicio 3
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
3 5
x75
a
(Ecuación 3 anterior)5
x
25
;x
2
2 225
x5
b
5
2 2 x2
5
;5
4x4
5
1; por tanto:4
x
4
1
;5
4
x
3 10 5 67
x7
x0
c
3 10 5 67
x
7
x ; por tanto:
3
x
10
5
x
6
;x
2
7 11 5 1032
x4
xd
35 55 10 202
x
2
x ;35
x
55
10
x
20
;x
3
2 225
x1
e
4 4 05
x
5
;
4
x
4
0
;x
1
4 9 8 727
x81
xf
12 27 32 283
x
3
x ;12
x
27
32
x
28
;11
4
x
2 29
x1
0
g
2 2 0Ejercicio 4
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
12
x2
x3
a
2
x
2 1
3
;2
x
1
;2
x
2
0;x
0
1 23
x3
x324
b
3
x
3 3
2
324
;3
x
12
324
;3
x
27
;3
x
3
3;x
3
2 1 13
x3
x3
x3
x120
c
(Ecuación 6 anterior)2
1
3
3
3 1
120
3
x
;39 1
3
120
3
x
;120 3
3
40
x
;3
x
3
2;x
2
3 2 3
)
3
x3
x10
d
3
3x
3
2
1
10
;3
31
1
10
9
x
;3
1 9
3
10
9
x
;3
10 9
3
10
x
;3
x
2
;2
3
x
1 2 1
)
4
x4
x4
x112
e
1 2 1
4
x4
4
4
112
;4
1
1
1
112
4
16
4
x
8 1
4
112
16
x
;112 16
4
7
x
;4
x
256
;4
x
4
4;x
4
Ejercicio 5
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
25
x6 5
x5
0
a
5
x2
6 5
x
5
0
; Cambio:5
x
t
;2
6
5
0
t
t
;t
1
1;
t
2
5
Se deshace el cambio: para
t
1
1
5
x
1
x
0
Se deshace el cambio: para 25
5
5
x
t
x
1
(Continuación)
2 24
x6 2
x8
0
b
;
2
2 2
2
x
6 2
x
8
0
;
2
2 2
2
x
6 2
x
8
0
;Cambio:
2
2x
t
;t
2
6
t
8
0
;t
1
2;
t
2
4
Se deshace el cambio: para 1
2
2
22
2
1
x
t
x
1
2
x
Se deshace el cambio: para 2
4
2
24
2
22
2
x
t
x
x
1
12 67
x8 7
x7
0
c
6 2 67
x
8 7
x
7
0
; Cambio:7
6x
t
;2
8
7
0
t
t
;t
1
1;
t
2
7
Se deshace el cambio: para 1
1
7
61
7
06
0
x
t
x
x
0
Se deshace el cambio: para
t
2
7
7
6x
7
6
x
1
1
6
x
4 1 2
)
6
x7 6
x1
0
d
6 6
2x2
7 6
2x
1 0
; Cambio:6
2x
t
;2
6
t
7
t
1
0
; 1 21
;
1
6
t
t
Se deshace el cambio: para 1 2 1
1
6
6
2
1
6
x
t
x
1
2
x
Se deshace el cambio: para
t
2
1
6
2x
1
6
0
x
0
Ejercicio 6
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
5
x10
a
(Ecuación 5)log 5
5log 10
5x
;x
log 5
5
log 10
55
log 10
x
;x
1' 4307
5 32
x1000
b
log 2
2 5x3
log 10
2 3;
5
x
3 log 2
2
3log 10
2 ;5
x
3
3 log 10
22
3 log 10 3
5
Ejercicio 7
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (ahora no están incluidas en ningún apartado); deberás deducir cuál es el método de resolución que mejor se adecua a cada ecuación:
3 1 35
x5
x6
a
Sacamos factor común:5
3x
5 1
6
;3
5
x
1
;5
3x
5
0;
3
x
0
;x
0
3 1 2 1
10
100
x x
b
Igualamos las bases:
3 1
2 2 1
10
10
x x
;3
1
2
2
1
x
x
3
x
1
2 2
x
1
;3
x
1
4
x
2
;x
3
2 13
x18 3
x9
0
c
Se opera en el lado izquierdo:2 2
3
x
3
18 3
x
9
0
;
2
9 3
x
18 3
x
9
0
;Cambio :
3
x
t
;9
t
2
18
t
9
0
; dividimos por 9:t
2
2
t
1
0
;t
1
Se deshace el cambio: parat
1
3
x
1
3
0
x
0
2 35
x x800
d
2 3
5 5
log 5
x x
log 800
;
x
2
3
x
log 5
5
log 800
5 25
3
log 800
x
x
;x
2
3
x
log 800
5
0
;5
3
9 4 log 800
2
x
12
4 '0305
1'0305
x
x
8 2 42
x3 2
x1
0
e
4 2 44 2
x
3 2
x
1
0
; Cambio :2
4x
t
;2
4
t
3
t
1
0
; 1 21
;
1
4
t
t
Se deshace el cambio: para 1 4
1
1
2
4
4
x
t
No hay solución: el resultado de una potencia de base positiva no puede ser negativo Se deshace el cambio: para 2
1
2
41
2
0x
t
x
0
(Continuación)
1 6 50 ' 4
x6 ' 25
xf
Igualamos las bases:1 6 5
4
625
10
100
x x
;6 5
1 4
2 2
2
5
5
2
5
x
x
;
1 2 6 5
2
5
5
2
x x
1 2 6 5
5
5
2
2
x x
;
x
1 12
x
10
;11
13
x
2 1 2 22
x2
x4
g
Sacamos factor común:2
2x
2
2
2
4
;
2
2
x
2
4
;2
2x
2
1;2
x
1
;1
2
x
Ejercicio 8
Resuelve los siguientes sistemas:
3
2
64
log
log
1
x
y
a
x
y
2 13
2
64
3
2
64
10
10
en
x
y
x
y
e
e
x
x
y
y
3 10
y
2
y
64
;32
y
64
;x
20;
y
2
9
log
log
1
x
y
b
x
y
1 2
9
9
: 9
10
10
10
en
x
y
x
y
e
e
y y
xy
xy
1 1
2
2 2
1;
10
9
10
10;
1
y
x
y
y
y
x
Se descarta la segunda solución por no existir logaritmos de números negativos; por tanto:
x
10;
y
1
log
log
3
log
log
1
x
y
c
x
y
log
log
3
log
2
100
log
log
1
2 log
4
x
y
x
x
x
y
x
2
log
y
3
;log
y
1
;x
100;
y
10
(Continuación)
2 log
3 log
7
log
log
1
x
y
d
x
y
2
3
7
log
;
log
1
Cambio de variable
u
v
x
u
y
v
u
v
2
3
7
1;
2
2
2
2
5
5
u
v
v
u
u
v
v
Se deshace el cambio:
log
2;
log
1;
x
u
y
v
1
100;
10
x
y
log
5 log
7
log
1
x
y
e
x
y
1
log
5 log
7
log
5 log
7
log
log
1
log
log
1
6 log
6
x
y
x
y
x
y
x
y
y
Si
log
y
1
y
10
; sustituyendo el valor de y en la 1ª ecuación:log
x
5 log10
7;
log
x
5 1
7;
log
x
2
x
100
La comprobación es inmediata.
2 log
log
5
log
4
x
y
f
xy
( 1)
2 log
log
5
2 log
log
5
log
log
4
log
log
4
log
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Si
log
x
1
x
10
; sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación:2 log10
log
y
5;
2 1 log
y
5;
log
y
3
y
1000
La comprobación es inmediata.
22
5
19
2
5
41
x y
x y
g
2
5
9
2
;
5
4 2
5 5
41
Cambio de variable
x yx y
x y
u
v
5
9
5
5
45
4;
5
4
5
41
4
5
41
4
x
u
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
Se deshace el cambio:
2
1
2
4
2
5
5
5
x
y
u
v
x
2;
y
1
Comprobación:
4 2
2 1
2
5
41
2
5
9
1
1
2
3
5
2
8 3
712
x y
x y
h
1
1
2
3
3
5
2
;
3
2 2
8 3
712
Cambio de variable
x y
x y
x y
u
v
5
5
3
3
712 8
2
8
712
356
4
2
v
v
u
u
v
u
v
u
v
13
356
4
5;
351
;
81;
32
3
3
v
v
v
v
u
Se deshace el cambio:
5
4
2
32
2 ;
3
81
3 ;
x
y
u
v
x
5;
y
4
22
5
19
2
5
9
x y
x y
i
2
5
9
2
;
5
4 2
5 5
9
Cambio de variable
x yx y
x y
u
v
5
9
5
5
45
4;
5
4
5
9
4
5
9
9
36
x
u
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
Se deshace el cambio:
2
4;
5
5;
x
y
