M
ATEMÁTICA PARA
I
NGENIEROS
F
ORMACIÓN POR COMPETENCIAS
SISTEMA
DE
2
SITUACIÓN MOTIVADORA
Los sistemas de riego ofrecen una serie de ventajas que
posibilitan racionalizar el agua disponible. Cualquier sistema de
riego debe someterse a un estudio previo para determinar si es el
más idóneo, tomando en consideración desde el tipo de
vegetación, hasta la forma de distribuir el agua para obtener el
mejor rendimiento, por eso es necesario conocer la cantidad de
flujo de agua entre los diferentes puntos de un sistema de riego
Sistemas de riego
¿Cómo
es
posible
usar
las
matrices para determinar el flujo
de agua entre los diferentes
puntos de un sistema de riego?
3
LOGROS DE APRENDIZAJE
Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la matriz
inversa, el método de Cramer y el método Gauss – Jordan
.
Aplicar los métodos estudiados a diferentes problemas de
contexto real
.
03 /0 8/2 01 6 4
Resolución de un S.E.L de la forma
𝑨𝑿
=
𝑩
por
𝑨
−𝟏Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
4𝑥 + 𝑦 + 8𝑧 = 7
Para resolver este sistema, lo representamos en forma
matricial:
1
0
2
2
−1 3
4
1
8
03
/0
8/2
01
6
5
Ecuaciones Matriciales
De la ecuación en (1) tenemos:
𝑨. 𝑿 = 𝑩
Si
𝑨 ≠ 𝟎
, entonces al multiplicar ambos lados por
𝑨
−𝟏,
se tiene:
Esta última igualdad nos permite encontrar los valores de
las incógnitas en forma directa.
6
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 1.
Use el método de la matriz inversa para determinar el conjunto solución del siguiente S.E.L:𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7 2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 3
7
Ejemplos para que analice el estudiante
Resolución:
𝐴 =
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
, 𝐵 = 3 5 7
y 𝑋 = 𝑥 𝑦 𝑧
, además 𝐴−1 =
−11 2 2
−4 0 1
6 −1 −1
Ejemplo 2. Resuelva el sistema de ecuaciones mediante el método de la matriz inversa
𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 3 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5 4𝑥 + 𝑦 + 8𝑧 = 7
Paso 1. Identificar las matrices involucradas en el sistema
.
Paso 2. El sistema en su forma matricial: 𝐴𝑋 = 𝐵, de donde 𝑋 = 𝐴−1𝐵
Así
𝑥 𝑦 𝑧
=
−11 2 2
−4 0 1
6 −1 −1
3 5 7 = −9 −5 6
Paso 3. Determinir el conjunto solución del SEL.
8
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 3.
Use el método de la matriz inversa para determinar el conjunto solución del siguiente S.E.L:9
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 4.
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos y aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado:𝐴. 𝑒𝑛 𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠 𝐴. 𝑒𝑛 𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜𝑠 𝐴. 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐶ℎ𝑎𝑡𝑎𝑟𝑟𝑎 8 6 6
𝐶𝑎𝑟𝑏ó𝑛 6 6 4
𝐴𝑙𝑒𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 1 3
10
Ejemplos para que analice el estudiante
Ejemplo 5.
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras personales: cañon, clon, y xtime. Para armar una computadora modelo cañon necesita 12 horas de ensamblado; 2,5 para probarla y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado; 2 para probarla y 2 para instalar programas. Y por último, para una xtime requiere 6 para ensamblado; 1,5 para probarla y 1,5 para instalar programas. Si por mes la fábrica dispone de 556 horas para ensamble, 120 horas para pruebas y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se producirán al mes si se utiliza todo el tiempo disponible para su fabricación?Resolver mediante la matriz inversa
Resolución
Paso 1. Definimos las variables.
𝑥: número de computadoras producidas del modelo cañon (por mes)
𝑦: número de computadoras producidas del modelo clon (por mes)
11
Ejemplos para que analice el estudiante
Paso 2. Planteamos el sistema de ecuaciones lineales.
12𝑥 + 10𝑦 + 6𝑧 = 556 2,5𝑥 + 2𝑦 + 1,5𝑧 = 120
2𝑥 + 2𝑦 + 1,5𝑧 = 103
Paso 3. En su forma matricial
12 10 6 2,5 2 1,5
2 2 1,5 𝑥 𝑦 𝑧 = 556 120 103 De donde 𝑥 𝑦 𝑧 =
0 2 −2
0,5 −4 2 −2/3 8/3 2/3
556 120 103 = 34 4 18
Paso 4. Redactamos la respuesta:
Regla de Cramer
Dado el siguiente sistema de ecuaciones
:
𝑎
11𝑥 + 𝑎
12𝑦 + 𝑎
13𝑧 = 𝑎
𝑎
21𝑥 + 𝑎
22𝑦 + 𝑎
23𝑧 = 𝑏
𝑎
31𝑥 + 𝑎
32𝑦 + 𝑎
33𝑧 = 𝑐
13
Para calcular los valores de
𝑥; 𝑦
y
𝑧
se procede de la siguiente manera:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33
Matriz de coeficientes
𝑥 =
𝐴𝑥𝐴
donde
𝐴
𝑥=
𝑎
𝑎
12𝑎
13𝑏
𝑎
22𝑎
23𝑐
𝑎
32𝑎
33𝑦 =
𝐴𝑦𝐴
donde
𝐴
𝑦=
𝑎
11𝑎
𝑎
13𝑎
21𝑏
𝑎
23𝑎
31𝑐
𝑎
33𝑧 =
𝐴𝑧𝐴
donde
𝐴
𝑦=
𝑎
11𝑎
12𝑎
𝑎
21𝑎
22𝑏
𝑎
31𝑎
32𝑐
Paso 1. Se calcula |𝐴|:
14
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 6.
Dada la siguiente relación:3 1 2
2 4 −5 1 −3 5
𝑥 𝑦 𝑧
=
1 6 0
−2 −2 −4 −1 −4 1
𝑥 𝑦 𝑧
+ −2 23 24 𝑇
a) Expréselo como un sistemas de ecuaciones lineales.
15
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 7.
Use la regla de Cramer para calcular
el valor de 𝑧 a partir del siguiente sistema de ecuaciones:2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 1 −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
16
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 8.
Para preparar 600 kilogramos de fertilizantes con un contenido de nitrógeno del 25%, el ingeniero de una planta de exportación sugiere utilizar fertilizantes del tipo convencional y los de lenta liberación con contenidos de nitrógeno de 30% y 20% respectivamente, que sobraron de la temporada pasada. a) Modele una ecuación matricial que permita calcular la cantidad dekilogramos de fertilizante de tipo convencional "𝒙“ y de lenta liberación "𝑦“ que necesita la planta.
17
Ejemplos para que analice el estudiante
Resolución:
Ejemplo 9. Use la regla de Cramer para determinar el conjunto solución del sistema de ecuaciones:
2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 1 −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
Paso 1. Calculamos 𝐴 y verificamos que sea distinto de cero.
𝐴 =
2 5 3 −1 2 1 1 1 1
= 3 ≠ 0
Paso 2. Calculamos 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 y 𝐴𝑧 .
𝐴𝑥 =
1 5 3
2 2 1
0 1 1
= −3 𝐴𝑦 =
2 1 3 −1 2 1 1 0 1
= 0, 𝐴𝑧 =
2 5 1
−1 2 2
1 1 0
18
Ejemplo para que analice el estudiante
Paso 3. Determinamos el conjunto solución
𝑥 = 𝐴𝑥 𝐴 =
−3
3 = −1, 𝑦 = 𝐴𝑦
𝐴 = 0
3 = 0, 𝑧 = 𝐴𝑧
𝐴 = 3 3 = 1
MÉTODO DE GAUSS
y
20
Matriz en Forma Escalonada
Definición
Se dice que una matriz se encuentra en su forma
escalonada por filas cuando el número de ceros
contados apartir del extremo izquierdo aumenta de fila
en fila hasta llegar a la última fila.
Las siguientes matrices son escalonadas:
B=
−2 1 2
0
1 4
0
0 0
2
6
0
A=
−5 6 0 0 3 2 0 0 4
0 1 1
03/08/
2016
21
Operaciones elementales
En una matriz de cualquier orden, se puede desarrollar algunas
operaciones simples con las filas y columnas. Las operaciones
elementales que pueden realizarse son las siguientes:
Intercambiar las filas.
Multiplicar una fila por un número diferente de cero.
03 /0 8/2 01 6 22 F orma ción B ásica
Método de Gauss para un S.E.L.
Consiste en transformar el sistema de ecuaciones dado en otro
escalonado equivalente
.
Para ello tomamos la matriz ampliada (Matriz aumentada) y
mediante operaciones elementales la transformamos en una
matriz escalonada; es decir, con ceros debajo de la diagonal.
−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6
−𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 4
−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑦 + 7𝑧 = 12
−5𝑧 = −10
Método de Gauss
Operaciones elementales
𝑆. 𝐸. 𝐿 𝑆. 𝐸. 𝐿 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
23
Método de Gauss para un S.E.L
Observación
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6
−𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 4
−1
1
2
3
−1
1
−1
3
4
2
6
4
03
/0
8/2
01
6
24
Pasos a seguir
Aplicar el método de Gauss, implica seguir los siguientes
pasos:
Arregle las ecuaciones con los términos variables en el
mismo orden a la izquierda del signo igual y las constantes
a la derecha.
Escriba la matriz ampliada (aumentada) del sistema.
Use transformaciones elementales sobre las filas para
transformar la matriz aumentada en una matriz escalonada.
Exprese la matriz escalonada en un S.E.L.
25
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 10.
Resuelva el siguiente sistema usando el método de Gauss:26
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 11.
En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 0,9 m; 1,5 m y 2,4 m, cuyos precios son de 4; 6 y 10 soles respectivamente. Un cliente ha comprado 19 listones, con una longitud total de 30 m, que le han costado 126 soles en total.a) Modele un sistema de ecuaciones para determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado ese cliente.
27
Definición
28
El rango de una matriz escalonada por filas se define como el
número de filas no nulas.
𝑆𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧, 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠
Observación
Una matriz cuadrada de orden
𝑛
tendrá inversa si su rango es
𝑛
.
29
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 12.
Indique el rango de las siguientes matrices:𝑎) 𝐴 =
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
b)
30
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 13.
Determine el rango de la siguiente matriz:𝐴 =
31
Ejemplos para que analice el estudiante
Resolución:
Ejemplo 14.
Determine el rango de la siguiente matriz:𝐴 =
1 −3 2 −2 2 0 3 2 −1
1 3 1 −4 4 0 6
Paso 1. Triangulamos la matriz 𝐴 .
𝐴 =
1 −3 2
−2 2 0
3 2 −1
1 3 1
−4 4 0 6
~
1 −3 2 0 −4 4 0 11 −7
1 5 −2
0 −8 8 10
~
1 −3 2 0 −4 4
0 0 4
1 5 47/4
0 0 0 0
𝐹2 + 2𝐹1 𝐹3 − 3𝐹1
𝐹3 +11 4 𝐹1
APLICACIONES DE LOS
33
Ejemplos para mostrar en clase
Resolución:
Ejemplo 15.
Esa noche en la veterinaria después del incidente, la policía encontró solamente 136 animales entre perros y gatos. El informe oficial del incidente indicaba que escaparon el 30 % de los perros y la tercera parte de la cantidad de gatos, es decir un 32% del total de animales desaparecieron.a) Determine el S.E.L. que permita calcular la cantidad inicial de perros “x” y de gatos “y”.
34
Ejemplos para que analice el estudiante
Resolución:
Ejemplo 16.
Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que se deben pintar, ensamblar y empacar para su distribución. La tabla muestra el número de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si el fabricante tiene 96 horas disponibles por día para pintar, 156 horas para ensamblar y 37 horas paraempacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se deben producir al día, si se desea aprovechar todas las horas disponibles?
35
Ejemplos para que analice el estudiante
Paso 1. Definimos las variables.
𝑥: número de sierras producidas del modelo Deluxe (por día)
𝑦: número de sierras producidas del modelo Premium (por día)
𝑧: número de sierras producidas del modelo Ultimate (por día)
Paso 2. Planteamos el sistema de ecuaciones lineales.
1,6𝑥 + 2𝑦 + 2,4𝑧 = 96 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 156 0,5𝑥 + 0,5𝑦 + 𝑧 = 37
Paso 3. Escalonamos la matriz aumentada mediante el método de Gauss.
1, 6 2 2, 4 96 4 5 6 240
2 3 4 156 0 1 2 72
0, 5 0, 5 1 37 0 0 1 32
operaciones elementales
por filas
36
Ejemplos para que analice el estudiante
Paso 4. Resolvemos el sistema equivalente obtenido.
4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 240 𝑦 + 2𝑧 = 72
𝑧 = 32
𝑥 = 2, 𝑦 = 8, 𝑧 = 32
Paso 5. Redactamos la respuesta:
36
F
ORM
AC
IO
N
BA
SI
CA
CINCO COSAS QUE DEBEMOS RECORDAR
1.
El primer paso para dar solución a un sistema de
ecuaciones es definir las variables involucradas.
2.
Si se elige, como método de solución, el método de la matriz
inversa, asegúrese que la matriz de coeficientes sea no
singular.
3.
Si se elige, como método de solución, la regla de Cramer,
asegúrese que el determinante de la matriz de coeficientes
sea diferente de cero.
4.
Si la matriz de coeficientes es no singular, el sistema tiene
solución única.
5.
Luego de escalonar una matriz, el rango de la matriz es el
37
F
ORM
AC
IO
N
BA
SI
CA
Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las
siguientes preguntas:
Sobre el método de la matiz inversa y la regla de Cramer
1.
¿Se te presentó alguna dificultad al aplicar el método de la
matriz inversa o la regla de Cramer?
2.
¿ Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?
¿crees que superaste las dificultades?
Sobre el método de Gauss y rango de una matriz
1.
¿Se te presentó alguna dificultad al aplicar el método de
Gauss o al determinar el rango de una matriz?
2.
¿ Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?
38
ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN
En el panorama del caso
“Sistemas de riego”, presentado al
inicio de la semana, si en un sistema de riego el agua fluye con
el patrón que se muestra en la figura. El agua fluye hacia el
sistema en A y sale en B, C, D y E con las cantidades que se
indican
¿Determine la cantidad de agua que fluye entre los puntos A, B,
C , D y E?. Use el hecho que en cada punto el agua que entra
es igual al agua que sale
Bibliografía
40
