Instituto Tecnológico de Tijuana
Subdirección Académica
Lic. Juliana Cervantes Castro
Departamento De Sistemas y Computación
M.C. Luz Elena Cortes Galván
Semestre Agosto-Diciembre 2013
Ing. En Sistemas Computacionales
Algebra Lineal
Investigación Unidad 1
Mares Mireles Mariana Abigail
#12210458
ÍNDICE
1.1 Definición y Origen de los Números Complejos……….1
1.2 Operaciones Fundamentales con Números Complejos………3
1.3 Potencias de “i” , Modulo de un numero complejo………..5
1.4 Forma Polar y Exponencial de un número complejo……….6
1.4 Forma Polar y Exponencial de un número complejo……….7
1.5 Teorema de Moivre, Potencias y Raíces de un numero complejo………..8
1.6 Ecuaciones Polinomicas……….. 9
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Definición y Origen de los Números Complejos
Los números complejos forman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un numero real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un numero entero (4, 15,2686) o también uno decimal (1.25, 38.123). En cambio un número imaginario es aquel cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando otorgo a v-1 el nombre de i (de imaginario). La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.
Un número complejo es una expresión de la forma:
Donde y son números reales, se denomina la parte real de z y se denota por Re z. se denomina la parte imaginaria de z y se denota por Im z.
En ocasiones la representación anterior recibe el nombre de forma cartesiana o rectangular del número complejo.
Plano Complejo:
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a 2 , de este modo se obtiene:
2 Definición: Un número complejo z es una combinación lineal de la forma z=(a+bi) en donde a y b son números reales. Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número b la parte imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + bi de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.
Ejemplo:
Decimos que dos números complejos z = a + bi, w = c + di, son iguales z = w, si y solo si a = c y b = d.
Los conjuntos de la forma (a;0) son números reales puros (CR) y se encuentran en el eje real. Los conjuntos de la forma (0;b) se denominan complejos imaginarios puros(CI) y se encuentran en el eje imaginario.
Opuesto y conjugado de un número complejo
Dado: z=(a;b) su opuesto es -z=(-a;-b) Dado: z=(a;b) su conjugado es z=(a;-b)
Complejo nulo
z=(a;b) es nulo si a=b=0, anotándose z=(0;0)
Interpretación geométrica
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje x se llama eje real y el eje y se llama eje imaginario
Número imaginario
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Operaciones Fundamentales con Números Complejos
Adicción:
Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)
Sustracción:
Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo: Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)
Multiplicación:
Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)
Potenciación:
La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.
Forma Binomica:
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Operaciones de números complejos en su forma Binomica:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.
+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i
Multiplicación con números complejos:
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i
División con números complejos:
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.
Ejemplo:
Argumento de un Número Complejo:
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Potencias de
“i
”, Modulo de un Número Complejo
Potencias de la unidad imaginaria:
i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
Ejemplo: i22
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Valor absoluto:
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
Magnitud o Modulo de Z:
Forma Polar y Exponencial de un Número Complejo
Forma Polar:
El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
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Forma Exponencial:
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Teorema de Moivre, Potencias y Raíces de un Número
Complejo
Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de
De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios.
Raíces de un número complejo:
Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
Es decir la raíz cuadrada de un
número negativo es necesariamente imaginaria. Esto se debe a que i2=-1, por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad:
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Ecuaciones
Polinómicas
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo:
Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales sí que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por:
Que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos.
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Bibliografía
Jorge, R. V. (2011). Algebra Lineal. Obtenido de http://definicion.de/numeros-complejos/
Ramon, I. J. (Mayo de 2012). Algebra Lineal. Obtenido de http://itsavbasicas.blogspot.mx/
