Problema inverso para leyes de conservación escalar

Texto completo

(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. PROBLEMA INVERSO PARA LEYES DE CONSERVACIÓN ESCALAR. B. IB. LI O. TE. Tesis para optar el Tı́tulo de: Licenciado en Matemáticas. Autora: ROJAS MENDOZA ANA CECILIA. Asesor: Mg. Cuti Gutiérrez Hernán Arquı́medes. Trujillo - Perú 2016. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. PROBLEMA INVERSO PARA LEYES DE CONSERVACIÓN ESCALAR. B. IB. LI O. TE. Tesis para optar el Tı́tulo de: Licenciado en Matemáticas. Autora: ROJAS MENDOZA ANA CECILIA. Asesor: Mg. Cuti Gutiérrez Hernán Arquı́medes. Trujillo - Perú 2016. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Jurado. Dr. José Levı́ Diaz Leiva. Mg. Jorge Horna Mercedes Secretrario. B. IB. LI O. TE. Presidente. Mg. Cuti Gutiérrez Henán Arquı́medes Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Dedicatoria. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicado a Dios y. B. IB. LI O. TE. mi familia. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Agradecimiento. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En primer lugar doy gracias a Dios, por permitirme llegar al final de éste camino y por darme fuerzas para afrontar los retos futuros.. A mis padres, por darme la oportunidad de estudiar y quienes a lo largo de toda mi vida han apoyado y motivado mi formación académica, creyeron en mi en todo momento y no dudaron de mis habilidades .. A mis profesores, a quienes les debo gran parte de mis conocimientos, gracias a su paciencia y enseñanza. Y en especial a los profesores Hernán Cuti ( asesor de tesis) y Wilson Maco, quienes no sólo me dieron su apoyo académico sino también su apoyo moral en este arduo camino de sacrificio y estudio .. Un eterno agradecimiento a esta prestigiosa universidad, la cual abrió y abre sus. TE. puertas a jóvenes como nosotros, preparándonos para un futuro competitivo y formándo-. LI O. nos como personas de bien.. A las señoritas Miluska y Jhoysi quienes me ofrecieron su amistad y ayuda, que han. IB. sido testigos de mis tropiesos y éxitos a lo largo de éste proceso.. B. Finalmente, un agadecimiento muy especial a mi mejor amiga, July, que me brindó su amistad y apoyo incondicional, quien estuvo siempre a mi lado, dándome unas palabras de aliento y escuchándome en los momentos difı́ciles. Y a mi amigo Irving, quien aún a la distancia me brindó su ayuda académica y moral.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) A. : Espacio de funciones u de clase C 1 con respecto a la última variable,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. C 1,1. SI C. Lista de Sı́mbolos. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. y cuyas derivadas de todos los órdenes están en C 1. BV (R). : Conjunto de funciones de variación acotada. Lip(f 0 ). : Constante de Lipchitz de la derivada de la función f. ess sup |f | : Supremo esencial de la función f uobs (·) f˘. : Envolvente convexa inferior de f. : Envolvente cóncava superior de f. B. IB. LI O. TE. fb. : Solución observable en un intervalo [a,b]. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Jurado. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Índice general. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicatoria. Agradecimiento. III. IV. V. Lista de Sı́mbolos. VI. Resumen. IX. Abstract. TE. INTRODUCCIÓN. I. Leyes de Conservación. LI O. 1.1. Leyes de Conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. X. XI. 1 2 5. 1.3. Leyes de conservación no lineales y ondas de choque . . . . . . . . . .. 7. IB. 1.2. La Ecuación de advección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B. 1.4. Soluciones Débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. La Ecuación de Burger y el Problema de Riemann . . . . . . . . . . . 14 1.6. Condiciones de Entropı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. II. Problema Inverso 2.1. Antecedentes Históricos. 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 2.2. Problema Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. viii. III. Problema Inverso para leyes de conservación escalar. 30. 3.1. Método de Front tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. El problema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. A. S. 3.1.2. Algoritmo del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 3.2.1.. SI C. 3.2. Problema Inverso para leyes de conservación escalar . . . . . . . . . . 39 Caso I: k(x) constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 3.2.2. Caso II: k(x) como función escalar . . . . . . . . . . . . . . . 46 CONCLUSIONES. 52. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 53. ANEXOS. 56 56. B. IB. LI O. TE. A. Solucionador de Riemann. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Resumen. En la presente Tesis se elabora un proceso de reconstrucción, llamado también Problema Inverso, con el fin de determinar la función: k = k(x). que satisface la ecuación de la ley de conservación escalar : ∂t u + (k (x) f (u))x = 0. (0.1). a partir de las soluciones a los problemas de Cauchy asociados a la ecuación (0.1) y de un único dato inicial u (x, 0) = u0 (x).. B. IB. LI O. king. TE. Palabras claves: Leyes de conservación escalar, Problema Inverso, Front Trac-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Abstract. In this thesis a reconstruction process is made, wich is also called Inverse Problem, in order to determine the function. k = k(x). which satisfies the equation of the escalar conservation law: ∂t u + (k (x) f (u))x = 0. (0.2). from solutions to the problems Cauchy associated to the equation(0.2) and a unique initial data u (x, 0) = u0 (x).. B. IB. LI O. TE. Key words: Scalar Conservation Laws, Inverse Problem, Front Tracking.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. INTRODUCCIÓN. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La ecuación de la ley de conservación escalar. ut + (f (u))x = 0. (0.3). u (x, 0) = u0 (x) , x ∈ R. (0.4). junto con una condición inicial. es llamado problema de Cauchy.. El estudio de éstas ecuaciones es importante pues la modelación matemática de muchos problemas en ciencia e ingienerı́a conduce a ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de éste tipo. Como ejemplos se tiene los problemas de Aerodinámica, Metereologı́a, Flujo de Tráfico, entre otros como se muestra en [11],[16],[18],[20],[22].. TE. La propiedad mas interesante de dichas ecuaciones es que admiten ondas de choque en su solución, es decir, discontinuidades en la solución o en sus derivadas,. LI O. las cuales se forman aún cuando los datos iniciales sean suaves. Hecho que genera la necesidad de extender el concepto de solución clásica, para lo cual se define las. B. IB. Soluciones débiles, es decir, soluciones que no sean diferenciables o cuyas derivadas no son continuas. La introducción de la categorı́a de Soluciones Débiles amplı́a la clase de funciones que pueden ser soluciones de un mismo PVI, de allı́ que se necesita un criterio para seleccionar aquella solución débil fı́sicamente relevante de una ley de conservación. Éstos criterios se denominan Condiciones de Entropı́a .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción. xii. Como un ejemplo clásico se tiene la ecuación de Burger: . =0 x. S. ut +. 1 2 u 2. x ≤ 0,. si. x≥0. SI C. si. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ.   1, u0 (x) =  0,. A. con dato inicial. Por otro lado, al modelar un proceso fı́sico mediante un modelo matemático, se asume que éste proporciona una descripción del sistema detrás del proceso ası́ como las condiciones de operación. Los principales elementos del sistema son: datos de entrada, parámetros del sistema y datos de salida.. El análisis de un proceso fı́sico puede ser separado en tres tipos de problemas diferentes: problema directo, problema de reconstrucción y problema de identificación, a los dos últimos se les conoce como Problemas Inversos, pues al contrario del problema directo, dados los efectos se deben encontrar las causas que los originaron. En los problemas de reconstrucción se tiene acceso a los datos de salida y el sistema de parámetros y se desea encontrar los datos de entrada que provocan dicha salida.. TE. Un ejemplo de ello es el trabajo de Hyonbae Kang y Kazumi Tanuma [6], en él se. LI O. halla un proceso para reconstruir la función de flujo f dada en la ley de conservación. ut + (f (u))x = 0. (0.5). IB. escalar:. B. a partir de un choque y un único dato inicial, utilizando aproximaciones asintóticas. En el presente trabajo se nos planteamos lo siguiente: ¿Es posible hallar el coeficiente desconocido k(x) dado en la ecuación de la ley de conservación escalar ut + (k(x)f (u))x = 0 ,. (0.6). mediante la solución del problema inverso asociado a ella? Para dar respuesta a ésta cuestión partimos de la observación de las soluciones uobs. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción. xiii. correspondientes a los problemas de Cauchy propuestos con datos iniciales de la forma: x<0. ,. x>0. (0.7). A. d. ,. S.   u i u0 (x, t) =  u. SI C. Éste tipo de problema inverso tiene muchas aplicaciones dependiendo del fenómeno. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. fı́sico subyacente descrito por la ecuación (0.6) (Ver por ejemplo [22],[24]). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Capı́tulo I. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Leyes de Conservación. En este primer capı́tulo se presentan algunas definiciones y resultados necesarios para el desarrollo de nuestra investigación, organizadas del siguiente modo: En la Sección 1.1, se introduce las formas integral y diferencial de las leyes de conservación. Las primeras son muy importantes pues, cuando hablamos de soluciones débiles, el punto de partida debe ser la forma integral. Luego, se introduce la forma diferencial, la cual se puede obtener asumiendo la diferenciabilidad de la solución. En la Sección 1.2, se estudia un caso simple de las leyes de conservación: la ecuación. TE. de advección lineal, la cual motiva la definición de solución de la ley de conservación. LI O. en el caso en que los datos iniciales no sean suaves.. En la Sección 1.3, se analiza el caso no lineal obteniendo la solución de manera. IB. implı́cita. Luego, se estudia la formación de ondas de choque donde se ve la necesi-. B. dad de extender el concepto de solución clásica. En la sección 1.4, se muestra la extensión de solución clásica definiendo las soluciones débiles, incluyendo también condiciones necesarias, como la Condición de RankineHugoniot. En la Sección 1.5, se presenta la ecuación de Burgers la cual sirve de modelo para trabajar el problema de Riemann.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Leyes de Conservación. 2. Finalmente en la sección 1.6, se resuelve el problema de la pérdida de unicidad de la solución del problema de Riemann (de la sección anterior) con ayuda de las. Leyes de Conservación. SI C. 1.1.. A. S. Condiciones de entropı́a.. En general, las leyes de conservación son sistemas de ecuaciones diferenciales. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. parciales no lineales dependientes del tiempo, con una estructura particularmente simple. En una dimensión las ecuaciones toman la forma: ∂. ∂t. ∂. u (x, t) +. ∂x. f (u (x, t)) = 0. (1.1). donde u : R × R+ −→ Rm es una función vectorial m-dimensional de cantidades conservadas, o variables de estado,tales como masa, momento y energı́a. La función vectorial f : Rm −→ Rm , al menos de clase C 2 , es llamada función de flujo para el sistema de leyes de conservación.. Observe que uj es una función de densidad para la j-ésima variable de estado, con la Rx interpretación de que x12 uj (x, t) dx es la cantidad total de ésta variable de estado. TE. en un intervalo [x1 , x2 ] en un tiempo t.. LI O. Asumiremos que el sistema (1.1) es hiperbólico, es decir, que la matriz Jacobiana f 0 (u) , m × m, es diagonalizable teniendo sólo valores propios reales.. IB. En un espacio de dos dimensiones, el sistema de leyes de conservación asume la. B. forma: ∂ ∂t. ∂ u (x, y, t) +. ∂x. ∂ f (u (x, y, t)) +. ∂x. g (u (x, y, t)) = 0. (1.2). donde u : R2 × R+ −→ Rm es una función vectorial y f, g : R × Rm −→ Rm son funciones de flujo. La generalización para mas dimensiones es inmediata. Hiperbolicidad significa que cualquier combinación lineal αf 0 (u) + βg 0 (u) , α, β ∈ R, de los jacobianos de las funciones de flujo es diagonalizable con autovalores reales.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Leyes de Conservación. 3. A continuación estableceremos las formas integral y diferencial de las leyes de con-. A. (1.3). SI C. La forma integral está dada por: Z d x2 u (x, t) dx = f (u (x1 , t)) − f (u (x2 , t)) dt x1. S. servación para m = 1 .. Luego se puede obtener una segunda forma integral, integrando (1.3) en el tiempo,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. de t1 hasta t2 , con t1 > t2 : Z Z x2 Z x2 u (x, t1 ) dx + u (x, t2 ) dx = x1. x1. t2. Z. t2. f (u (x1 , t)) dt −. f (u (x2 , t)) dt (1.4). t1. t1. Si f y u fueran diferenciables podemos obtener, usando Z t2 ∂ u (x, t2 ) − u (x, t1 ) = u (x, t) dt t1 ∂t y. Z. x2. f (u (x2 , t)) − f (u (x1 , t)) =. x1. ∂ f (u (x, t))dx , ∂x. la forma diferencial de la ecuación de la ley de conservación : ∂ ∂ u (x, t) + f (u (x, t)) = 0 ∂t ∂x. (1.5). TE. Las formas integrales admiten una interpretación fı́sica, como por ejemplo la conservación de masa en un problema de dinámica de gases unidimensional (más detalles. LI O. en el libro de LeVeque [9]). Para esto, suponga que se tiene el flujo de un gas en un tubo, cuyas propiedades, tales como densidad y velocidad, son asumidas constantes. B. IB. a través de cada sección transversal. Sea x la distancia a lo largo del tubo y u(x, t). la densidad de masa del gas en el punto x en un instante de tiempo t.. La densidad es definida de tal forma que la masa total del gas, en cualquier sección de x1 a x2 , está dada por la integral de densidad Z. x2. {masa total en [x1 , x2 ] en el instante t} =. u (x, t) dx. (1.6). x1. Asumiendo que las paredes del tubo son impermeables y que la masa no se crea ni se destruye, entonces la masa en ésta sección puede variar solamente si el gas fluye. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Leyes de Conservación. 4. a través de los puntos de la frontera x1 y x2 . Ahora sea υ (x, t) la velocidad de un gas en un punto x y tiempo t. Entonces el flujo. S. de masa que pasa por éste punto está dado por {f lujo de masa en (x, t)} = u (x, t) υ (x, t). A. (1.7). SI C. Siendo ası́, la tasa de variación de masa en [x1 , x2 ] está dado por la diferencia de los. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. flujos de masa en x1 y x2 , Z d x2 u (x, t) dx = u (x1 , t) υ (x1 , t) − u (x2 , t) υ (x2 , t) dt x1. (1.8). Ésta es la primera forma integral de la ley de conservación de la masa. La segunda forma integral es obtenida integrando en el tiempo la ecuación (1.7) de t1 hasta t2 , obtenemos ası́ una expresión para la masa en [x1 , x2 ] en un tiempo t2 > t1 en términos de la masa en un tiempo t1 y del flujo total en cada frontera durante este periodo de tiempo Z x2 Z u (x, t2 ) dx = x1. x2. Z. t2. t2. u (x1 , t) υ (x1 , t) dt −. u (x, t1 ) dx +. x1. Z. t1. u (x2 , t) υ (x2 , t) dt. t1. (1.9). De manera equivalente, como se hizo para el caso general anterior, suponiendo que u (x, t) y υ (x, t) son diferenciables, se obtiene la forma diferencial de la ley de con-. LI O. TE. servación de la masa. ut + (uυ)x = 0. (1.10). Las formas integrales (1.3) y (1.4) corresponden a las leyes de conservación fı́sicas. IB. fundamentales. Es importante observar que éstas ecuaciones tienen sentido incluso si. B. la función u (x, t) es discontinua. Por otro lado, su versión diferencial (2.5) tambien será válida cuando u (x, t) es suave. La ley de conservación (1.10) puede ser resuelta de manera aislada sólo si la velocidad υ es conocida a priori o es conocida como una función de u(x, t). Si es ası́, entonces uυ es una función de u solamente, es decir f (u) = uυ, y la ley de conservación (1.10) se convierte en una ley de conservación escalar para u ut + f (u)x = 0. (1.11). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 La Ecuación de advección. 1.2.. 5. La Ecuación de advección. Antes de abordar el caso no lineal, trataremos el caso lineal de una ley de con-. A. S. servación escalar, la Ecuación lineal de advección,. SI C. ut + υux = 0. (1.12). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. donde v = constante es la velocidad de advección, para la cual será dada una condición inicial u(x, 0) = u0 (x) (Problema de Cauchy).. Definición 1.1 : Las curvas caracterı́sticas asociadas a (1.12) son curvas que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria   x0 (t) = υ  x(0) = x. 0. es decir son curvas de la forma x − υt = x0. Observar que la solución de (1.12), u(x, t), es constante a lo largo de éstas curvas caracterı́sticas. De hecho,. LI O. TE. ∂ ∂ d u (x (t) , t) = u (x (t) , t) + u (x (t) , t) x0 (t) dt ∂t ∂x = ut + υux = 0. IB. por lo que u(x(t), t) = constante. Ası́ u (x, t) = u (x0 , 0) = u0 (x0 ). Por tanto, la. B. solución está dada por u (x, t) = u0 (x − υt) ,. ∀t ≥ 0. (1.13). Esto quiere decir que cuando el tiempo evoluciona, el dato inicial simplemente se propaga de manera invariable para la derecha (si υ > 0) o para la izquierda (si υ < 0) con velocidad υ.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 La Ecuación de advección. 6. La ecuación de advección proporciona el concepto de curva caracterı́stica, el cual puede ser enunciado de forma mas general. Para esto consideremos el siguiente pro-. c (x, t, u). =. u0 (s) ,. donde γ es una curva parametrizada por y = g (s) ,. z = h (s) .. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. x = f (s) ,. (1.14). A. =. SI C.   a (x, t, u) u + b (x, t, u) u t x  u (γ (s)). S. blema de Cauchy:. La superficie solución z = u(x, t) es llamada superficie integral de la EDP (1.14). Las curvas que satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias   a (x, t, u) u + b (x, t, u) u = c (x, t, u) t x  u (γ (s)) = u (s) ,. (1.15). 0. son llamadas curvas caracterı́sticas. Observaciones. a) En la ecuación lineal de advección se vio que la solución a lo largo de las curvas caracterı́sticas (1.13) depende sólo del valor de u0 (x). Entonces se puede definir una “solución” para la EDP aún cuando el dato inicial u0 (x0 ) no sea. TE. una función suave.. LI O. b) Si u0 (x) tiene una singularidad en algún punto x0 (una discontinuidad en u0 o en alguna derivada), entonces la solución u(x, t) tendrá una singularidad del. B. IB. mismo orden a lo largo de las curvas caracterı́sticas a través de x0 . Esta es una propiedad fundamental de las ecuaciones hiperbólicas lineales: las singularidades sólo se propagan a lo largo de las curvas caracterı́sticas. Si el dato inicial u0 no fuera diferenciable en algún punto, entonces u(x, t) ya no será más una solución clásica de la ecuación diferencial. Sin embargo, ésta función va a satisfacer la forma integral de la ley de conservación, que sigue siendo válida para funciones u no suaves.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Leyes de conservación no lineales y ondas de choque. 1.3.. 7. Leyes de conservación no lineales y ondas de. S. choque. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. con condición inicial. SI C. ut + f (u)x = 0. A. Consideremos leyes de conservación no lineales. u (x, 0) = u0 (x). (1.16). (1.17). donde f (u) es una función no lineal de u.. Asumiremos de aquı́ en adelante, salvo que se diga lo contrario, que f (u) es una función convexa, es decir, f 00 (u) > 0 para todo u. Luego, se puede escribir (1.16) como. ut + f 0 (u) ux = 0. (1.18). de forma análoga a la ecuación de advección lineal (1.12). En éste caso también, la solución u(x, t) permanece constante a lo largo de las curvas caracterı́sticas que se. LI O. TE. obtienen cuando resolvemos la ecuación diferencial ordinaria x0 (t) = f 0 (u (x, t)) ,. x (0) = x0. (1.19). B. IB. De hecho,. d ∂ ∂ u (x (t) , t) = u (x (t) , t) + u (x (t) , t) x0 (t) dt ∂t ∂x = ut + f 0 (u) ux = 0.. Dado que u(x(t), t) es constante a lo largo de las curvas caracterı́sticas, entonces f (u(x(t), t)) es constante y por tanto x0 (t) = f 0 (u (x (t) , t)) es constante. Esto significa que las curvas caracterı́sticas son lı́neas rectas.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Leyes de conservación no lineales y ondas de choque. 8. Si asumimos que el dato inicial (1.17) es suave, se puede usar éste hecho para de-. De ésta forma, obtenemos la ecuación implı́cita. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. u (x, t) = u0 (x − tf 0 (u)). A. u (x (t) , t) = constante = u (x0 ). SI C. x = x0 + tf 0 (u0 (x0 )) ,. S. terminar la solución u(x, t) sobre las caracterı́sticas. (1.20). A continuación, se probamos que la solución (1.20) desarrolla ondas de choque, es decir, la solución desarrolla discontinuidades aún cuando los datos iniciales sean suaves.. Para ello suponer que la condición inicial u0 (x) es diferenciable, por lo que se aplica el Teorema de la Función implı́cita a la ecuación (1.20), para obtener u como una función diferenciable de x y t.. Sea F (x, t, u) = u − u0 (x − tf 0 (u)), una función de variables x, t y u. Entonces se tiene que. TE. Fx = −u0 0. ,. Ft = u0 0 f 0 (u). ,. Fu = 1 + tu0 0 f 00 (u). LI O. Luego para t = 0, se tiene que Fu = 1 6= 0 por tanto, por el Teorema de la función implı́cita obtenemos u en función de x y t alrededor de t = 0. Además de eso sus. B. IB. derivadas parciales serán ut = −. Ft u0 0 f 0 (u) =− Fu 1 + tu0 0 f 00 (u). ux = −. Fx u0 0 = Fu 1 + tu0 0 f 00 (u). Si u0 0 ≥ 0, entonces ut , ux están acotadas para todo t > 0. Mas aún, u0 0 (x) será una función creciente de x, esto quiere decir que las caraterı́sticas que salen del eje x divergen en la dirección positiva de t, es decir, las caracterı́sticas no se intersectan,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Leyes de conservación no lineales y ondas de choque. 9. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. simplemente cubren el semiplano t > 0 ,(Ver la figura 1.1(a)).. Figura 1.1: (a) Caracterı́sticas (u0 0 ≥ 0).. (b) Intersección de caracterı́sticas. (u0 0 ≤ 0, t = Tb ). En el caso u0 0 < 0 (ux (x, 0) < 0) en algún punto, ut y ux tenderán al infinito cuando 1 + u00 f 00 (u) tiende a cero. Esto quiere decir que para algún instante de tiempo t la ecuación (1.20) no tendrá solución única. Esto sucede cuando las curvas caracterı́sti-. TE. cas se intersectan, que es consecuencia de tener u00 (x) < 0, (Ver la figura 1.1(b)). Si igualamos a cero el denominador de ux , esto es, 1 + tu00 f 00 (u) = 0, se tiene que. LI O. t = − u0 f100 (u) . Entonces el tiempo donde las caracterı́sticas se intersectan por primera 0. vez será t = Tb = − f 00 (u)min1. {u00 (x)} se tiene la formación de choques.. , en éste instante de tiempo la onda se quiebra y. B. IB. x. A partir de éste instante, no existirá más solución clásica de la EDP (Ver la figura 1.2). En la siguiente sección se mostrará como superar ese problema.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 10. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 1.4 Soluciones Débiles. Figura 1.2: Formación de una onda de choque. 1.4.. Soluciones Débiles. Una manera de definir soluciones generalizadas para la ecuación (1.16), es decir, soluciones que no requieren diferenciabilidad, consiste en volver a la forma integral de la ley de conservación es decir u(x, t) es una solución generalizada si (1.4) se. TE. satisface para todo x1 , x2 , t1 , t2 (ver Lax[7]).. LI O. Sin embargo, existe otra definición equivalente que resulta en una formulación integral diferente más conveniente para éste trabajo. La idea básica consiste en tomar. IB. una EDP, multiplicarla por una función test suave, integrarla una o más veces sobre. B. un dominio y, entonces usar integración por partes para remover las derivadas de la función u transfiriéndolas a la función test suave.. El resultado es una formulación que involucre menos derivadas sobre u, requiriendo por tanto menos suavidad. En éste caso se usarán funciones test φ ∈ C01 (R × R+ ), donde C01 es un espacio de funciones continuamente diferenciables con soporte compacto.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Soluciones Débiles. 11. Aplicamos este procedimiento a ut + f (u)x = 0 multiplicándola por φ (x, t) e integrando en el espacio y el tiempo obtenemos Z +∞ Z +∞ [φut + φf (u)x ] dxdt = 0 ,. 0. −∞. A. Ahora, integrando por partes se obtiene Z +∞ Z +∞ Z [φt u + φx f (u)] dxdt +. S. −∞. +∞. SI C. 0. φ (x, 0) u (x, 0) dx = 0 ,. −∞. (1.21). débil.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. que es la formulación débil de nuestro problema, para el cual definimos solución. Definición 1.2 : La función u(x, t) es llamada solución débil de la ley de conservación (1.16), si (1.21) se verifica para toda función test φ ∈ C01 (R × R+ ). Con ésta definición, se amplı́a bastante la clase de funciones que pueden ser soluciones del problema de valor inicial (1.16) y (1.17). En particular, toda solución clásica u ∈ C01 (R × R+ ), es una solución débil.. Aunque una solución débil no puede ser diferenciable, ella debe ser una solución global. No tiene sentido hablar de solución débil local, aunque se tiene que hablar de solución clásica local. Otro detalle a ser observado es que el concepto de solución. TE. débil es de lo más natural. Si se hace referencia a la formulación integral de las leyes de conservación (1.4), se ve que para que éstas ecuaciones se satisfagan no hay nece-. LI O. sidad de que las funciones involucradas sean diferenciables. El concepto de solución. IB. débil está ı́ntimamente ligado a la teorı́a de distribuciones.. B. Ahora que ya se definió una solución débil, en el siguiente teorema se darán condiciones necesarias para que una solución débil sea discontinua. Teorema 1.1 (Condición de Rankine-Hugoniot) Sea Ω una vecindad abierta en el semiplano superior abierto y suponer que una curva Γ, (α, β) 3 t −→ x(t) divide Ω en dos partes Ωi y Ωd , ambas a izquierda y derecha de la curva, respectivamente. Sea u una solución débil de la ecuación (1.16) (las condiciones iniciales no son de interés aquı́) tal que:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Soluciones Débiles. 12. 1. u es una solución clásica (1.16) en Ωi y Ωd , 2. u tiene una discontinuidad de salto [u] en la curva Γ, la onda de choque,. S. 3. El salto [u] es continuo a lo largo de Γ, y. SI C. A. para cualquier p ∈ Γ, sea s := x0 (p) la tangente a Ω en p, la velocidad de la. onda de choque. Entonces la siguiente relación se verifica entre la curva y los saltos,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. s [u] = [f (u)]. (1.22). Aquı́ para cualquier p = x, t ∈ Γ definimos: [u] (p) := ud (p) − ui (p) :=. lı́m. d. u (xd , td ) −. lı́m. i. u (xi , ti ). (xd ,td )→p. (xd ,td )→p. El teorema anterior nos dice cómo una onda de choque se propaga a lo largo del tiempo, proporcionando condiciones suficientes para calcular la velocidad de propagación de la onda de choque.. Este resultado será usado, en la próxima sección , para resolver problemas de Riemann. La prueba de éste teorema puede ser encontrada en el libro de Renardy y Rogers [24].. TE. Se debe tener cuidado al manipular algebraicamente las leyes de conservación. La transformación de una forma diferencial en otra puede alterar la estructura del es-. (1.23). IB. LI O. pacio de funciones débiles. Por ejemplo, la Ecuación de Burgers, 1 2 ut + u =0 2 x. B. es equivalente a la ecuación u. 2. . t. +. 2 3 u 3. =0. (1.24). x. la cual es nuevamente una ley de conservación, sólo que ahora para u2 , con función de flujo f (u) = 32 u3 . Las ecuaciones (1.23) y (1.24) tienen la misma solución suave u (x, t) = u0 (x − tu). Sin embargo, ellas tienen diferentes soluciones débiles. Por. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Soluciones Débiles. 13. x≥0. A x ≤ 2t ,. si. x>. t 2. SI C. si. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Se tendrá como solución débil de (1.23)   1, u (x, t) =  0,. x ≤ 0,. S. ejemplo, se se considera la condición inicial   1, si u0 (x) =  0, si. pues se ve que, de acuerdo con el teorema anterior,. (1) u es solución clásica de (1.23) en ambos lados de la curva de discontinuidad Γ : x (t) =. t 2. (2) u tiene una discontinuidad de salto [u] = ui − ud = 1, y obviamente (3) El salto u es continuo a lo largo de Γ Por tanto la velocidad del choque es. s1 =. 1 [f (u)] = [u] 2. LI O. TE. Sin embargo, la única solución débil para (1.24) está dada por   1, si x ≤ 2t , 3 u (x, t) =  0, si x > 2t 3. para la cual la curva de discontinuidad Γ está dada por x =. 2t , 3. a lo largo de la. B. IB. cual ella satisface las condiciones del teorema anterior. Por lo tanto, se tiene que la velocidad del choque será s2 =. [f (u)] 2 = [u] 3. Dadas las consideraciones anteriores, vemos que s1 6= s2 , y las dos ecuaciones tienen diferentes soluciones débiles. La deducción de (1.24) a partir de (1.23) requiere la manipulación de derivadas, de manera que solamente es válida cuando u es suave.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 La Ecuación de Burger y el Problema de Riemann. 1.5.. 14. La Ecuación de Burger y el Problema de Rie-. S. mann. A. Ahora tratamos el problema más famoso en el campo de las leyes de conservación,. SI C. la ecuación de Burgers, para la cual la función de flujo está dada por f (u) = 12 u2 , y por tanto (1.16) toma la forma. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ut + uux = 0. (1.25). Luego, se resuelve la ecuación de Burgers para datos iniciales no suaves, como por ejemplo.    1,   u0 (x) = 1 − x,     0,. si. x ≤ 0,. si. 0 < x < 1,. si. x≥1. (1.26). B. IB. LI O. TE. En este caso las curvas caracterı́sticas, están dadas en la Figura 1.3-(a).. Figura 1.3: (a) Caracterı́sticas de la ecuación de Burgers con dato (1.26). Observe la intersección de ellas para t ≥ 1. (b) Formación de la discontinuidad en la ecuación de Burgers. En la Figura 1.3-(a) se aprecia que las caracterı́sticas que parten de x = 0 y x = 1 se encuentran en t = 1, que es el tiempo donde la onda comienza a “quebrarse”.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 La Ecuación de Burger y el Problema de Riemann. 15. A partir de t = 1, se tiene una discontinuidad, una onda de choque, que separa el lado izquierdo, ui = 1, del lado derecho, ud = 0. La velocidad de propagación del choque fue calculada de acuerdo con la condición de salto (1.22), con f (u) = 12 u2 ,. A. S. siendo s = 21 .. SI C. Una vez introducida la discontinuidad, las caracterı́sticas en el plano x − t son como en la Figura 1.3-(b). Por lo tanto, la solución débil de este ejemplo, para todo t,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. está dada por. u (x) =.    1,  . 1−x. 1−t     0,.   1, u (x) =  0,. ,. si. x ≤ t , t < 1,. si. t < x < 1 , t < 1,. si. x≥1, t<1. si. x < 1 + 21 (t − 1) y t ≥ 1,. si. x > 1 + 12 (t − 1) y t ≥ 1. (1.27). (1.28). Observe que la solución (1.27), para t < 1, es solución clásica. En las figura 1.4 se. B. IB. LI O. TE. tiene el gráfico de las ondas en el espacio.. Figura 1.4: Solución débil de la Ecuación de Burgers con dato inicial (1.26) La ley de conservación (1.25) con datos iniciales constantes por partes de la forma   u , si x < 0, i u (x, 0) = (1.29)  u , si x ≥ 0 d. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 La Ecuación de Burger y el Problema de Riemann. 16. se conoce como Problema de Riemann El estudio del problema de Riemann es pedagógicamente importante, pues permite. S. analizar una variedad de ondas de comportamiento parecido a los choques. El pro-. A. blema de Riemann también es de gran importancia práctica, pues algunas de las. SI C. técnicas numéricas más usadas para estudiar leyes de conservación están basadas en la resolución de una serie de problemas de Riemann. Además, éstas técnicas numéri-. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. cas son la base para las pruebas de existencia general.. Consideramos la ecuación de Burgers con el dato inicial (1.29). La forma de la solución depende de la relación entre ui y ud . Caso I: ui > ud. En éste caso existe una única solución débil,.   u, i u (x, t) =  u , d. donde s =. ui +ud 2. si. x < st,. si. x > st. (1.30). es la velocidad del choque. Observe que las curvas caracterı́sticas. TE. en cada una de las regiones donde u es constante “entran” a la onda de choque (ver. B. IB. LI O. Figura 1.5), cuando el tiempo evoluciona.. Figura 1.5: Caracterı́sticas y choque en la solución débil.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 La Ecuación de Burger y el Problema de Riemann. 17. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Caso II: ui < ud. Figura 1.6: Caracterı́sticas en el plano de la ecuación de Burgers para el caso II En éste caso las curvas caracterı́sticas no cubren el plano como se ver en la figura 1.6. Resta por tanto, construir la solución en los puntos por donde no pasan las caracterı́sticas. Esto se puede hacer por lo menos de dos maneras. O por la introducción de una onda de choque con s =. ui +ud , 2. donde se puede observar que las. TE. caracterı́sticas “salen” del choque (Figura 1.7-(a)), o bien por la introducción de un. B. IB. LI O. abanico de rarefacción, como se muestra en la Figura 1.7-(b). Figura 1.7: (a)Caracterı́sticas en el plano exhibiendo una onda de rarefacción. (b) Caracterı́sticas en el plano exhibiendo un abanico de rarefacción.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 La Ecuación de Burger y el Problema de Riemann. 18. La solución con onda de choque es dada por (1.30) y en el caso de la onda de rare-. si. ui t ≤ x ≤ ud t. si. x > ud t. A. x < ui t,. (1.31). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. d. si. SI C.    u,   i x u (x, t) = , t     u ,. S. facción es dada por. Más aún, en éste caso existen infinitas soluciones débiles. Por ejemplo.    ui ,      u , m u (x, t) = x  ,   t     u , d. si. x < sm t,. si. sm t ≤ x ≤ um t. si. um t ≤ x ≤ ud t. si. x > ud t. Y también una solución débil para cualquier um con ui ≤ um ≤ ud y sm =. (1.32). ui +um . 2. A continuación deducimos una solución con onda de rarefacción para un problema escalar convexo general, (1.16) con dato inicial (1.29) y ui < ud .. TE. Como el dato inicial ocurre en x = 0, se puede tomar cualquier solución débil u(x, t). LI O. de (1.16) y formar una familia parametrizada de soluciones uλ (x, t) := u (λx, λt). B. IB. Si se desea que el problema tenga una única solución, entonces u debe tener la forma u (x, t) := ũ. x t. sustituyendo ésta ecuación en (1.16) se tiene x 1 − 2 ũ0 + f 0 (u) ũ0 = 0 t t de donde, 1 0 0 x ũ . f (ũ) − =0 t t. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Condiciones de Entropı́a. 19. Por tanto, o ũ es constante o x x f 0 ũ = t t. x t. −1. = (f 0 ). x t. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Por tanto la solución con onda de rarefacción está dada por. SI C. ũ. A. S. En este caso, se usa el hecho que f 00 > 0 para deducir que f 0 es invertible y obtenemos.    u,   i u (x, t) = (f 0 )−1     u ,. x t. . d. ,. si. x < f 0 (ui ) t,. si. f 0 (ui ) t ≤ x ≤ f 0 (ud ) t. si. x ≥ f 0 (ud ) t. (1.33). Observación Con la introducción del concepto de solución débil es posible obtener diversas soluciones globales para un mismo problema. Sin embargo, no todas ellas son fı́sicamente relevantes. Se verá a continuación un criterio adicional para discernir cual de ellas es fı́sicamente relevante.. Condiciones de Entropı́a. TE. 1.6.. LI O. La solución con onda de choque del caso I de la sección anterior, es llamada onda de compresión, ocurre en dinámica de gases. Las caracterı́sticas, se recorrerán en. IB. dirección creciente de t, entran en la onda de choque y “desaparecen”, Figura 1.5,. B. resultando en la pérdida de información (el proceso es irreversible), generando un crecimiento de la Entropı́a. Esto es fı́sicamente viable.. En el caso II, la solución con onda de rarefacción, nunca ocurre en dinámica de gases. Su aparición genera un decrecimiento de la Entropı́a, lo que es fı́sicamente inviable, habiendo en esta generación espontánea de información. Se ve que este es un criterio natural para seleccionar una de las muchas soluciones débiles que pueda tener una ley de conservación. Por tanto, se denominará soluciones entrópicas,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Condiciones de Entropı́a. 20. a aquellas soluciones débiles que generan un crecimiento de entropı́a.. A. S. Se presenta a continuación la primera versión de la condición de entropı́a.. SI C. Condición de Entropı́a (Versión I, Condición de choque de Lax). Una discontinuidad que se propaga con velocidad s dada por (1.22) satisface la. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. condición de entropı́a, si f 0 (ui ) > s > f 0 (ud ). (1.34). Para f convexa, la velocidad s de la discontinuidad, dada por la ecuación (1.22), debe estar entre f 0 (ui ) y f 0 (ud ); de esta forma la ecuación (1.34) se reduce simplemente a la condición f 0 (ui ) > f 0 (ud ) la cual, nuevamente por la convexidad, implica que ui > ud .. En el teorema 1.2 se prueba que la ecuación (1.16) con f (u) convexa y u0 (x) acotada y localmente integrable, posee una única solución entrópica (ver teorema 1.2). Esta solución puede ser clásica, diferenciable en una vecindad del dato inicial y, eventualmente, desarrollará discontinuidades (choques), como por ejemplo en la Figura 1.3-(b), el choque se forma en el instante T0 = 1. Hasta este instante la solución era. TE. clásica.. LI O. Se ve que el proceso hasta T0 es irreversible, una vez que se pueda obtener cualquier dato inicial a partir de la solución en (x, t), para esto basta regresar a los datos. IB. iniciales a lo largo de la curva caracterı́stica que pasa por (x, t). A partir de la in-. B. formación del choque, el proceso se torna irreversible pues las curvas caracterı́sticas pasan a ser “tragadas” por el choque. Por lo tanto en un tiempo T1 > T0 , toda la información proveniente de algún intervalo [x1 , x2 ] se perderá. Por tanto, no es posible recuperar estos datos iniciales a partir de la solución en un tiempo T1 . Esto, a groso modo, caracteriza la irreversibilidad del proceso.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Condiciones de Entropı́a. 21. A continuación daremos una forma más general de la condición de entropı́a (1.35), debido a Oleinik [11], la cual se aplica también a funciones de flujo escalares f , no. S. convexas. Véase también LeVeque [9].. A. Condición de Entropı́a (Versión II). siguiente propiedad:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. f (u) − f (ui ) f (u) − f (ud ) ≥s≥ u − ui u − ud. SI C. La solución u(x, t) es una solución entrópica si todas las discontinuidades tienen la. (1.35). para todo u entre ui y ud. Para f convexa, esta condición se reduce a (1.34). Otra forma de la condición de entropı́a está basada en la difusión de las caracterı́sticas en un abanico de rarefacción. Si u(x, t) fuera una función creciente de x en alguna región, entonces las caracterı́sticas se propagan para fuera si f 00 (x) > 0. La tasa de propagación puede ser cuantificada y está dada por la siguiente condición, también debido a Oleinik [11] (Véase también LeVeque [9]).. Condición de Entropı́a (Versión III). TE. La solución u(x, t) es una solución entrópica si existe una constante E > 0 tal que. LI O. para todo a > 0, t > 0 y x ∈ R, se tiene. u (x + a, t) − u (x, t) E < a t. (1.36). B. IB. La cual permite presentar el teorema de existencia y unicidad para soluciones entrópicas.. Teorema 1.2 (Oleinik) Sea u0 ∈ L∞ (R) y f ∈ C 2 (R) con f 00 > 0 en {u : |u| ≤ ku0 k∞ }. Entonces existe una solución u de (1.16),(1.17) con las siguientes propiedades: 1. |u| ≤ ku0 k∞ ≡ M, (x, t) ∈ R × R+ ;. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Condiciones de Entropı́a. 22. 2. Existe una constante E > 0, dependiendo solamente de M, µ = min {f 00 (u) : |u| ≤ ku0 k∞ } y A = max {f 0 (u) : |u| ≤ ku0 k∞ }, tales que para todo a > 0, t > 0 y x ∈ R u (x + a, t) − u (x, t) E < a t. A. S. (1.37). SI C. 3. u es estable y depende continuamente de u0 en el siguiente sentido: Si u0 , u0 ∈ L∞ (R) ∩ L1 (R) con ku0 k∞ ≤ ku0 k∞ , ku0 k∞ ≤ ku0 k∞ es la solución corres-. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. pondiente construı́da de (1.16) con dato inicial ku0 k∞ ≤ ku0 k∞ , entonces para todo x1 , x2 ∈ R, con x1 < x2 , y todo t > 0, Z x2 Z x2 +At |u0 (x) − u (x)|dx |u (x, t) − u (x, t)|dx ≤ x1. (1.38). x1 +At. Teorema 1.3 Sea f ∈ C 2 , f 00 > 0, y sea u y u dos soluciones que satisfacen la condición (1.37). Entonces u = u para t > 0.. Los detalles de las demostraciones de los teoremas 1.2 y 1.3 pueden ser encontrada. B. IB. LI O. TE. en libro de Smoller [22].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Capı́tulo II. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Problema Inverso. En el presente capı́tulo se presenta el concepto de problema inverso, concepto necesario para la realización de éste trabajo .. En la sección 2.1 se habla del contexto histórico en el que nacen los primeros trabajos sobre problemas inversos.. En la sección 2.2 se muestra la definición y elementos del problema inverso. Además, se hablará brevemente de una propiedad inherente a éste problema, problema mal. LI O. TE. puesto.. Antecedentes Históricos. B. IB. 2.1.. Durante la segunda guerra mundial, el éxito del radar y del sonar hizo a la. comunidad cientı́fica preguntarse si era posible determinar, a partir de las mediciones hechas, más información que exclusivamente la posición del objeto; apareció ası́ un problema mal puesto : el problema inverso de scattering.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 24. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 2.2 Problema Inverso. Figura 2.1. Radar. En la década de los sesenta Andréi Tijonov (1906 - 1993), introdujo los métodos de regularización para problemas mal puestos (más detalles en [28], [29]), abriendo ası́ una puerta al tratamiento numérico de éstos, lo que junto con la gran capacidad computacional actual, ha lanzado el campo de los llamados problemas inversos como una rama muy activa y creciente de las Matemáticas, no solamente desde el punto de vista numérico sino también teórico.. Hay sin embargo otros antecedentes históricos de problemas inversos en los trabajos de Von Neumann y de Faddeev en el estudio de la teorı́a de Scattering cuántico. Existen muchos problemas inversos, algunos interesantes como la tomografı́a de ra-. TE. yos X y la transformada de Radon que tanta relación tienen con el análisis armónico,. LI O. ver por ejemplo los libros de Baumeister [2],y Tarantola [27].. B. IB. 2.2.. Problema Inverso. Uno de los problemas del tipo inverso que puede ser considerado como uno de. los más antiguos es el cálculo del diámetro de la tierra por Eratóstenes en el año 200 a.C. Por muchos siglos, la gente ha buscado lugares escondidos dando golpecitos en las paredes y analizando el eco, éste es un caso particular de problema inverso. Heisenberg (1901-1976), fı́sico alemán conocido por formular el principio de Incertidubre y por sus trabajos en Mecánica cuántica, fue quien conjeturó que la interacción. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Problema Inverso. 25. cuántica estaba totalmente caracterizada por su matriz de scattering la cual recoge información de la interacción en el infinito. El descubrimiento de neutrinos, midiendo las consecuencias de su existencia, está en el espı́ritu de los problemas inversos. A. S. también (ver el libro de Baumeister [2]).. SI C. En los últimos treinta años, el número de publicaciones sobre problemas inversos ha crecido rápidamente. La siguiente lista de problemas inversos da una buena impre-. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. sión de la amplia variedad de aplicaciones: * Problema Inverso de la inducción geomagnética. * Análisis de imagen.. * Localización de grietas o minas por prospección eléctrica. * Conducción de calor inversa. * Asimilación de datos.. * Reconstrucción de hechos el pasado * Tomografı́a discreta.. Y la lista continua, sólo algunos ejemplos han sido mencionados.. TE. Supongamos que tenemos un modelo matemático de un proceso fı́sico. Asumiendo que éste modelo da una descripción del sistema detrás del proceso y sus condiciones. LI O. de operación, saltan a la vista los principales elementos del modelo: datos entrada,. B. IB. sistema de parámetros y datos salida.. Figura 2.2. Proceso Fı́sico. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Problema Inverso. 26. En muchos casos, la descripción del sistema está dado en términos de un conjunto de ecuaciones (ecuaciones ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales, etc) conteniendo ciertos parámetros. El análisis del proceso fı́sico dado vı́a el modelo. A. S. matemático puede ser separado en tres tipos de problemas :. la “salida” (o dato de salida) del modelo.. SI C. A. Problema Directo: Dada la “entrada” y el sistema de parámetros, encontrar. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. B. Problema de Reconstrucción: Dado el sistema de parámetros y la salida, encontrar la entrada que nos lleva a ésta salida.. C. Problema de Identificación: Dada la entrada y salida, determinar el sistema de parámetros los cuales están en acuerdo con la relación entre la entrada y salida.. (Ver Figura 2.2). A un problema del tipo (A) se le llama problema directo (o hacia adelante) pues está orientado hacia una secuencia de causa- efecto.. En éste sentido los problemas del tipo (B) y (C) son llamados problemas inversos porque son problemas que consisten en encontrar las causas desconocidas de conse-. TE. cuencias conocidas.. Es claro, que la solución de uno de los problemas anteriores implica un tratamien-. LI O. to de otros problemas también. Se presenta a continuación, una descripción de la. B. IB. entrada, salida y sistema de parámetros en términos analı́ticos: X :. Espacio de cantidades de entradas. Y. Espacio de cantidades de salida. :. P : A(p) :. Espacio de parámetros Operador del sistema de X en Y asociado a p ∈ P. En éstos términos se formula los problemas de arriba de la siguiente manera: A. Dado x ∈ X y p ∈ P, encontrar y := A (p) x. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Problema Inverso. 27. B. Dado y ∈ Y y p ∈ P, encontrar x ∈ X tal que A (p) x = y C. Dado y ∈ Y y x ∈ X, encontrar p ∈ P tal que A (p) x = y. S. A primera vista, el problema directo (A) parece más fácil de resolver que los proble-. SI C. A. mas inversos (B) y (C). Sin embargo, para el cálculo de y := A (p) x será necesario la misma complejidad que la solución de las ecuaciones en problemas inversos.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Ejemplo 2.1 : Diferenciación de datos. Considerar el problema de encontrar la integral de una función dada. Este problema se puede resolver de manera analı́tica y numérica de forma muy estable. Cuando este problema es considerado directo (hacia adelante), entonces diferenciar una función dada es el problema inverso asociado.. Una descripción matemática es dada a continuación:. (*) Problema Directo: Con una función continua x : [0, 1] −→ R calcular: Z t x (s)ds, t ∈ [0, 1] y (t) := 0. (*) Problema Inverso: Dada una función diferenciable y : [0, 1] −→ R, deter-. TE. minar x := y 0. Algunos ejemplos simples de problemas inversos pueden convertirse formalmente en. LI O. problemas directos. Por ejemplo, si A tiene inverso conocido entonces el problema de reconstrucción es resuelto por x := A−1 y. Sin embargo, la determinación explı́cita. B. IB. de la inversa no ayuda si la salida “y” no está en el dominio de A−1 .. Esta situación es tı́pica en aplicaciones debido al hecho que la salida puede ser conocida de manera imprecisa y/o distorsionada por una fluctuación irregular.. En el caso lineal, es decir, A(p) es un mapeo lineal ∀p ∈ P, el problema (B) ha sido ampliamente estudiado y la teorı́a está bien desarrollada. La situación en el caso no lineal es algo menos satisfactoria.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Problema Inverso. 28. El problema de identificación (C) en un contexto general es más bien difı́cil, pues en casi todos los casos un problema (altamente) no lineal con muchas soluciones locales.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Ill Posedness Problem o Problema Mal Puesto. SI C. Ahora veamos el siguiente concepto ligado a los problemas inversos.. A. S. Por otra parte, el vector de entrada está disponible solamente de forma incompleta.. La modelación inversa implica la estimación de la solución de una ecuación de un conjunto de datos observables. La teorı́a recae en dos partes distintas.. Una, trata con el caso ideal en el cual los datos se suponen conocidos exacta y completamente (datos perfectos). La otra trata los problemas prácticos que son creados por datos incompletos e imprecisos (datos imperfectos).. Se podrı́a pensar que una solución exacta para un problema inverso con datos perfectos resultarı́a también útil para el caso práctico. Pero resulta, en problemas inversos, que la solución obtenida por la fórmula analı́tica es muy sensible a la manera en que. TE. se completa el conjunto de datos y errores en ella.. En una solución completa de problemas inversos las preguntas de existencia, uni-. LI O. cidad, estabilidad y construcción son consideradas.. IB. La cuestión de existencia y unicidad es de gran importancia en la prueba de la. B. hipótesis detrás de cualquier modelo matemático.. Si la respuesta en la pregunta de unicidad es negativa, entonces se sabe que incluso los datos perfectos no contienen suficiente información para recuperar la cantidad fı́sica a estimar. En la cuestión de la estabilidad tenemos que decidir si la solución depende de forma continua en los datos. La estabilidad es necesaria si se quiere estar seguro de que. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Problema Inverso. 29. una variación de los datos dados en un rango lo suficientemente pequeño conduce a un cambio arbitrariamente pequeño en la solución.. A. S. El concepto de estabilidad fue introducido por Hadamard en 1902 en relación con. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. denominó a los problemas inestables mal planteados.. SI C. el estudio de los problemas de contorno para ecuaciones diferenciales parciales y. La naturaleza de los problemas inversos (irreversibilidad, causalidad, estructuras no modeladas, etc) lleva al término mal puesto (o ill-posedness) como una propiedad caracterı́stica de estos problemas (Para más detalles se puede consulta el libro. B. IB. LI O. TE. de Beilina [3] y el de Baumeister [2]).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Capı́tulo III. Problema Inverso para leyes de conservación escalar. En el presente capı́tulo se presenta un método para reconstruir la función flujo f cuando la función k(x) es constante; para luego reconstruir la función k(x), cuando ésta sea una función escalar cualquiera.. En la sección 3.1 introducimos el método de Front Tracking, el cual permite en-. LI O. TE. contrar la solución de un problema de valores iniciales o Problema de Cauchy en: ut + (f (u))x = 0 u (x, 0) = u0. El método se describe utilizando como guı́a la ecuación de Burger, vista en la sección. B. IB. 2.5, que es un ejemplo clásico de ley de conservación con flujo no lineal. El objetivo es, usar parte de éste algoritmo para solucionar el problema en la sección siguiente. En la sección 3.2 encontramos un proceso de reconstrucción que nos permita hallar el coeficiente desconocido k(x) en la ecuación de conservación escalar : ut + (k(x)f (u))x = 0 Analizamos dos casos: el primero, cuando k(x) es una constante (sin pérdida de generalidad se puede suponer que es uno), y el segundo, cuando k(x) sea una función. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Método de Front tracking. 31. Método de Front tracking. Para presentar el método iniciamos considerando:. El problema de Riemann. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 3.1.1.. SI C. A. 3.1.. S. escalar cualquiera.. Considerar el problema de Riemann    ut + (f (u))x =          u (x, 0) = u0 (x)   . =. 0.   u , si x ≤ 0 i  u , si x > 0 d. (3.1). donde f ∈ C 2 (R) con un número finito de puntos de inflexión. De la cual, se busca soluciones del tipo u (x, t) = w xt . Reemplazando z = xt en (3.1), se obtiene: 1 0 1 x x 0 0 0 − + f (w) w0 = 0 − 2 w (z) + f (w) w (z) = 0 ⇐⇒ t t t t. (3.2). TE. o sea z = f 0 (w). Si f 0 es estrictamente monótona, obtenemos que w = (f 0 )−1 (z).. LI O. En general se tiene que reemplazar f 0 por una función monótona entre ui y ud .. Para ello, primero considerar el caso ui < ud , y afirmamos que la solución. B. IB. está dada por:   u,    i −1 u (x, t) = f˘0     u ,. x t. . d. ,. si. x < f˘0 (ui ) t,. si. f˘0 (ui ) t ≤ x ≤ f˘0 (ud ) t. si. x ≥ f˘0 (ud ) t. (3.3). donde f˘0 es la envoltura convexa inferior en el intervalo [ui , ud ], definida por: f˘ (u) := sup {g (u) /g ≤ f. y g es convexa sobre [ui , ud ]}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Método de Front tracking. 32. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. −1 0 −1 Además f˘0 = f˘ (Ver figura 3.1). Como f˘00 ≥ 0, f˘0 es no decreciente y se −1 puede formar la inversa f˘0 que admite discontinuidades donde f˘0 es constante.. Figura 3.1. la función f (u) y su envoltura convexa inferior f˘0 para los valores ui , ud . Las funciones f (u) y f˘0 coinciden para ui ≤ u ≤ u0 y u1 ≤ u ≤ ud . Si f ∈ C 2 con un número finito de puntos de inflexión, entonces existe un número. TE. finito de intervalos con extremos ui = u1 < u2 < ... < un = ud tal que f˘0 (u) < f (u). LI O. para u ∈ [ui−1 , ui ] ∪ [ui+1 , ui+2 ] , i = 1, n.. IB. En este caso la solución consiste en un número finito de intervalos sobre los cuales −1 x u es una solución regular dada por u (x, t) = f˘0 , que están separados por t. B. saltos en aquellas posiciones x que satisfacen: x = f 0 (uj ) t = t. f (uj+1 ) − f (uj ) = f 0 (uj+1 ) t uj+1 − uj. Para el caso ui > ud . Este caso puede ser transformado al caso discutido anteriormente, mediante la trans-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 33. A. SI C. formación x −→ −x. Luego el problema de Riemann que resulta es:    ut − (f (u))x = 0         u , si x < 0  i   u (x, 0) = u (x) =  0    u , si x ≥ 0 d. S. 3.1 Método de Front tracking. Entonces, se necesita la envoltura convexa inferior de −f entre ui y ud . Esta envol-. ud .. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. tura es precisamente la negativa de la envoltura cóncava superior desde ui y. fb(u) := inf {g (u) /g ≥ f. y g es cóncava sobre [ui , ud ]}. En éste caso, la solución débil, por lo visto en la sección 1.6, está dada por   u, si x < fb0 (ui ) t,    i −1 x u (x, t) = fb0 , si fb0 (ui ) t ≤ x ≤ fb0 (ud ) t t     u , si x ≥ fb0 (ud ) t d. (3.4). Esta construcción es válida en todas las situaciones donde la envoltura consiste en un número finito de intervalos con fb, f˘ 6= f que alternan con intervalos donde éstas funciones coinciden.. TE. Nota: Los valores de u donde f 0 es discontinua son llamadas puntas o break-. LI O. points de f .. Si ui < ud y las puntas de f son ui = u1 < u2 < ... < un = ud , entonces f˘ tiene sus. IB. puntas en un subconjunto de éstos puntos, por ejemplo en ui < ui1 < ... < uin < ud .. B. En éste caso, la solución es una función escalonada de z =. x t. que disminuye monóto-. namente entre ui y ud . Las discontinuidades están en: zi,k =. f (ui,k−1 ) − f (ui,k ) ui,k−1 − ui,k. Teorema 3.1 Sea f una función continua y lineal por trozos tal que f : [−K, K] −→ R y sean −K = u0 < u1 < ... < un = K. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(47) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 34. A SI C. las puntas de f . Entonces el problema de Riemann    ut + (f (u))x = 0         u , si x < 0  j   u (x, 0) = u (x) =  0    u , si x ≥ 0 k. S. 3.1 Método de Front tracking. sean. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. tiene una solución que es constante por trozos como función de z = xt . Si uj < uk , uj = υ1 < ... < υm = uk. las puntas de f˘ y si uj > uk , sean. uk = υm < ... < υ1 = uj. las puntas de fb. Entonces la solución débil del Problema de Riemann está dada por:. TE. u(x, t) =.                           . υ1 ,. si. x ≤ s1 t. υ2 , .. .. si. s1 t < x ≤ s2 t. υi , .. .. si. si−1 t < x ≤ si t. υm ,. si. x > sm−1 t. si =. f (υi+1 ) − f (υi ) υi+1 − υi. IB. LI O. Las velocidades resultan de la derivada de la envoltura, es decir:. B. La demostración de éste teorema se puede encontrar en libro de Risebro [16]. 3.1.2.. Algoritmo del método. Iniciamos recordando la ecuación de Burger . Consideramos una aproximación lineal por trozos del flujo de la ecuación de Burger. Escogemos intervalos de medida uno, para ésta ecuación, se trabajará la función de flujo sólo en el intervalo [−1, 2], donde ésta se define como:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(48) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Método de Front tracking. u ∈ [0, 1]. si. u ∈ [1, 2]. (3.5). S. si. A. u ∈ [−1, 0]. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. cuya gráfica es. si. SI C.    − u2 ,         u f (u) = , 2           3u − 1, 2. 35. Figura 3.2. Gráfico de la función de flujo f (u). B. IB. Deseamos resolver el problema de valor inicial:    ut + (f (u))x = 0            2, si x ≤ x1       u0 (x) =  −1, si x1 < x ≤ x2          1, si x2 < x Entonces, resolvemos dos problemas de Riemann: el primero en x1 y el segundo en x2 .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.