Potencias, Raíces y Logaritmos

POTENCIAS – PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS - ECUACIONES EXPONENCIALES – RAÍCES – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES – APLICACIÓN – EJERCICIOS B.I. – EJERCICIOS PSU - LOGARITMOS – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS – CAMBIO DE BASE - APLICACIONES

HISTORIA:

Antecedentes históricos señalan que fueron los algebristas babilonios quienes primero estudiaron la resolución de las ecuaciones exponenciales por medio de un tanteo inicial seguido de una interpolación. con estos procedimientos trataron de calcular el tiempo necesario para que una cantidad determinada de dinero se duplicara al ponerla a una tasa dada de interés compuesto....

Sus tablas les indicaban que no todos los números racionales que figuraban en ellas tenían una raíz cuadrada tabulada. Enfrentados a este problema, procedieron a obtener sus valores aproximados por medio de la regla . Dos mil años después, Herón de Alejandría ( s. II a. De C.) deduciría esta misma regla. Resulta interesante observar que esta aproximación razonable puede obtenerse hoy por medio de la serie binomial de Newton. queda claro que, en cierta forma, los babilonios dos mil años antes que los griegos, dominaban ya algunos aspectos del Álgebra.

Se denomina potencia de base real y exponente entero a toda expresión de la forma

PROPIEDADES

Potencias de igual base

Multiplicación

Se conserva la base y se suman los exponentes

División

Se conserva la base y se restan los exponentes

Potencias de igual exponente

Multiplicación División

Potencia de un producto

Potencia de un cuociente

Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes

Potencia de exponente cero

Toda potencia de exponente cero es igual a 1

Nota: Toda potencia elevada a exponente

par es

siempre positiva. Nota: Toda potencia elevada a exponente impar es positiva si la base lo es y es negativa si la base lo es.

ECUACIONES EXPONENCIALES

Ecuación exponencial es aquella que tiene al menos una potencia con una o más incógnitas en su exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos reducir cada miembro a una potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. En consecuencia, como las potencias son iguales, sus exponentes también lo son, quedando así planteada la ecuación a resolver.

Ejemplo:

Potencia de base 1 Potencia de exponente negativo

POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE RACIONAL

POTENCIAS DE LA FORMA

, Lo que se lee: Raíz enésima de a

POTENCIAS DE LA FORMA

. Lo que se lee: Raíz enésima de a elevada a m

Nota: El valor de una raíz en el conjunto de los números reales depende del signo de la cantidad subradical y del índice de la raíz.

Nota: siempre existe la raíz de un número real positivo, cualquiera sea su índice ( par o impar)

Nota: La raíz de un número real negativo, existe si y solo si su índice es impar

Nota: La raíz de índice par de un número real negativo no es un número real, es un número

llamado imaginario.

PROPIEDADES

Es una consecuencia inmediata de la definición de raíz. En efecto , ya que 0n

= 0

(2) Raíz de la unidad

(3) La multiplicación de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima del producto de las cantidades subradicales.

También es valida para la multiplicación de tres o más raíces de igual índice. Ejemplo:

(4) La raíz enésima de un producto de dos o más factores es igual al producto de las raíces enésimas de cada factor.

(5) Forma típica de una raíz: Una raíz está expresada en su forma típica cuando se ha reducido al máximo la cantidad subradical.

Ejemplo:

(7) División de raíces de igual índice. La división de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima del cuociente de las cantidades subradicales.

Ejercicios:

(8) Raíz de un cuociente. La raíz enésima de un cuociente de dos cantidades, es igual al cuociente de las raíces enésimas de cada una de ellas.

Ejemplo:

(9) La raíz enésima de una raíz enésima es equivalente a una raíz cuyo índice es el producto mn.

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN

Racionalizar una expresión fraccionaria consiste en transformar su denominador irracional en un número racional

Para racionalizar la fracción , se debe amplificar por un factor adecuado que forme un producto suma por un producto diferencia

Ejemplo:

Aplicación: En toda fórmula o expresión algebraica en que se requiera despejar una incógnita que aparece elevada a algún exponente, se hace necesario aplicar la radicación, tal es el caso que se presenta en la fórmula del interés compuesto, si se desea conocer la tasa de interés.

Esta fórmula permite calcular la tasa de interés i, conociendo M, C y n

Nota: Es importante insistir en que i corresponde al tanto por uno, de modo que para obtener el tanto por ciento, es necesario multiplicar por 100

Ejemplo: Un capital de $100.000, colocado a interés compuesto durante 3 meses, se convirtió en $106.120. ¿A qué tasa de interés mensual fue colocado?

C = $ 100.000 M = $ 106.120 n = 3 meses i = ?

Ejercicio: Si la suma de $ 200.000 se ha convertido en $ 231.730 después de un año, con capitalización trimestral de intereses. Calcular la tasa de interés anual.

EJERCICIOS DE OPCIÓN MÚLTIPLE

(1) 7

_:7

_{– 7 =}

A) 7

B) 7



7

C) 7



(7

_{– 1)}

D) 7



(7 – 1)

E) 7

_{– 1}

(2) Si n es un número impar mayor que uno, entonces:

A) 3

E) –1

(3)

A) 128

B) 24

C) 0

D) –24

E) –128

(4)

(5)

A) –1

B) 1

C) 0

D)

E)

(6) (0,5 + 0,25)

₌

(8)

(9) Al multiplicar (a

₎

_{por a}

_{se obtiene:}

A) a

B) a

C) a

D) a

E) a

(11) La suma de

es igual a:

(12) Si 8ª = 2, entonces 8

_{es igual a:}

A) 24

B) 32

C) 48

D) 512

E) 1.024

(13) Si el área total de un cubo es 294 dm

_{, entonces su arista mide:}

A) 49 dm

B) 98 dm

C)

dm

D) 7 dm

E) 14 dm

(14) La suma de

es igual a:

A) 15

B) 17

C) 11

D) 5

E)

(15) La expresión

es equivalente a:

A) x

B)

C)

D) x

(17) Si la medida del área de un cuadrado es 729 cm

_{, entonces su diagonal debe medir:}

(18) El valor de

(19) Los números

, escritos en orden creciente es:

A) a,b,c

B) a,c,b

C) b,a,c,

D) b,c,a

E) c,a,b

(21)

A) 10

B) 10

C) 10

D) 10

E) 10

(22) Si a =

, el valor de la expresión :

:

(23) Si a = -

y b =

(25)

A) 27

B) 9

C) –3

D) –9

E) –27

(26)

A) 10

B) 10

C) 10

D) 10

E) 10

(27) El valor de

es igual a:

(28) La expresión

es equivalente a:

A) –6

E)

(29) Si x = 3 ; y = -2 ; z = -4, entonces el valor de

A) –5

B)

C) 9

D) –9

E)

(30) La expresión

es equivalente a :

(31)

a) 0,25

b) 0,75

c) 4

d) –16

e) 1

(32)

A) -1

B) 1

C) 2

D) 3

E) 5

(33) 5x

_{– 3x}

_{+ 4x}

_{+ 16x}

_{, cuando x = -2}

D) 153

E) (0,25)

(35) (a

_{– b}

_{)( a – b}

_{) , para a = -3 y b = -2}

A) –7

B) 1

C) –1

D) 17

E) –119

(36) (a

_{– b}

_{)۰ a – b}

_{, para a = -3 y b = -2}

A) –7

B) 1

C) –55

D) 109

E) 19

(37)

A) a

B) –a

C) a

D) –a

E) Ninguna de las anteriores

(38)

A) a

B) a

C) a

D) a

E) a

(39)

A) 15b

B) –60

C) 5b

E) –15

(40)

A) –200

B) –200a

C) 70a

D) 10a

E) Ninguna de las anteriores

(41)

(42) (0,5)

_{: (0,25)}

₌

E) Ninguna de las anteriores

(44)

A) 0,1

B) 1

C) 10

D) 100

E) 1.000

(46) Si a = 5

(47)

=

(48) Si

A) 10

B) 10

C) 10

D) 10

E) 10

(49) 2

_{- 2}

₌

(51) ¿Para qué valor de x se cumple la siguiente igualdad:

?

A) -5

(54) Si a y b son números reales no nulos, entonces (a

_+b

₎

_{: ( a + b)}

₌

(55) 2

_{– 2}

_{+ 2}

_{– 2}

_{+ 2}

₌

A) 8

B) 16

C) 22

D) 32

E) 64

(57) La expresión ( 2

₎

_{es equivalente a:}

I)

( 2

₎

II)

(2

₎

III)

(2

₎

De estas afirmaciones, es(s0n) verdaderas:

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

(58) Si n es un número natural, entonces, la expresión:

A) -3

B) -2

C) -1

D) 1

E) 3

(59) Si “a” es un número real positivo, entonces

A) -2

B) –1

C) 0

D) 2

E) a

(61) (2z)

_{- 2z}

₌

(62) Al racionalizar la fracción

se obtiene:

(63) Se afirma que dos cuadriláteros que tienen:

I)

Sus 4 lados respectivamente iguales son congruentes

II)

Sus 4 ángulos respectivamente proporcionales, son semejantes

III)

Sus 4 lados respectivamente proporcionales, son semejantes.

Entonces, de estas afirmaciones es(son) verdadera(s):

A) sólo I

B) solo II

C) II y III

D) Todas

E) Ninguna de las anteriores

(64) Los rectángulos APQR y ABCD son semejantes en la razón 1: 3. entonces sus áreas

están en la razón:

B) 3 : 1

C) 1 : 9

D) 9 : 1

E) 1 : 12

(65) Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 1 : 2 y su

área es 25 cm

_{, entonces la hipotenusa mide:}

(66) En el triángulo ABC, rectángulo en C,

en relación con esto se afirma que:

I) (p + q)

_{= 4pq II) q =}

_{III) p = q}

De estas afirmaciones es(son) verdadera(s):

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) I y II

E) I y III

(67) Si el área de un triángulo equilátero mide

, entonces su lado mide:

(68) Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 1 : 2 y su

hipotenusa es 10 m, entonces su área mide:

D) 3

E) 9

(70)

(71)

A) 3

B) 25

C)

D)

E)

(72) ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) real(es)?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) Ninguno de ellos

LOGARITMOS

Muy cerca del lugar donde se clonó a la oveja “ Dolly”, en Inglaterra, nació y vivió John Napier ( 1550 – 1617), creador de los logaritmos. Sin ser un matemático de profesión, contribuyó a su desarrollo con una herramienta que simplificó los

cálculos matemáticos y mercantiles.

Napier, John

(1550-1617)

 Cualquier función exponencial es una función uno a uno y por lo tanto, tiene una función inversa.

f(x) = ax

y = ax

x = ay

Para poder despejar “y” necesitamos de la siguiente notación: Si x > 0 y a es una constante positiva ( ), entonces: y = loga x si y sólo si ay = x. Donde

y = logaritmo a = Base x= argumento

Nota: Si a es un número real positivo( ) talque ax _{= a}y _{, entonces x = y}  La función logarítmica f(x) = logb x es:

(a) una función creciente si b > 1 (b) una función decreciente si 0 < b < 1

Para todo número real positivo , la función f(x) = logbx tiene las siguientes

propiedades:

(a) f(x) tiene al conjunto de los números reales positivos como su dominio (b) f(x) tiene al conjunto de los números reales como su rango

(c) La gráfica de f(x) intersecta al eje x en el punto ( 1,0) (d) El eje y es una asíntota en la gráfica de f(x)

Propiedades de los Logaritmos

En las siguientes propiedades b, M y N son números positivos ( ) y p es cualquier número real:

(1) logaa = 1

(2) loga 1 = 0

(3) loga(ap) = p

(4) loga MN = loga M + loga N ( producto )

(5) , ( división)

(6) loga (Mp) = plogaM ( Potencia)

(7) (8)

Nota 1: Logaritmos con base 10 son llamados logaritmos comunes y se escribe:

Nota 2: logaritmos con base e, son llamados logaritmos naturales. ( muy utilizados en cálculo), es común escribir logex como lnx

Fórmula cambio de base

Si x, a y b son números reales positivos con , entonces:

Ejemplos: Halla el valor de x en los siguientes casos: (a) log2 128 = x (b)

(c) (d) log2 322 = x

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienen potencias, en uno o en ambos miembros, y que consta de una incógnita en al menos uno de sus exponentes. En algunos casos, la igualdad de los exponentes da lugar a una ecuación de primer grado, en otros, la ecuación exponencial planteada conduce a la resolución de una ecuación de segundo grado.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación logarítmica

Ejemplo 2: Resolver la ecuación logarítmica ln(3x + 8) = ln(2x + 2) + ln(x – 2)

Ecuaciones logarítmicas con una incógnita

Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita forma parte de, al menos, un antilogaritmo.

Para resolver ecuaciones como estas, se aplican las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 1: Resolver log2(2x + 5) = 3

Aplicando la definición de logaritmo:

Ejemplo 2: Resolver la ecuación

Ejercicio:

Analiza la solución de las siguientes ecuaciones e indica el o los errores que se cometieron:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

ARQUEOLOGÍA:

La variación de la masa de cierta cantidad de carbono – 14, a través del tiempo, puede calcularse, aproximadamente, aplicando la siguiente función: M(t) = , donde Mo _{( en gramos) es la masa inicial, t ( en miles de años) es el tiempo}

 Se encontró un fósil con 100 g de carbono – 14 y se sabe que cuando estaba vivo, contenía 200 g de carbono – 14. ¿Cuántos años de antigüedad tiene?

Es decir, este fósil tiene aproximadamente 6 mil años. MATEMÁTICA FINANCIERA

 Una persona deposita en un banco $ 2.000.000 al 12% anual de interés. ¿En qué tiempo su capital será $ 2.500.000?

En un problema de matemática financiera ( interés compuesto), se utiliza la fórmula:

M = Monto o capital final C = capital inicial

i% = tasa de interés n = tiempo o plazo

ESTADÍSTICA

 La población de un país dentro de t años está dada por la relación

millones de habitantes. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población del país sea 162 millones de habitantes?

P(t) = 162.000.000 t = x

QUÍMICA

 Calcular el ph de una solución de ácido clorhídrico (Hcl), de concentración 0,01 M ( molar)

Solución: la relación que permite calcular el pH de una concentración acuosa es: pH = -log[ ]

( Nota: [ ] = 10-3 _M)

(Nota: Neper concebió los logaritmos como el área bajo la curva. Asi lnu es el valor numérico del área bajo entre 1 y u

EJERCICIOS: BACHILLERATO INTERNACIONAL

I Métodos Matemáticos 1.- Resuelve la ecuación

2.- Encuentra los dos valores de x para los cuales (log 5 x)2 = 9, dando tu

respuesta exacta. 3.- Resuelve la ecuación

4.- Resuelve la ecuación , dando tu respuesta con una aproximación correcta de 4 cifras significativas.

5.- Determinar el valor numérico de

6.- Si = 3,17 y = 2,86, halle (a)

(b)

II Nivel Superior

1.- Dado que , expresa x en términos de k

2.- Resuelve el siguiente sistema, dado que a , b  IR+ _,

log a 64 + log a b = 8

log b a = 0,5

3.- Dado que k = ln 3, determina el valor exacto de .

4.- Expresa log4uv en términos de log 2 u y log 2 v , y luego resuelve el sistema

log 4 uv = 2,5

(log 2 u)(log 2 v) = -6

5.- Resuelve la ecuación

7.- Halle los valores enteros de x tales que : 15x _{- 27 · 5}x _{- 25 · 3}x _{+ 675 = 0}

8.- Encuentra todos los valores reales de x tales que

9.- Calcule x e y exactamente, como números racionales, sabiendo que :

10.- Determina el valor de x : = 0

Respuestas

I Métodos matemáticos

1) x = = -3,44 (3cs) 2) x1 = 125 ; x2 =

3) x = = 0,956 (3cs) 4) x = -3,034 ( 4 cs)

5) 6 6) a) 1,43

b) 2,705 II Nivel Superior

1) 2) a = 2

b = 4

3) 243 4) u = 64

v =

5) x = 6) x1 = 1

x2 = 2

7) x1 = 2 8) x1 = -8

x2 = 3 x2 = 8

EJERCICIOS: BACHILLERATO INTERNACIONAL NIVEL MEDIO

NIVEL SUPERIOR

(1) Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva. Después de t años el número de leopardos, N, está modelado por N = 10e 0,4t_.

(a) ¿Cuántos leopardos hay después de dos años?

(b) ¿Cuánto tiempo tomará para que el número de leopardos sea de 100? De su respuesta con un grado de precisión apropiada.

[4] (2) Sea log10P = x, log10Q = y , log10R = z. Exprese en términos de x,

y ,z

[4] (3) Resuelva la ecuación 1 – 0,75x _{= 0,95 , x  R}

[4] (4) Resuelva la ecuación 8x _{= 0,25}(3x-1)

[4] (5) Una población de mariposas crece a razón de 7% por mes. Inicialmente hay 500 mariposas.

(a) encuentre el tamaño de la población después de 3 meses (b) encuentre el tamaño de la población después de muchos años

(c) el tamaño de la población después de t años esta dado por f(t), donde f(t) = Nat_{. Establezca}

(i) el valor de N (ii) el valor de a

Un camino alternativo para representar el tamaño de la población esta dado por g(t), donde g(t) = 500ekt_.

(d) Utilizando f(t) y g(t), encuentre el valor de k, dando tu respuesta correcta con seis decimales.

(e) Calcular los valores de f(14,5) y f(15,5). Use estos valores para encontrar una estimación para la razón de mariposas por mes, en la cual la población de mariposas esta creciendo cuando t = 15

[12] (6) Si logpA = 3,17 y logpB2 = 2,86, encuentre:

(a) logpB

(b)

[4] (7) Halle en forma numérica el valor exacto de cada una de las expresiones:

(a) log168

(c)

[4] (8) Una población de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamaño viene dado por P(n) = 2500An_{. Se sabe que P(12) = 7.500}

(a) Halle el tamaño de la población inicial P(0) (b) Halle A, aproximando con tres decimales

[4] (9) Resuelve la ecuación 3x+2 _{= 9}x-1

[4] (10) Resuelve la ecuación 128 = 23x+1_{. x  R}

[4]

(11) Resuelva la ecuación log2x81 =

[4] (12) Resuelve la ecuación 4x _{- 38}x _{= 0}

[4] (13) Depositamos en una cuenta durante tres años una suma de $ 8.000. al finalizar los 3 años la suma de dinero se ha convertido en $ 9.261. halle la tasa de interés anual si el problema es de interés compuesto

[4] (14) Resuelva la ecuación 43x-1 _{= 1,562510}-2

[4]

(15) resuelva la ecuación

[4] (16) Una población de bacterias crece a razón de 2,3% por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en doblarse el tamaño de la población? De su respuesta aproximada al minuto.

[4] (17) Si loga2 = x , loga5 = y , halle en función de x e y, expresiones para

(a) log25

(b) loga20

[4] (18) Trace de forma aproximada las gráficas siguientes identificando cada una y = x2 _{con –2  x  2, e y = - con 0 < x  2}

[2] (c) si las tangentes a las curvas en P cortan al eje Oy en Q y R, calcule el área del triángulo PQR

[6] (d) Demuestre que las dos tangentes en los puntos donde x = a, a > 0 a cada curva son siempre perpendiculares.

[4]

(19) Resuelva la ecuación

[2] (20) Existen dos triángulos posibles PQR tales que PQ = 5 cm, QR = 6 cm y . Halle la distancia entre los dos puntos posibles P si están ambos en el mismo lado de la base QR.

[3]

(21) Dado que , deduzca una expresión para g(x) y

halle su dominio

[4]

(22) (a) Dado que en

función de los logaritmos de la base 2.

(b) De aquí, o de otro modo, resuelva la ecuación de la parte (a)

[4] (23) Halle todos los valores de x para los que las siguientes funciones no están definidas

[4] (24) Halle todos los valores de , de modo que 3sen2_{ - 7sen +5 = 3cos}2_{ , 0°} 90°

[4]

(25) (a) Sabiendo que , halle los números reales k y m para que .

(b) Halle todos los valores de x para los que

(26) Dadas las funciones , halle la función ( fog)-1

[4]

(27) La figura muestra una parte de la grafica aproximada de f(x) = x2 _{y una parte}

de la gráfica aproximada de g(x) = -x2 _{+ 6x – 13}

(a) Escriba las coordenadas del punto máximo de y = g(x)

La gráfica de y = g(x) puede obtenerse de la gráfica de y = f(x) trazando primero la simétrica de la gráfica de y = f(x), y luego trasladando la gráfica de y = f(x) (b) Describa completamente cada una de estas transformaciones, que conjuntamente aplican la gráfica de y = f(x) en la gráfica de y = g(x)

[4] (28) Resuelva en x, la ecuación log2(5x2 – x – 2) = 2 + log2x

[4]

Título: INVESTIGACIÓN DE LOGARÍTMOS

Una investigación matemática se define como una prospección en un área particular de las matemáticas conducentes a un resultado general desconocido previamente por el estudiante. En este tipo de actividad se recomienda el uso de la calculadora/ computador

La siguiente tarea de portafolio será evaluada frente a los siguientes criterios:

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

A: Uso de la notación y terminología B: Comunicación

C: Contenido matemático D: Resultados o conclusiones E: Hacer conjeturas

CONTENIDOS

(1) Logaritmos

(2) Propiedades de logaritmos

decimales.-log2+ log3 0,7782 log 6

log 3 + log 7 log 21

log 4 + log 20 log 80

log 0,2 + log 11 log 2,2

log 0,3 + log 0,4 log 0,12

(b) ¿Observa alguna regla? Descríbala con sus propias palabras.

(c)Copie y complete la siguiente tabla eligiendo sus propios números. Se le da un ejemplo.

Log 5 + log 4 log 20 1,3010

(d) Halle una regla general para logx + log y

(e) ¿Puede sugerir una explicación de por qué es esto así?

2.- (a) Copie y complete la siguiente tabla usando su calculadora. Aproxime sus respuestas con cuatro cifras decimales

log 12 – log 3 0,7782 log 4

log 50 – log 2 log 25

log 7 – log 5 log 1,4 log 3 – log 4 log 0,75

log 20 – log 40 log 1/2

(b) ¿Observa alguna regla? Descríbala con sus propias palabras.

(c) Copie y complete la siguiente tabla eligiendo sus propios números. Se le da un ejemplo

(d) Halle una regla general para log x – log y

(e) ¿Puede sugerir una explicación de porqué esto es así?

3.- (a) Copie y complete la siguiente tabla usando su calculadora. Aproxime sus respuestas con cuatro cifras decimales.

4 log 2 1,2041 log 24

5 log 6 log 65

½ log 4 log 4 ½

log 7 log 7 2/5

-3 log 5 log 5 –3

(b) ¿Observa alguna regla? Descríbala con sus propias palabras

(c) Copie y complete la siguiente tabla eligiendo sus propios números. Se le da un ejemplo

3 log 6 Log 63 _2,3345

(d) Halle una regla general para n log x

(e) ¿Puede sugerir una explicación de porqué esto es así? 4.- Sea la función y = log x

(c) ¿Puede ser x = 0? ¿Puede ser x < 0? Use la calculadora para comprobar las respuestas

(d) Diga cuál es el dominio restringido de la función (e) Copie y complete la siguiente tabla de valores

x 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 y= log x

(f) ¿Qué puede decir sobre el eje Oy? (g) Copie y complete la siguiente tabla

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y=logx

(h) Usando la escala de 1 cm para representar 1 unidad en el eje Ox de 2 cm para representar 1 unidad en el eje Oy, dibuje la curva y = log x

(1) Si log15x = 100, entonces x=

A) 0 B) 1 C) 10 D) 15 E) 1510

(2) Si log5x = -2, entonces x =

A) 0,04 B) 25 C) –32 D) –5 E)

(3) Si , entonces x=

A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E)

(4)

(5) log4(log381) =

(6) Si , entonces log2x es igual a:

(7) Log50 + log40 + log20 + log2,5 = A) 1

B) 3 C) 5 D) 10 E) 100

(8) Si logx = log9 -2log3 + , entonces log2x =

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

(9) La solución de la ecuación: log3(92x+1) = 2x es:

A) –3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3

(10) El valor de es:

(11) Si log3= a y log5 =b, entonces el valor de x en la expresión 3x = 5 es:

(12) (log34)(log43)=

A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 12

(13) Con respecto a la igualdad 2x _{= 3, ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones}

es(son) verdadera(s)?

I) log3 = xlog2 II) x =

III) x =log23

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

(14) SI log 2(x+1) + log2(x-1) = 3, entonces el cuadrado de x es:

A) 0 B) 1 C) 3 D) 9 E) 25

(15) Si log 5 = 0,6989, entonces de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) I) log25 = 1,3978

II) log = 0,3494 III)

(16) Si 4loga =1, entonces log

(17) Si 2 log a = , entonces (loga)2 _{– loga}2 _{es igual a:}

(18) Si , entonces x =

(19) Si y = 5x con x > 0, entonces log5x – log5y =

(20)

(21) El valor de log2 + log3 es igual a: A) 2 log3

B) 3 log2 C) log 5 D) log6 E) Otro valor

(22) Si loga = x, entonces log 10a es igual a: A) 10 + x

B) 10x C) x D) 2x E) 1 + x

(23) Si log p =x, entonces es igual a:

(25) log 10x3 _{es equivalente a:}

A) 1 + 3logx B) 3logx C) 3 D) logx3

E) Ninguna de las anteriores

(26) Si , entonces el valor de logx es:

(27) logx + log equivale a:

(29) logx – 3 equivale a:

(30) log(a – b)(a2 – 2ab + b2) es igual a:

A) a - b B)a + b C) a D) b E) 2

(31) En la ecuación log2(5x – 3) – log2x = 1, el valor de x es:

A) 0 B) 1 C) 10 D) 2 E) 20

(32) En la ecuación log3(2x + 21) – log3x = 2, el valor de x es:

A) 3 B) 8 C)21 D) E)

(33) El desarrollo de la expresión log(x2 _{– 7x + 10) es:}

A) 2logx – log7 – logx + log10 B) 2logx – log7x + log10 C) log(x – 5) + log(x – 2) D) 2 logx – log7

E) Ninguna de las anteriores

(34) El valor de la expresión log 100 + log 128 – log5625 es:

A) 10 B) 5 C) –10 D) –5 E) 397

(35) El valor de la expresión log 0,01 + log0,30,0081 es:

B) –2 C) 2 D) 1 E) 0,9919

(36) El valor de la expresión es: A) 55

B) 36 C) D) 6 E) -6

(37) El valor de la expresión log20,25 + log20,125 – log20,0625 es:

A)1 B) 0 C)-2 D) –3 E) -1

(38) El valor de la expresión es:

A) 4 B) 7 C) 11 D) –3 E) 3

(39) El valor de x en la expresión log0,40,064 = x es:

A)4 B) 16 C) 64 D) 3 E) 60

(40) Al resolver la ecuación . El valor que se obtiene para x es:

(42) Si 25x _{= 0,25 entonces x es:}