REFUERZO Tema 1

2 POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS

P A R A E M P E Z A R

Expresa las siguientes operaciones como un número decimal.

a) 2,5 107 _{b) 3,12}

105

a) 2,5 107_{25 000 000 b) 3,12 10}5_{0,000 031 2}

Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias.

a) —2

( 3

9 4

) 5 2

3 6

3 4

— b) —5

(

2

2

5 1 )2

5

3

3

0 3 2 2

—

a) 2 (

3 9

4 ) 5

2 3

6

3 4

2₃34 2

2 10

3 3

3

3 4 2₃11

0 1

b) 5

(

2

2 5

1 )2

5 3

30 3 2 2

5₅4 2

5 3

2 3

3 5

2 3

2 3

2 2

₅5

3 3

22

Calcula las siguientes raíces.

a)

5243

b)

4

16 c)

339

a)

5243

535

3 b)

4

16no se puede. c)

439

3

9 3

33₂₇

Se considera que la acidez de la lluvia comienza a ser seriamente perjudicial para el suelo y los seres vi-vos cuando esta presenta un pH inferior a 5.

¿Qué concentración de iones H _{se corresponde con esta concentración del pH? Exprésalo en forma de}

potencia y de número decimal.

pH log [H_{] ⇒5 log [H] ⇒5 log}

[H 1

_]

⇒105 [H

1

_]

⇒[H_]

1 1

05 10

5_0,00001

P A R A P R A C T I C A R

Notación científica

Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas.

a) Masa del electrón: 1,67 1027_kg

b) Radio medio del Sol: 9,97 108_m

c) Tamaño de un virus: 0,000 000 000 235 m

d) Radio medio de la órbita terrestre: 1,49 1011_m

a) 27 b) 8 c) 10 d) 11

Escribe en notación científica los siguientes números.

a) 12 345 678 c) 354 125 000 000

b) Sesenta billones d) 0,0097 1023

a) 1,234 567 8 107 _{c) 3,541 25 10}11 b) 6 1013 _{d) 9,7 10}20 2.2

Escribe en notación científica estos números:

a) 0,000 000 000 331 c) 0,000 000 001 23

b) Cuarenta y tres milésimas d) 967 1025

a) 3,31 1010 _c)

1,23 109 b) 4,3 102 _{d) 9,67}

1023

E j e r c i c i o r e s u e l t o

En la tabla aparecen los prefijos griegos utilizados en los múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida.

Expresa en notación científica y en microculombios la siguiente medida de carga eléc-trica: 3 picoculombios

3 picoculombios 3 1012_culombios

3 1012₁₀6_{microculombios} 3 106_{microculombios}

Expresa en notación científica y en la unidad indicada:

a) 320 miriámetros en centímetros

b) 6000 nanosegundos en milisegundos

c) 175 000 000 megavoltios en kilovoltios

d) 0,01 gigagramos en decigramos

a) 320 104_{metros 320 10}4₁₀2_{centímetros 3,2 10}8_centímetros

b) 6000 109_{segundos 6000 10}9₁₀3_{milisegundos 6 10}3_milisegundos c) 1,75 108₁₀3_{kilovoltios 1,75 10}11_kilovoltios

d) 102₁₀9_{gramos 10}7_{10 decigramos10}8_decigramos

Realiza las siguientes operaciones en notación científica.

a) 0,32 1014_{7,128 10}12 _{c) 4,88 10}14_{7,921 10}12

b) 3,1109 1045_{2244 10}40 _{d) 36,79 10}25_{2244 10}28

a) 0,32 1014_{7,128 10}12_{32 10}12_{7,128 10}12_{39,128 10}12_{3,9128 10}13 b) 3,1109 1045_{2244 10}40_{3,1109 10}45_{0,022 44 10}45_{3,088 46 10}45 c) 4,88 1014_{7,921 10}12_{0,0488 10}12_{7,921 10}12_{7,9698 10}12 d) 36,79 1025_{2244 10}28_{3,679 10}24_{0,2244 10}24_{3,4546 10}24

Realiza las siguientes operaciones en notación científica.

a) (1,65106_)(0,8109_{) c) (2,810}26₎₍₁₅₁₀43₎

b) (22,11054_{)(8,4100 000) d) (2,310}15_)(4,51011₎

a) (1,65106₎

(0,8109₎

1,650,81015

1,321015 b) (22,11054₎

(8,4100 000) 185,641059

1,85641061 c) (2,81026₎

(151043₎

421017

4,21018 d) (2,31015₎

(4,51011₎

10,351026

1,0351025 2.7

2.6 2.5 2.4 2.3

Realiza las siguientes operaciones en notación científica.

a) 2,3 1029₁₀29_{512 10}2

b) (0,007 37 1019_{) : (1,1 10}19₎

c) 2,6 105_{(3,2 10}4₎2

d) 834 104_{0,000 001 2 : (3 10}9₎

a) 2,31029 1029

512102

2,31029

5,121029

7,421029 b) (0,007 371019_{) : (1,1}

1019₎

7,371016_{: (1,1} 1019₎

6,71035 c) 2,6 105

(3,2 104₎2

2,6 105

1,024 107

2,589 76 105 d) 834104

0,000 0012 : (3109₎

8,34102

1,2106_{: (3} 109₎

8,34102

4102

4,000 834102

P A R A A P L I C A R

Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milímetros. ¿Cuánto ocuparían a lo ancho un mi-llón de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el resultado primero en milímetros, usan-do la notación científica, y luego, en la unidad adecuada.

Ocuparían aproximadamente 0,1 106₁₀5_{milímetros, es decir, unos 100 metros.}

Rosa acaba de cumplir 16 años. ¿Cuántos segundos de vida suponen? Escribe ese número en notación científica.

Cada año dura aproximadamente 365,25 días. Rosa tiene aproximadamente 365,25 24 60 60 segundos, es decir, 3,155 76 107 segundos.

El inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la

se-gunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. En total debía recibir 264 _{1 granos de trigo.}

a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad.

b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso de la cantidad anterior.

a) La cantidad total es 18 446 744 073 709 551 615 granos, más de 18 trillones. El orden de magnitud es 19. b) Dividiendo entre 6000 se obtiene el peso en kilogramos: 3 1015_{kg, aproximadamente, o 3}

1012_toneladas.

El número de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315_{. Si cada apuesta costara 0,80 euros,}

¿cuán-to habría que gastar para rellenar ¿cuán-todas las columnas posibles?

Habría que gastar 0,80 315_{1,147 912 56 10}7_{11 479 125,60 euros, unos 11,5 millones de euros.}

La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,98 1024_{kilogramos, y la de un bote de refresco, de 330}

gramos. ¿Cuántos botes harían falta para igualar el peso de la Tierra?

Harían falta 5,981024_{: (33010}3_{) 1,810}25_{botes, aproximadamente.}

Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hematíes por mililitro de sangre. Si en total tiene unos 5 li-tros de sangre, ¿cuántos hematíes tendrá?

Tendrá entre 4,3 106_{5000 y 5,9 10}6_{5000 hematíes, es decir, entre 2,15 10}10_{y 2,95 10}10_hematíes.

La calculadora permite expresar números en notación científica. Investiga cuáles son sus límites, es de-cir, el mayor y el menor número que se puede expresar en notación científica usando la calculadora.

La respuesta depende del número de cifras que admita en pantalla. Si son 10, los valores serán 9,999 999 999 1099_{y 9,999 999} 999 1099_{. Los valores más próximos a cero serán 9,999 999 999 10}99_{y 9,999 999 999 10}99_.

Potencias de exponente fraccionario. Radicales

P A R A P R A C T I C A R

Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario.

a)

52

c)

228

b)

725

d)

4 —

2 1

3

—

a) 2 1 5

b) 2 5 7

c) 2 2 28

214 _{d) 2}

43

Escribe como potencia y calcula las siguientes raíces.

a)

212

c)

31012

b)

36

d)

3 —

10 1 12

—

a)

212

2

1 22

26_{64 c)}

3 1012

10

1 32

104_{10 000}

b)

36

3

6 2

33_{27 d)}

3

10 1 12

10

312

104_0,0001

Calcula las siguientes potencias.

a) 160,5 _{c) 8}0,333…

b) 2560,25 _{d) 1000 000}0,1666…

a) 160,5 16

1 2

16

4 c) 80,333… 8

1 3

3 8

2 b) 2560,25₂₅₆

1 4

4 256

4 d) 1000 0000,1666…_{1000 000} 1 6

6 1000 0

00

10

Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.

a)

5

b)

32

c)

574

a)

452

,

653

,

854

b)

622

,

923

,

1224

c)

1078

,

15712

,

20716

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Ordena de menor a mayor:

73

,

375

,

475

.

Primero se reducen a índice común. En este caso, el mínimo común múltiplo de los índices es 12.

73

12 718

3

75

12

720

4

75

12

715

Ordenar las raíces es ahora sencillo, solo hay que ordenar los radicandos. El orden pedido es el siguiente.

4

75

73

3 75

Ordena los siguientes radicales de menor a mayor.

a)

8213

,

10217

,

16223

b)

28

,

3100

,

435

a)

8213

80

2130

,

10217

80 2136

,

16223

80 2115

⇒

16

223

8

213

10

217

b)

28

12481 89

0 304

,

3100

12100 00

0 000

,

435

12 14 348

907⇒

435

3

100

28

2.21

Calcula las siguientes operaciones.

a) c)

—5

3—

—2

5 7

—

e)

433

4 317

b)

316

:

32

d)

52

:

524

f)

3 —1

4—

:

32000

a)

2

5

10

2

5

0

2

5 0

4

2 c)

5

3

2₅7

5₃2₅7

9

3 e)

433

4

317

4

320

35

b)

316

:

32

38

2 d)

52

:

524

5

2 2 4

f)

3

1 4

:

32000

3 80 1

00

2

1 0

Calcula las siguientes operaciones.

a)

(

427

)

3

b)

(

3 23

)

7

c)

3218

a)

(

427

)

3

4

221

25

4 2

b)

(

323

)

7

37

221

33

210

6

c)

3218

26

23

E j e r c i c i o r e s u e l t o

En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.

a) E mc2_{, despeja c.}

b) V —4

3—r

3_{, despeja r.}

a) E mc2⇒

m E

c2⇒_c

_mE b) V 4

3 r 3⇒_r3

4 3

V

⇒r

3 4 3

V

En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.

a) v v0t —

1 2—a t

2_{, despeja a.}

b) (a x)2_b2_c2_{, despeja x.}

a) v v0t 1 2at

2⇒_{v v} 0t

1 2at

2⇒2(v

t2

v0t) _a

b) (a x)2_b2_c2⇒_{(a x)}2_c2_b2⇒_{a x}

c2_b2

⇒a

c2_b2

x

P A R A A P L I C A R

Los lados de un corral miden

2

y

32

metros. ¿Puede ser su área un número natural?

Sí, el área es

2

32

64

8 m2_.

La razón de los lados de dos depósitos cúbicos de agua es —3

4—, y los volúmenes son 1728 y 4096 metros

cúbicos, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de sus volúmenes y com-párala con la de sus lados.

El lado del primer depósito mide

31728

12 metros. El lado del segundo mide

34096

16 metros. La razón es correcta. La razón de sus volúmenes es 1

4 7 0 2 9 8 6

2₆7₄

3₄

3, el cubo de la razón de sus lados. 2.27

2.26 2.25 2.24 2.23

1

5 23

2

10

——

5

El diámetro de un balón, expresado en centímetros, es un número natural. Si tiene un volumen de en-tre 13 y 17 decímetros cúbicos, ¿cuál es su diámetro?

El diámetro se calcula a partir de la fórmula del volumen.V 4

3 r 3⇒_r

3

4 3 V

⇒d 2

3

4 3 V

. Como el volumen está entre 13 000 y 17 000 cm3_{, el diámetro está entre 29,17 y 31,9 cm. Hay dos soluciones posibles, 30 o 31 cm.}

Halla una fórmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de su superficie total.

Dada la arista a, el volumen del cubo es V a3_{, y su superficie es S 6 · a}2_. La fórmula pedida es Va3

₆S

3

.

Un alumno ha calculado los cuadrados de varios números de seis cifras. Ha obtenido los siguientes re-sultados.

a) 5 751 425 457 b) 816 302 041 c) 15 241 383 936 d) 6 195 264 100 e) 999 998 000 001 f) 1 000 468 054 756

Sin usar la calculadora, ¿podrías indicar los números en los que es seguro que el alumno se equivocó?

Un cuadrado solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9. Por tanto, se equivocó en a).

Si el número tiene seis cifras, está en el intervalo [105_{, 10}6_{). El cuadrado estará en [10}10_{, 10}12_{), tendrá al menos 11 cifras y menos de} 13. Por tanto, los números de los apartados a), b) y d) son demasiado pequeños, y el del f) es demasiado grande.

Se puede comprobar que los números restantes son correctos: 15 241 383 936 123 4562_{y 999 998 000 001 999 999}2_.

Operaciones con radicales

P A R A P R A C T I C A R E j e r c i c i o r e s u e l t o

Calcula las raíces de los siguientes números decimales.

a)

0,81

b)

0,81 c)

3

0,125

a)

0,81

1

8 0

1 0

1

8 0

1

0

1

9 0 0,9

b) El índice es par y el radicando es negativo. No tiene raíces reales. c)

3

0,125

3

1 1

0 2

0 5

0

3 1

8

3

3 1

8

1₂ 0,5

Calcula las raíces de los siguientes números.

a)

0,006

4

b)

0,111…

c)

0,694

44…

a)

0,0064

10

6 0

4 00

1

8

00 0,08 b)

0,111…

1 9

1

3 0,333… c)

0,6944

4…

2 3 5 6

5

6 0,8333…

Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.

a)

23₃5

57

b)

3a5_b1

2_c7

a)

28₃5

57

24₃2₅3

3

5 b)

3a5_b12

c7

ab4_c2

a2_c

Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.

a)

5 —

26 5

2 3 0

1

2

—

b)

4 —

28 8

3 45

—

a)

5 2 6

5 20

312

2

5 4

32

5

232

b)

4 2

8

8 3

45

4 2

8

2 9

210

4

29

22

4 2

2.34

Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica.

a) 23₃5

27

c) —2

3 5

34

—

3 — 51 3 1 1 0 2 —

b) 35

7

4372

d) —a

c b 2 3 —

— b a 3_c 3 3 —

a) 23 35

27

26 310

27

213 31

0

c) 2

3

5 34

3 5 1

3 1 10

2

3 2

9 3 5 1 3 2

3 5 1 1 0 1

2

3 210 32

58

b) 35₇

4

372

4

321₇6

d) a

c

b

2 3

_ba3_c

3 3

_ca 2 4 b b 6 3 a c 3 3

a5_b3_c

Realiza las operaciones indicadas.

a)

3a2

4

a3

6

a5

b)

4 —

2 3 3 7 —

6 — 37 7 25 —

a)

3a2

4 a3

6 a5

12 a8

12 a9

12 a10

12 a27

4 a9

b)

4 2 3 3 7

6 3

7 7 25

12 3 2 2 9 1

123

14 7 2 21

0

12 37 2 19 72

Realiza las operaciones indicadas.

a) b) c)

432

5

34

a)

12 2 2 9 4 3 3 3 8

12 2

3 5 5

b)

6y

x

9 4

c)

4 32

5

3

4

4

5 310

34

20 314

10 37

Realiza las siguientes operaciones.

a)

8

5

2

200

d)

324

2

6

33

32

b) 2

35

625

3 — 5 8—

e)

50

—1

4 8 —

—7 2 2 5 —

c)

5a2

80a2

20a4

f) 10

30,024

5

30,003

a)

8

5

2

200

2

2

5

2

10

2

7

2

b) 2

35

625

3 5

8

2

35

35

1 2

3 5

3₂

3

5

c)

5a2

80a2

20a4

a

5

4a

5

2a2

5

(2a2_3a)

5

d)

324

2

6

33

32

2

33

2

6

33

4

2

3

2

4

33

e)

50

1

4 8

7₂2₅5

2

3 2

2

6 5

2

4 1 7 0

2

f) 10

30,024

5

30,003

10 1 2 0

3 3

5 1 1 0

3 3

5₂

3

3

2.38

6

x4_y14

6

x3_y3

6

x11_y8

3

x2_y7

xy

6

x11_y8

4

23₃

3 232

3

x2_y7

xy

——

6

x11_y8

4

23₃

—

3 232

2.37

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Racionalizar una fracción es hallar otra equivalente sin raíces en el denominador. Racionaliza y

.

En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, la raíz cuadrada que aparece en el denomi-nador. 2 5

3

2

2 5

3

2

2

2

5 2

6

22

2 5

2 6

5 6

En el segundo, para eliminar la raíz de índice 5 necesitamos conseguir un exponente múltiplo de 5.

5

73

Racionaliza las siguientes fracciones.

a) —

3 2

— c) —

7 12

25

— e) —

3

2

5

— b)— 5

2 6

— d) —

4 4

2 0

17

— f) —

6 4 2 2 1 9

1

— a)

3 2

3 2

2

2

3

2 2

c)

7 12 25

7 1 2 2 5

7

2 7 2

22

12

2 7 22

₆

7

22

e)

3

2

5

3

2

5

3

3

5

5

1 3 5 0

b) 5

2 6

2 5

6 6

15 6

d)

4 4 2 0 17

4

0 4

2 4 2 2 0

3

40₂

4 5 23

5

4 4 23

f)

6 4 2 2 1 9

1

4 2

6 9

2 1

2

6 2

12 4 219

P A R A A P L I C A R P r o b l e m a r e s u e l t o

El profesor asegura que el número

(2

3

)(2

3

)es entero. ¿Es posible?

Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.

(2

3

)(2

3)

22₍

3

)2

4

3

1

1 En efecto, el resultado es un número entero.

Comprueba si el número siguiente es un número entero:

3(4

2

2

)(4

2

2

).

3 (4 2

2

)(4

2

2

)

3 4

2₍₂

2

)2

3

16 8

3

8

2 Es un número entero.

Víctor trata de obtener con su calculadora un número comprendido entre 1 y 2 partiendo de un

núme-ro inicial y usando repetidamente la tecla . Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tres

veces dicha tecla.

20 → →4,472… → →2,114… → →1,454… ¿Cuántas veces tendrá que hacerlo si empieza

en el número 300? ¿Y empezando en el 1000? Indica la operación realizada usando una sola raíz.

Para el número 300, necesita 4 pulsaciones. Obtiene

300

16300

.

Para el número 1000, necesita también 4 pulsaciones. Obtiene

1000

161000

.

2.43 2.42 2.41 2.40

7

573

7 7

573

5 75

7

573

5 72

5 73

7

5 72

7 —

5 72

2

3

—

5

5

Adivina un número a sabiendo que:

• Su raíz cúbica es mayor que 4.

• La raíz cúbica de su cuadrado es menor que 17. • El número es un entero múltiplo de 10.

El número acumple:

3

a

4 ⇒a64

3

a2

17 ⇒a2₁₇3⇒_a

173

70,09…

El número está en el intervalo (64, 70,09… ]. Como debe ser entero y múltiplo de 10, la solución es 70.

Logaritmo de un número

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para:

a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 log 25

b) Calcular log 8 sabiendo que log 20,301.

a) log 40 log 25 log (40 25) log 1000 3 b) log 8 log 23_{3 log 2 3 0,301 0,903}

P A R A A P L I C A R

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log 10 000 c) log2256

b) log381 d) log3243

a) log 10 000 log 104_{4 c) log2256 log22}8₈ b) log381 log334_{4 d) log3243 log33}5₅

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log20,25 c) log42

b) log 0,001 d) log927

a) log20,25 log21

4 log22 1

2 log22 2 ₂

b) log 0,001 log 10 1

00 log 1 1

03 log 10 3 ₃

c) 4 22_⇒2

4

4 1

2_⇒log42

log44 1 2 1

2 d) 9 32⇒₃

9

9 1 2

; 27 33

₉ 1 2

3

9 3 2

log927 log99 3 2 3

2 2.47

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log20,125 d) log 0,000 01 g) log1664

b) log30,333… e) log162 h) log84

c) log3— 5 2

4

— f) log642 i) log4

2

a) log20,125 log21

8 log22

3 _{3 f) log642 log64}

6

64

1₆

b) log30,333… log31

3 log33

1 _{1 g) log1664 log162}6_log16(

4

16

)6_log1616 6 4 3

2 c) log3

5 2

4 log32 1

7 log33 1

3 log33

3 _{3 h) log84 log82}2_log8(

3

8

)2_log88 2 3 2

3 d) log 0,00001 log 105 _{5 i) log4}

2

log4

44

log44 1 4 1

4 e) log162 log16

416

log1616

1 4 1

4

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Conociendo los valores aproximados de log 2 0,301 y log 3 0,477, calcula los siguientes usando las

propiedades de los logaritmos.

a) log 24 b) log 5

a) log 24 log (23_{3) log 2}3_{log 3 3 log 2 log 3 30,301 0,477 1,38} b) log 5 log 1

2 0

log 10 log 2 1 0,301 0,699

Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto anterior.

a) log 36 d) log —

2 9

4

— g) log 75

b) log 64 e) log 20 h) log 0,2

c) log —2

3— f) log 150 i) log 0,8333…

a) log 36 log (22₃2_{) log 2}2_{log 3}2_{2 log 2 2 log 3 20,301 20,477 1,556} b) log 64 log 26_{6 log 2 60,301 1,806}

c) log 2

3 log 2 log 3 0,176 d) log

2 9

4 log 3

8 log 3 3 log 2 0,426

e) log 20 log (210) log 2 log 10 0,301 1 1,301

f) log 150 log 3 2

100

log 3 log 100 log 2 2,176

g) log 75 log 3 4

100

log 3 log 100 2 log 2 1,875

h) log 0,2 log 1 2

0 log 2 log 10 0,301 1 0,699 i) log 0,8333… log 5

6 log 1 1 0

2 log 10 log 12 1 (2 log 2 log 3) 0,079 2.50

Emplea la fórmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para calcular los siguientes logaritmos.

a) log32 c) log332 e) log230

b) log29 d) log210 f) log82

a) log32 l l o o g g 2 3

0₀,_,3₄0₇1₇ 0,631

b) log29 l l o o g g 9 2

l_lo_og_g 3₂2 2_lolo_g g₂3 2_0,0₃,₀4₁77 3,169

c) log332 lo lo

g g

3 3

2

5_lolo_gg₃2 3,155

d) log210 lo lo

g g

1 2

0

_0,31₀₁ 3,322

e) log230 lo lo

g g

3 2

0

log 3_logl₂og 10 4,907

f) log82 l l o o g g 2 8

_ll_oo_gg ₂23 ₃ lo

lo g g

2 2 1₃

Calcula las siguientes operaciones.

a) log37 log73 c) log7(log3(log28))

b)log35 log59 d) log4

(

log2(log3(10 log 10))

)

a) log37log73 l l o o g g 7 3

l_lo_og_g3₇ 1

b) log35log59 l l o o g g 5 3 l l o o g g 9 5

l_lo_og_g 3₃2 2_lolo_g g₃3 2 c) log7(log3(log28))log7(log3(log223_{))log7(log33) log71 0}

d) log4

(

log2(log3(10 log 10)))log4(log2(log39))log4(log22) log41 0

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Sabiendo los valores de log a 0,5 y log b 0,3, calcula log

3 —

a2

1

0

b

—

.

Usando las propiedades de los logaritmos,

log

3 a 2

1 0

b

1

3log

a2 1

0

b

1₃(log (a2_{b) log 10)} 1

3(log a

2_{log b1)} 1

3(2 log alog b1) Se sustituyen los valores dados.

log

3

a2 10

b

1

3(20,5 0,3 1) 1

3 0,3 0,1

Con los datos del ejercicio 53, calcula el logaritmo: log —

10

0

a

b3

—.

log ₁

₀₀a

_b3 log

a

log 100b

3_{log a} 1 2

(log 100 log b3₎ 1

2log a2 3 log b 1

20,5 2 30,3 2,65 2.54

P A R A A P L I C A R

Antes de la invención de las calculadoras se usaban tablas de logaritmos para operar con números gran-des. En la tabla figuran algunas potencias de 2.

Como el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, para calcular 32 64

bus-caban sus logaritmos (5 y 6), los sumaban (11) y busbus-caban en la tabla el número correspondiente (2048).

Calcula, usando esa tabla, 16 128 y 16 384 : 256.

Al 16 y al 128 les corresponden los exponentes 4 y 7. Para hallar el producto, se suman los exponentes (11) y se busca el valor corres-pondiente, 2048.

Al 16 384 y al 256 les corresponden los exponentes 14 y 8. Para hallar el cociente, se restan los exponentes (6) y se busca el valor correspondiente, 64.

Si log 2 0,301, ¿cuánto valdrá log 20? ¿Y log 200? ¿Y log 2000? ¿Qué número tendrá por logaritmo 8,301?

Como 20 2 10, log 20 log 2 log 10 log 2 1 1,301. De la misma forma, log 200 2,301, log 2000 3,301, y así suce-sivamente. El número 8,301 se descompone como la suma de 8 (log 108_{) y 0,301 (log 2). Por tanto, 8,301 es el logaritmo de 210}8_.

Halla el valor de x en la siguiente expresión, aplicando las propiedades de los logaritmos.

log (x 1)2

6

log (x1)2₆ ⇒_{2 log (x1) 6} ⇒_{log (x1) 3} ⇒_{x1 10}3₁₀₀₀ ⇒_{x1000 1 999}

¿Qué relación hay entre el logaritmo de un número y el de su inverso?

log 1

a log 1 log a0 log a. Son opuestos.

Escribe como un único logaritmo la siguiente expresión: 3 log a —1

2— log b 1 5 log c.

3 log a 1

2log b1 5 log clog a 3

log b

1 2

log 10 log c5

log log a

3

c5

b

10

M A T E M Á T I C A S A P L I C A D A S

P A R A A P L I C A R

Calcula la intensidad de los siguientes sonidos.

a) Música a mucha potencia: 6,4 Pa b) Martillo neumático: 1,1 Pa

a) Np20 log ₂

6

1 ,4

05 110,10 db b) Np20 log ₂

1

1 ,1

05 94,81 db94,81db

Busca información sobre la escala de Ritcher. ¿Qué magnitud mide? ¿Mediante qué fórmula? ¿Se trata de una escala logarítmica?

La escala de Richter mide la energía desprendida en un terremoto.

La fórmula que emplea es Mlog A3 log (8 t) 2,92, siendo Ala amplitud (en mm) de las ondas tipo S y tel tiempo, en segundos, transcurrido entre la aparición de ondas tipo P y tipo S. Es por tanto una escala logarítmica.

2.61 2.60

a3 b

1 2

10

_c5

2.59 2.58 2.57 2.56 2.55

Exponente 0 1 2 3 4

Valor 1 2 4 8 16

Exponente 5 6 7 8 9

Valor 32 64 128 256 512

Exponente 10 11 12 13 14

A C T I V I D A D E S F I N A L E S

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Escribe en notación científica estas cantidades.

a) 0,000 000 007 71 b) 0,000 041 c) 992 600 000 000 d) 4 840 000 000

a) 0,000 000 007 71 7,71 109 _{c) 992 600 000 000 9,926 10}11 b) 0,000 041 4,1 105 _{d) 4 840 000 0004,84 10}9

Escribe correctamente en notación científica:

a) 887 105 _{b) 5785,46 10}8 _{c) 0,005 2 10}12 _{d) 0,004 10}24

a) 887 105_{8,87 10}7 _{b) 5785,46 10}8_{5,785 46 10}5 _{c) 0,0052 10}12_{5,2 10}9 _{d) 0,004 10}24_{4 10}27

En una muestra hay 5,23 106_{bacterias, cada una de las cuales pesa 2,5 10}10_{gramos. ¿Cuál es el peso}

total?

5,23 106_{2,5 10}10_{1,3075 10}3_gramos.

Escribe tres raíces equivalentes a cada uno de los siguientes números.

a)

734

b) 5 c) 8—

2 3—

a)

734

14

38

21

312

28

316

b) 5

52

3

53

4

54

c) 8

2 3

4

42

24

3 26

Ordena de menor a mayor

527

, 3,

632

.

5 27

30

242

30

4,4 1

012

; 3

30330

30

2 101

4

,

632

30225

30

3,3 1

07

El orden es

632

527

3.

Calcula las siguientes raíces.

a)

576

b)

0,008

1

c)

1,777

…

a)

576

26₃2

23_{3 24 b)}

0,0081

10

8 0

1 00

1

9

00 0,09 c)

1,777…

1 9

6

4

3

Extrae de la raíz todos los factores posibles.

a)

5 —

x z

12 1

y

00 54

—

b) —2

3 3 4

—

6 — 320

5

6 2

10

—

c)

3 —

45 1

6 8 4

2

3

—

a)

5 x

z

12 1

y

00 54

x

z

2_y 20

10

5

x2_y4

b) 2 3 3 4

6 3

20

5 6

21

0

23₃4 3

3

5 2

6

32₂4

₃24₅

6 32₂4

₃24₅

3 3 22

c)

3 4 5

1 6 8 4

2

3

3 2

10 2

2 2 4

3

3 4

4₃

3

212₃

24

3 3

2.68

Realiza las operaciones indicadas.

a)

825₃6

6

29₃5

b) —

4

a

3

3

a2

a

— c)

3

423

a)

825 36

6

29 35

24

215 31

8

236

320

24 251

33

8

b)

12

a a

9_a 8 6

12

a7

c)

3

423

324

23

8

2

Realiza las operaciones indicadas.

a)

75

12

3

3

c)

325

9

3 — 5 8

4

—

b) 5

2

4

8

10

18

d)

0,222

…

36 20

0,125

a)

75

12

3

3

5

3

2

3

3

3

6

3

b) 5

2

4

8

10

18

5

2

8

2

30

2

17

2

c)

325

9

3 5 8

4

2

34

9

3 2 4

7

2

34

9

3

3

4

3

4

d)

0,222…

36 20

0,125

2 9

36 20

1 8

1

3

2

36 2

4 0

2

7

2

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log 100 000 b) log5625 c) log7343

a) log 100 000 log 105_{5 b) log5625 log55}4_{4 c) log7343 log77}3₃

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log20,125 c) log813 e) log100010

b) log4— 4 3

8

— d) log255 f) log1000100

a) log20,125 log21

8 log22 3 ₃

b) log4 4 3

8 log41 1

6 log44 2 ₂

c) log813 log81

481

1 4

Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias.

a) log (25₃7₎4 _{b) log —}2

5 7

6 34

— c) log

—

b a

—

a) log (25₃7₎4_{log (2}20₃28_{) log 2}20_{log 3}28_{20 log 2 28 log 3} b) log 2

5

7 6

34

log (25₃4_{) log 7}6_{5 log 2 4 log 3 6 log 7}

c) log

b a

log 1

4log a 1 2log b

4

a

b

2.73 2.72 2.71 2.70

4

a3

a

3

a2

2.69

d) log255 log25

25

1 2 e) log100010 log1000

31000

1

3 f) log1000100 log1000102_log1000

3 1000

2 2

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log2(log 10 000) b) log3(log2(10 log 0,01))

a) log2(log 10 000) log24 2

b) log3(log2(10 log 0,01))log3(log2(10 2))log3(log28) log33 1

Expresa en metros las siguientes medidas usando la notación científica.

a) 3 millones de kilómetros b) Una millonésima de milímetro

a) 3 millones de kilómetros 3 106_{kilómetros 3 10}9_metros b) Una millonésima de milímetro 106_milímetros

109_metros c) 26 1012_{hectómetros 26 10}12₁₀2_{metros 2,6 10}9_metros

d) 3 trillones de nanómetros 3 1018_{nanómetros 3 10}18₁₀9_{metros 3 10}9_metros

El factorial de un número se define:

n! n · (n – 1) … 2 1

Por ejemplo:

6! 6 5 4 3 2 1 720

Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los siguientes números factoriales.

a) 15! b) 25! c) 40!

a) 15! 1,3 1012_{; orden 12 b) 25!}

1,55 1025_{; orden 25 c) 40!}

8,159 1047_{; orden 47}

En la siguiente fórmula, despeja cada una de las variables que aparecen.

x3_—

y

1 2

—

3z2

1

x3

y

1 2

3

z2

1 ⇒x

3

y

1 2

3

z2

1

x3

y

1 2

3

z2

1 ⇒ x3₁

3

z2

_y12 ⇒y

3

z2

1 x3

y

1 2

⇒z

1 x3

y

1 2

3

Cualquier número natural se puede expresar como suma de un máximo de cuatro cuadrados perfectos. Esto nos permite representar la raíz cuadrada de cualquier número usando el teorema de Pitágoras.

Descompón en suma de cuadrados los siguientes números e indica cómo se representarían sus raíces cua-dradas.

a) 41 b) 27 c) 31

a) 41 52 ₄2_{. Para representar la raíz se construye el triángulo rectángulo de catetos 5 y 4. La hipotenusa mide}

41

. b) 27 52 ₁2 ₁2_{. Se representa primero}

2

, usando dos catetos de longitud 1, y después se usan como catetos

2

y 5. c) 31 52 ₂2 ₁2 ₁2_{. Como en el ejemplo anterior, se representa primero}

2

, después

6

y por último

31

. 2.78

1

x3₁

3

z2

2.77

2.76 2.75 2.74

144424443

0 1 2

–1

3 = 12 + 12 + 12

3 2

√ √3

c) 26 1012_hectómetros

¿Cuántas cifras puede tener la raíz cuadrada de un número de seis cifras? ¿Y la raíz cúbica?

Como 105_{x 10}6_{, la raíz cuadrada cumple que 316,2}

105

x

106

103_{, y la raíz cúbica cumple que} 46,4

3105

x

3106

100. Por tanto, la raíz cuadrada tiene tres cifras, y la raíz cúbica tiene dos.

Considera las fórmulas del área y del volumen de una esfera de radio r y, a partir de ellas:

a) Halla una fórmula que permita obtener la superficie de una esfera conociendo su volumen.

b) Halla la fórmula que da la longitud de la circunferencia máxima en función del volumen.

Las fórmulas a utilizar son L2r,S4r2_,V 4 3 r

3_.

a) V 4

3 r

3_(4r2₎1 3rS

1 3r⇒S

3

r V

b) V 4

3 r

3_(2r)2 3r

2_L 2 3r

2⇒_L 2 3

r V

2

Una hoja de papel tiene 0,01 milímetros de grosor. Se dobla ese papel por la mitad, se vuelve a doblar, y así sucesivamente.

Utilizando logaritmos, ¿podrías indicar cuántos dobleces harían falta para obtener un grosor de 100 metros?

Como 100 metros son 100 000 milímetros, se trata de hallar el primer valor natural para el que 0,012x_{100 000, donde xindica}

el número de dobleces.

0,012x_{100 000} ⇒₂x₁₀7⇒_{log 2}x_{log 10}7⇒_x log

7

2 23,25. Hay que realizar un mínimo de 24 dobleces.

P A R A R E F O R Z A R

Escribe los siguientes números empleando notación científica.

a) 0,000 000 000 235 b) 5 480 000 000 000

a) 0,000 000 000 235 2,35 1010 _{b) 5 480 000 000 000 5,48 10}12

Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado.

a) (3,5 1015_{) (1,2 10}7_{) d) (2,67 10}43_{) : (1,4 10}33₎

b) (2,24 1015_{) (3 10}20_{) e) (5,78 10}21_{) : (2,22 10}25₎

c) (2 1023_{) (1,55 10}30_{) f) (9,93 10}7_{) : (3,12 10}7₎

a) Orden 22 b) Orden 35 c) Orden 7 d) Orden 10 e) Orden 4 f) Orden14

Despeja x en cada ecuación.

a) a x2 _{c) 4}2_x3

b) 125 x3 _{d) x}3₂4

a) ax2⇒_x

a

c) 42_x3⇒_x

3 42

b) 125 x3⇒_x

3 125

5 d) x3₂4⇒_x

3 2 1 4

Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raíz y calcula:

a) 320,2 _{b) 1000}0,666… _{c) 625}—1

2 0

5 0

—

a) 320,2₃₂ 1 5

5 32

2 b) 10000,666…₁₀₀₀ 2 3

3 10002

100 c) 6251 2 050

625 1 4

4 625

5

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.

12 27

15

29

18

213

12

27

180

2105

15

29

180

2108

18

213

180

2130

Calcula las siguientes operaciones.

a) 3

2

7

2

4

2

b)—1

2—

20

75

4

45

a) 3

2

7

2

4

2

(3 7 4)

2

0

2

0 b) 1

2

20

75

4

45

1

22

5

5

3

43

5

11

5

5

3

Expresa como un único radical:

a) 5

6

d)

b) 2

3

7

2

e)

32

42

c)

35

36

f)

a) 5

6

52₆

d)

15

b) 2

3

7

2

14

6

142₆

e)

32

42

1224₂3

12

27

c)

35

36

330

f)

6 3 3

4

2 5

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log4256 c) log 10 000 000

b) log21024 d) log371

a) log4256 log444_{4 c) log 10 000 000 log 10}7₇ b) log21024 log2210_{10 d) log371 0}

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log 0,1 c) log2—

1 3 92—

b) log50,04 d) log2(0,5

7₎

a) log 0,1 log 101 _{1 c) log2}

₁3₉₂ log2 6 1

4 log22 6 ₆ b) log50,04 log5

2 1

5 log55

2 _{2 d) log2(0,5}7_{) log22}7 ₇ 2.90

2.89

3

65

3 4

45

3

3

65

——

3

4

45

—

3

Calcula los siguientes logaritmos.

a) log1 000 000100 c) log48

b) log366 d) log84

a) log1 000 000100 log1 000 000

31 000 0

00

1

3 c) log48 log42

3_log4(

4

)3_log44 3 2 3

2 b) log366 log36

36

1

2 d) log84 log8(

3

8

)2 2

3

P A R A A M P L I A R

Estudia el método empleado para racionalizar fracciones de la forma .

a) Comprueba que la fracción —

3

1

2

— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador

por

3

2

.

b) Comprueba que la fracción —

6

1

2

— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador

por

6

2

.

a)

3

1

2

3

3

2

2

3

2

b)

6

1

2

6

6

2

2

6

₄

2

Racionaliza las siguientes fracciones.

a) —

7

3

3

—

b)—

3

2

2

—

a)

7

3

3

3(

7

7

3

3

)

3(

7

₄

3

)

b)

3

2

2

6

3

2

4

₆

₂

c) 2

3

2

2

2(2 4

3

3

2

2

)

2

3

₅

2

d) 8

5 2

2

5(8 56

2

2

) 5(8 2

2

)

(8 2

2

)(8 2

2

) 2(2

3

2

)

(2

3

2

)(2

3

2

)

2

(

3

2

)

(

3

2

)(

3

2

) 3(

7

3

)

(

7

3

)(

7

3

) 2.93

6

2

(

6

2

)(

6

2

)

3

2

(

3

)2₍

2

)2 1(

3

2

)

(

3

2

)(

3

2

)

k

——

a

b

2.92 2.91

c) —

2

3

2

2

—

d) —

8

5

2

2