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L1. Péndulo de Torsión

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Academic year: 2019

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(1)

1 UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA III

L1. PÉNDULO DE TORSIÓN.

OBJETIVOS

1. Medir el periodo de oscilación de una varilla delgada con masas adosadas y unidas a un eje de torsión. 2. Determinar la constante del eje de torsión.

3. Determinar el momento de inercia de un disco para distintas distancias entre el eje de rotación y el de simetría y verificar el teorema de Steiner (teorema de los ejes paralelos).

EQUIPO

1 eje de torsión, 1 disco para el eje de torsión, 1 trípode pequeño en forma de V, 3 cronómetros, 1 balanza, 1 cinta métrica, 1 varilla, 2 masas de forma cilíndrica.

MARCO TEÓRICO Péndulo de Torsión

Dentro del dominio de la validez de la ley de Hooke, al deformar un cuerpo del modo que sea, aparece un esfuerzo recuperador proporcional a la deformación que tiende a devolver al cuerpo su forma primitiva. Si desaparece el esfuerzo deformante, el cuerpo se encuentra en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio armónico. La Figura 1 muestra un objeto rígido suspendido por un cable que está sujeto en su parte superior a un soporte fijo. Cuando el objeto se gira un ángulo ,θ el cable ejerce sobre el objeto un torque de restitución que es proporcional al desplazamiento angular θ respecto a la posición de equilibrio. Esto es,

,

τ= −κθ (1)

donde κ (letra griega kappa) es la constante de torsión del cable. El valor de κ se puede conocer aplicando un torque conocido para girar el cable un ángulo θ que puede ser medido experimentalmente. Aplicando la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional, encontramos

2 2 .

d

I I

dt θ

τ = −κθ =α = (2)

Reagrupando términos en la ecuación (2) se obtiene,

2

2 0.

d

I dt

θ κ θ

+ = (3)

La ecuación (3) tiene la forma de un movimiento armónico simple, con I κ

ω= y un periodo

2 I .

T π

κ

= (4)

(2)

LABORATORIO DE FÍSICA III, L1. PÉNDULO DE TORSIÓN

2

Figura 1. Péndulo de torsión

Definición de momento de inercia.

El momento de inercia es una medida de la inercia con la que un cuerpo reacciona a un momento de torsión y cambia su movimiento de rotación, por lo que es análogo a la masa inercial en los movimientos de traslación. Así por ejemplo, en las oscilaciones de torsión, el periodo T de oscilación será tanto mayor cuanto mayor sea el momento de inercia I del sistema oscilante.

Una masa puntual que se mueve en una trayectoria circular de radio r tiene un momento de inercia I1=mr2, el momento de inercia de dos masas iguales unidas firmemente entre sí y separadas una distancia r del eje de

rotación es I2=2mr2. Luego el momento de inercia es en ambos casos proporcional al cuadrado de la distancia .

r

En la parte A del experimento se procede unir firmemente dos masas mediante una varilla delgada, unida a su vez en punto medio a un eje de torsión (ver Figura 2). El sistema gira con periodo de oscilación T luego de sacarlo de su posición de equilibrio. De la ecuación (4) se deduce que,

2 . 2 T I κ π   =

  (5)

Además, teniendo en cuenta que el momento de inercia I se compone del momento de inercia I2 y del momento de inercia I0 de la varilla, se tiene que

2 0

2 ,

I= mr +I (6)

pero a partir de la ecuación (5) se tiene que

2 0 0 , 2 T I κ π   =

  por lo tanto la ecuación (6) se puede expresar como,

2 2 2 0 2 . 2 2 T T mr κ κ π π     = +    

    (7)

Por lo tanto

2

2 2 2

0

8

. m

T T π r

κ

(3)

3

Figura 2. Representación esquemática.

Teorema de Steiner.

El momento de inercia de cualquier cuerpo rígido cuyas porciones de masa ∆mi guardan una distancia ri respecto del eje de rotación ,A está dado por

2 1

.

A i i

i

I m r

=

=

∆ (9)

Si el eje de rotación A no pasa por el centro de masa del cuerpo, la aplicación de la ecuación (9) conduce un cálculo complejo. Por lo general es más sencillo realizar el cálculo del momento de inercia IS en torno del eje

,

S paralelo al eje de rotación que si pasa por el centro de masa (ver Figura 3). La relación entre el momento de inercia IA y el momento de inercia IS está dada por el teorema de Steiner:

2

,

A S

I =Ma +I (10)

donde M es la masa del objeto rígido y a es la distancia entre los dos ejes.

Figura 3.

TEMAS PARA CONSULTA 1. Péndulo de torsión. 2. Teorema de Steiner. 3. Momentos de inercia.

BIBLIOGRAFÍA

1. Alonso, Marcelo; Finn, Edward J. Física – Tomo I – Capítulo XII.

(4)

LABORATORIO DE FÍSICA III, L1. PÉNDULO DE TORSIÓN

4

PROCEDIMIENTO PARTE 1.

El montaje experimental se muestra en la Figura 4.

1. Mida el valor de cada masa cilíndrica, registre el valor promedio de éstas en la Tabla de datos 1.

2. Fije por el medio la varilla al eje de torsión y ubique las masas cilíndricas de manera simétrica a 30 cm del eje de dicho eje.

3. Haga girar la varilla hacia la derecha respecto de la posición de equilibrio y libérela (la varilla no se debe girar más de 180° respecto de la posición de equilibrio porque se podría dañar el péndulo de torsión).

4. Mida el tiempo de 3 oscilaciones, registre el tiempo en la Tabla de datos 1.

5. Repita la medición dos veces alternando giros hacia la derecha y hacia la izquierda.

6. Reduzca de manera sucesiva la distancia entre las masas cilíndricas y el eje de torsión a 25 cm, 20 cm, 15 cm, 10 cm y 5 cm, y repita la medición del tiempo de tres oscilaciones, registre los valores en la Tabla de datos 1. 7. Retire las masas y reitere la medición del tempo de 3 oscilaciones, registre los valores en la Tabla de datos 1.

Figura 4. Montaje para el cálculo de la constante de torsión.

PARTE 2.

El montaje experimental se muestra en la Figura 5. 1. Mida la masa M del disco y su radio .R

2. Fije el disco por su centro al eje de torsión.

3. Haga girar 180° el disco hacia la derecha respecto de la posición de equilibrio y libérelo. 4. Mida el tiempo de 3 oscilaciones, registre el tiempo en la Tabla de datos 1.

5. Repita la medición dos veces alternando giros hacia la derecha y hacia la izquierda.

6. Monte el disco sobre el eje de torsión, separado 2 cm del centro y repita la medición del tiempo de tres oscilaciones.

7. Repita la medición del tiempo de tres oscilaciones para otras distancias a respecto del eje de simetría.

(5)

5

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS.

1. Complete la siguiente tabla de datos, y represente en una gráfica T2 como función de r2.

m (masa promedio de los objetos cilíndricos): n (número de oscilaciones):

[

]

r cm r2 cm2 t1

[ ]

s t2

[ ]

s t3

[ ]

s t s

[ ]

T t

[ ]

s n

= T2   s2

0 (sin masas) 5

30

2. Calcule, por el método de los mínimos cuadrados la pendiente de la recta que se debe obtener al graficar T2 contra r2. Indique el factor de correlación.

3. Calcule la constante de torsión κ a partir de la pendiente obtenida en el numeral 2 y la ecuación (8).

4. Teniendo en cuenta los datos de la parte B, el valor de κ obtenido en el numeral anterior y la ecuación (5),

complete la siguiente tabla de datos, y represente en una gráfica IA como función de a2.

[

]

a cm a2 cm2 T s

[ ]

IAg cm⋅ 2

5. Calcule por el método de mínimos cuadrados, la pendiente de la recta que se debe obtener al graficar IA

contra a2. Calcule el factor de correlación y el punto de corte con el eje de las ordenadas (eje vertical).

6. A partir de los valores obtenidos en el numeral 5 y la ecuación (10) calcule el momento de inercia del disco respecto de un eje que pasa por su centro de masa y compare el valor calculado con el valor teórico.

Para calcular el momento de inercia teórico haga uso de la expresión:

2

1 . 2

(6)

LABORATORIO DE FÍSICA III, L1. PÉNDULO DE TORSIÓN

6

HOJA DE DATOS L1. PÉNDULO DE TORSIÓN.

Fecha: Grupo: Subgrupo:

Instrumento de medición: _______________________________________ Resolución: __________________

Instrumento de medición: _______________________________________ Resolución: __________________

Instrumento de medición: _______________________________________ Resolución: __________________

La precisión hace referencia al valor más pequeño que se puede medir con el instrumento de medición.

PARTE A

m (masa promedio de los objetos cilíndricos): n (número de oscilaciones):

[

]

r cm t1

[ ]

s t2

[ ]

s t3

[ ]

s t s

[ ]

0 (sin masas)

5

10

15

20

25

30

PARTE B M (masa del disco):

R (radio del disco):

n (número de oscilaciones):

[

]

a cm t1

[ ]

s t2

[ ]

s t3

[ ]

s t s

[ ]

T s

[ ]

0

2

4

6

8

10

12

14

Figure

Figura 1. Péndulo de torsión  Definición de momento de inercia.
Figura 5. Montaje para la verificación experimental del teorema de Steiner.

Referencias

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