PROGRAMACION LINEAL GUIA 10
OBJETIVO:
Representar en forma geométrica la solucion de una desigualdad lineal con 2 variables y de un sistema de desigualdades lineales
DEFINICIÓN
Una desigualdad lineal en las variables x y y es una desigualdad de la forma
0
+
+ ≤
0
≥
+
+
by
c
ax
ax
by
c
(o bien ax + by + c < Oax + by + c > O en donde a, b y c son números reales y a y b no son cero
Geométricamente la solución de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad
la solución de una desigualdad lineal es un semiplano
la gráfica de una recta y = mx + b no vertical divide el plano en tres partes distintas que son:
1.la recta misma, que consiste en todos los puntos (x, y) cuyas coordenadas satisfacen, y = mx + b
2.la región que se encuentra por encima de la recta, y que consiste en todos los puntos (x, y) que satisfacen y > mx + b;
3.la región que se encuentra por debajo de la recta, y que consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen y < mx + b.
Para una recta vertical x = a, se habla de las regiones que se encuentran a su derecha (x > a) o a su izquierda (x < a)
EJEMPLO Resolver
la desigualdad 2x + y < 5.
se traza la recta correspondiente 2x + y = 5, marcando dos puntos de ella, por
ejemplo las intersecciones con los ejes ,0) 2 5
( , y (O, 5.) despejando y la desigualdad en la forma equivalente es y < 5 -2x,
la solución consiste en todos los puntos que se encuentran por debajo de la recta. Si (xo,yo)es cualquier punto de esta región, entonces su ordenadayo es menor que el número 5 – 2xo
Por ejemplo,(-2, -1) se encuentra en esa región y se satisface si la ecuación cumple que -1 < 5 - 2(-2).
Si se hubiera requerido que y < 5 - 2x, , se adoptan las convenciones de que las rectas de trazo lleno se incluyen en la solución y las rectas punteadas no se incluyen.
EJEMPLO
EJEMPLO Resolver
2(2x - y) < 2(x + y) - 4. se reducen términos semejantes 4x-2y<2x+2y-4
2x-4y<-4
2 1
4 2 4 4
2 4 4
x y
x y
x y
+ >
− − − − >
− − < −
al despejar y se divide por un numero negativo el símbolo
de la desigualdad cambia y se grafica la recta
2 1 x
y= + cuya solucion es el semiplano
que
esta sobre la recta sin incluir la recta
SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES Ejemplo
y x
y y x
≥ > −
> +
0 1 2
3 2
PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL. OBJETIVO:
Plantear y Resolver en forma geométrica y algebraica un problema de programación lineal
La programación lineal fue desarrollada por George B. Danzig a fines de la década de 1940 y se utilizó primero en la Fuerza Aérea de Estados Unidos como auxiliar en la toma de decisiones. En la actualidad tiene amplia aplicación en el análisis industrial y económico.
Definición:
Un problema de programación lineal es aquel en el que intervienen una función lineal en las variables x y y y que se desea maximizar o minimizar y tiene la forma Z = ax + by, donde a y b son constantes y esta limitado por varias restricciones
Se requiere que las restricciones correspondientes estén representadas mediante un sistema de desigualdades lineales que implican " < " o bien " > ") o ecuaciones lineales en x y y, y que todas las variables sean no negativas.
A la función que se desea maximizar o ¡minimizar se le denomina función objetivo. Las soluciones para el sistema de restricciones se denomina soluciones factibles o puntos factibles),
el objetivo consiste en encontrar una de esas soluciones que represente una solución
óptima (es decir, una solución que dé el valor máximo o mínimo de la función
objetivo).
Análisis geométrico de la programación lineal.
Ejemploy 1 hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponible por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de $4 y para los eléctricos de $6. Si la compañía vende todos los artefactos que fabrica, ¿cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?
Utilidad/
Artefactos A D C Unidad
Manual 2h 1 h 1 h $4
Eléctrico 1 h 2h 1 h 6
Horas disponibles 180 160 100
SOLUCION
se denotan x= números de artefactos manuales
y= números de artefactos eléctricos, respectivamente, que se fabrican al mes.
Como el número de artefactos fabricados no puede ser negativo, se tiene que
x > O, y>0.
Para la máquina A, el tiempo que se requiere para trabajar en x artefactos manuales es 2x
horas,
y el tiempo necesario para trabajar en y artefactos eléctricos es \y horas. La suma de estos tiempos no puede ser superior a 180, por lo que
2x + y < 180.
De forma análoga, las restricciones para las máquinas B y C dan
x + 2y < 160 y x + y < 100.
La utilidad (o ganancia) U es función de xy de y está dada por la función de utilidad: U = 4x + 6y. Resumiendo, se desea maximizar la función objetivo:
U = 4x + 6y (1)
Consecuentemente, se tiene un problema de programación lineal. A las restricciones (2) y (3) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que satisface de modo simultáneo las restricciones (2) a (6) es la que aparece sombreada en la grafica. Cada uno de los puntos de esta región representa una solución posible, a esta región se le denomina región factible. Aunque existe una cantidad infinita dé soluciones y se debe hallar la solucion que maximice la función de utilidad.
Ya que P = 4x + 6y define una "familia" de rectas paralelas, cada una de las cuales tiene
pendiente
3 2
− =
m e intercepción en y ) 6 , 0
( P después de despejar la variable y es equivalente a
6
3
2
P
x
y
=
−
+
Por ejemplo, si U = 600, entonces se obtiene la recta 100 3
2 +
−
= x
y
Esta recta se denomina recta de isoutilidad, o igual utilidad proporciona todas las combinaciones posibles de .x, y y que arrojan la misma utilidad de $600.
Obsérvese que esta recta de igual utilidad no tiene ningún punto común con la región factible, en tanto que la recta de igual utilidad para P = 300 tiene una cantidad infinita de puntos en común.
Ahora, se procede a buscar el miembro de la familia que contenga un punto factible y cuyo valor de P sea máximo y debe se la recta cuya ordenada al origen se encuentre lo mas alejado del origen lo cual dará el valor máximo de P) y que tenga cuando menos un punto común con la región factible.
Cualquier recta de igual utilidad que represente mayores utilidades no contiene puntos que formen parte de la región factible.
El punto A queda tanto en la recta x + y = 100 como en la
recta x + 2y = 160. Por ello, se pueden determinar sus coordenadas resolviendo el siguiente sistema:
x + y = 100 x + 2y = 160.
Cuya solucion es x = 40 y y= 60. Sustituyendo estos valores en P = 4x + 6y, se encuen-tra que la máxima utilidad sujeta a las restricciones es $520, que se obtiene al fabricar 40 artefactos manuales y 60 eléctricos cada mes.
Si se puede abarcar una región factible con un círculo, como la región de se le denomina región factible acotada. Si no es posible hacerlo, entonces es no acotada. Cuando una región factible contiene cuando menos un punto, se dice que es no vacía. Así,
es una región factible acotada y no vacía. Se puede probar que:
Una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice.
Esta afirmación permite hallar soluciones óptimas sin tener que trazar rectas de isoutilidad Se puede evaluar la funcion objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y se elige aquel donde la funcion resulte optima
Al resolver 2x+y =180; x+y=100 y se obtiene el punto B(80,20), los otros vértices son A(40,60) C(90,0) D(0,0), E(0,80)ahora se evalúa la funcion objetivo en cada uno de los puntos y el mayor valor es el máximo, el menor valor es el mínimo , se remplaza los puntos en la funcion objetivo
P(x) = 4x+6y
P(A) = 4(40)+6(60)=520 P(B) =4(80)+6(20)= 440 P(C) =4(90)+6(0)= 360 P(D) =4(0)+6(0) =0 P(E) =4(0)+6(80) =480
Por lo tanto P tiene un valor máximo de 520 en A donde x=40 y y=60
EJEMPLO
PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL
El señor Márquez va a hacer una fiesta en la que va a servir un ponche con una receta que establece partes iguales de brandy y jugo de frutas, mas clarete o vino rosado al gusto ;esto llena sus propósitos porque posee un litro de brandy que no le gusta y que decide usarlo en el ponche , los invitados van a ser un numero tal que cuando menos debe utilizar 6 litros de ponche ,y el recipiente o ponchera no tiene mas que 10 litros de capacidad ; además el considera que el contenido de alcohol de la mezcla no debe exceder el 25% .
El brandy tiene el 60% de alcohol y cuesta 5 dólares el litro; el clarete que escoge contiene el 20% de alcohol y su precio es 3,50 dólares por litro si el jugo de frutas vale 0,50 dólares halle la composición de :
a) El ponche mas barato?
b) El ponche que tiene el mayor contenido de alcohol?
PLANTEO MATEMATICO DEL PROBLEMA Sea x = numero de litros de clarete
Sea y = numero de litros de brandy
Sea y = numero de litros de jugo de frutas Por lo tanto el conche será x+2y
Los porcentajes pasados a fraccionarios son
20% es 5 1
el 60% es 5 3
y el 25% es 4 1
Contenido de alcohol corresponde a la expresión 5 3 5 y x+
litros como el contenido de
alcohol no debe exceder el 25% del total se tiene ( 2 ) 4
1 5 3
5 x y
y x
+ ≤
+ simplificando esta
expresión queda x−2y≥0
Como tiene un litro de brandy entonces y≥1
Y como la cantidad de ponche no debe ser menos de 6 litros ni mayor de 10 se tiene ,6≤x+2y≤10 x≥0, y≥0
El sistema de desigualdades
10 2 ≤ + y x 6 2 ≤ + y x 0 2 ≥ − y x 1 ≥ y 0 , 0 ≥ ≥ y
x tiene como solucion la región sombreada correspondiente al polígono convexo o intersección de 4 semiplanos
La funcion costo total del ponche es : y
y x x
C( )=3.5 +5 +0.5 y en términos de fraccionarios es 2
11 7 )
(x x y
C = + y la funcion alcohol
5 3 5 )
(x x y A = +
Replanteando el problema dice:
a)Hallar el punto de la región sombreada donde la funcion costo toma su valor mínimo y
) , (x y
b) Hallar el punto de la región sombreada donde la funcion alcohol toma su valor máximo
Se hayan los vértices del polígono porque las funciones toman los valores máximos y mínimos en los vértices del polígono convexo
Los vértices son:A(4,1), B(8,1), C(5, 2 5
), D(3, 2 3
) reemplazando estos puntos en las
funciones que se quieren optimizar se obtienen los siguientes resultados
2 11 7 )
(x x y
C = +
50 . 19 2 ) 1 ( 11 ) 4 ( 7 )
(A = + =
C 50 . 33 2 ) 1 ( 11 ) 8 ( 7 )
(B = + =
C 25 . 31 2 ) 2 5 ( 11 ) 5 ( 7 ) ( = + = C C 75 . 18 2 ) 2 3 ( 11 ) 3 ( 7 ) ( = + = x C
por lo tanto el ponche mas barato es de $ 18.75 con 3 litros de clarete y 2 1
1 litro de brandy y
5 3 5 )
(x x y A = +
4 . 1 5 ) 1 ( 3 5 4 )
(A = + = A 2 . 2 5 ) 1 ( 3 5 8 )
(B = + = A 5 . 2 5 ) 2 5 ( 3 5 5 )
(C = + =
A 5 . 1 5 ) 2 3 ( 3 5 3 )
(D = + =
el brandy de mayor contenido de alcohol se obtiene en el punto C con 5 litros de clarete
y 2 1
2 litros de brandy
Ejercicios resueltos de programación lineal
1 A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B? Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?
Sea: x= cantidad invertida en acciones A
y= cantidad invertida en acciones B
La función objetivo es: Z=f(x,y) o
Y las restricciones son:
Siendo los vértices del recinto:
A intersección de las rectas u,t:
B intersección de r,u:
C intersección de r,s:
D intersección de s,t:
La función objetivo toma en ellos los valores:
Siendo la solución óptima invertir 6 millones en acciones tipo A y 4 en acciones tipo B
_____________________________________________________________________
calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ?Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
Llamemos:
x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.
y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.
La función objetivo es:
f(x, y)=5x+7y
Las restricciones:
Vértices: A(0, 100)
B intersección de s,t:
C intersección de r,t:
D (120, 0)
Siendo los valores de la función objetivo:
Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia
ACTIVIDADES
Dibuje la región por las siguientes desigualdades
1. ⎩ ⎨ ⎧ > − < − 9 3 6 2 3 y x y x
2. ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − < > + y x x y y x 5 3 2 1 3. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − > − − < + 0 5 6 3 x y x y x
Maximizar por el método geométrico la funcion objetivo limitada a la restricciones dadas del 4 al 8
4. 5. 6.
0 , 0 2 60 12 10 ≥ ≥ − ≤ + + = y x y x y x y x P 0 , 210 3 2 220 2 3 80 6 5 ≥ ≤ + ≤ + ≤ + + = y x y x y x y x y x P 0 , 7 3 3 5 6 4 ≥ ≤ ≤ − ≥ + − = y x y y x y x y x Z
7. 8.
0 , 4 4 2 2 10 4 ≥ ≥ − ≤ − − = y x y x y x y x Z 0 , 2 8 2 4 2 3 . 0 5 . 0 ≥ − ≥ − = + ≤ − − = y x y x y x y x y x Z .
10 Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 50.000 pesos. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 pesos el kg. y las de tipo B a 80 pesos el kg. Sabiendo que sólo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 pesos y el kg. de tipo B a 90 pesos, contestar justificando las respuestas:
a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para
obtener máximo beneficio?
b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?
11. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana.
Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer
requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes
y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.
12. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de pesos y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?
13. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
yogures de cada tipo se deben producir para que el coste de la campaña sea mínimo?
15. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesos y de 3 millones por cada coche. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?
16 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kg. de A, 90 kg. de B y 150 kg. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kg. de A, 1 kg. de B y 2 kg. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kg. de A, 2 kg. de B y 1 kg. de C.
a. Si se venden las tartas T1 a 1000 pesos la unidad y las T2 a 2300
pesos. ?Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?
b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1500 pesos. ¿Cuál
será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricara 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?
12 Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?
