CONCEPTOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE GENERALIZADOS (I) ()

(1)

Capítulo 4:

Introducción a los parámetros de dispersión (S)

p

( )

En el presente capítulo se proporciona una nueva

herramienta de análisis de circuitos genéricos de

microondas: los parámetros de dispersión (de scattering en

terminología inglesa: parámetros S) Dicha herramienta es de

terminología inglesa: parámetros S). Dicha herramienta es de

carácter general y servirá para el análisis de cualquier

circuito de microondas evitando los minuciosos análisis que

(2)

ÍNDICE

• Definición de voltaje y corrientes generalizados: concepto de impedancia.

• Concepto genérico de circuitos de microondas: unión de guías plano de referencia

• Concepto genérico de circuitos de microondas: unión de guías, plano de referencia.

• Descripción de uniones de una única guía:

– Descripción de una unión de una única guía o terminación: • Energía en la terminación

• Propiedades de la impedancia y admitancia generalizada de una terminación. – Descripción ondulatoria de una unión de una única guía:

• Descripción de una unión de guías: matriz de dispersión

– Descripción de una unión en función de voltajes y corrientes generalizados:

• Vectores de corrientes y voltajes generalizados: matriz de impedancia generalizadaVectores de corrientes y voltajes generalizados: matriz de impedancia generalizada • Propiedades y condiciones físicas de las matrices de impedancia o admitancia.

• Cierre de una unión de guías con dipolos.

Descripción ondulatoria de una unión de guías: matriz de dispersión – Descripción ondulatoria de una unión de guías: matriz de dispersión.

(3)

CONCEPTOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE

GENERALIZADOS (I)

( )

• Problemas y contradicciones:

E i d d di d f di t lt j i t

– En microondas no se puede medir de forma directa voltajes o corrientes.

– Sin embargo, es útil definir en terminales voltajes o corrientes en microondas:

• En estructuras que soportan modos TEM se define unívocamente ondas de voltaje o de corriente en cada coordenada longitudinal.

• En estructuras que no soportan modos TEM puros no es posible esa unicidad. Se define el voltaje como la integral del campo eléctrico transversal entre dos puntos y la corriente como

la circulación del campo magnético: −

+

H

la circulación del campo magnético:

– Si estamos ante un modo TM dicha integral es 0 (demostrar como ejercicio) Si estamos ante un modo TE el valor depende del camino de integración

∫

+ ⋅ =

⋅ =

+ C

l d H I

l d E

V r r; r r

-E

– Si estamos ante un modo TE el valor depende del camino de integración.

• Ejemplo para una guía rectangular con un modo TE

_y

₁₀

: depende de la posición x

(

− ⋅ ⋅

)

⋅ −

=

y x j z

a Psen a

j

E π β

π ωμ

exp

10 ,

(

)

(

)

_∫

⋅ ⋅ − ⋅

⋅ =

x

d j

P a j V

z j x

a sen P a H

a

β π

ωμ

β π

π

γ π

exp

10 ,

x

=− ⋅

(

− ⋅ ⋅

)

⋅

∫

y

dy z

j x

a Psen j

V β

π

(4)

CONCEPTOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE

GENERALIZADOS (II)

( )

• El voltaje anterior depende de la posición x y del camino de integración. No hay un

único voltaje.

• No obstante, se pueden extraer las siguientes conclusiones de teoría de guías:

– La potencia transmitida involucra a los campos transversales.

En una guía sin pérdidas la potencia transmitida total es superposición de la transmitida – En una guía sin pérdidas la potencia transmitida total es superposición de la transmitida

por cada modo.

– Los campos transversales tienen una variación en la dirección longitudinal de forma i l

exponencial.

(5)

CONCEPTOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE

GENERALIZADOS (III)

(

)

• Supongamos una guía que SÓLO soporta un modo propagándose:

(

)

( )

[

]

(

)

( )

[

]

( )

wave

( )

t t z j z j t t z j z j t t Z y x e z y x h e A e A y x h z y x H e A e A y x e z y x

E _ˆ _,

, , , , , ,

, r r

r r r v × = ⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = − − + − − + β β β β

• Definamos un voltaje y corriente equivalentes como aquellos NÚMEROS

COMPLEJOS asociados al modo de transmisión tal que la mitad del producto del

(

)

_t

( )

[

]

t , y, , y ⎭

voltaje equivalente por la corriente equivalente conjugada resulta en la potencia

transmitida. Así:

⎧ ⎫

j jβ β

(6)

CONCEPTOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE

GENERALIZADOS (IV)

(

)

• Aplicando la definición de los voltajes y corrientes generalizados:

+

C 2

( )

∫

⋅ × =

⋅

⋅ × =

⋅

+ +

+

S

ds z h e K

K

ds z h e C

I V

ˆ

ˆ 2

2 1

*

r r

• Se puede definir una impedancia característica equivalente como:

⎨

⎧

=

V

+

V

−

K

Z

1

1 ∫

S 2 1

• De esta forma una línea de transmisión equivalente representa una guía

C

id

i

⎩

⎨

=

₊ ₋

wave C

Z

K

I

Z

2

• Consideraciones:

– Cuando la guía soporta N modos la equivalencia es con N líneas, de forma que el conjunto de terminales físicos de la guía (1) es inferior al conjunto de terminales matemáticos que sirven para la representación.

(7)

CONCEPTO GENÉRICO DE CIRCUITOS DE

MICROONDAS: UNIONES DE UNA ÚNICA GUÍA

• Definición: un circuito de un terminal es un circuito en el que la energía puede entrar o salir por un único puerto que es prolongación de la guía o línea.

• Definición: plano terminal de la guía es una sección recta cualquiera de la guía que cumple la condición de que se anulan los modos superiores al fundamental de la guía. Se le

denominará plano de referencia.

• Calculando el vector de Poynting a través del plano terminal:

(

_m _e

)

loss

jw

W

P

dS

z

H

E

×

⋅

=

+

⋅

−

∫

ˆ

2

1 r

r

_*

• Si se hace uso del voltaje y corrientes (V e I, números complejos definidos sobre los

espacios vectoriales V e I) equivalentes definidos anteriormente y como dichos V e I son

únicos para cada distribución de campos E H (demoatración apuntes):

∫

Σ

2

únicos para cada distribución de campos E, H (demoatración apuntes):

– V e I en una línea son magnitudes físicas

– V e I en una guía son modelos

2 V

⋅

I

=

P

loss

+

2 jw

⋅

(

W

m

−

W

e

)

1

_*

• La aplicación entre los espacios vectoriales V e I es biunívoca y lineal por lo que existe un

número complejo que relaciona de forma única cada valor V e I

(

)

jX

R

W

jw

P

I

V

Z

⋅

loss

+

⋅

m

−

e

+

* 2

1

2 (

)

jX

R

I

Z

_in loss m e

=

+

⋅

=

⋅

=

_*

2 1 *

(8)

CONDICIONES FÍSICAS PARA LA EXISTENCIA DE

LAS IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS EQUIVALENTES

Q

• Por ser la aplicación entre V e I biunívoca y lineal existe Y=Z-1=G+jB. Esta descripción

en Z e Y es válida siempre que exista un modo dominante.p q • Terminación pasiva:

– Con pérdidas (P_loss>0) luego: Re(Z)=R>0, Re(Y)=G>0

• Si WSi W_E_E=WW_H_H estamos en condiciones de resonanciaestamos en condiciones de resonancia – Sin pérdidas:

• la parte real es 0 y la derivada parcial de la reactancia con respecto a la frecuencia es positiva luego la reactancia es creciente lo que supone que alternan polos y es positiva, luego la reactancia es creciente lo que supone que alternan polos y ceros.

• P=0 luego la impedancia es imaginaria pura. • Si WSi W_E_E=WW_H_H estamos en condiciones de resonanciaestamos en condiciones de resonancia

• Paridad e imparidad de la impedancia de entrada de una guía con la frecuencia (demostración Collin, pág 232):

– La parte real de la impedancia es una función par de la frecuenciaLa parte real de la impedancia es una función par de la frecuencia – La parte imaginaria es una función impar de la frecuencia

• (Esto ayuda a establecer qué funciones auxiliares pueden ser válidas para definir la resistencia o reactancia)

(9)

MODELO DE BANCO DE MICROONDAS Y DETALLE

DE CIRCUITOS DE UN SOLO PUERTO

Carga adaptada

Espacio para red de polarización

Choque radial y polarización

Dieléctrico

Sintonía Espacio para red

de polarización

Choque radial y polarización

Dieléctrico

Sintonía

Diodo detector _V+

V

Iris Cortocircuito

Pistón de cortocircuito V+

V

-V

Cavidad Diodo Gunn

λ/4 λ/2 Poste

cilíndrico Cavidad

Diodo Gunn

λ/4 λ/2 Poste

cilíndrico Émbolo

deslizante

T ill i ét i

Guía

V

-V (a)

(a)

(10)

DESCRIPCIÓN ONDULATORIA DE UNA

TERMINACIÓN (I)

( )

• Los conceptos de voltaje y corriente generalizado han permitido asociar una onda de tensión y otra de corriente incidente y reflejada en el plano de referencia de la terminación

y otra de corriente incidente y reflejada en el plano de referencia de la terminación.

[

]

i f

z j z j ref inc z j z j I I e V e V I V V e V e V V + = ⋅ − ⋅ = + = ⋅ + ⋅ = − − + − − + β β β β 1

• Si introducimos dos números complejos a y b tal que su módulo al cuadrado sea la potencia incidente o reflejada en el plano terminal se puede poner:

[

V e V e

]

Iinc Iref Z I + 0 ⎫

(

)

0 * * * * 0 0 2 1 1 : , ; Z g a a g a g a I V P real Z g Z g a I g a V inc inc inc inc inc = ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

• Estas ondas a y b se denominan ondas de potencia.

• De donde los valores de los voltajes y corrientes generalizados en función de las nuevas

d d t i

* 0

2

2 inc inc g Z

inc

⎪⎭

⎧ V Z I

ondas de potencia son:

₍

₎

(

)

_⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − ⋅ = + ⋅ = 0 0 0 0 8 2 2 I Z V b Z I Z V a b a I b a Z V

(

)

⎪ ⎪ ⎩ = ⎪

⎭ 0₀

0 b 8_Z

(11)

DESCRIPCIÓN ONDULATORIA DE UNA

TERMINACIÓN (II): interpretación física

( )

p

• Definición del coeficiente de reflexión en el plano de referencia (cociente de las

componentes tangenciales de campo):

z j z

en referencia de

plano si

inc ref

e

V

a

b

V

₋₂ _β

+ −

−

⋅

=

Γ

• Definición de la impedancia en función de voltajes y corrientes generalizados

(

)

+

Γ

⋅

=

+

⋅

=

2

0 ₀

1 Z

b

a

Z

V

Z

– Expresión que nos permite generalizar los resultados de líneas de transmisión a

(

−

)

−

Γ

⋅

1

2

0

Z

b

a

Z

I

Z

estructuras en guía por ser la aplicación biunívoca y lineal

• Condiciones físicas:

– Terminación pasiva: * ₀

* ₁

1

a a

P

≤ Γ ⇒ ⋅

= Γ ⋅ Γ −

> p

• No disipativa:

• Resonancia: W_H=W_E :

– Carga adaptada: (el número complejo b es 0 para todo a)

( )

_*

0

Im

a a

W

W_H _E

P

⋅ − ⋅

= Γ

>

ω

1

= Γ

real

Γ

0

= Γ

Carga adaptada: (el número complejo b es 0 para todo a) – Cortocircuito:

0

Γ

1

(12)

UNIONES DE GUÍAS DE ONDAS (I)

V N

Σ

_N

V

I I

I_N

Σ

₁

_Σ

_ι

V₁ _V_i

I₁ I_i

Σ

₂

(

)

N N

∑

∑ ∫

1 r

r

*

1

*

V

2

I₂

(

_m _e

)

loss n

n n n

W

jw

P

I

V

dS

z

H

E

n

−

⋅

+

=

⋅

=

⋅

×

∑

∑ ∫

=

= _Σ

2

1 ˆ

2

1

* 1

(13)

UNIONES DE GUÍAS DE ONDAS (II)

• Definición: estructura metálica cerrada cuyo volumen interior contiene una

región común totalmente aislada electromagnéticamente del exterior La única

región común totalmente aislada electromagnéticamente del exterior. La única

transferencia de energía se hace por medio de los planos de referencia que son

secciones rectas de la guía situadas en un punto donde sólo hay un modo.

– Si hubiera más de un modo esa guía se modelaría como una unión de guías en síSi hubiera más de un modo, esa guía se modelaría como una unión de guías en sí

• Se va a caracterizar la unión en términos de energía:

– Sólo existe flujo de energía en los planos de referencia.

L l d f i ól h d d i t

– Los planos de referencia sólo hay un modo dominante.

– En cada plano de referencia se define un voltaje y una corriente generalizados.

• Cada voltaje/corriente son números complejos de los espacios vectoriales V e I.

• La unión se define por vectores de números complejos de dimensión N de forma única tales que cada par de vectores V-I define un único par de vectores E-H • Los vectores V e I no son independientes y están relacionados mediante una

aplicación bilineal entre los espacios ectoriales Vne _In( ectores complejos de

aplicación bilineal entre los espacios vectoriales Vne _In(vectores complejos de

dimensión N)

• Como son espacios vectoriales de dimensión finita relacionados por una

(14)

UNIONES DE GUÍAS DE ONDAS: MATRICES DE

IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS

• La matriz que relaciona V con I se denomina matriz de impedancias Z. Dado

que la aplicación es regular la matriz que relaciona I con V se denomina matriz

que la aplicación es regular, la matriz que relaciona I con V se denomina matriz

de admitancias Y.

• Las matrices de impedancias y admitancias son simétricas ya que la unión es

homogénea, isótropa y recíproca.

– El teorema anterior implica que las magnitudes σ, ε y μ son magnitudes escalares o tensores simétricos (demostración como ejercicio)( j )

• Este teorema se demuestra a partir del teorema de reciprocidad de Lorentz:

– Si (E_a, H_a) y (E_b, H_b) son dos soluciones distintas de las ecuaciones de Maxwell para un circuito de microondas correspondientes a dos fuentes distintas pero de la misma un circuito de microondas correspondientes a dos fuentes distintas pero de la misma frecuencia y en el mismo modo se verifica

(

) (

)

[

]

(

) (

)

[

×

−

×

]

=

0 ∇

E

r

_a

H

r

_b

E

r

_b

H

r

_a

(

) (

)

[

]

(

a

)

b a b b a

(

)

a b

b a

H E

E H

H E

E H

H E

r r

= ×

∇ +

× ∇ −

× ∇

= ×

− ×

∇

(

)

_b _a _b _a

(

)

_b

a a

b jw H E jw E H jw H E jw E

Hr ⋅ ⋅ r − r ⋅ + ⋅ r + r ⋅ ⋅ r + r ⋅ + ⋅ r

(15)

CONDICIONES FÍSICAS PARA LA DEFINICIÓN DE LAS

MATRICES DE IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS

• Como Z e Y son matrices simétricas:

(

)

H H

T

W W

j P

I Z I

V I I

V 1 1 +2

1 *

• Conjugando la anterior expresión resulta

(

H E

)

H H

escalar T

W W

jw P

I Z I

V I I

V ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = +2 ⋅ −

2 2

2

(

_H _E

)

H H

W W

jw P

I Z

I ⋅ ⋅ = − 2 ⋅ −

1

• Sumando y restando las anteriores expresiones:

(

W_H W_E

)

jw P

I Z

I 2

2

(

Z Z

)

I P I

( )

Z I IH ⋅ + H ⋅ = 2 = H ⋅Re ⋅

2 1

Si l

ió

i

P

≥

0 l

(

Z Z

)

I jw

(

W W

)

j I

( )

Z I IH ⋅ − H ⋅ = 4 _H − _E = ⋅ H ⋅Im ⋅

2 1 2

( )

Z I

( )

Z id fi id iti

IH R ≥ 0 R

• Si la unión es pasiva P

≥

0 luego:

• Si la unión es no disipativa P=0 y se cumple:

– En una terminación no disipativa la matriz de impedancias es imaginaria pura

( )

Z I

( )

Z semidefinida positiva IH ⋅Re ⋅ ≥ 0⇒ Re

( )

0 Re

( )

0

Re ⋅ = ⇒ =

⋅ Z I Z

IH

p p g p

• Si

( )

definida positiva Z

Z W

W_H _E

Im Im

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

− ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

< >

(

)

( )

(16)

CIERRE DE UNA UNIÓN DE GUÍAS DE ONDAS CON

VARIOS DIPOLOS

V N I_N ZN i i i Z I

V =− ⋅

⇒

⋅

=

_× _×

×1 N N N 1

N

Z

I

V

Σ

_N

V

I₁ I_i

Z

Σ

₁

Σ

_ι

V₁ _V_i Z_i

⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜

⎛ V₁ z11 L z1k L L z1N I₁

V 2

Σ

₂ I₂ ( ) ( )( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ + + + + + + k k N k k k k kN kk k k k I I z z z z z z V V M M L L

L L L

L L L L L L L M M 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 12 11

1 _V _Z _I

I I M M M M V V L ⋅ − = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜

⎝VN z k+ N zNN IN

M L

L L

L L L L L L L M 1 2 22 21

2 M M I

V _⎠ ⎜_⎝ ⎟_⎠ _⎝ _⎠

⎝

(

)

21 1 1

1

22 12

11

1

M

Z

M

I

Z

I

V

_L

⋅

=

_de

⋅

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

_⋅

₊

_⋅

=

− La nueva unión degenerada tiene una matriz_{Z (Z}

de) que se puede poner en función de la

⎦

⎣

(17)

DESCRIPCIÓN ONDULATORIA DE UNA UNIÓN DE

GUÍAS (I)

( )

• Si extendemos la formulación para un dipolo dada en 4.9 a una unión de guías:

(

)

(

)

(

)

⇒ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ = = ⎭ ⎬ ⎫ − ⋅ = + ⋅ = × × × × × × N N n N N N N N N N N N N N N diag K Z diag H con B A K I B A H V 0 1 1 1 1 1 1 2 2

(1)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎟⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎬ ⎫ ⎨ ⎧ = ⋅ + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎭ − × × × × × × × × × × × n N N N N N N N N N n N N N N N N N Z diag F con I G V F A Z diag K B A K I 1 0 1 1 1 0 1 1 1 8

• Significado físico (“siempre desde el punto de vista del circuito”):

(

)

_{( )}

⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = ⎠ ⎝ ⎭ ⎬ ⎩ ⎨ ₌ _⋅ ₋ _⋅ × × × × × × n N N N N N N N N

N G diag Z

con I G V F B 0 1 1 1

g

(

p

)

(18)

DESCRIPCIÓN ONDULATORIA DE UNA UNIÓN DE

GUÍAS (II)

( )

• Si se despeja B (ondas salientes) en función de A (ondas entrantes):

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

1 1

− −

⋅

+

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=

⋅

+

=

⇒

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

A

F

G

Z

G

Z

F

I

G

Z

F

B

A

F

G

Z

I

G

Z

F

I

G

V

F

A

;

1

1 × ×

×

=

N N

⋅

N

S

A

B

(2)

(

) (

)

−1 1

G

S

• S matriz de dispersión que depende de la unión y de los planos de referencia

(2)

(

₋

) (

_⋅

₊

)

−1

_⋅

−1

⋅

=

F

Z

G

Z

G

F

S

• Si todas las impedancias de referencia fueran iguales a la característica ,

podríamos normalizar dichas impedancias haciéndolas igual a la unidad. En

ese caso, se podría escribir la matriz S como sigue:

(

₋

_Δ

) (

_⋅

₊

_Δ

)

−1

=

Z

(19)

SIMETRÍA DE LA MATRIZ DE DISPERSIÓN

• La matriz S de un circuito pasivo, lineal e isótropo es simétrica: S=S

T

(

) (

)

[

(

) (

)

]

T

F

G

Z

G

Z

F

G

Z

G

Z

F

S

⋅

+

⋅

−

⋅

=

⋅

+

⋅

−

⋅

=

− −

−

−1 1 1 1

– Las matrices F y G son diagonales, la matriz Z es simétrica

(

) (

)

( )

T

(

)

T

(

)

T T

F

G

Z

G

Z

F

G

Z

G

Z

F

⋅

−

⋅

+

−1

⋅

−1

=

−1

⋅

+

−1

⋅

−

⋅

y g ,

– Cambiando de término los inversos, resulta:

(

Z G

) (

Z G

)

F F

(

Z G

) (

Z G

)

F F ⋅ − ⋅ + −1⋅ −1 = −1⋅ + −1 ⋅ − ⋅

(

Z +G

)

⋅F⋅F ⋅

(

Z −G

) (

⋅= Z −G

)

⋅F ⋅F⋅

(

Z +G

)

– Operando, llegamos a:

(

Z +G

)

⋅F⋅F ⋅

(

Z G

) (

⋅= Z G

)

⋅F ⋅F⋅

(

Z +G

)

Z

F

G

F

Z

⋅

=

2 ⋅

⋅

2

– Que, haciendo uso del hecho de las matrices que son diagonales, resulta:

– La reciprocidad del circuito se manifiesta en la simetría de S T

S

=

(20)

CONDICIONES FÍSICAS PARA LA EXISTENCIA DE S (I)

• De la expresión (1), podemos poner:

(

)

(

)

⎫

(

)

(

)

(

)

(

)

_⎪⎩⎪⎨

(

)

⎧ ⋅ − Δ ⋅ = ⋅ + Δ ⋅ = ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅ − Δ ⋅ = ⋅ − Δ ⋅ = ⋅ + Δ ⋅ = ⋅ + Δ ⋅ ⋅ = K S A I H S A V A S K A S Z I A S H A S Z V H H H H H H 0 2 2

• Hallando la potencia y su expresión conjugada resulta:

⎭

Z₀

(

Δ H H

)

(

)

⎫

H H W W P A S S S S A V I 2

1

(

)

₍

₎

(

)

(

)

_⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ − − = ⋅ + − ⋅ − Δ ⋅ = ⋅ − + = ⋅ + − ⋅ − Δ ⋅ = ⋅ E H H H H H E H H H H H W W jw P A S S S S A I V W W jw P A S S S S A V I 2 2 1 2 2 1

• Sumando y restando miembro a miembro se tiene que:

⎪⎭

2

(

H

)

⎪⎫

H

(

)

(21)

CONDICIONES FÍSICAS PARA LA EXISTENCIA DE S (II)

C

i

• Consecuencias

– Circuito pasivo:

(

S

)

id fi i

d

i i

P

≥

0 Δ

H

– No disipativo:

(

S

)

semidefini

da

positiva

P

≥

0 ;

⇒

Δ

−

H

⋅

_

(

)

• Resonancia: matriz de dispersión real

(

S

)

S

Sunitaria

P

=

0 ;

⇒

Δ

−

H

⋅

=

0 ⇒

Δ

=

H

⋅

⇒

H

S

=

• Cuando todos los menores de la matriz Im(S) sean positivos, entonces:

( )

{

S

}

definida

positiva

W

_H

>

_E

⇒

Im

_

• Cuando todos los menores de la matriz -Im(S) sean positivos, entonces:

( )

{

S

}

definida

positiva

W

(22)

SIGNIFICADO FÍSICO DE LOS PARÁMETROS S

N

Coeficiente de reflexión de potencia

de la puerta i cuando se cargan las

Σ

_N

a_N

ZoN

b_N

Z_oN

de la puerta i cuando se cargan las

demás puertas con la impedancia

característica

Σ

₁

Σ

_ι

Σ

_N

a₁ _a

i

Z_oi

Z_oi Z_o1 Z_oi +

−

=

≠ i

i

Z Z i i ii

V

a

b

s

oj i j

Σ

₂

a b

b_i b₁

Z ₂ +

−

=

≠

i i

i i ii

P

a

b

s

oj i j

2 2 2

+ −

⋅

=

_k oi k

ki

V

Z

V

Z

a

b

s

a₂ b₂

Z_o2

a

_i i

Coeficiente de transmisión de potencia

de la puerta i a la puerta k cuando se

+ − =

=

⋅

≠

k k

ki

i ok Z

Z i

P

b

s

V

Z

a

ok i k

2 2 2

de la puerta i a la puerta k cuando se

cargan con la impedancia característica

todas las puertas menos la i

+

i i

ki

(23)

CONCEPTO DE CIRCUITO ADAPTADO

• Medida del parámetro de adaptación en una puerta de una unión de guías:

P t d l t d ió i fl ió

– Proceso: cerramos todas las puertas de una unión, menos una, con cargas sin reflexión: a₂= a₃ =…= a_N =0

– La nueva matriz de dispersión se reduce a: b₁= s₁₁a₁ – Obtención del parámetro de adaptación de esa puerta 1.

• Definición de terminación adaptada: s

₁₁

=0

• Concepto de adaptación: Si en una unión de guías de onda s = 0 la unión está

• Concepto de adaptación: Si en una unión de guías de onda s

_nn

= 0, la unión está

adaptada desde la guía n.

• Si son nulos todos los elementos diagonales de la matriz S, la unión está

completamente adaptada.

(24)

CONCEPTO DE CIRCUITO ACOPLADO,

DESACOPLADO Y DEGENERADO

• Medida del parámetro de acoplamiento entre dos puertas de una unión de guías:

– Objetivo: queremos medir el acoplamiento entre la puerta i y la puerta j; es decir cuánta de la potencia que entra por i sale por j, es decir el parámetro s_ji.

– Proceso: cerramos todas las puertas de una unión, menos una, con cargas sin reflexión: a₁₁= a₂₂ =…= a_j_j = ….= a_N_N =0; a; _i_i≠≠0.

– La nueva matriz de dispersión se reduce a: b_j= s_jia_i

– Obtención del parámetro de acoplamiento de esa puerta i a la puerta j.

C

t d

t

l d

d

l d

• Concepto de puerta acoplada y desacoplada:

– Si el parámetro s_ji=0, la puerta j se encuentra desacoplada de la i: no se transmite energía de la puerta i a la puerta j.

– Si el parámetro s_ji≠0, la puerta j se encuentra acoplada con la i: se transmite energía de la puerta i a la puerta j.

• Concepto de circuito degenerado:

p

g

– Si en una unión de N guías existe un subconjunto de K guías que se encuentran

totalmente desacopladas del subconjunto complementario de (N-K) guías, entonces, se dice que la unión es degenerada.

dice que la unión es degenerada.

(25)

TRANSFORMACIÓN DE LA MATRIZ DE DISPERSIÓN

POR UN CAMBIO DE PLANO DE REFERENCIA

a’_i

P’

li _a_i_i

P

b’_i z’ bi z

l

z

e

b

e

a

e

b

e

a

i i i i i progresiva onda de sentido z j z j i z j z j

i

→

=

+

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

⋅

⇒

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

⋅

− −

'

_ _ _ ' ' β β β β i i

(

e

)

diag

P

A

P

A

e

a

e

b

e

b

i i i i i i l j l j i i j i j i

=

⇒

⎨

⎧

=

⋅

⇒

⎪

⎨

⎧

=

⋅

⎪⎩

=

⋅

⎪⎩

=

⋅

− −

_'

'

β β β β

(

)

A

S

A

P

S

P

A

S

P

B

e

diag

P

B

P

B

e

b

j ili

i i

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⇒

⎩

⎨

₌

_⋅

⇒

⎪⎩

⎨

⋅

=

'

β

P

S

P

S

'

=

⋅

Cuando nos movemos hacia

fuera

en un circuito de N guías (del plano P al P’)

(26)

CIERRE DE UNA UNIÓN DE GUÍAS DE ONDAS CON

VARIOS DIPOLOS

⇒

⋅

=

S

A

B

Σ

a_N ZoN b_N Z_oN

⇒

A

S

B

Σ

₁

Σ

_N

a₁ _a

i

Z_oi

Z_o1 _Z_oi

⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜

⎛ k N a

s s s s s s b b M L L L L L

L L L L

M 1 1 1 11 1

Σ

₁

Σ

₂

Σ

_ι b_i b₁ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ + + + + + + N k k NN N k N k k k k kN kk k N k k a a a s s s s s s s s b b b M L L L

L L L L L L

L

L L

L L L L M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a₂ b₂ Z_o2

[ ]

₍ _{) (} ₎

[ ]

( )

[ ]

⎪ ⎪ ⎨ ⎧_Γ ₌ _Γ ₌ _Γ ₌ _Γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − × − 1 2 1 22 21 12 11 2

1 _b ; diag

a con A A N N N N B

B C N k N k C n

n n n ( ) ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ bN s k+1 N sNN aN

[ ]

⎪ ⎩ = Γ ⋅ = Γ ⋅ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − 2 1 2 2 2 2 22 21 2

;B A B A A N N B C C

(

)

[

₁ 1

]

A

S

A

N

B

Γ

−

La nueva unión degenerada tiene una matriz

S (S_de) que se puede poner en función de la

(

)

[

21

]

1 1

1 22

12 11

1

N

A

S

A

(27)

CONCLUSIONES

• La definición de los parámetros S ha venido motivada por la necesidad de obtener

unos parámetros que relacionasen de forma clara los parámetros susceptibles de

ser medidos en un circuito de microondas: relaciones entre potencias transmitidas

y reflejadas ( ROE y reflexión en este último caso).

• Las ondas de potencia son invariantes en amplitud mediante una transformación

de los planos de referencia.

• La matriz S indica de forma sencilla la distribución de potencia entre las puertas

La matriz S indica de forma sencilla la distribución de potencia entre las puertas

del circuito.

• Los parámetros S se miden en condiciones de adaptación de las puertas mientras

l

Y Z

id

t i

it

i

it

bi t

(28)

APÉNDICE: TEORÍA DE GRAFOS (I)

• Es una técnica adicional a la de parámetros S para medir las características de

circuitos en términos de potencias transmitidas y reflejadas

circuitos en términos de potencias transmitidas y reflejadas.

• Elementos de un grafo:

– Nodo: cada puerto de una red tiene dos nodos, uno asociado a una onda entrante (a) y otro asociado a una onda saliente (b).

– Rama es el camino directo entre un nodo a y un nodo b. Cada rama tiene asociado un parámetro S de transmisión o de reflexión.

p

• Ejemplo de un cuadripolo:

a

₁

a

₂

a

1

s

₂₁

b

₂

2

[S]

s

11

s

22

[S]

b

₂

b

₁

11

s

₂₂

s

₁₂

(29)

TEORÍA DE GRAFOS (II): reglas

• Conexión en serie: Dos ramas que tienen un nodo común con una sola entrada y

una salida pueden juntarse en una única rama cuyo coeficiente es el producto de

las dos ramas.

• Conexión en paralelo: Dos ramas con un único nodo común pueden combinarse

en una rama única cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

• Lazo realimentado: Cuando un nodo se autorealimenta con un coeficiente de

reflexión dado (s) dicho lazo puede eliminarse multiplicando la rama previa por

reflexión dado (s), dicho lazo puede eliminarse multiplicando la rama previa por

1/(1-s).

• Regla de desplazamiento: Un nodo puede descomponerse en dos nodos separados

i t

d

bi

ió d

d

t

ól

(30)

BIBLIOGRAFÍA

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Microwave Theory and Techniques, March 1965

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• Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York

McGraw-Hill, 1992. (capítulo 4)

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• David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John

Wiley&Sons. (capítulo 4)

• Rafael Domínguez: Cuestiones Básicas de Electromagnetismo, Aplicación a la

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Técnica de Microondas. Consejo Superior Investigaciones Científicas.

• Miranda, Sebastián, Sierra, Margineda: “Ingeniería de Microondas: Técnicas

Experimentales” Prentice Práctica 2002