Introducción
En economía y finanzas, una persona o entidad financiera que presta dinero a otros esperando que le sea devuelto al cabo de un tiempo espera ser compensada por ello. Lo común es prestarlo con la expectativa de que le sea devuelta una cantidad ligeramente superior a la inicialmente prestada, que le compense por la dilación de su consumo, la inconveniencia de no poder hacer uso de ese dinero durante un tiempo, etc. Además esperará recibir compensación por el riesgo asociado a que el préstamo no le sea devuelto o que la cantidad que le sea devuelta tenga una menor capacidad de compra debido a la inflación.
Hay tres tipos de riesgo que el prestatario debe compensar en el préstamo: el riesgo sistemático, el riesgo regulatorio y el riesgo inflacionario.
El riesgo sistemático incluye la posibilidad de que el tomador de préstamo no pueda devolverlo a tiempo según las condiciones inicialmente acordadas.
El riesgo regulatorio incluye la posibilidad de que alguna reforma impositiva o legal obligue a pagar al prestamista alguna cantidad diferente que la inicialmente prevista.
El tercer tipo de riesgo, el riesgo inflacionario, tiene en cuenta que el dinero devuelto puede no tener tanto poder de compra como el original, ya que si los precios han subido se podrán comprar menos cosas con la misma cantidad de dinero.
El prestamista fijará un tipo de interés nominal (TIN) que tendrá en cuenta los tres tipos de factores, de tal manera que al final, recibirá la cantidad inicial más una fracción de esa cantidad dada por el tipo de interés nominal:
Donde:
es la cantidad inicial o capital inicial prestado. es la cantidad final o capital que debe ser devuelto. es la tasa de interés nominal (TIN): un tanto por uno.
Interés simple
Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.
Concepto Nombre Símbolo
Cantidad prestada Capital C
Tiempo del préstamo Tiempo t
Un beneficio por 100 € en un año Rédito r
Beneficio del préstamo Interés I
Si él es el tiempo viene expresado en meses:
Si el tiempo viene expresado en días:
Ejemplos
Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.
Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.
Interés compuesto
El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital Inicial (CI) o principal a una tasa de interés (i) durante un
período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.
Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula
con base a la fórmula
Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período
Repitiendo esto para un tercer período
y generalizando a n períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:
donde:
es el capital final en el n-ésimo período; es el capital inicial;
tasa de interés y
el número de períodos
De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se puede obtener el capital inicial, sabiendo el capital final, el interés y el número de períodos:
El cálculo del número de períodos se puede realizar despejando n en la fórmula, de la cual se obtiene:
El cálculo del interés, se obtiene despejando de la siguiente manera:
Tipo de interés nominal (TIN)
Se llama tipo de interés nominal (TIN), abreviado también como interés nominal, al porcentaje aplicado cuando se ejecuta el pago de intereses. Por ejemplo:
Si se tiene un interés nominal de 6% anual y se aplica una vez al año,
cuando se aplica al finalizar el año se abona un 6% sobre lo que se tenía ahorrado.
Si se aplicase una vez al mes, en vez de al año, sería el 0,5% de lo que
se tenía ahorrado: 6% / (12 meses) = 0,5%
Pero al siguiente mes el TIN se aplica sobre lo que se tenía ahorrado más lo producido por los intereses. Con lo que a final de año es como si se tuviese más de un 6% de interés:
En concreto se obtendría un 6,17% tasa anual equivalente (TAE). Este TAE permite comparar cualquier tipo de interés nominal ya sea ahorrado o pagado, diariamente, semanalmente o mensualmente con otro pagado anualmente y por tanto en general resulta más claro que el interés nominal.
Tasa anual equivalente (TAE)
Para mostrar cuál es la ganancia al final del año, de forma normalizada (con independencia de los períodos de aplicación y otros factores), se utiliza la tasa anual equivalente (TAE).
Un TAE de un 6% sería igual a un interés nominal de 6% aplicado una
vez al año.
Un interés nominal de un 6% anual aplicado cada mes daría un 6,17% TAE. Para calcular el TAE se utiliza la siguiente fórmula:
Donde:
i = Interés nominal (tanto por uno).
n = Fracciones en que el interés va a ser aplicado. Si p. ej. se aplica una vez al mes, son 12 al año, por lo que en ese caso, n=12. Así, n vale 6 si la aplicación es cada dos meses (bimestral), 4 si es cada 3 meses (trimestral), 3 si es cada cuatro meses (cuatrimestral), 2 si es cada 6 meses (semestral), y 1 si es anual.
TAE = Tasa anual equivalente (tanto por uno). Ejemplo: Con un interés
obteniéndose al finalizar el año, para 600 euros:
€
Capitalización
Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Las fórmulas que nos dan el capital final en función del capital inicial para estos dos tipos de capitalización son las siguientes:
INTERÉS SIMPLE: Ese beneficio es
directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo. siendo
Capital final Capital inicial Interés anual Número de años Si la capitalización no es anual la fórmula es: donde
Número de períodos de capitalización que se hace al año. Así si la capitalización es:
semestral, cuatrimestral, trimestral, mensual,
INTERÉS COMPUESTO: En el interés compuesto, los intereses que se
obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.
siendo
Capital final Capital inicial Interés anual Número de años Si la capitalización no es anual la fórmula es:
Donde Número de períodos de capitalización que se hace al año. Así si la capitalización es:
semestral, cuatrimestral, trimestral, mensual,
INTERÉS CONTINUO:
Es el interés que produce un depósito que se capitaliza continuamente. Entonces en la fórmula sería:
EJERCICIOS
1) halle la tasa de interés simple equivalente al 9% compuesto con capitalización trimestral en 5 años?
Para que las tasas sean equivalentes, a un mismo capital inicial debe corresponder un mismo capital final.
Si igualamos las fórmulas de ambas capitalizaciones tendremos que
En nuestro problema es , ,
Por tanto la tasa de interés simple pedida es de 9.1%
2) ¿que tasa de interés compuesto anual es equivalente al 12.5 con capitalización semestral?
En este caso es tenemos que comparar dos capitalizaciones compuestas pero con distintos períodos de capitalización.
Donde
La tasa de interés compuesto anual es de 6.1%
3) Halle la tasa de interés compuesto anual equivalente al 14% de interés simple a 8 años?
En el interés compuesto anual en 8 años En el interés simple anual al 14% en 8 años
Igualando y simplificando:
Por tanto la tasa de interés compuesto anual pedida es de 9.8%
4) ¿que tasa de interés compuesto con capitalización cuatrimestral es equivalente al 18% de interés simple en 7 años?
En el interés compuesto cuatrimestral en 7 años
En el interés simple cuatrimestral al 18% en 7 años
Igualando y simplificando:
Por tanto la tasa de interés compuesto pedida es de 16.2%
5) Qué tasa con capitalización cuatrimestral es equivalente al 13% de interés compuesto anual?
En el interés compuesto cuatrimestral En el interés compuesto anual al 13%
Igualando y simplificando:
Por tanto la tasa pedida es de 44.3%
6) que tasa con capitalización trimestral es equivalente al 14% con capitalización semestral?
En el interés compuesto trimestral
En el interés compuesto semestral al 14%
Igualando y simplificando:
Elevamos todo a 4
Por tanto la tasa pedida es de 30%
7) Halle la tasa de interés simple equivalente al 15% de interés compuesto anual en 9 años?
En el interés simple anual en 9 años
En el interés compuesto anual en 9 años al 15%
Igualando y simplificando:
