Prof. Anneliesse Sánchez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo Objetivos: Hallar raíces cuadradas exactas de: enteros fracciones decimales Hallar raíces cúbicas exactas de: enteros
fracciones decimales
Sitio: Cursos en Línea de la UPRA
Curso: Mate0006-10-II Desarrollo de Destrezas Básicas en Matemáticas Libro: Radicales
Imprimido por: Caroline Rodriguez
1 Radicales 1.1 Raíces exactas
2 Simplificación de radicales
3 Suma y resta de radicales 4 Multiplicación de radicales 5 División de radicales
En esta sección estudiaremos los radicales, en particular, las raíces exactas. Estudiaremos la definición de raíz cuadrada así como otras raíces.
El símbolo exterior (la casita) en se conoce como radical.
El número o expresión que está adentro del radical se conoce como radicando. Notación
La raíz cuadrada de un número a, se representa por . En general, la raíz enésima de a se representa por . El índice n, es un número natural, n ≥ 2. En el caso de n = 2, raíz cuadrada, no hay que escribirlo. Definición de raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número es otro número que multiplicado por sí mismo de el número original. Ejemplos:
= 3 porque = 5 porque
Definición de raíz cúbica
La raíz cúbica de un número es otro número que al multiplicarse por sí mismo 3 veces de el número original.
Ejemplos:
Raíces exactas de enteros
Las raíces exactas de números enteros, son las raíces de números enteros que dan como resultado números enteros. 4 tiene una raíz exacta porque , pero 5 no tiene una raíz exacta porque = 2.2360679775... que no es un número entero.
Hay un teorema que establece que:
Las raíces de números enteros, son o enteros o irracionales. Esto lo que quiere decir es que, si la raíz de un número entero no es entero, entonces es irracional.
De acuerdo a ese teorema sabemos que es un número irracional. Por eso, cuando lo buscas en la calculadora, lo que obtienes son muchos dígitos y tienes que redondear para escribirlo en decimal.
también es irracional, pero es racional, porque es entero. Raíces exactas de fracciones y decimales
De la misma manera, la una fracción tiene raíz exacta si su raíz es una fracción. Ejemplo de raíces exactas de fracciones:
pero no todas son exactas... =0.81649658093...
Lo mismo sucede con los decimales. Los decimales racionales tienen raíces exactas si sus raíces también son racionales.
Ejemplos de decimales con raíces exactas: porque
En ocasiones podemos descomponer un radicando como el producto de otros números de manera que alguno de los factores sea una raíz exacta y por ende pueda salir del radical, esto es, se pueda extraer la raíz.
Nos basamos en el principio de que
Usted puede comprobar este hecho simplemente hallando el valor decimal de cada una de las expresiones. Ejemplo:
3.87298334621… = 2.2360679775… x 1.73205080757… 3.87298334621… = 3.87298334621…
Puede tomar los valores que usted quiera y podrá ver que siempre es cierto. Veamos el siguiente ejemplo:
= = = 10
Cuadrado perfecto mayor
En algunos ejercicios, puede haber dos o más formas diferentes de descomponer en factores un número donde uno de los factores es un cuadrado perfecto.
El ejemplo anterior en un caso es esto:
Pudimos haber descompuesto el 300 como 25 12. En ese caso tenemos:
= = =
Este resultado no está incorrecto, solo que no está completamente simplificado, por lo que está incompleto. Si continuamos...
= = = 5 2
= que es el mismo resultado que habíamos encontrado anteriormente. Nos conviene entonces encontrar el factor mayor que sea cuadrado perfecto. Ejemplos:
= = =
= = =
Es bueno tener claro cuales son los cuadrados perfectos para poder rápidamente buscar cuál de ellos es el mayor que es factor del radicando.
Los primeros 10 cuadrados perfectos son: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Simplificación de cubos
De forma similar, podemos simplificar cubos. Ejemplo:
= = =
Ejemplo 2:
= = =
Siempre es recomendable tratar de hallar un cubo perfecto como factor. Cubos perfectos
Los primeros 5 cubos perfectos son: 1
Radicales semejantes
Definición:
Dos expresiones con radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplos:
es semejante a
pero NO es semejante a
Suma y resta de radicales semejantes
Los radicales semejantes se suman o se restan de igual manera que se suman o se restan los términos semejantes.
De la misma forma en que 2x + 3x = 5x de esa misma manera,
Así también,
¡¡Recuerde la importancia de los signos!!
En el siguiente ejemplo veremos que sólo se combinan los radicales semejantes y se dejan sin combinar los que no lo son:
=
Otros ejemplos:
=
=
Cuando NO hay radicales semejantes
En los casos en que no hayan radicales semejantes, hay que ver si simplifican o no. En caso de que simplifiquen, los simplificamos y luego vemos si quedan radicales semejantes para combinar. Si no es así, y los radicales que nos quedan ya están simplificados y no son semejantes, no se hace nada. Ejemplos de suma de radicales que simplifican:
=
Otro ejemplo:
= = =
Cuando multiplicamos radicales seguimos el siguiente principio:
=
Lo que esto significa es que si los radicales tienen el mismo índice, cuando se multiplican lo que hacemos es multiplicar los radicandos.
Esta regla aplica siempre que los radicales representen números reales. Por ejemplo:
=
=
Cuando vamos a multiplicar radicales, tenemos que recordar que también tenemos que simplificar el resultado.
Por lo tanto, no nos conviene multiplicar y tener un numero muy grande. Ejemplo:
Suponga que tenemos:
Si los multiplicamos, tendremos
y tenemos que simplificarlo. Pero para simplificar, tenemos que romperlo en factores para encontrar cuadrados perfectos. Entonces pregunto, ¿para qué lo multiplicamos si ahora lo vamos a romper en factores?
Lo mejor entonces es romperlo desde el principio en factores más pequeños y juntar los radicandos que sean iguales (que formarán cuadrados perfectos).
En este caso:
y ahora juntamos que es igual a y nos queda
y como no podemos simplificar ni ni , los juntamos en multiplicación y tenemos:
Ejemplos:
Primero lo rompemos en factores, tratando de encontrar cuadrados perfectos. =
=4 (3)
en este caso, resultó en otro cuadrado perfecto, =12(3)
=36
y el resultado final fue un número entero. No siempre pasa esto.
Veamos otro ejemplo:
Primero lo rompemos en factores, tratando de encontrar cuadrados perfectos. =
=10 (5)
Ahora multiplicamos los números enteros y los radicales restantes los multiplicamos: =50
Multiplicación con suma de radicales
De la misma manera en que 3(2x + 5y) = 6x + 15y
cuando multiplicamos un radical por una suma de radicales hacemos exactamente lo mismo. La única diferencia es que tenemos que multiplicar radicales (pero ya sabemos como hacerlo) y tenemos que simplificar al final.
Ejemplo: =
En este caso, no hubo que simplificar. Veamos otro ejemplo:
= = = =
Multiplicación de binomios con radicales
De la misma forma en que (x+3)(x+2) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6
Con la división pasa algo similar que con la multiplicación. Seguimos el siguiente principio: =
Ejemplo:
=
Como , los "cancelamos" y tenemos:
=
Tenemos que recordar que queremos dividir y también simplificar el resultado. Si tenemos:
no bastará con simplificar el denominador así:
Racionalizar significa "hacer racional". Si un número es irracional, no podemos hacerlo racional, porque implicaría que es otro número distinto. Cuando tenemos una fracción, podemos tener un número racional o irracional en el numerador y un número racional o irracional en el denominador. Lo que aprenderemos en esta sección es a racionalizar (volver racional) al denominador de la fracción. No alteraremos el valor de la fracción. Simplemente haremos que una parte de ella sea racional.
Naturalmente el numerador quedará cambiado. Veamos un ejemplo:
En este caso, notamos que el numerador es racional y el denominador es irracional.
Para racionalizar el denominador, tenemos que multiplicarlo por algo que lo vuelva racional. En este caso sería . Pero si multiplicamos el denominador, tenemos que multiplicar el numerador por lo mismo porque de otro modo, estaríamos cambiando de valor la fracción.
En ese caso, tenemos:
En este caso, ya está racionalizado el denominador, aunque naturalmente el numerador quedó irracional.
Un sólo término en el denominador
Cuando tenemos sólo un término en el denominador, la forma para racionalizarlo es multiplicando por un radical con el mismo índice y que tenga lo necesario en el radicando para que al multiplicarlo y simplificarlo tengamos un número entero.
Mucha gente dice que lo que debemos hacer es multiplicar por lo mismo que esté en el denominador. Pero esto funcionaría sólo en casos de raíces cuadradas, y además no siempre es lo óptimo pues tendríamos que simplificar.
Veamos varios ejemplos: Si tenemos:
podemos multiplicar numerador y denominador por pues 2 es lo que nos hace falta para que el denominador sea un cuadrado perfecto.
...y ya está racionalizado el denominador...
También podíamos haber escogido la misma , pero en ese caso, teníamos que simplificar al final. Veamos:
y simplificando
... que resulta en un paso adicional por tener que simplificar. Otro ejemplo:
Racionalice el denominador de
En este caso, podemos elegir la misma o podemos elegir una menor que es suficiente, como , pues 27 por 3 = 81, que es un cuadrado perfecto. Lo haremos de las 2 maneras.
y simplificando...
y dividiendo entre 9 el numerador y denominador...
Dos términos en el denominador
En ocasiones tenemos dos términos en el denominador, como en el caso siguiente:
En casos como esos, no nos serviría de nada multiplicar por lo mismo que esté en el denominador pues seguiríamos teniendo radicales.
En casos como estos, lo que debemos hacer es multiplicar por un binomio que tiene los mismos términos pero difiere en uno de los signos. No es el opuesto. Algunas personas lo llaman el conjugado, pero en realidad el conjugado se refiere a números complejos. Aquí lo llamaremos una expresión igual excepto por uno de los signos.
Veamos algunos ejemplos:
si tenemos usaremos
Veamos otro ejemplo:
y por último, como no debemos dejar negativo en el denominador de una fracción...
