Definición: Una matriz de dimensión 𝑚×𝑛 es un conjunto de elementos dispuestos en m filas y n columnas.
Ejemplo: 12 03 −14 es una matriz de dimensión 2x3.
En general, una matriz 𝑚×𝑛 se escribirá así:
𝑎!! 𝑎!"
𝑎!" 𝑎!! ⋯
𝑎!!
𝑎!!
⋮ ⋱ ⋮
𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!"
. El elemento que esté en la fila i
y la columna j será por tanto el 𝑎!", con lo que también podremos escribir una matriz 𝑚×𝑛
genérica como 𝑎!"
!×! ∀ 𝑖,𝑗, con 1≤𝑖≤𝑚,1≤𝑗≤𝑛. En este curso, todos los elementos de una
matriz serán números reales.
Tipos de matrices:
• Matriz fila. Es una matriz de dimensión 1×𝑛. Ejemplo: 1 3 −2 5 es una matriz fila
1x4.
• Matriz columna. Tiene dimensión 𝑚×1. Ejemplo:
2
−1
0
es una matriz columna 3x1.
• Matriz cuadrada. Tiene el mismo número de filas que de columnas. Una matriz cuadrada
con n filas y n columnas decimos que es una matriz de orden n. La diagonal principal de
una matriz cuadrada la forman los elementos 𝑎!!.
• Matriz triangular. Es una matriz cuadrada en la que los elementos situados por encima o
debajo de la diagonal principal son nulos. Si son nulos los que hay por encima de la
diagonal principal (𝑎!"=0 𝑠𝑖 𝑖<𝑗), diremos que es una matriz triangular inferior y si son
nulos los que hay por debajo 𝑎!"=0 𝑠𝑖 𝑖>𝑗), matriz triangular superior. Ejemplo: la
matriz 10 −24 31
0 0 5
es triangular superior.
• Matriz diagonal. Es aquella que es triangular superior e inferior a la vez, es decir, que
todos los elementos que no pertenezcan a la diagonal principal son nulos: 𝑎!"=0 𝑠𝑖 𝑖≠𝑗.
• Matriz escalar. Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
principal son iguales.
• Matriz identidad. Es una matriz diagonal, 𝐼!, en la que todos los elementos de la
diagonal principal son 1. Ejemplo: 10 01 00
0 0 1
es la matriz identidad de orden 3, 𝐼!.
• Matriz nula. Es aquella en la que todos los elementos son nulos.
• Matriz opuesta. Dada una matriz 𝐴= 𝑎!" !×!, su opuesta es aquella cuyos elementos son
los opuestos a los de A, es decir, −𝐴= −𝑎!"
!×! ∀ 𝑖,𝑗. Ejemplo: Si 𝐴=
1 −2
3 0 ,−𝐴=
−1 2
−3 0 .
• Matriz traspuesta. Dada una matriz 𝐴= 𝑎!" !×!, su traspuesta 𝐴! es la que se obtiene al
intercambiar sus filas por sus columnas. Ejemplo: si 𝐴= −11 −21 31
0 3 8
, 𝐴!= 11 −1−2 03
3 1 8
.
Está claro que 𝐴! !=𝐴.
• Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, 𝐴=𝐴!, es
decir, 𝑎!"=𝑎!" ∀ 𝑖,𝑗. Ejemplo: 20 07 −41 1 −4 5
es simétrica.
• Suma de matrices. Si 𝐴= 𝑎!" !×!y 𝐵= 𝑏!" !×! son dos matrices de igual dimensión, 𝐴+𝐵 es otra matriz de dimensión 𝑚×𝑛 cuyos elementos son la suma de los correspondientes de 𝐴
y de 𝐵, es decir, 𝐴+𝐵= 𝑎!"+𝑏!"
!×! ∀ 𝑖,𝑗. Ejemplo: Si 𝐴= 1 2 0
−3 4 −2 ,𝐵=
2 3 −1
3 −3 5 , entonces 𝐴+𝐵=
3 5 −1 0 1 3 .
DEFINICIÓN Y TIPOS DE MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
-‐ La suma es conmutativa: 𝐴+𝐵=𝐵+𝐴
Podemos definir la resta de matrices 𝐴−𝐵 como la suma de 𝐴 con el opuesto de 𝐵:
𝐴−𝐵=𝐴+(−𝐵), es decir, 𝐴−𝐵= 𝑎!"−𝑏!" !×! ∀ 𝑖,𝑗.
• Producto de una matriz por un número real. Dada 𝐴= 𝑎!" !×! y un número real 𝑘∈ℝ,
el producto 𝑘·𝐴 es la matriz que se obtiene al multiplicar por 𝑘 cada elemento de 𝐴:
𝑘·𝐴= 𝑘·𝑎!"
!×! ∀ 𝑖,𝑗.
Ejemplo: Si 𝐴= 4 −1
0 2 , −5·𝐴= −200 −105 .
• Producto de matrices. Si 𝐴= 𝑎!" !×!y 𝐵= 𝑏!" !×!, definimos la matriz producto 𝐶= 𝑐!" !×!
como aquella en la que el elemento 𝑐!" se obtiene al sumar los productos por orden de los
elementos de la fila 𝑖 de 𝐴 por los de la columna 𝑘 de 𝐵, es decir, 𝑐!"=𝑎!!·𝑏!!+𝑎!!·𝑏!!+⋯+
𝑎!"·𝑏!"+⋯+𝑎!"·𝑏!".
Ejemplo: 15 −3−1 01 · 26 −23
3 4
= 51··22++ −1−3 ··66++10··3 3 15··33++ −3−1 ·· −2−2 ++10··44 = −716 219 .
Nota: No se pueden multiplicar dos matrices cualesquiera, ya que necesitaremos que la primera tenga el mismo número de columnas que filas la segunda. Por tanto, sí podremos siempre multiplicar dos matrices cuadradas si son del mismo orden (o calcular una potencia
de una matriz cuadrada). Además, el resultado de multiplicar una matriz de dimensión 𝑚×𝑛
por una de dimensión 𝑛×𝑝 es una matriz de dimensión 𝑚×𝑝.
Propiedades del producto de matrices:
-‐ Distributiva respecto a la suma de matrices: 𝐴· 𝐵+𝐶 =𝐴·𝐵+𝐴·𝐶
-‐ Elemento neutro: La matriz identidad 𝐼!.
-‐ NO es conmutativo, es decir, en general 𝑨·𝑩≠𝑩·𝑨. Por ejemplo, si 𝐴= 1 2 −1 3 y 𝐵= 2 0
1 −2 , tenemos que 𝐴·𝐵=
4 −4
1 −6 y 𝐵·𝐴= 23 −44 .
De hecho, puede existir uno de los dos productos y el otro no: si 𝐴= 15 −3−1 01 y 𝐵=
1 2
−1 3 , podemos multiplicar 𝐵·𝐴 pero no se puede hacer 𝐴·𝐵.
El hecho de que el producto de matrices no sea conmutativo obliga a que sean necesario
indicar si multiplicamos por la izquierda o por la derecha. Si hacemos 𝐴·𝐵, diremos que 𝐴 está
multiplicando a 𝐵 por la izquierda (o que 𝐵 está multiplicando a 𝐴 por la derecha).
-‐ Al contrario que con los números reales, que un producto 𝐴·𝐵 sea la matriz nula no
quiere decir que 𝐴 o 𝐵 tengan que serlo. Por ejemplo, −11 −11 · −22 00 = 00 00 .
-‐ Si 𝐴·𝐵=𝐴·𝐶 , no podemos deducir que 𝐵=𝐶 . Por ejemplo
−6 3 2 −1 ·
1 −4
−5 3 = −62 −13 ·
2 −2
−3 7 , pero −51 −43 ≠ −32 −27 . Por tanto, no se
pueden simplificar en general las matrices.
Al tener definido un producto de matrices, cabe preguntarse si existe el elemento inverso para ese producto. Y sí, dicho elemento existe:
• Matriz inversa: La matriz inversa de una matriz 𝐴 es otra matriz 𝐴!! de modo que
𝐴·𝐴!!=𝐴!!·𝐴=𝐼, donde 𝐼 es la matriz identidad. Sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa.
No todas las matrices tienen inversa. Una matriz que sí tenga inversa se llamará matriz
invertible o regular. Si no tiene inversa, se llamará no regular o singular. Si existe la matriz inversa de una matriz, ésta es única.
Cálculo de la inversa de una matriz utilizando el Método de Gauss.
identidad. Haciendo las mismas transformaciones en la matriz identidad, obtendremos la inversa
buscada. Ejemplo: vamos a buscar la inversa de la matriz 𝐴= 24 33 42
0 1 0
.
1. Ponemos la matriz 𝐴 junto a la identidad: 24 33 42
0 1 0
10 01 00 0 0 1
2. Cambiamos 𝐹! (2ª fila) por 𝐹!−2·𝐹!:
2 3 4
0 −3 −6
0 1 0
−12 01 00
0 0 1
3. Cambiamos la 𝐹! por 𝐹!+𝐹!:
2 0 −2 0 −3 −6
0 1 0
−1−2 11 00 0 0 1
4. Cambiamos 𝐹! por 3·𝐹!+𝐹!:
2 0 −2 0 −3 −6
0 0 −6
−1−2 11 00 −2 1 3
5. Cambiamos 𝐹! por 𝐹!−𝐹!: 20 −30 −20
0 0 −6
−10 10 −30 −2 1 3
6. Cambiamos 𝐹! por 3·𝐹!−𝐹!:
6 0 0
0 −3 0 0 0 −6
−10 20 −3−3 −2 1 3
7. Dividimos 𝐹! entre 6, 𝐹! entre -3 y 𝐹! entre -6:
1 0 0
0 1 0 0 0 1
−1/6 1/3 −1/2
0 0 1
1/3 −1/6 −1/2
Por tanto 𝐴!!= −1/60 1/03 −1/21
1/3 −1/6 −1/2 . Se puede comprobar fácilmente que
2 3 4 4 3 2 0 1 0
·
−1/6 1/3 −1/2
0 0 1
1/3 −1/6 −1/2 =
−1/6 1/3 −1/2
0 0 1
1/3 −1/6 −1/2 ·
2 3 4 4 3 2 0 1 0
= 10 01 00 0 0 1
Después veremos otro método (más común que Gauss) para calcular inversas.
La matriz inversa se puede utilizar para resolver ecuaciones matriciales, ya que es el
método que tenemos para despejar matrices. Por ejemplo, para calcular qué matriz 𝑋 verifica que 𝐴·𝑋=𝐵 siendo 𝐴= −11 20 y 𝐵= 2 0
−1 2 , basta modificar la ecuación dada de la siguiente forma:
𝐴·𝑋=𝐵
!"#$%&#%'(!)* !"# !!!
!"# !" 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂
𝐴!!·𝐴·𝑋=𝐴!!·𝐵
!"#$%" !"# !!!·!!!
𝐼!·𝑋=
𝐴!!·𝐵 !"#$%" !"# !!·! !" ! 𝑋=𝐴!!·𝐵
De este modo, hemos despejado la matriz 𝑋 (¡ojo! no se puede pasar dividiendo una
matriz). Basta calcular ahora 𝐴!! y 𝐴!!·𝐵.
1 2
−1 0 10 01
!!↔!!!!! 1 2 0 211 01
!!↔!!!!! 1 0 0 2 01 −11
!!↔!!/! 1 0 0 1
0 −1 1/2 1/2
Así, 𝐴!!= 0 −1
1/2 1/2 y tenemos que 𝑋= 1/20 1/2−1 · −12 02 , es decir, 𝑋=
1 −2 1/2 1 .
Si llamamos línea indistintamente a una fila o columna, diremos que una línea es
linealmente dependiente de otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre éstas últimas que nos dé la primera línea. Recordemos que una combinación lineal de tales líneas es una suma o resta de ellas o bien de ellas multiplicadas por un número. Por
ejemplo, en la matriz 41 62 60
1 0 6
podemos observar que la 𝐹!=3𝐹!+𝐹!, con lo que la
primera fila es combinación lineal de las otras dos. Análogamente, diremos que una línea es linealmente independiente de otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
Definición: El rango de una matriz es el número de filas o columnas de esa matriz
que son linealmente independientes. El rango de una matriz 𝐴 se simboliza 𝒓𝒂𝒏𝒈 𝑨 o 𝒓(𝑨).
Nota: En una matriz hay el mismo número de filas linealmente independientes que de columnas linealmente independientes, con lo que el rango no depende de que lo estudiemos por filas o por columnas.
•A la hora de estudiar el rango, podemos descartar una línea si todos sus elementos son
nulos, si es igual a otra, si es múltiplo de otra o, en último caso, si es una combinación
lineal de otras. Por ejemplo, en la matriz 21 63 84
0 0 0
, podemos observar que 𝐹! es
descartable por ser nula y 𝐹! es múltiplo de 𝐹!, con lo que el rango de esta matriz es 1.
•Al sustituir en una matriz una fila o columna por un múltiplo de ésta o una combinación
lineal de ésta con las demás, la matriz cambia pero no cambia su rango. Por tanto, en una matriz triangulada el rango es el número de filas no nulas. Por ejemplo, la matriz
𝐴=
2 8 0 0 3 1 0 0 1
0 0 0
es triangular superior (aunque no sea cuadrada, podemos también llamarla
“triangular”) y vemos que el 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 =3, ya que las tres primeras filas son no nulas y
ninguna de ellas se puede obtener como combinación de las otras.
Por tanto, para calcular el rango de una matriz primero la triangularemos
mediante transformaciones básicas y luego contaremos cuántas filas no nulas tiene. Esto se conoce como cálculo del rango por el método de Gauss.
Ejemplo:
1 2 0
2 −1 0
4 3 2
−1 −1 1
𝐹!↔2𝐹!−𝐹! 𝐹!↔4𝐹!−𝐹!
~ 𝐹!↔𝐹!+𝐹!
1 2 0 0 5 0
0 5 −2
0 1 1
𝐹!↔𝐹!−𝐹!
~ 𝐹!↔5𝐹!−𝐹!
1 2 0 0 5 0
0 0 2
0 0 5
𝐹!↔!! 𝐹!−𝐹! ~
1 2 0 0 5 0 0 0 2 0 0 0
Vemos por tanto que el rango de la matriz es 3. En la penúltima matriz ya podríamos haber descartado la cuarta fila al ver que era múltiplo de la tercera. Como el rango no depende de si trabajamos por filas o por columnas, está claro que, a pesar de tener 4 filas, como sólo tiene 3 columnas, el rango máximo de esta matriz no podía ser más que 3.
Nota: El símbolo ~ indica que estamos pasando de una matriz a otra mediante
transformaciones elementales. A pesar de que las matrices no son iguales, sus rangos sí lo son, con lo que el rango de la última matriz es el rango que buscamos.
Una matriz cuadrada de dimensión n tiene inversa si y sólo si su rango es n (el rango máximo).
El determinante de una matriz cuadrada 𝐴 es un número real que se representa por det (𝐴) o
𝐴.
• Determinantes de orden 2: 𝑎𝑎!! 𝑎!"
!" 𝑎!! =𝑎!!·𝑎!!−𝑎!"·𝑎!" . Por ej., 1 3
4 −2 =1· −2 −3·4=
−14.
• Determinantes de orden 3: Para calcular un determinante de orden 3, utilizamos la llamada
Regla de Sarrus:
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!
=
=𝑎!!·𝑎!!·𝑎!!+𝑎!"·𝑎!"·𝑎!"+𝑎!"·𝑎!"·𝑎!"−[ 𝑎!"·𝑎!!·𝑎!"+𝑎!"·𝑎!"·𝑎!!+𝑎!!·𝑎!"·𝑎!"]
Es decir, los elementos de la primera figua van multiplicados de tres en tres y se suman, y los de la segunda figura, igual pero se restan.
Ej.: 24 10 −23
6 2 −1
=2·0· −1 +1·2·6+4·2· −3 − −3·0·6+4·1· −1 +2·2·2 =−12−4=−16
Propiedades:
1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales: 𝐴 = 𝐴!
2. 𝐴 =0 si:
• Tiene dos líneas iguales (filas o columnas): 22 33 =0
• Tiene una línea donde todos los elementos son nulos:
3 1 4 0 0 0 2 3 −2
=0
• Los elementos de una línea son combinación del resto:
3 1 4 2 1 5 5 2 9
=0 porque 𝐹!=𝐹!+𝐹!
3. El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la
diagonal.
4. Al permutar dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
5. 𝐴·𝐵 = 𝐴 · 𝐵
Las aplicaciones más importantes de los determinantes son el cálculo de la inversa y del rango de una matriz. Antes necesitamos dos definiciones:
El menor complementario 𝜶𝒊𝒋 de un elemento 𝑎!" de una matriz es el determinante
que se obtiene al suprimir en la matriz la fil i y la columna j. El adjunto 𝐴!" del elemento 𝑎!"
es su menor complementario con el signo −1 !!!, es decir, 𝑨
𝒊𝒋= −𝟏 𝒊!𝒋·𝜶𝒊𝒋 . Por ejemplo, en
2 1 −3
4 0 2
6 2 −1
, el adjunto 𝐴!"= −1 !· 62 21 =−1· 4−6 =2.
CÁLCULO DE LA INVERSA: Dada una matriz cuadrada, se llama matriz adjunta a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.
Teorema: Una matriz cuadrada 𝑨 tiene inversa ⇔ 𝑨 ≠𝟎.
En caso de que 𝐴 tenga inversa, tal inversa es 𝑨!𝟏= 𝟏
𝑨 · 𝒂𝒅𝒋 𝑨 𝒕
, es decir, podemos calcular la inversa de una matriz invertible haciendo la traspuesta de su adjunta y luego dividiéndola entre su determinante.
Ejemplo: calculemos la inversa de 𝐴= 24 33 42
0 1 0 .
i. 24 33 42
0 1 0 =12
ii. 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = −24 00 −24
−6 12 −6
iii. 𝑎𝑑𝑗 𝐴 != −02 40 −612
4 −2 −6
iv. 𝐴!!= −1/60 1/30 −1/21
1/3 −1/6 −1/2
CÁLCULO DEL RANGO: En una matriz de, como máximo, 3 filas y 3 columnas tendremos que:
𝑟𝑔 𝐴 =3 ↔ 𝐴 ≠0
𝑟𝑔 𝐴 =2 si hay algún menor 2x2 con determinante no nulo.
𝑟𝑔 𝐴 =1 si hay algún elemento no nulo.
