Aproximación a la solución global de problemas de minimización cóncavos mediante problemas de programación lineal
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(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. APROXIMACIÓN A LA SOLUCIÓN GLOBAL DE PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN CÓNCAVOS MEDIANTE PROBLEMAS DE. TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICA. B. IB. LI. O. T. E. PROGRAMACIÓN LINEAL. Autor: Br. REYES ZAVALETA CESAR ANTONIO. Asesora: Dra. Rojas Jerónimo Jenny Margarita Trujillo - Perú 2018. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Jurado. Dr. Edmundo Vergara Moreno. Mg. Jorge Luis Horna Mercedes Secretario. B. IB. LI. O. T. E. Presidente. Dra. Jenny Margarita Rojas Jerónimo Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. IC. A. S. Dedicatoria. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Se lo dedico a Dios por ser el guı́a en todo mi camino y fortalecerme en los momentos más difı́ciles.. A mis padres Juan Gilberto y Ana Marı́a que me dieron la Vida y me enseñaron como vivirla.. A mis hermanos Carmen Esther y José Luı́s que más que hermanos son mis verdaderos amigos.. B. IB. LI. O. T. E. A mi amor Anabel que me enseñó a Amar.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. IC. A. S. Agradecimiento. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Quiero agradecer a mis padres por apoyarme siempre, a mis maestros por sus enseñanzas, en especial a mi asesora Dra. Jenny Margarita Rojas Jerónimo. Doy las gracias también al coordinador del curso de Tesis: Dr. Amado Méndez Cruz y a todos los profesores, personal administrativo y estudiantes del Departamento de Matemáticas por sus enseñanzas, apoyo y por el compartir desinteresado de material académico y otros.. B. IB. LI. O. T. E. +. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Señores miembros del jurado:. S. IC. A. S. Presentación. Presento ante ustedes el informe final del Proyecto de Tesis “ APROXIMACIÓN A LA SOLUCIÓN GLOBAL DE PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN CÓNCAVOS MEDIANTE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ”, con el propósito de optar el tı́tulo de Licenciado en matemáticas. Esperando cumplir con los requerimientos de aprobación.. Agradezco anticipadamente sus opiniones y crı́ticas, pues me servirán como. Reyes Zavaleta Cesar Antonio. B. IB. LI. O. T. E. estı́mulo para continuar mejorando.. Trujillo, 28 de Diciembre del 2018. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Rn. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. : Espacio vectorial real n-dimencional.. S. IC. A. S. Lista de Sı́mbolos. Rm×n. : Espacio de las matrices reales de orden m × n.. H(S). : Envolvente convexa de un conjunto S en Rn .. int(S). : Interior de un conjunto S en Rn .. cl(S). : Clausura de un conjunto S en Rn .. ı́nf f. : Infimo de una función f .. D. : Conjunto convexo no vacı́o en Rn .. z. : Una solución factible de la región factible D.. Lf (z) (f ) : Conjunto de nivel inferior de una función f en el punto z. Uf (z) (f ) : Conjunto de nivel superior de una función f en el punto z.. : Hipógrafo de una función f .. O. T. hyp(f ). E. Ef (z) (f ) : Conjunto de nivel de una función f en el punto z.. LI. epi(f ) Am z. : Conjunto de aproximación del Ef (z) (f ).. A2n z. : Conjunto de aproximación trivial del Ef (z) (f ).. Bz2n. : Conjunto de aproximación de segundo orden Ef (z) (f ).. Cz2n. : Conjunto de aproximación ortogonal del Ef (z) (f ).. IB B. : Epı́grafo de una función f .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Jurado Dedicatoria. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Índice general. Agradecimiento Presentación. Lista de Sı́mbolos Resumen. E. Abstract. O. T. Introducción. LI. I. Preliminares matemáticos para minimizar problemas cóncavos. IV. V. VI. VII. X. XI. XII. 1. 1.1. Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. IB B. III. 1.3. Máximo y mı́nimo de funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Generalizaciones de funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Métodos numéricos para solucionar ecuaciones de una variable . . . . 22. II. Método de aproximación para minimizar problemas cóncavos mediante problemas de programación lineal. 25. 2.1. Condición de optimalidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. ix. 2.2. Técnicas de aproximación del conjunto de nivel . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Construcción de puntos sobre el conjunto de nivel . . . . . . . . . . . 36 2.3.1. Conjunto de aproximación trivial . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2. Conjunto de aproximación de segundo orden . . . . . . . . . . 39. IC. III.Algoritmos, convergencia y ejemplos. A. S. 2.3.3. Conjunto de aproximación ortogonal . . . . . . . . . . . . . . 43 45. S. . . . . . . . . . . . 46 3.1. Algoritmo, convergencia y ejemplos usando el A2n z. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 2n 3.2. Algoritmo y ejemplos usando la combinación del A2n z y Bz . . . . . . 53 2n 2n 3.3. Algoritmo y ejemplos usando la combinación del A2n . . . 62 z , Bz y Cz. 3.4. Algoritmos en el lenguaje de programación C . . . . . . . . . . . . . . 70 Resultados Conclusiones Sugerencias. 77 78 79. B. IB. LI. O. T. E. Referencias Bibliográficas. 75. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. IC. A. S. Resumen. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. En el presente trabajo se analiza y determina condiciones para verificar la condición de optimalidad global para problemas de minimización cóncavos mediante problemas de programación lineal, haciendo uso de técnicas de aproximación del conjunto de nivel, de tal manera que se garantice la aproximación a la solución global de problemas de minimización cóncavos. La importancia del presente trabajo se justifica por la diversidad de clases de problemas de optimización global que pueden ser transformados en problemas de minimización cóncavos equivalentes, los cuales se presentan en muchos problemas de aplicación.. Para llevar a cabo el presente trabajo, se tuvo como referencia trabajos relacionados con la aproximación a la solución global de problemas de minimización cóncavos. E. como aproximaciones para problemas de programación cuadrática cóncava sobre un. T. conjuto poliédrico. Se espera obtener mejores resultados para la aproximación a la. IB. LI. O. solución global de problemas de minimización cóncavos.. B. Palabras claves: Optimización global; problemas de minimización cóncavos;. problemas de programación lineal; técnicas de aproximación del conjunto de nivel.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. IC. A. S. Abstract. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. In the present work we analyze and determine conditions to verify the global optimality condition for concave minimization problems in linear programming problems, making use of approach techniques of the level set, so as to guarantee an approximation to the global solution from concave minimization problems. The importance of current work is the justification for the diversity of classes of global optimization problems that can be transformed into equivalent minimization problems, which are presented in many application problems.. To perform a work with the present work, has a reference of works related to the approximation to the global solution of concave minimization problems as approximations for quadratic programming problems on a polyhedral set. It is expected. E. to obtain better results for the approximation to the global solution of concave. LI. O. T. minimization problems.. IB. Key words: Global optimization; concave minimization problems; linear pro-. B. gramming problems; level set approximation techniques.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. IC. A. S. Introducción. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. El principal objetivo de la optimización global es encontrar el óptimo global de un problema, esto puede resultar difı́cil si tratamos de usar las técnicas de programación no lineal, pues sólo encontraremos óptimos locales, que no necesariamente son globales. Es por esto que se hace imprescindible el desarrollo de técnicas que nos ayuden a encontrar la solución óptima global. En este trabajo se estudia una rama de la optimización global conocida como minimización cóncava. Las técnicas de minimización cóncavas cumplen un rol muy importante en diferentes campos de la optimización global, puesto que gran diversidad de problemas de optimización global pueden ser transformados en problemas de minimización cóncavos equivalentes. La minimización cóncava se puede aplicar en diferentes campos del conocimiento. E. tales como en la economı́a, telecomunicaciones, transporte, diseño computacional y. T. finanzas, ver [13].. O. Un problema de minimización cóncava en general se puede formular matemátimı́n f (x) s.a. x ∈ D,. B. IB. LI. camente como:. donde f : D ⊆ Rn −→ R es una función cóncava y D ⊆ Rn un conjunto convexo. Los problemas de minimización cóncavos generalmente poseen muchas soluciones locales que no son globales. Cuando D es un polı́topo, el mı́nimo global del problema anterior se encuentra en un vértice de D, ver [7, 15]; para la solución de éstos casos, tanto locales como globales, se han propuesto aproximaciones determinı́sticas y estocásticas, entre las que se cuentan con tres aproximaciones algoritmicas fundamentales, la primera aproximación es el método enumerativo y las otras dos aproximaciones. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xiii. son el método de aproximaciones sucesivas y el método de ramificación y acotación, ver [12, 11]. En el presente trabajo se resuelve el siguiente problema: ¿Bajo qué condiciones es posible tener una aproximación a la solución global de problemas de minimiza-. S. ción cóncavos mediante problemas de programación lineal?, para esto, se determina. IC. A. condiciones que verifiquen la condición de optimalidad global para problemas de minimización cóncavos y se presenta un método de aproximación basado en problemas. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. de programación lineal.. Un problema de minimización cóncava con restricciones especı́ficas se puede formular matemáticamente como:. mı́n f (x). s.a. x ∈ D,. donde f : D ⊂ Rn −→ R es una función cóncava diferenciable y D ⊂ Rn un conjunto convexo y compacto. La idea básica es encontrar una solución aproximada para el problema resolviendo problemas de programación lineal con las mismas restricciones que el problema original, es decir, el método consiste en generar una sucesión de minimizadores locales, ya sea finalizando en una solución óptima global o en una solución óptima global aproximada mediante un número finito de iteraciones, donde. T. E. en cada iteración se resuelve una serie de problemas de programación lineal con las. O. mismas restricciones del problema original, ver [1, 4].. LI. El presente trabajo se desarrolla en tres capı́tulos organizados de la siguiente. IB. manera: En el capı́tulo I, se presenta los preliminares matemáticos para minimi-. B. zar problemas cóncavos. En el capı́tulo II se desarrolla el método de aproximación para minimizar problemas cóncavos mediante problemas de programación lineal; se presenta una condición de optimalidad global para el problema cuasicóncavo, se introduce el concepto de técnicas de aproximación y conjunto de aproximación del conjunto de nivel, que serán utiles para la construcción de los algoritmos. En el capı́tulo III se desarrolla los algoritmos, convergencia y ejemplos; se presentan tres algoritmos para resolver el problema cuadrático cóncavo y se establecen sus propiedades de convergencia bajo ciertas condiciones.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Capı́tulo I. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Preliminares matemáticos para minimizar problemas cóncavos A continuación se presenta algunas definiciones, propiedades y resultados que serán la base para el desarrollo del presente trabajo.. 1.1.. Conjuntos convexos. E. Definición 1.1 (Lı́nea) Sean los vectores x1 , x2 ∈ Rn . La lı́nea que pasa a través. {x ∈ Rn / x = λx1 + (1 − λ)x2 , λ ∈ R}. LI. O. T. de los puntos x1 y x2 es definida como el conjunto. IB. Definición 1.2 (Segmento cerrado) Sean los vectores x1 , x2 ∈ Rn . El segmento. B. de lı́nea cerrado que pasa a través de los puntos x1 y x2 es definida como el conjunto {x ∈ Rn / x = λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1}. Los segmentos de lı́nea abiertos, cerrados-abiertos y abiertos-cerrados pueden ser definidos de manera análoga modificando las desigualdades para λ. Definición 1.3 (Semiespacio) Sea el vector c ∈ Rn , c 6= 0 y el escalar z ∈ R. El semiespacio abierto en Rn es definido como el conjunto {x ∈ Rn / cT x < z} U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conjuntos convexos. 2. El semiespacio cerrado en Rn es definido como el conjunto {x ∈ Rn / cT x ≤ z} Definición 1.4 (Hiperplano) Sea el vector c ∈ Rn , c 6= 0 y el escalar z ∈ R. El. A. S. hiperplano en Rn es definido como el conjunto. IC. {x ∈ Rn / cT x = z}. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Definición 1.5 (Hiperplano soporte) Sea D un conjunto no vacı́o en Rn y sea x̄ ∈ ∂D. Un hiperplano H = {x ∈ Rn / cT (x − x̄) = 0} es llamado un hiperplano soporte de D en x̄, si cT (x − x̄) ≥ 0 para todo x ∈ D, o bien, si cT (x − x̄) ≤ 0 para todo x ∈ D. Definición 1.6 (Poliedro y Polı́topo) La intersección de un número finito de semiespacios cerrados en Rn es definido como un poliedro. Un poliedro acotado es llamado un polı́topo.. Se dice que x es un punto cerradura de un subconjunto X ⊆ Rn , si existe una sucesión {xk } ⊂ X tal que converge a x. La cerradura de X, se denota como cl(X), es el conjunto de todos los puntos cerradura de X.. T. E. Definición 1.7 (Conjunto cerrado) Un subconjunto X ⊆ Rn es llamado cerrado,. LI. O. si es igual a su cerradura.. IB. Observación:. B. Un poliedro es un conjunto convexo y cerrado. Definición 1.8 ( Conjunto abierto) Un subconjunto X ⊆ Rn es llamado abierto,. si su complemento {x ∈ Rn / x ∈ / X} es cerrado. Definición 1.9 (Conjunto acotado) Un subconjunto X ⊆ Rn es llamado acotado, si existe un escalar c > 0 tal que kxk ≤ c para todo x ∈ X. Definición 1.10 (Conjunto compacto) Un subconjunto X ⊆ Rn es llamado compacto, si y sólo si, es cerrado y acotado. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conjuntos convexos. 3. Conjunto convexo y envolvente convexa. Definición 1.11 (Conjunto convexo) Un conjunto D en Rn es llamado convexo, si el segmento de lı́nea cerrado une a cualquier par de puntos x1 y x2 del conjunto. S. D, es decir, λx1 + (1 − λ)x2 pertenece al conjunto D para cualquier 0 ≤ λ ≤ 1.. IC. A. Algunos ejemplos de conjuntos convexos son:. S. 1. La lı́nea. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 2. Semiespacios abiertos y cerrados 3. Poliedros y polı́topos. 4. Todos los puntos dentro o sobre el cı́rculo. 5. Todos los puntos dentro o sobre un polı́gono. Lema 1.1 (Algunas propiedades) Sean D1 , D2 conjuntos convexos en Rn y λ un escalar en R. Entonces. 1. La intersección D1 ∩ D2 es un conjunto convexo 2. La suma D1 + D2 es un conjunto convexo. T. E. 3. El producto λD1 es un conjunto convexo. LI. O. 4. Para λ1 ≥ 0 y λ2 ≥ 0 tal que (λ1 + λ2 )D1 = λ1 D1 + λ2 D1 es un conjunto convexo.. B. IB. Demostración: . Las demostraciones se encuentran en [5], proposición 2.3. Definición 1.12 (Combinación convexa) Sea {x1 , x2 , . . . , xr } un conjunto finito de puntos en Rn . Una combinación convexa de este conjunto es un punto x ∈ Rn de la forma: x = λ1 x1 + . . . + λr xr λ1 + . . . + λr = 1 λ1 , . . . , λr ≥ 0 U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conjuntos convexos. 4. Definición 1.13 (Envolvente convexa) Sea D un conjunto arbitrario en Rn . La envolvente convexa de D es denotada H(D) y es definida como la intersección de todos los conjuntos convexos en Rn que contiene a D como un subconjunto, es decir,. S. H(D) es el menor conjunto convexo que contiene a D.. A. Teorema 1.1 La H(D) es definida como el conjunto de todas las combinaciones. λi xi. i=1. S. r P. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. x=. IC. convexas de D. Entonces x ∈ H(D) si y sólo si x puede ser representado como:. r P. λi = 1. i=1. λi ≥ 0, i = 1, . . . , r. xi ∈ D, i = 1, . . . , r. donde r es un entero positivo. Demostración: . La demostración se encuentra en [5], teorema 2.7.. Definición 1.14 La envolvente convexa de un número finito de puntos x1 , x2 , . . . , xk+1 en Rn se llama polı́topo. Si x1 , x2 , . . . , xn+1 son afinmente independientes, es decir,. T. E. x2 −x1 , x3 −x1 , . . . , xn+1 −x1 son linealmente independientes, entonces H(x1 , x2 , . . . , xn+1 ). O. se llama simplex con vertices en x1 , x2 , . . . , xn+1 .. LI. Observación:. IB. Cualquier punto x de la envolvente convexa de un conjunto D en Rn puede ser escrito. B. como una combinación convexa de a lo más n + 1 puntos de D como lo establece el siguiente teorema.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conjuntos convexos. 5. Teorema 1.2 (Caratheodory) Sea D un conjunto arbitrario en Rn . Si x ∈ H(D), entonces puede ser representado como: x=. n+1 P. λi xi. i=1. λi = 1. S. n+1 P i=1. IC. A. λi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n + 1 xi ∈ D, i = 1, 2, . . . , n + 1.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Demostración: . La demostración se encuentra en [3], teorema 2.1.6 o en [5], teorema 2.8. Teorema 1.3 Sea D un conjunto convexo en Rn con int(D) 6= ∅, sea x1 ∈ cl(D) y x2 ∈ int(D), entonces λx1 + (1 − λ)x2 ∈ int(D) para 0 < λ < 1. Demostración: . La demostración se encuentra en [3], teorema 2.2.2. Teorema 1.4 (Vector minimizante) Sea D un conjunto convexo, cerrado y no vacı́o en Rn y sea y ∈ / D, entonces existe un único x̄ ∈ D con distancia mı́nima a y, tal que. T. E. ky − x̄k = mı́n ky − xk, para todo x ∈ D,. LI. O. además, x̄ es el vector minimizante, si y sólo si, (y − x̄)T (x − x̄) ≤ 0, para todo x ∈ D.. B. IB. Demostración: . La demostración se encuentra en [3], teorema 2.4.1 o en [8], teorema 3.3-1 Observación: Es decir que el ángulo formado entre los vectores (y − x̄) y (x − x̄) para todo x ∈ D. es mayor ó igual a 90◦ , lo que significa que el conjunto D está en el semiespacio αT (x − x̄) ≤ 0 en relación al hiperplano αT (x − x̄) = 0 que pasa atraves de x̄ y con normal α = (y − x̄).. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conjuntos convexos. 6. Teorema 1.5 (Farkas) Sea A ∈ Rm×n y c ∈ Rn , entonces exactamente uno de los siguientes sistemas tiene solución: 1. Ax ≤ 0, cT x > 0, para todo x ∈ Rn 2. AT y = c, y ≥ 0, para todo y ∈ Rm .. A. S. Demostración: . C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. La demostración se encuentra en [3], teorema 2.4.5. Puntos extremos y direcciones extremas. Definición 1.15 (Punto extremo) Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn . El vector x ∈ D es llamado un punto extremo de D, si x no se puede representar como una combinación convexa estricta de dos puntos distintos en D, es decir, si x = λx1 + (1 − λ)x2 para 0 < λ < 1 y x1 , x2 ∈ D, entonces x = x1 = x2 . Definición 1.16 (Rayo) Un rayo es una colección de puntos de la forma {x0 + λd / λ ≥ 0}, donde d es un vector distinto de cero. En este caso, x0 se denomina vértice del rayo y d es una dirección del rayo.. E. Definición 1.17 (Dirección) Sea D un conjunto convexo cerrado no vacı́o y d. T. un vector distinto de cero en Rn , d se llama dirección del conjunto D, si para todo. LI. O. x0 en el conjunto D, el rayo {x0 + λd / λ ≥ 0} también pertenece al conjunto.. IB. Observación:. B. Si el conjunto D es acotado, entonces no tiene direcciones. Definición 1.18 (Dirección extrema) Sea D un conjunto convexo cerrado no. vacı́o y d un vector distinto de cero en Rn , d se llama direccion extrema del conjunto D, si no se puede representar como una combinación lineal positiva de dos direcciones distintas del conjunto D, es decir, si d = λ1 d1 + λ2 d2 donde λ1 , λ2 > 0 entonces d1 = αd2 para α > 0. Se dice que dos direcciones d1 y d2 son distintas, si d1 no se puede representar como un múltiplo positivo de d2 . U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Conjuntos convexos. 7. Observación: Cualquier otra dirección del conjunto que no sea multiplo de d1 o d2 se puede representar como λ1 d1 + λ2 d2 , donde λ1 , λ2 > 0. Teorema 1.6 (Caracterización de puntos extremos). sólo si,A puede B −1 b · · · , donde 0. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. m ≤ n y b ∈ Rm , un vector x es un punto extremo de D,si y x B particionarce en la forma A = [B|NB] tal que x = · · · = xNB m×m m×(n−m) −1 B∈R es no singular, NB ∈ R y B b ≥ 0.. A. S. Sea D = {x ∈ Rn / Ax ≤ b, x ≥ 0} 6= ∅ un poliedro, donde A ∈ Rm×n , ran(A) = m,. Demostración: . La demostración se encuentra en [3], teorema 2.6.4. Observaciones:. Cualquier solución x que satisfaga el teorema se llama solución básica factible, B es una base, xB variables básicas y xNB variables no básicas.. n El número de puntos extremos de D es finito (N ◦ máx de puntos extremos ≤ Cm ).. Si D es un conjunto no vacı́o, entonces D tiene al menos un punto extremo.. T. E. Teorema 1.7 (Caracterización de direcciones extremas). O. Sea D = {x ∈ Rn / Ax ≤ b, x ≥ 0} 6= ∅ un poliedro, donde A ∈ Rm×n , ran(A) = m,. LI. m ≤ n y b ∈ Rm , un vector d¯ es una dirección extrema de D, si y sólo si, A. IB. puede particionarce en la forma A = [B|NB], donde B ∈ Rm×m es no singular,. B. NB ∈ Rm×(n−m) B −1 aj ≤ 0 para algún aj de NB y d¯ es un múltiplo po tal que −B −1 aj sitivo de d = · · · donde ej = (0, . . . , 1, . . . , 0)T en la j-esima posición, ej (n−m) ej ∈ R .. Demostración: . La demostración se encuentra en [3], teorema 2.6.6. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 8. Observaciones: El número de direcciones extremas de D es finito (N ◦ máx de direcciones extremas n ). ≤ (n − m)Cm. D tiene al menos una dirección extrema, si y sólo si, D es no acotado.. A. S. Teorema 1.8 Sea D = {x ∈ Rn / Ax ≤ b, x ≥ 0} 6= ∅ un poliédro, donde. IC. A ∈ Rm×n , ran(A) = m, m ≤ n y b ∈ Rm , sean x1 , x2 , . . . , xk k-puntos extremos de l P. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. k P. S. D y d1 , d2 , . . . , dl l-direcciones extremas de D, entonces x ∈ D, si y sólo si x=. λi xi +. i=1. k P. α j dj. j=1. λi = 1. i=1. λi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , k. αj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , l.. Demostración: . La demostración se encuentra en [3], teorema 2.6.7.. 1.2.. Funciones cóncavas. E. Definición 1.19 (Función cóncava) Sea D un subconjunto convexo de Rn y f. O. T. una función real sobre D. La función f se dice que es cóncava, si para cualesquier. B. IB. LI. x1 , x2 ∈ D, con 0 ≤ λ ≤ 1 se satisface:. f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ). Definición 1.20 (Función estrictamente cóncava) Sea D un subconjunto conve-. xo de Rn y f una función real sobre D. La función f se dice que es estrictamente cóncava, si para cualesquier x1 , x2 ∈ D, con 0 < λ < 1 se satisface: f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Observación: La función f es cóncava sobre D si y sólo si −f es convexa sobre D. Ası́, los resultados obtenidos para las funciones cóncavas pueden ser modificados en resultados de. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 9. funciones convexas multiplicando por −1 y viceversa. Las siguientes afirmaciones son algunas combinaciones de funciones cóncavas que dan lugar a nuevas funciones cóncavas :. S. 1. Sean f1 , f2 , . . . , fn funciones cóncavas sobre un subconjunto convexo D de Rn ,. A. entonces. IC. f = f1 + f2 + . . . + fn. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. es cóncava.. 2. Sea f una función cóncava sobre un subconjunto convexo D de Rn y λ un escalar positivo, entonces λf es cóncava.. 3. Sean f1 , f2 , . . . , fn funciones cóncavas y acotadas inferiormente sobre un subconjunto convexo D de Rn , entonces la función ı́nfimo f = ı́nf{f1 , f2 , . . . , fn }. es cóncava.. 4. Sean f1 , f2 , . . . , fn funciones cóncavas sobre un subconjunto convexo D de Rn ,. n Y f = ( fi )1/n i. LI. O. T. E. entonces la función media geométrica. IB. es cóncava.. B. Conjuntos de nivel Definición 1.21 (Conjunto de nivel inferior) Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn , f : D −→ R una función convexa y α un escalar real. El conjunto definido por Lα = {x ∈ D / f (x) ≤ α} es llamado conjunto de nivel inferior.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 10. Lema 1.2 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn , f : D −→ R una función convexa y α un escalar real, entonces el conjunto de nivel inferior Lα = {x ∈ D / f (x) ≤ α}. S. es un conjunto convexo.. IC. A. La demostración se encuentra en [3], lema 3.1.2.. S. Definición 1.22 (Conjunto de nivel superior) Sea D un conjunto convexo no. definido por. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. vacı́o en Rn , f : D −→ R una función cóncava y α un escalar real. El conjunto. Uα = {x ∈ D / f (x) ≥ α}. es llamado conjunto de nivel superior.. Lema 1.3 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn , f : D −→ R una función cóncava y α un escalar real, entonces el conjunto de nivel superior Uα = {x ∈ D / f (x) ≥ α}. es un conjunto convexo.. E. Demostración: . T. La demostración es similar al lema 1.2, pues la función f es cóncava sobre D si y. LI. O. sólo si −f es convexa sobre D.. IB. Definición 1.23 (Conjunto de nivel) Sea D un conjunto convexo no vacı́o en. B. Rn , f : D −→ R una función y α un escalar real. El conjunto definido por Eα = {x ∈ D / f (x) = α}. es llamado conjunto de nivel. Proposición 1.1 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn y f : D −→ R una función diferenciable en D, entonces dado x0 ∈ D el vector ∇f (x0 ) es perpendicular al conjunto Ef (x0 ) = {x ∈ D / f (x) = f (x0 )} U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 11. de nivel de f en x0 . Continuidad y semicontinuidad de una función cóncava Definición 1.24 (Función continua) Sea D un subconjunto de Rn , x0 ∈ D y f. S. una función real definida sobre D. f es continua sobre x0 , si alguna de las siguientes. IC. A. condiciones que son equivalentes se satisface:. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. 1. Para cada > 0 existe un δ > 0 : kx − x0 k < δ, x ∈ D implica que − < f (x) − f (x0 ) < . 2. Para cada sucesión x1 , x2 , . . . , xn (xn ∈ D) convergente a x0 , lı́m f (xn ) = f ( lı́m (xn )) = f (x0 ).. n→∞. n→∞. f es continua sobre D, si es continua sobre cada punto x0 ∈ D. Definición 1.25 (Función Semi-continua inferiormente) f es semi-continua inferiormente en x0 , si alguna de las siguientes condiciones que son equivalentes se satisface:. − < f (x) − f (x0 ). LI. O. T. E. 1. Para cada > 0 existe un δ > 0 : kx − x0 k < δ, x ∈ D implica que. B. IB. 2. Para cada sucesión x1 , x2 , . . . , xn (xn ∈ D) convergente a x0 lı́m ı́nf f (xn ) ≥ f ( lı́m (xn )) = f (x0 ). n→∞. n→∞. donde lı́m ı́nf f (xn ) es el ı́nfimo del punto lı́mite de la sucesión f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ). n→∞. f es semi-continua inferiormente sobre D, si es semi-continua inferiormente para cada x0 ∈ D. Teorema 1.9 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn y f una función cóncava, entonces f es continua en el interior de D.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 12. La demostración se encuentra en [3], lema 3.1.3. Observación: Es posible que las funciones cóncavas y convexas no sean continuas en cualquier. S. lugar, pero los puntos de discontinuidad tienen que estar en la frontera de D.. A. Teorema 1.10 (Teorema de Weierstrass) Sea D ⊂ Rn compacto y f : D −→ R. IC. una función real continua, entonces existen x1 , x2 ∈ D tal que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. para todo x ∈ D. La demostración se encuentra en [10], capitulo 1, corolario 3.. Teorema 1.11 Sea D un conjunto compacto no vacı́o en Rn y sea f : D −→ R una función continua sobre D, entonces el problema de mı́n {f (x) / x ∈ D} alcanza su mı́nimo en D.. Demostración: . La demostración se encuentra en [3], teorema 2.3.1.. Epı́grafo y Hipógrafo de una función. E. Definición 1.26 (Grafo de una función) Sea D un conjunto no vacı́o en Rn y. grf (f ) = {(x, f (x)) / x ∈ D} ⊂ Rn+1 .. LI. O. T. sea f : D −→ R una función. El grafo de la funcion f se define como el conjunto. IB. Definición 1.27 (Epı́grafo de una función) Sea D un conjunto no vacı́o en Rn. B. y sea f : D −→ R una función. El epı́grafo de la funcion f , denotada por epi(f ), se. define como el conjunto epi(f ) = {(x, y) / x ∈ D, y ∈ R, y ≥ f (x)} ⊂ Rn+1 . Definición 1.28 (Hipógrafo de una función) Sea D un conjunto no vacı́o en Rn. y sea f : D −→ R una función. El Hipógrafo de la funcion f , denotada por hyp(f ), se define como el conjunto hyp(f ) = {(x, y) / x ∈ D, y ∈ R, y ≤ f (x)} ⊂ Rn+1 . U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 13. Teorema 1.12 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn y sea f : D −→ R una función, entonces f es convexa, si y sólo si, el epi(f ) es un conjunto convexo. Demostración: . S. La demostración se encuentra en [3], teorema 3.2.2.. A. Teorema 1.13 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn y sea f : D −→ R. IC. una función, entonces f es cóncava, si y sólo si, el hyp(f ) es un conjunto convexo.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Demostración: . La demostración es análoga al lema 1.12.. Diferenciabilidad de funciones cóncavas. Definición 1.29 (Derivada direccional) Sea D un conjunto no vacı́o en Rn , sea f : D −→ R una función, sea x̄ ∈ D y d es un vector no nulo tal que x̄ + λd ∈ D para λ > 0 suficientemente pequeño. La derivada direccional de f en x̄ a lo largo del vector d, denotado por f 0 (x̄, d), se define por el siguiente limite f (x̄ + λd) − f (x̄) , λ→0 λ. T. si existe.. E. f 0 (x̄, d) = lı́m. O. Lema 1.4 Sea f : Rn −→ R una función cóncava. Considerar cualquier punto. LI. x̄ ∈ Rn y una dirección no nula d ∈ Rn , entonces la derivada direccional f 0 (x̄, d) de. IB. f en x̄ en la dirección de d existe.. B. Demostración: . La demostración es análoga al lema 3.1.5 en [3]. Definición 1.30 (Función diferenciable) Sea D un conjunto no vacı́o en Rn y f : D −→ R una función, entonces f se dice que es diferenciable en x̄ ∈ int D, si existe un vector ∇f (x̄), llamado el vector gradiente y una función α : Rn −→ R tal que f (x) = f (x̄) + ∇f (x̄)T (x − x̄) + kx − x̄kα(x̄; x − x̄) U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 14. para cada x ∈ D , donde el lı́m α(x̄; x − x̄) = 0. x→x̄. La función f se dice que es difereciable en el conjunto abierto D0 ⊆ D, si es diferenciable en cada punto en D0 .. S. Teorema 1.14 Sea D un conjunto convexo abierto no vacı́o en Rn y f : D −→ R. A. una función diferenciable en D, entonces f es cóncava, si y sólo si, para todo x̄ ∈ D. IC. se tiene. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. f (x) − f (x̄) ≤ ∇f (x̄)T (x − x̄), para cada x ∈ D.. Similarmente, f es estrictamente cóncava, si y sólo si, para cada x̄ ∈ D se tiene f (x) − f (x̄) < ∇f (x̄)T (x − x̄), para cada x 6= x̄ en D. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.3.3 en [3].. Teorema 1.15 Sea D un conjunto convexo abierto no vacı́o en Rn y sea f : D −→ R una función diferenciable en D, entonces f es cóncava, si y sólo si, para todo x1 , x2 ∈ D se tiene. E. [∇f (x2 ) − ∇f (x1 )]T (x2 − x1 ) ≤ 0.. O. T. Similarmente, f es estrictamente cóncava, si y sólo si, para cada x1 , x2 ∈ D distintos [∇f (x2 ) − ∇f (x1 )]T (x2 − x1 ) < 0.. IB. LI. se tiene. B. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.3.4 en [3].. Matriz Hessiana definida negativa y semidefinida negativa Definición 1.31 Sea H una matriz simétrica en Rn×n . La matriz H se dice ser definida negativa, si xT Hx < 0, para todo vector x ∈ Rn no nulo. La matriz H se dice ser semidefinida negativa, si xT Hx ≤ 0 para todo vector x ∈ Rn no nulo.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Funciones cóncavas. 15. Definición 1.32 (Función dos veces diferenciable) Sea D un conjunto no vacı́o en Rn y f : D −→ R una función, entonces f se dice que es dos veces diferenciable en x̄ ∈ int D, si existe un vector ∇f (x̄), una matriz simétrica H(x̄) de orden n × n llamada la matriz Hessiana y una función α : Rn −→ R tal que. IC. A. S. 1 f (x) = f (x̄) + ∇f (x̄)T (x − x̄) + (x − x̄)T H(x̄)(x − x̄) + kx − x̄k2 α(x̄; x − x̄) 2 para cada x ∈ D , donde el lı́m α(x̄; x − x̄) = 0. x→x̄. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. La función f se dice que es dos veces difereciable en el conjunto abierto D0 ⊆ D, si es dos veces diferenciable en cada punto en D0 .. Teorema 1.16 Sea D un conjunto convexo abierto no vacı́o en Rn y f : D −→ R una función dos veces diferenciable en D, entonces f es cóncava, si y sólo si, la matriz Hessiana es semidefinida negativa en cada punto en D. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.3.7 en [3].. Teorema 1.17 Sea D un conjunto convexo abierto no vacı́o en Rn y f : D −→ R una función dos veces diferenciable en D, si la matriz Hessiana es definida negativa. E. en cada punto en D, entonces f es estrictamente cóncava.. T. Resiprocamente, si f es estrictamente cóncava, entonces la matriz Hessiana es se-. LI. O. midefinida negativa en cada punto en D. Sinembargo, si f es estrictamente cóncava y cuadrática, entonces la matriz Hessiana es definida negativa.. B. IB. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.3.8 en [3]. a b entonces H es semideLema 1.5 Considerar una matriz simétrica H = b c 2 finida negativa, si y sólo si, a ≤ 0, c ≤ 0 y ac − b ≥ 0, y es definida negativa, si y sólo si, las desigualdad anteriores son todas estrictas. Una matriz H es semidefinida negativa (definida negativa), si y sólo si, −H es semidefinida positiva (definida positiva). U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Máximo y mı́nimo de funciones cóncavas. 16. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.3.11 en [3]. Teorema 1.18 (Fórmula de Taylor infinitesimal) Sea f : I −→ R n-veces di-. S. ferenciable en el punto a ∈ I. La función r : J −→ R, definida en el intervalo. IC. f (n) (a) n f 00 (a) 2 .h + . . . + .h + r(h), 2! n!. S. f (a + h) = f (a) + f 0 (a).h +. A. J = {h ∈ R : a + h ∈ I} mediante la igualdad. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. r(h) = 0. Resiprocamente, si p(h) es un polinomio de grado ≤ n tal que h→0 hn r(h) r(h) = f (a + h) − p(h) cumple lı́m n = 0, entonces p(h) es el polinomio de Taylor h→0 h de orden n de f en el punto a, esto es,. cumple lı́m. n X f (i) (a) i=0. i!. .hi. Demostración: . La demostración se encuentra en [9], capitulo 9, teorema 1.. Teorema 1.19 (Fórmula de taylor) Sea f : U −→ R una función de clase C 2 en un abierto U ⊂ Rn . Para a ∈ U fijo y para todo v = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Rn tal. T. E. que a + v ∈ U , se tiene. IB. LI. O. n n X ∂f 1 X ∂ 2f f (a + v) = f (a) + .αi + .αi αj + r(v), ∂xi 2 i,j=1 ∂xi ∂xj i=1. r(v) = 0. v→0 kvk2. B. donde las derivadas parciales son calculadas en el punto a, entonces lı́m. La demostración se encuentra en [10], capitulo 3, teorema 5.. 1.3.. Máximo y mı́nimo de funciones cóncavas. Sea D un conjunto convexo cerrado no vacı́o en Rn , f : D −→ R una función y considerar el problema de minimizar f (x) sujeto a x ∈ D. Entonces se tiene las siguientes definiciones: U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Máximo y mı́nimo de funciones cóncavas. 17. Definición 1.33 (Solución factible) Un punto x ∈ D es llamada una solución factible para el problema. Definición 1.34 (Mı́nimo local) Supongamos que x∗ ∈ D y que existe un > 0. S. tal que f (x) ≥ f (x∗ ) para todo x ∈ D tal que kx − x∗ k < , entonces x∗ es un. IC. A. mı́nimo local.. S. Definición 1.35 (Mı́nimo local estricto) Supongamos que x∗ ∈ D y que existe. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. un > 0 tal que f (x) > f (x∗ ) para todo x ∈ D tal que kx − x∗ k < , entonces x∗ es un mı́nimo local estricto.. Definición 1.36 (Mı́nimo global) Supongamos que x∗ ∈ D y que f (x) ≥ f (x∗ ) para todo x ∈ D, entonces x∗ es un mı́nimo global.. En varias aplicaciones prácticas, calcular el mı́nimo global exacto puede ser una tarea difı́cil computacionalmente. Con mayor frecuencia se tiene más interés en identificar el mı́nimo global con una tolerancia ≥ 0 dada.. Definición 1.37 (Mı́nimo - global) Supongamos que x∗ ∈ D es una solución factible, ≥ 0 es una pequeña tolerancia dada y f (x) ≥ f (x∗ ) − para todo. T. E. x ∈ D tal que kx − x∗ k < , entonces x∗ es un mı́nimo - global.. O. Máximo de una función cóncava. LI. El principal resultado aquı́ es que todo máximo local de un problema de maximiza-. B. IB. ción cóncava es tambien un máximo global. Teorema 1.20 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn , f : D −→ R una. función cóncava sobre D y sea el problema de maximizar f (x) sujeto a x ∈ D, si x∗ ∈ D es una solución óptima local para el problema. 1. Entonces x∗ es una solución óptima global para el problema. 2. Si bien x∗ es un máximo local estricto o f es estrictamente cóncava, entonces x∗ es la única solución óptima global.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Máximo y mı́nimo de funciones cóncavas. 18. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.4.2 en [3]. Teorema 1.21 Sea f : Rn −→ R una función cóncava, D un conjunto convexo. S. no vacı́o en Rn y el problema de maximizar f (x) sujeto a x ∈ D. El punto x∗ ∈ D es. IC. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Demostración: . S. tal que ξ T (x − x∗ ) ≤ 0 para todo x ∈ D.. A. una solución óptima para el problema, si y sólo si, f tiene un subgradiente ξ en x∗. La demostración es análoga al teorema 3.4.3 en [3].. Corolario 1.1 Bajo las suposiciones del teorema 1.21 si D es abierto, entonces x∗ ∈ D es una solución óptima para el problema, si y sólo si, existe un subgradiente cero de f en x∗ . En particular si D = Rn , entonces x∗ es un máximo global, si y sólo si, existe un subgradiente cero de f en x∗ . Demostración: . La demostración es análoga al corolario 1 del teorema 3.4.3 en [3].. Corolario 1.2 Adicionando a las suposiciones del teorema 1.21 suponer que f es. E. diferenciable, entonces x∗ ∈ D es una solucion óptima, si y sólo si,. T. ∇f (x∗ )T (x − x∗ ) ≤ 0. Por otro lado, si D es abierto entonces x∗ es una solución. O. óptima, si y sólo si, ∇f (x∗ )T (x − x∗ ) = 0.. IB. LI. Demostración: . B. La demostración es análoga al corolario 2 del teorema 3.4.3 en [3].. Mı́nimo de una función cóncava Teorema 1.22 Sea f : Rn −→ R una función cóncava, D un conjunto convexo no vacı́o en Rn y sea el problema de minimizar f (x) sujeto a x ∈ D, si x∗ ∈ D es una solución óptima local para el problema, entonces ξ T (x − x∗ ) ≥ 0 para todo x ∈ D, donde ξ es cualquier subgradiente de f en x∗ .. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Generalizaciones de funciones cóncavas. 19. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.4.6 en [3]. Corolario 1.3 Sea f : Rn −→ R una función cóncava diferenciable, D un conjunto convexo no vacı́o en Rn y sea el problema de minimizar f (x) sujeto a x ∈ D, si. A. S. x∗ ∈ D es una solución óptima local para el problema, entonces ∇f (x∗ )T (x−x∗ ) ≥ 0. IC. para todo x ∈ D.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. La demostración es análoga al corolario del teorema 3.4.6 en [3].. Teorema 1.23 Sea f : Rn −→ R una función cóncava, D un conjunto poliédrico compacto no vacı́o en Rn y sea el problema de minimizar f (x) sujeto a x ∈ D, entonces existe una solución óptima x∗ para el problema, donde x∗ es un punto extremo de D.. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.4.7 en [3].. 1.4.. Generalizaciones de funciones cóncavas. E. Definición 1.38 (Función cuasicóncava) Sea f : D −→ R una función, donde. T. D es un conjunto convexo no vacı́o en Rn . La función f es llamada cuasicóncava,. IB. LI. O. si para cada x1 , x2 ∈ D, la siguiente desigualdad es valida. f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ mı́n{f (x1 ), f (x2 )},. B. para cada λ ∈ (0, 1).. Observaciones: La función f es cuasicóncava, si −f es cuasiconvexa. Toda función cóncava es cuasicóncava. Teorema 1.24 Sea f : D −→ R una función, donde D es un conjunto convexo no vacı́o en Rn . La función f es llamada cuasicóncava, si y sólo si, Uα = {x ∈ D / f (x) ≥ α} es un conjunto convexo para cada número real α. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Generalizaciones de funciones cóncavas. 20. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.5.2 en [3]. Teorema 1.25 Sea D un conjunto poliédrico compacto no vacı́o en Rn y. S. f : Rn −→ R una función cusicóncava y continua en D. Si se considera el problema. A. de minimizar f (x) sujeto a x ∈ D, entonces existe una solución óptima x∗ para el. IC. problema, donde x∗ es un punto extremo de D.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Demostración: . La demostración es análoga al teorema 3.5.3 en [3].. Teorema 1.26 Sea D un conjunto convexo abierto no vacı́o en Rn y f : D −→ R una función diferenciable en D, entonces f es cuasicóncava, si y sólo si, una de las siguientes afirmaciones equivalentes es válida. 1. Si x1 , x2 ∈ D y f (x1 ) ≥ f (x2 ) ⇒ ∇f (x2 )T (x1 − x2 ) ≤ 0 2. Si x1 , x2 ∈ D y ∇f (x2 )T (x1 − x2 ) < 0 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Demostración: . E. La demostración es análoga al teorema 3.5.4 en [3].. T. Definición 1.39 (Función cuasicóncava estricta) Sea f : D −→ R una fun-. LI. O. ción, donde D es un conjunto convexo no vacı́o en Rn . La función f es llamada. B. IB. cuasicóncava estricta, si para cada x1 , x2 ∈ D con f (x1 ) 6= f (x2 ), se satisface f (λx1 + (1 − λ)x2 ) > mı́n{f (x1 ), f (x2 )},. para cada λ ∈ (0, 1). Observación: La función f es cuasicóncava estricta, si −f es cuasiconvexa estricta. Toda función cóncava es cuasicóncava estricta.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Generalizaciones de funciones cóncavas. 21. Teorema 1.27 Sea f : Rn −→ R una función cusicóncava estricta y sea el problema de maximizar f (x) sujeto a x ∈ D, donde D es un conjunto convexo no vacı́o en Rn , si x∗ es una solución óptima local para el problema, entonces x∗ también es una solución óptima global para el problema.. A. S. Demostración: . IC. La demostración es análoga al teorema 3.5.6 en [3].. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Lema 1.6 Sea D un conjunto convexo no vacı́o en Rn , f : Rn −→ R una función cusicóncava estricta y semicontinua inferiormente, entonces f es cuasicóncava. Demostración: . La demostración es análoga al lema 3.5.7 en [3].. Condiciones de optimalidad global. Considerar el problema de minimización cuadrática cóncava 1 mı́n f (x) = xT Cx + dT x 2 s.a. x ∈ D,. E. donde f : Rn −→ R es una función cóncava y diferenciable, D es un conjunto. O. T. convexo no vacı́o en Rn , d ∈ Rn y C ∈ Rn×n es una matriz simétrica semidefinida. LI. negativa.. IB. La condición de optimalidad global para este problema es dada por el siguiente. B. teorema. Teorema 1.28 (Strekalovsky), ver [14]. Sea z ∈ D tal que −∞ ≤ ı́nfn f (x) < R. f (z). Entonces z es una solución del problema anterior, si y sólo si, (x − y)T ∇f (y) ≥ 0, ∀ y ∈ Ef (z) (f ), ∀ x ∈ D, donde Ec (f ) = {y ∈ Rn / f (y) = c} es el conjunto de nivel.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Métodos numéricos para solucionar ecuaciones de una variable. 1.5.. 22. Métodos numéricos para solucionar ecuaciones de una variable. S. Teorema 1.29 (Teorema del valor intermedio), ver [2]. Si f ∈ C[a, b] y k es. A. cualquier número entre f (a) y f (b), entonces existe un número c en (a, b) tal que. S. IC. f (c) = k.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Teorema 1.30 (Teorema del valor medio), ver [2]. Si f ∈ C[a, b] y f derivable en (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que f 0 (c) =. f (b) − f (a) . b−a. Acontinuación, se proponen algunos métodos numéricos para resolver un problema de búsqueda de raı́ces, de una ecuación de la forma f (x) = 0 para una función dada f .. Método de bisección. Suponer que f es una función continua en el intervalo [a, b] con f (a) y f (b) con signos diferentes. De acuerdo con el teorema del valor intermedio, existe un número p en (a, b) tal que f (p) = 0. Si bien el procedimiento se aplica aun que exista más. T. E. de una raı́z en el intervalo (a, b), por razones de simplicidad suponer que la raı́z. O. de este intervalo es única. El método requiere dividir varı́as veces a la mitad los. LI. subintervalos de [a, b] y en cada paso, localizar la mitad que contenga a p.. B. IB. Para iniciar, suponer que a1 = a y b1 = b y sea p1 el punto medio de [a, b], es decir, p1 =. a1 + b1 . 2. Si f (p1 ) = 0, entonces p = p1 , de no ser ası́, entonces f (p1 ) tiene el mismo signo que f (a1 ) o f (b1 ). Si f (p1 ) y f (a1 ) tienen el mismo signo, entonces p ∈ (p1 , b1 ) y se toma a2 = p1 y b2 = b1 . Si f (p1 ) y f (a1 ) tienen signos opuestos, entonces p ∈ (a1 , p1 ) y se toma a2 = a1 y b2 = p1 . Despúes se vuelve aplicar el proceso iterativo al [a2 , b2 ]. Este método que se basa en el teorema del valor intermedio recibe el nombre de bisección o de búsqueda binaria. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Métodos numéricos para solucionar ecuaciones de una variable. 23. Observación: Para iniciar el algoritmo de bisección hay que encontrar un intervalo [a, b], de modo que f (a) · f (b) < 0. En cada paso, la longitud del intervalo que contiene a la raı́z de. S. f se reduce en un factor de 2, por lo tanto es conveniente escoger un intervalo [a, b]. IC. A. lo más pequeño posible, para que ası́ el número de iteraciones sea menor. El método. S. de bisección tiene la importante propiedad de que siempre converge a una solución.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Teorema 1.31 Suponer que f ∈ C[a, b] y f (a) · f (b) < 0. El método de bisección que se usa en el algoritmo genera una sucesión {pn }∞ n=o que aproxima a una raı́z de p de f , tal que. |pn − p| =. Demostración: . b−a , donde n ≥ 1. 2n. La demostración se encuentra en [2], teorema 2.1. Iteración del punto fijo. Definición 1.40 (Punto fijo) Un punto fijo de una función g es un número p, tal que g(p) = p.. T. E. Los problemas de búsqueda de raı́ces y los de punto fijo son equivalentes en el. O. siguiente sentido: Dado un problema de buscar una raı́z f (p) = 0, se puede definir. LI. una función g con un punto fijo en p de la forma g(x) = x − f (x). Por lo contrario, si. IB. la función g tiene un punto fijo en p, entonces la función definida por f (x) = x−g(x). B. tiene una raı́z en p. En el siguiente teorema se presentan condiciones para la existencia y unicidad del punto fijo. Teorema 1.32 Si g ∈ C[a, b] y g(x) ∈ [a, b], ∀x ∈ [a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b]. Si además g 0 (x) existe en (a, b) y existe una constante positiva 0 < k < 1 con |g 0 (x)| ≤ k, ∀ x ∈ (a, b), entonces el punto fijo en [a, b] es único.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Métodos numéricos para solucionar ecuaciones de una variable. 24. Demostración: . La demostración se encuentra en [2], teorema 2.2. Para aproximar el punto fijo de una función g, se elige una aproximacı́on inicial p0 y se genera la sucesión {pn }∞ n=0 haciendo pn = g(pn−1 ), ∀ n ≥ 1. Si la sucesión converge. n→∞. n→∞. S. n→∞. IC. p = lı́m pn = lı́m g(pn−1 ) = g( lı́m pn−1 ) = g(p). A. S. en p y si g es continua, entonces. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. y se obtiene una solución con x = g(x). Este método recibe el nombre de iteración del punto fijo o iteración funcional.. Teorema 1.33 (Teorema del punto fijo) Sea g ∈ C[a, b] tal que g(x) ∈ [a, b], ∀x ∈ [a, b]. Además suponer que existe g 0 (x) en (a, b) y una constante positiva 0 < k < 1 tales que |g 0 (x)| ≤ k, ∀ x ∈ (a, b), entonces para cualquier número p0 en [a, b], la sucesión definida por. pn = g(pn−1 ), ∀ n ≥ 1. converge al único punto fijo p en [a, b]. Demostración: . T. E. La demostración se encuentra en [2], teorema 2.3.. O. Corolario 1.4 Si g satisface las hipótesis del teorema anterior, las cotas del error. |pn − p| ≤ k n máx{p0 − a, b − p0 }. B. IB. LI. que supone utilizar pn para aproximar a p están dadas por. y por |pn − p| ≤ Demostración: . kn (p1 − p0 ), ∀ n ≥ 1. 1−k. La demostración se encuentra en [2], corolario 2.4.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. S. Capı́tulo II. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Método de aproximación para. minimizar problemas cóncavos mediante problemas de programación lineal. La siguiente Figura 2.1 es la representación geométrica del tipo de problemas de. E. minimización de funciones objetivos cóncavas diferenciables sobre una región factible. B. IB. LI. O. T. convexa y compacta, que se resuelven usando la programación lineal.. Figura 2.1: Problema de minimización cóncava.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Condición de optimalidad global. 2.1.. 26. Condición de optimalidad global. Considerar el problema de minimización cuasicóncava mı́n f (x). S. (2.1). A. s.a. x ∈ D,. IC. donde f : Rn −→ R es una función cuasicóncava diferenciable y D es un conjunto. ver [14].. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. convexo en Rn , entonces el siguiente teorema generaliza el resultado de Strekalovsky,. Teorema 2.1 Sea z una solución óptima global del problema (2.1), y sea Ec (f ) = {y ∈ Rn / f (y) = c},. entonces. (x − y)T ∇f (y) ≥ 0, ∀ y ∈ Ef (z) (f ), ∀ x ∈ D.. (2.2). Si además, ∇f (y) 6= 0, ∀ y ∈ Ef (z) (f ), entonces la condición (2.2) es suficiente para afirmar que z ∈ D es una solución óptima global del problema (2.1).. E. Demostración: . T. Necesaria. Suponer que z es un mı́nimo global del problema (2.1) y sea y ∈ Ef (z) (f ). O. y x ∈ D, entonces se tiene f (x) ≥ f (y), luego f (x) − f (y) ≥ 0. Dado que la función. LI. f es cuasicóncava, resulta que f (αx + (1 − α)y) ≥ mı́n{f (x), f (y)} = f (y) para. IB. todo α ∈ [0, 1], esto implica f (y + α(x − y)) ≥ f (y) para todo α ∈ [0, 1], luego. B. f (y + α(x − y)) − f (y) ≥ 0 para todo α ∈ [0, 1]. Por la formula de Taylor, existe una. vecindad en el punto y en el cual: f (y + α(x − y)) = f (y) + (α(x − y))T ∇f (y) + o(α(x − y)), ∀ α > 0, donde. o(α(x − y)) = 0, pero esto es equivalente a escribir kα(x−y)k→0 kα(x − y)k2 lı́m. f (y + α(x − y)) = f (y) + α(x − y)T ∇f (y) + α. U.N.T. o(αkx − yk) , ∀ α > 0, α. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Condición de optimalidad global. 27. o(αkx − yk) = 0, luego por ser f una función cuasicóncava se tiene α→0 α o(αkx − yk) T f (y + α(x − y)) − f (y) = α (x − y) ∇f (y) + ≥ 0, ∀ α > 0, α. con lı́m. o(αkx − yk) = 0, esto implica (x − y)T ∇f (y) ≥ 0, ∀ y ∈ Ef (z) (f ), α→0 α ∀ x ∈ D.. IC. A. S. y lı́m. Suficiente. Por contraposición, suponer que z no es un mı́nimo global del problema. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. (2.1), es decir, existe un u ∈ D tal que f (u) < f (z). Dado que la función es cuasi cóncava, entonces el conjunto de nivel superior Uf (z) (f ) = {x ∈ Rn / f (x) ≥ f (z)} es un conjunto convexo y además es cerrado . Tener en cuenta que int Uf (z) (f ) 6= ∅, pues z ∈ Uf (z) (f ), de acuerdo con la hipótesis del teorema 1.4. Denotar la proyección de u sobre Uf (z) (f ) por y, es decir, P ry ky − uk =. Uf (z) (f ). u = y, y se satisface. mı́n. kx − uk.. x∈Uf (z) (f ). De donde, se tiene que. ky − uk > 0. (2.3). ya que u ∈ / Uf (z) (f ). Además, y es considerado una solución del siguiente problema. 1 mı́n g(x) = kx − uk2 2. s.a. x ∈ Uf (z) (f ).. IB. LI. O. T. E. de minimización convexa. B. Como Uf (z) (f ) 6= ∅ y convexo, la restricción tiene la condición de cualificación.. Bajo esta condición, y es una solución para el problema anterior, si y sólo si, existe un multiplicador de Lagrange λ tal que (y, λ) es solución del siguiente problema. complementario no lineal mixto: ∇g(y) − λ∇f (y) = 0 λ(f (z) − f (y)) = 0 f (z) − f (y) ≤ 0, λ > 0.. U.N.T. (2.4). Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Condición de optimalidad global. 28. Si λ = 0, entonces se tiene que ∇g(y) = y − u = 0, que contradice (2.3). Luego para λ > 0 en (2.4), se obtiene y − u − λ∇f (y) = 0, λ > 0,. A. S. f (y) = f (z).. S. ku − yk2 = (u − y)T ∇f (y), λ > 0, λ. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. −. IC. Lo cual implica. f (y) = f (z).. De esto, se concluye que (u − y)T ∇f (y) < 0, lo cual contradice (2.2). Por lo tanto z es una solución óptima global del problema (2.1).. . Del teorema 2.1 se tiene que un punto z 0 ∈ D no es solución óptima global del problema (2.1) si existen x, y ∈ Rn tal que. (x − y)T ∇f (y) < 0, f (y) = f (z 0 ), x ∈ D.. En el siguiente ejemplo se muestra está afirmación.. mı́n f (x1 , x2 ) =. x21 + x22 1 − x1 − x2. s.a. 0.6 ≤ x1 ≤ 7, 0.6 ≤ x2 ≤ 2.. B. IB. LI. O. T. E. Ejemplo 2.1 Sea el problema de minimización cuasicóncava. donde f : R2 −→ R es una función cuasicóncava diferenciable y D = [0.6, 7] × [0.6, 2] es un polı́topo en R2 . Las Figuras 2.2 y 2.3 son las representaciones geométricas del problema de. minimización cuasicóncava.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 29. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. 2.1 Condición de optimalidad global. Figura 2.2: Región factible y curvas de nivel del problema. Los puntos A = (0.6, 0.6)T , B = (0.6, 2)T , C = (7, 2)T y D = (7, 0.6)T son los vértices de la región factible D. Las curvas de nivel de la función objetivo se obtienen de la ecuación. B. IB. LI. O. T. E. k k k 2 + 2k (x1 + )2 + (x2 + )2 = , ∀ k ∈ R− < −2, 0 > 2 2 2 q 2 y son circunferencias con centro en c = (− k2 , − k2 ) y de radio r = k +2k . 2. Figura 2.3: Función objetivo cuasicóncava del problema.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Condición de optimalidad global. 30. de donde se observa lo siguiente: 1. La región factible es un poliedro acotado (polı́topo). 2. Las curvas de nivel de la función objetivo son circunferencias.. A IC. S. 4. El punto factible (7, 0.6)T es la solución óptima global.. S. 3. El punto factible (0.6, 0.6)T es una solución óptima local.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 5. La solución óptima local y global son puntos extremos. 6. La función objetivo es cuasicóncava.. Esta última afirmación se puede demostrar usando la validez de una de las siguientes afirmaciones que son equivalentes:. 1. Si x1 , x2 ∈ D y f (x1 ) ≥ f (x2 ) ⇒ ∇f (x2 )T (x1 − x2 ) ≤ 0. 2. Si x1 , x2 ∈ D y ∇f (x2 )T (x1 − x2 ) < 0 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). El gradiente de la función es . E. ∇f (x) =. x22 − 2x1 x2 − x21 + 2x1 x21 − 2x1 x2 − x22 + 2x2 , (1 − x1 − x2 )2 (1 − x1 − x2 )2. T ,. O. T. para comprobar que el punto factible A = (0.6 , 0.6)T que es un vértice en D,. LI. es un mı́nimo local para el problema y no un mı́nimo global, entonces elegir un. IB. par de puntos x = (5, 2)T ∈ D y y = (3, 3)T ∈ Ef (A) (f ) tal que, se satisface. B. f (y) = f (A) = −3.6, además se tiene (x − y)T ∇f (y) = − 12 < 0, por tanto el punto 15 A ∈ D no es una solución óptima global para el problema.. U.N.T. Escuela de Matemáticas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.
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