CONJUNTO GENERADOR PARTE 1
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(2) Sergio Yansen Núñez Despejando las variables x e y se obtiene: x = − 35 t 1 5. y=. t. x, y, z ∈ W x, y, z = − 35 t , x, y, z = t− 35 ,. 1 5. 1 5. t , t. , 1. Luego, x, y, z ∈ W x, y, z ∈ − 35 , Un conjunto generador de W es − 35 ,. 1 5. 1 5. , 1. , 1. Otro conjunto generador de W es por ejemplo −3, 1, 5. 3.. Determine un conjunto generador para x, y, z, u ∈ IR 4 / x − y + z + u = 0 , 2x + 3y + z − 2u = 0. W= Solución:. x−y+z+u = 0 2x + 3y + z − 2u = 0 Formado la matriz aumentada: 1 −1 1 2. 1. 0. 1 −2 0. 3. La matriz escalonada reducida es: 1 0 0 1. 4 5 − 15. 1 5 − 45. 0 0. Las tercera y cuarta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z y u serán los paramétros Sean z = t , u = λ. ; t , λ ∈ IR. Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x+. 4 5. t+. 1 5. λ=0. Espacio generado - Conjunto generador.
(3) Sergio Yansen Núñez y−. 1 5. t−. 4 5. λ=0. Despejando las variables x e y se obtiene: x = − 45 t −. 1 5. 1 5. λ. y=. t+. 4 5. λ. x, y, z, u ∈ W x, y, z, u = − 45 t −. 1 5. λ,. 1 5. t+. 4 5. λ , t , λ. x, y, z, u = − 45 t ,. 1 5. t , t , 0 + − 15 λ ,. 4 5. λ , 0 , λ. x, y, z, u = t− 45 ,. 1 5. , 1 , 0 + λ− 15 ,. 4 5. , 0 , 1. Luego, x, y, z, u ∈ W x, y, z, u ∈ − 45 , Un conjunto generador de W es − 45 ,. 1 5. 1 5. , 1 , 0 , − 15 ,. , 1 , 0 , − 15 ,. 4 5. 4 5. , 0 , 1. , 0 , 1. Otro conjunto generador es por ejemplo: −4 , 1 , 5 , 0 , −1 , 4 , 0 , 5. 4.. Determine un conjunto generador para W = x, y, z, u, v ∈ IR 5 / x + 3y − z + u − v = 0 , 4x + y + z − u + 3v = 0. Solución: x + 3y − z + u − v = 0 4x + y + z − u + 3v = 0 Formado la matriz aumentada: 1 3 −1. 1. −1 0. 4 1. −1. 3. 1. 0. La matriz escalonada reducida es: 1 0 0 1. 4 11 5 − 11. 4 − 11 5 11. 10 11 7 − 11. 0 0. Las tercera , cuarta y quinta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z , u y v serán los paramétros Sean z = t , u = λ , v = μ ; t , λ , μ ∈ IR. Espacio generado - Conjunto generador.
(4) Sergio Yansen Núñez Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x+. 4 11. t−. 4 11. λ+. 10 11. μ=0. y−. 5 11. t+. 5 11. λ−. 7 11. μ=0. Despejando las variables x e y se obtiene: 4 t+ x = − 11. y=. 5 11. 4 11. 5 11. t−. λ−. λ+. 10 11. 7 11. μ. μ. x, y, z, u, v ∈ W x, y, z, u, v 4 t+ = − 11. 4 11. λ−. 10 11. μ,. 5 11. t−. 5 11. 7 11. λ+. μ , t , λ , μ. x, y, z, u, v = 4 t, − 11. 5 11. 4 t, t , 0 , 0 + 11 λ, −. 5 11. λ , 0 , λ , 0 + − 10 μ, 11. 5 11. , 0 , 1 , 0 + μ− 10 , 11. 7 11. μ , 0 , 0 , μ. x, y, z, u, v = 4 , t− 11. 5 11. 4 , 1 , 0 , 0 + λ 11 , −. 7 11. , 0 , 0 , 1. Luego, x, y, z, u, v ∈ W x, y, z, u, v ∈ 4 − 11 ,. 5 11. 4 , 1 , 0 , 0 , 11 , −. 5 11. , 0 , 1 , 0 , − 10 , 11. 7 11. , 0 , 0 , 1. Un conjunto generador de W es 4 − 11 ,. 5 11. 4 , 1 , 0 , 0 , 11 , −. 5 11. , 0 , 1 , 0 , − 10 , 11. 7 11. , 0 , 0 , 1. Otro conjunto generador es por ejemplo: −4 , 5, 11 , 0 , 0 , 4 , − 5 , 0 , 11 , 0 , −10 , 7 , 0 , 0 , 11. Espacio generado - Conjunto generador.
(5) Sergio Yansen Núñez 5.. Determine un conjunto generador para. W=. x, y, z, u, v; w ∈ IR 6 / x + 2y + z + u + 2v = 0 , x + 2y + 2z + u + 3v = 0. Solución: x + 2y + z + u + 2v = 0 x + 2y + 2z + u + 3v = 0 Formado la matriz aumentada: 1 2 1 1 2 0 1 2 2 1 3 0 La matriz escalonada reducida es: 1 2 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 Las segunda , cuarta y quinta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables y , u y v serán los paramétros Sean y = t , u = λ , v = μ ; t , λ , μ ∈ IR Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x + 2t + λ + μ = 0 z+μ = 0 Despejando las variables x y z se obtiene: x = −2t − λ − μ z = −μ x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w = −2t − λ − μ , t , − μ , λ , μ , w x, y, z, u, v, w = −2t, t , 0 , 0 , 0 , 0 + −λ , 0 , 0 , λ , 0 , 0 + −μ , 0 , − μ , 0 , μ , 0 + 0, 0 , 0 , 0 , 0 , w. Espacio generado - Conjunto generador.
(6) Sergio Yansen Núñez x, y, z, u, v, w = t−2, 1 , 0 , 0 , 0 , 0 + λ−1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 + μ−1 , 0 , − 1 , 0 , 1 , 0 + w0, 0 , 0 , 0 , 0 , 1 Luego, x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w ∈ −2, 1, 0, 0, 0, 0 , −1, 0, 0, 1, 0, 0 , −1, 0, −1, 0, 1, 0 , 0, 0, 0, 0, 0, 1 Un conjunto generador de W es −2, 1, 0, 0, 0, 0 , −1, 0, 0, 1, 0, 0 , −1, 0, −1, 0, 1, 0 , 0, 0, 0, 0, 0, 1. 6.. Determine un conjunto generador para. W=. x, y, z, u, v; w ∈ IR 6 / x + z + 2v = 0 , x − y + w + v = 0 , x + z − u − v = 0. Solución: x + z + 2v = 0 x−y+v+w = 0 x+z−u−v = 0 Formado la matriz aumentada: 1. 1. 0. 2. 0 0. 1 −1 0. 0. 1. 1 0. 1. 0 0. 1 −1 −1 0 0. La matriz escalonada reducida es: 1 0 1 0 2. 0. 0. 0 1 1 0 1 −1 0 0 0 0 1 3. 0. 0. Las tercera, quinta y sexta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z , v y w serán los paramétros Sean z = t , v = λ , w = μ ; t , λ , μ ∈ IR. Espacio generado - Conjunto generador.
(7) Sergio Yansen Núñez Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x + t + 2λ = 0 y+t+λ−μ = 0 u + 3λ = 0 Despejando las variables x , y y u se obtiene: x = −t − 2λ y = −t − λ + μ u = −3λ x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w = −t − 2λ , − t − λ + μ , t , − 3λ , λ , μ x, y, z, u, v, w = −t , − t , t , 0 , 0 , 0 + −2λ , − λ , 0 , − 3λ , λ , 0 + 0 , μ , 0 , 0 , 0 , μ x, y, z, u, v, w = t−1 , − 1 , 1 , 0 , 0 , 0 + λ−2 , − 1 , 0 , − 3 , 1 , 0 + μ0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 Luego, x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w ∈ −1 , − 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , −2 , − 1 , 0 , − 3 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 Un conjunto generador de W es −1 , − 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , −2 , − 1 , 0 , − 3 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1. Espacio generado - Conjunto generador.
(8) Sergio Yansen Núñez 7.. Determine un conjunto generador para a b. W=. ∈ M 2 IR / a = −b , d = 0. c d. Solución: a b c d a b c d a b c d a b c d. ∈W. c d. −b b. =. =. a b. . 0 b. ∈W. 0. +. −1 1 0 . +c. 0. a b c d. Un conjunto generador de W es. −b b. =. c. 0. 0 0 c 0 0 0 1 0 −1 1. ∈. 0. −1 1 0. 0. 0 ,. ,. 0 0 1 0. Espacio generado - Conjunto generador. 0 0 1 0.
(9) Sergio Yansen Núñez Determine un conjunto generador para W =. 8.. A ∈ M 2 IR / A t = A. Solución: a b. A=. Sea. a c. ⇔. ∈W. c d. a b. =. b d. ⇔ At = A. c d. a=a c=b b=c d=d Luego, b = c A=. A=. A=a a b c d a b c d. a b c d a 0 0 0 1 0 0 0 ∈W. ∈. ∈W. ⇔ 0 c. +. +. c 0. +c. a c. A=. 0 1. c d 0 0 0 d 0 0. +d. 1 0. 0 1. 1 0 0 0. ,. Un conjunto generador de W es. 0 1 1 0 1 0 0 0. 0 0. ,. 0 1 ,. 0 1 1 0. Espacio generado - Conjunto generador. ,. 0 0 0 1.
(10) Sergio Yansen Núñez Determine un conjunto generador para W =. 9.. A ∈ M 3 IR / A t = −A. Solución: a b c Sea. A=. d e f. ∈W. ⇔ A t = −A. g h i −a −b −c. a d g ⇔. =. b e h. −d −e −f −g −h −i. c f i a = −a. d = −b. g = −c. b = −d. e = −e. h = −f. c = −g. f = −h. i = −i. Luego, a = 0 , d = −b , g = −c , e = 0 , h = −f , i = 0 a b c A=. 0 ∈W. d e f. ⇔. A=. A=. b 0. 1 0 +c. −1 0 0 0. 0. 0 c. f. 0. 0 0. 0 0 0 +. 0 0. −c 0 0. 0 0 0. A=b. +. −b 0 0 0. −b 0. −c −f 0. g h i 0. b c. 0. 0 1. 0. 0 0. 0 −f 0. +f. −1 0 0. 0 0. f. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0 −1 0. a b c d e f. ∈W. g h i a b c . d e f g h i. 0 ∈. 1 0. −1 0 0 0. 0 0. ,. 0. 0 1. 0. 0 0. −1 0 0. Espacio generado - Conjunto generador. ,. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0 −1 0.
(11) Sergio Yansen Núñez Un conjunto generador de W es 0. 1 0. −1 0 0 0. 0 0. ,. 0. 0 1. 0. 0 0. ,. −1 0 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0 −1 0. 10.. Determine un conjunto generador de. W=. px = ax 2 + bx + c ∈ IR 2 x / a + b + c = 0 .. Solución: a+b+c = 0 c = −a − b px = ax 2 + bx + c ∈ W. ⇔. px = ax 2 + bx − a − b. px = ax 2 − 1 + bx − 1 px = ax 2 + bx + c ∈ W. ⇔ px ∈. x2 − 1 , x − 1. Luego, un conjunto generador de W es x 2 − 1 , x − 1. 11.. Determine un conjunto generador de W =. px ∈ IR 2 x / p−1 = 0 .. Solución: px = ax 2 + bx + c ∈ W. ⇔. p−1 = 0. ⇔. px = ax 2 + bx − a + b. a−b+c = 0 c = −a + b px = ax 2 + bx + c ∈ W px = ax 2 − 1 + bx + 1 px = ax 2 + bx + c ∈ W. ⇔ px ∈. x2 − 1 , x + 1. Luego, un conjunto generador de W es x 2 − 1 , x + 1. Espacio generado - Conjunto generador.
(12) Sergio Yansen Núñez 12.. px ∈ IR 3 x / p1 = p ′ 1 = 0 .. Determine un conjunto generador de W =. Solución: Sea. px = ax 3 + bx 2 + cx + d. px = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ W. p ′ x = 3ax 2 + 2bx + c. ⇒ ⇔. p1 = 0. ⇒. a+b+c+d = 0. p ′ 1 = 0. ⇒. 3a + 2b + c = 0. p1 = 0. ∧. p ′ 1 = 0. a+b+c+d = 0 3a + 2b + c = 0 1 1 1 1 0. Formando la matriz aumentada:. 3 2 1 0 0 1 0 −1 −2 0. La matriz escalonada reducida es:. 0 1. 2. 3. 0. Las tercera y cuarta columna no tienen pivote, por lo tanto c y d serán los parámetros. Sean c = t , d = λ. ;. t , λ ∈ IR. Las ecuaciones son: a − t − 2λ = 0 b + 2t + 3λ = 0 Despejando a y b , se obtiene: a = t + 2λ b = −2t − 3λ px = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ W. ⇔. px = t + 2λx 3 + −2t − 3λx 2 + tx + λ. px = tx 3 − 2x 2 + x + λ2x 3 − 3x 2 + 1 px = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ W. ⇔ px ∈. x 3 − 2x 2 + x , 2x 3 − 3x 2 + 1. Luego, un conjunto generador de W es x 3 − 2x 2 + x , 2x 3 − 3x 2 + 1. Espacio generado - Conjunto generador.
(13) Sergio Yansen Núñez 13.. Determine un conjunto generador de W =. 1. px ∈ IR 3 x / p0 = ∫ pxdx . 0. Solución: px = ax 3 + bx 2 + cx + d. Sea. ∫ax 3 + bx 2 + cx + ddx = 1. ∫ 0 ax 3 + bx 2 + cx + ddx =. 1 4. 1 3. ax 4 + 1 4. bx 3 +. 1 2. cx 2 + dx + cte. a+. 1 3. b+. 1 2. c+d. d=. 1 4. a+. 1 3. b+. p0 = d 1. p0 = ∫ pxdx. ⇒. 0. 1 4. a+. 1 3. b+. 1 2. 1 2. c+d. c=0. 3a + 4b + 6c = 0 c = − 12 a −. 2 3. b. px = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ W px = a x 3 −. 1 2. x + b x2 −. px = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ W. ⇔ 2 3. px = ax 3 + bx 2 + − 12 a −. x +d⋅1 ⇔ px ∈. Luego, un conjunto generador de W es x 3 −. x3 − 1 2. 1 2. x , x2 −. x , x2 − 2 3. x, 1. Espacio generado - Conjunto generador. 2 3. x, 1. 2 3. b x+d.
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