CONJUNTO GENERADOR PARTE 2

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(1)Sergio Yansen Núñez 1.. Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 3 generado por 1, 2, 3 , 2, 3, 1 .. Solución: Sea x, y, z ∈ 1, 2, 3 , 2, 3, 1 , entonces existen α y β ∈ IR tales que x, y, z = α1, 2, 3 + β2, 3, 1 x, y, z = α + 2β, 2α + 3β, 3α + β α + 2β = x 2α + 3β = y 3α + β = z Formando la matriz aumentada: 1 2 x 2 3 y 3 1 z Escalonando la matriz: 1 2 x 2 3 y 3 1 z. f 21 −2 f 31 −3. 1 2. x. 0 1. −y + 2x. 1. 2. x. 0 −1 y − 2x. f 2 −1. 0 −5 z − 3x. 0 0 z − 3x + 5−y + 2x. =. 1. 2. x. 0. 1. −y + 2x. 0 −5. 1 2. x. 0 1. −y + 2x. z − 3x. 0 0 z + 7x − 5y. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que z + 7x − 5y = 0 Luego, 1, 2, 3 , 2, 3, 1 =. x, y, z ∈ IR 3 / z + 7x − 5y = 0. Espacio generado - Conjunto generador. f 32 5.

(2) Sergio Yansen Núñez Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 4 generado por. 2.. 1, 1, 1, 1 , 1, 1, −1, −1 . Solución: Sea x, y, z, u ∈ 1, 1, 1, 1 , 1, 1, −1, −1 , entonces existen α y β ∈ IR tales que x, y, z, u = α1, 1, 1, 1 + β1, 1, −1, −1 x, y, z, u = α + β, α + β, α − β, α − β α+β = x α+β = y α−β = z α−β = u Formando la matriz aumentada: 1. 1. x. 1. 1. y. 1 −1 z 1 −1 u Escalonando la matriz: 1. 1. x. 1. 1. y. 1 −1 z 1 −1 u 1. 1. f 21 −1 f 31 −1 f 41 −1. 1. 1. x. 0. 0. y−x. 0 −2 u − x 1. z−x. 0. 0. y−x. 0. 0. u − x − z − x. f 23. 0 −2 z − x. x. 0 −2. 1. =. 1. 1. x. 0 −2 z − x 0. 0. y−x. f 42 −1. 0 −2 u − x x. 0 −2 z − x 0. 0. y−x. 0. 0. u−z. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que y − x = 0 Luego, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, −1, −1 =. ∧ u−z = 0. x, y, z, u ∈ IR 4 / y − x = 0 , u − z = 0. Espacio generado - Conjunto generador.

(3) Sergio Yansen Núñez Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 4 generado por. 3.. 1, 1, 2, 1 , 1, 2, 3, −1, 1, 3, 4, 2. .. Solución: Sea x, y, z, u ∈ 1, 1, 2, 1 , 1, 2, 3, −1, 1, 3, 4, 2 , entonces existen α , β y γ ∈ IR tales que. x, y, z, u = α1, 1, 2, 1 + β1, 2, 3, −1 + γ1, 3, 4, 2. x, y, z, u = α + β + γ, α + 2β + 3γ, 2α + 3β + 4γ, α − β + 2γ α+β+γ = x α + 2β + 3γ = y 2α + 3β + 4γ = z α − β + 2γ = u Formando la matriz aumentada: 1. 1. 1 x. 1. 2. 3 y. 2. 3. 4 z. 1 −1 2 u Escalonando la matriz: 1. 1. 1 x. 1. 2. 3 y. 2. 3. 4 z. f 21 −1 f 31 −2 f 41 −1. 1 −1 2 u 1 1 1. x. 0 1 2. y−x. 0 0 0. z−x−y. 0 0 5 u − 3x + 2y. 1. 1. 1. x. 0. 1. 2 y−x. 0. 1. 2 z − 2x. 1 1 1. x. f 32 −1. 0 1 2. y−x. f 42 2. 0 0 0 z − 2x − y − x. 0 −2 1 u − x. f 34. 0 0 5 u − x + 2y − x. 1 1 1. x. 0 1 2. y−x. 0 0 5 u − 3x + 2y 0 0 0. z−x−y. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que z − x − y = 0 Luego, 1, 1, 2, 1 , 1, 2, 3, −1, 1, 3, 4, 2 =. x, y, z, u ∈ IR 4 / z − x − y = 0. Espacio generado - Conjunto generador. =.

(4) Sergio Yansen Núñez 4.. Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 5 generado por 1, 1, 1, 1, 4 , 1, 1, 2, 2, 6, −1, −1, 1, 1, 0 .. Solución: Sea x, y, z, u, v ∈ 1, 1, 1, 1, 4 , 1, 1, 2, 2, 6 , −1, −1, 1, 1, 0 , entonces existen α , β y γ ∈ IR tales que x, y, z, u, v = α1, 1, 1, 1, 4 + β1, 1, 2, 2, 6 + γ−1, −1, 1, 1, 0 x, y, z, u, v = α + β − γ, α + β − γ, α + 2β + γ, α + 2β + γ, 4α + 6β α+β−γ = x α+β−γ = y α + 2β + γ = z α + 2β + γ = u 4α + 6β = v Formando la matriz aumentada: 1 1 −1 x 1 1 −1 y 1 2. 1. z. 1 2. 1. u. 4 6. 0. v. Escalonando la matriz: 1 1 −1 x 1 1 −1 y 1 2. 1. z. 1 2. 1. u. 4 6. 0. v. f 21 −1 f 31 −1 f 41 −1 f 51 −4. 1 1 −1. 1 1 −1. x. 0 0. 0. y−x. 0 1. 2. z−x. 0 1. 2. 0 2. 4. x. 0 2. 4. v − 4x. 0 1. 2. z−x. u−x. 0 1. 2. u−x. v − 4x. 0 0. 0. y−x. f 25. Espacio generado - Conjunto generador. f 23.

(5) Sergio Yansen Núñez 1 1 −1. 1 1 −1. x. 0 1. 2. z−x. 0 2. 4. v − 4x. 0 1. 2. u−x. 0 0. 0. y−x. 1 1 −1. x. 0 1. 2. z−x. 0 0. 0. v − 2x − 2z. 0 0. 0. u−z. 0 0. 0. y−x. f 32 −2 f 42 −1. x. 0 1. 2. z−x. 0 0. 0. v − 4x − 2z − x. 0 0. 0. u − x − z − x. 0 0. 0. y−x. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que v − 2x − 2z = 0. ∧ u−z = 0. ∧ y−x = 0. Luego, 1, 1, 1, 1, 4 , 1, 1, 2, 2, 6 , −1, −1, 1, 1, 0 = x, y, z, u, v ∈ IR 5 / v − 2x − 2z = 0 , u − z = 0 , y − x = 0. Espacio generado - Conjunto generador. =.

(6) Sergio Yansen Núñez 5.. Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 5 generado por 1, 1, 1, 2, 1 , 1, 1, 2, 3, 1, 1, −1, 1, 0, 1 .. Solución: Sea x, y, z, u, v ∈ 1, 1, 1, 2, 1 , 1, 1, 2, 3, 1 , 1, −1, 1, 0, 1 , entonces existen α , β y γ ∈ IR tales que x, y, z, u, v = α1, 1, 1, 2, 1 + β1, 1, 2, 3, 1 + γ1, −1, 1, 0, 1 x, y, z, u, v = α + β + γ, α + β − γ, α + 2β + γ, 2α + 3β, α + β + γ α+β+γ = x α+β−γ = y α + 2β + γ = z 2α + 3β = u α+β+γ = v Formando la matriz aumentada: 1 1. 1. x. 1 1 −1 y 1 2. 1. z. 2 3. 0. u. 1 1. 1. v. Escalonando la matriz: 1 1. 1. x. 1 1 −1 y 1 2. 1. z. 2 3. 0. u. 1 1. 1. v. f 21 −1 f 31 −1 f 41 −2 f 51 −1. 1 1. 1. x. 1 1. 1. x. 0 0 −2. y−x. 0 1. 0. z−x. 0 1. z−x. 0 0 −2. y−x. 0. f 12. 0 1 −2 u − 2x 0 0. 0. v−x. Espacio generado - Conjunto generador. 0 1 −2 u − 2x 0 0. 0. v−x. f 42 −1.

(7) Sergio Yansen Núñez 1 1. 1. x. 1 1. 1. x. 0 1. 0. z−x. 0 1. 0. z−x. 0 0 −2. y−x. 0 0 −2. y−x. =. 0 0 −2 u − 2x − z − x. f 43 −1. 0 0 −2 u − x − z v−x. 0 0. 0. v−x. 1 1. 1. x. 1 1. 1. x. 0 1. 0. z−x. 0 1. 0. z−x. 0 0 −2. y−x. 0 0 −2. y−x. 0 0. =. 0. 0 0. 0. u − x − z − y − x. 0 0. 0. u−z−y. 0 0. 0. v−x. 0 0. 0. v−x. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que u − z − y = 0 Luego, 1, 1, 1, 2, 1 , 1, 1, 2, 3, 1 , 1, −1, 1, 0, 1 = x, y, z, u, v ∈ IR 5 / u − z − y = 0 , v − x = 0. Espacio generado - Conjunto generador. ∧ v−x = 0.

(8) Sergio Yansen Núñez Determine explícitamente el subespacio vectorial de M 2 IR generado por. 6.. 1 2. ,. 2 5. −1. 1. .. −1 −1. Solución: a b. Sea. 1 2. ∈. c d. 1. ,. 2 5. −1. −1 −1. , entonces existen. α y β ∈ IR tales que a b. =α. c d a b. =. c d. 1 2 2 5 α+β. 1. +β. −1. −1 −1. 2α − β. 2α − β 5α − β. α+β = a 2α − β = b 2α − β = c 5α − β = d Formando la matriz aumentada: 1. 1. a. 2 −1 b 2 −1 c 5 −1 d Escalonando la matriz: 1. 1. a. 2 −1 b 2 −1 c 5 −1 d. f 21 −2 f 31 −2 f 41 −5. 1. 1. a. 1. 1. a. 0 −3 b − 2a. f 32 −1. 0 −3. 0 −3 c − 2a. f 42 −2. 0. 0. c − 2a − b − 2a. 0. 0. d − 5a − 2b − 2a. 0 −6 d − 5a. Espacio generado - Conjunto generador. b − 2a. =.

(9) Sergio Yansen Núñez 1. 1. a. 0 −3. b − 2a. 0. 0. c−b. 0. 0. d − a − 2b. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que c − b = 0. ∧ d − a − 2b = 0. Luego, 1 2. 1. ,. 2 5. −1. a b. =. −1 −1. ∈ M 2 IR / c − b = 0 , d − a − 2b = 0. c d. Determine explícitamente el subespacio vectorial de M 2 IR generado por. 7.. 1 1. ,. 1 3. 1. 2. −1 2. Solución: Sea. a b c d. c d. c d =. ,. 1 3. a b. tales que. a b. 1 1. ∈. α+β. =α. 1 1 1 3. 1. 2. , entonces existen α y β ∈ IR. −1 2 +β. 1. 2. −1 2. α + 2β. α − β 3α + 2β. α+β = a α + 2β = b α−β = c 3α + 2β = d. Espacio generado - Conjunto generador.

(10) Sergio Yansen Núñez Formando la matriz aumentada: 1. 1. a. 1. 2. b. 1 −1 c 3. 2. d. Escalonando la matriz: 1. 1. a. 1. 2. b. f 21 −1 f 31 −1. 1 −1 c 3. 2. f 41 −3. d. 1 1. a. 0 1. b−a. 1. 1. a. 0. 1. b−a. 0 −2. c−a. 1 1. a. f 32 2. 0 1. b−a. f 42 1. 0 0 c − a + 2b − a. 0 −1 d − 3a. 0 0. =. d − 3a + b − a. 0 0 c − 3a + 2b 0 0 d − 4a + b Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que c − 3a + 2b = 0. ∧ d − 4a + b = 0. Luego, 1 1 1 3. ,. 1. 2. −1 2. =. a b c d. ∈ M 2 IR / c − 3a + 2b = 0 , d − 4a + b = 0. Espacio generado - Conjunto generador.

(11) Sergio Yansen Núñez Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 2 x generado por. 8.. x2 + 1 , x2 − x . Solución: Sea ax 2 + bx + c ∈ x 2 + 1 , x 2 − x , entonces existen α y β ∈ IR tales que ax 2 + bx + c = αx 2 + 1 + βx 2 − x ax 2 + bx + c = α + βx 2 − βx + α α+β = a −β = b α=c Formando la matriz aumentada: 1. 1. a. 0 −1 b 1. 0. c. Escalonando la matriz: 1. 1. a. 0 −1 b 1. 0. 1 f 31 −1. 1. a. 0 −1. b. 1 f 32 −1. 0 −1 c − a. c. 1. a. 0 −1. b. 0. 0. c−a−b. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que c − a − b = 0 Luego, x 2 + 1 , x 2 − x =. ax 2 + bx + c ∈ IR 2 x / c − a − b = 0. Espacio generado - Conjunto generador.

(12) Sergio Yansen Núñez Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 3 x generado por. 9.. x 3 + x 2 + x + 3 , x 3 + x 2 − 2x . Solución: Sea ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ x 3 + x 2 + x + 3 , x 3 + x 2 − 2x , entonces existen α y β ∈ IR tales que ax 3 + bx 2 + cx + d = αx 3 + x 2 + x + 3 + βx 3 + x 2 − 2x ax 3 + bx 2 + cx + d = α + βx 3 + α + βx 2 + α − 2βx + 3α α+β = a α+β = b α − 2β = c 3α = d. Formando la matriz aumentada:. 1. 1. a. 1. 1. b. 1 −2 c 3. 0. d. Escalonando la matriz: 1. 1. a. 1. 1. b. 1 −2 c 3. 0. 1. 1. 0 −3. d. f 21 −1 f 31 −1 f 41 −3. 1. 1. a. 0. 0. b−a. 0 −3. c−a. 0. 0. c − a − d − 3a. 0. 0. b−a. f 24. 0 −3 d − 3a. a d − 3a. 1. 1 =. 1. 0 −3. 1. a. 0 −3 d − 3a 0 −3. c−a. 0. b−a. 0. f 32 −1. a d − 3a. 0. 0. c + 2a − d. 0. 0. b−a. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que c + 2a − d = 0 Luego, x 3 + x 2 + x + 3 , x 3 + x 2 − 2x = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ IR 3 x / c + 2a − d = 0 , b − a = 0. Espacio generado - Conjunto generador. ∧ b−a = 0.

(13) Sergio Yansen Núñez Determine explícitamente el subespacio vectorial de IR 3 x generado por. 10.. x3 + x2 , x3 + x , x3 + 1 . Solución: Sea ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ x 3 + x 2 , x 3 + x , x 3 + 1 , entonces existen α , β y γ ∈ IR tales que ax 3 + bx 2 + cx + d = αx 3 + x 2  + βx 3 + x + γx 3 + 1 ax 3 + bx 2 + cx + d = α + β + γx 3 + αx 2 + βx + γ α+β+γ = a α=b β=c γ=d Formando la matriz aumentada: 1 1 1 a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 d. Escalonando la matriz: 1 1 1 a 1 0 0 b 0 1 0 c. 1 f 21 −1. 0 0 1 d 1. 1. 1. 0 −1 −1. 1. 1. a. 0 −1 −1 b − a 0. 1. 0. c. 0. 0. 1. d. 1 f 32 1. 1. 1. 0 −1 −1. a b−a. 0. 0. −1 c + b − a. 0. 0. 1. d. a b−a. 0. 0. −1. c+b−a. 0. 0. 0. d+c+b−a. Para que el sistema tenga solución se debe cumplir que d + c + b − a = 0 Luego, x 3 + x 2 , x 3 + x , x 3 + 1 =. ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ IR 3 x / d + c + b − a = 0. Espacio generado - Conjunto generador. f 43 1.

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