CODEX LINEAL 2017

SOLUCIONARIO DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA

TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS

ESPACIOS VECTORIALES

SUB ESPACIOS VECTORIALES INDEPENDENCIA LINEAL

PRODUCTO INTERNO

CODEX

ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL

ALGEBRA LINEAL

CODEX

TOMO II

Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 4118-17

AUTORES: JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA PRIMERA EDICIÓN

SEPTIEMBRE , 2017 LA PAZ- BOLIVIA

QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL SIN FINES DE LUCRO

NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR

NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO

PROLOGO

El presente trabajo “CODEX ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL VOL.II”, En su primera edición contiene básicamente los temas:

ESPACIOS VECTORIALES Y PRODUCTO INTERIOR, son temas que se desarrollan en el segundo parcial en el Curso de Algebra Lineal en INGENIERÍA.

En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal.

Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país.

JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA

DEDICATORIA

“A NUESTRA FACULTAD DE INGENIERÍA, A TODOS LOS UMSISTAS DE CORAZÓN QUE AMAMOS

NUESTRA PRESTIGIOSA CASA DE ESTUDIO”

JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA

POEMA: ECUACIÓN DEL AMOR AUTOR: JOSE PAYE CHIPANA

PARA: BELEN ALEJANDRA REAS QUISPE SOLO NECESITO UN PEDAZO DE CARBÓN PARA ESCRIBIRLE QUE ELLA ES LA ECUACIÓN QUE MODELA MI CORAZÓN Y DEMOSTRARLE TODOS LOS DÍAS QUE MÍ AMOR

POR ELLA ES MAYOR AL INFINITO

A ESA NIÑA BONITA

QUE TIENE SOLUCIONES COMPLEJAS ASÍNTOTAS NEGATIVAS PERO PARA MÍ ES LA SOLUCIÓN PERFECTA

AL VERTE PIENSO QUE ERES

UN LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

QUIERO SER TU TEOREMA FUNDAMENTAL Y SER EL PLANO OSCULADOR QUE

ACARICIE TU DOMINIO REAL

A TI MUSA QUE VALORAS

LA VIDA TRIVIAL DE UN MATEMÁTICO DE INGENIERÍA

Y COMPRENDES EL VALOR DE MI INSPIRACIÓN YA QUE

SIN TU PRESENCIA Y COMPRESIÓN TUYA NO SERIA LA

MATRIZ IDENTIDAD DE TUS PENSAMIENTOS PARA TI MI

INTERVALO DE CONFIANZA TU AMOR ETERNO QUE ES UN

PUNTO EN ESTE MUNDO DE INFINITAS VARIABLES

JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA

 

ESPACIO VECTORIAL

Es un conjunto infinito “V” no vacío donde sus objetos son llamados vectores sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, siendo su Estructura^



^V,,



¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL?

Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores







u^ u^ u^ u^ u^_n

V ₁, ₂, ₃, ₄,... el otro de escalares ^K 



^k₁^,k₂^,k₃^,,...k_n



5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES Axioma (1). Clausura Para La Suma: u^₁u^₂  V

Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma:







₁u₂ u₂u₁ u

Axioma (3). Asociatividad Para La Suma: ^{    } ^



 

 





 

 

 _{2 3 1 2 3}

1 u u u u u

u

Axioma (4). Existencia Del Neutro “^” Aditivo: u^₁^u^₁ Axioma (5). Existencia Del Inverso “u^1” Aditivo: u^₁u^1 ^

5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR Axioma (6). Clausura Para El Producto: k^u₁ V

Axioma (7). Distributividad Del Producto Por Un Escalar Respecto A La Suma De Vectores:







  



 

 u₁ u₂ ku₁ ku₂ k

Axioma (8). Distributividad Del Producto De Un Vector Respecto A La Suma De Escalares:



k₁k₂



u^₁ k₁u^₁k₂u^₁

Axioma (9). Asociatividad Del Producto:

 





 







 ₂ ^_{1 1 2} ^₁

1 k u k k u

k

Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “k^*”: k^*u^₁u^₁k^* 1

3 ^er

Capítulo

JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA

 

EJEMPLOS (MODELOS A SEGUIR)

Ejemplo (1)

Determine si el conjunto de matrices de la forma _



 







 b b a

b a

a , con la edición matricial y la multiplicación por un escalar es un espacio vectorial.

Solución:

Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores







u^ u^ u^ u^ u^_n

V ₁, ₂, ₃, ₄,... el otro de escalares K 



k₁,k₂,k₃,,...k_n



Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son matrices (para este tipo de demostraciones suficiente con tres vectores)



 







 



1 1 1

1 1 1

1 a b b

b a

u a 



 







 



2 2 2

2 2 2

2 a b b

b a

u a 



 







 



3 3 3

3 3 3

3 a b b

b a u a

5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES

Axioma (1). Clausura Para La Suma: u^₁u^₂  V

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar

   

   

^_^



















 



 







 



 









2 1 2

2 1 1

2 2 1 1 2

1

2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

b b b

a b a

b a b a a

a b

b a

b a a b

b a

b a a

También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica

Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma:







₁u₂ u₂u₁ u

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad



 







 



 







 



 







 



 









1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

b b a

b a a b

b a

b a a b

b a

b a a b

b a

b a a

   

       

   

^_^



















 



 





















1 2 1

1 2 2

1 1 2 2 1

2

2 1 2

2 1 1

2 2 1 1 2

1

b b b

a b a

b a b a a

a b

b b

a b a

b a b a a

a

Se cumple la igualdad es 2x2 de la misma forma por tanto verifica

JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA

 

Axioma (3). Asociatividad Para La Suma:











 



 

 





 

 

 _{2 3 1 2 3}

1 u u u u u

u

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad



 







 







 



 







 



 







 







 



 







 



 







 



 









3 3 3

3 3 3 2

2 2

2 2 2 1

1 1

1 1 1 3

3 3

3 3 3 2

2 2

2 2 2 1

1 1

1 1 1

b b a

b a a b

b a

b a a b

b a

b a a b

b a

b a a b

b a

b a a b

b a

b a a

   

       

    ^_^  ^_^

 







 



 



















 







 



 



















 



 









3 3 3

3 3 3 2

1 2

2 1 1

2 2 1 1 2

1 3

2 3

3 2 2

3 3 2 2 3

2 1

1 1

1 1 1

b b a

b a a b

b b

a b a

b a b a a

a b

b b

a b a

b a b a a

a b

b a

b a a

   

       

   

^_^































 



 

































3 2 1 3

2 1 3 2 1

3 2 1 3 2 1 3

2 1 3

2 1 3

2 1 3 2 1

3 2 1 3 2 1 3

2 1

b b b b

b b a a a

b b b a a a a

a a b

b b b

b b a a a

b b b a a a a

a a

Se cumple la igualdad es 2x2 de la misma forma por tanto verifica Axioma (4). Existencia Del Neutro “^” Aditivo: u^₁^u^₁

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar el Neutro “^”

Si 



 







4 3

2 1

c c

c

 c 



 







 



 







 









1 1 1

1 1 1

4 3

2 1

1 1 1

1 1 1

b b a

b a a c

c c c b

b a

b a a



 







 



 

















1 1 1

1 1 1

4 1 3 1 1

2 1 1 1 1

b b a

b a a c

b c b a

c b a c a

Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales



 











































0 0

0 0 0

0 0 0

4 3 2 1

1 4 1

1 1 3 1 1

1 1 2 1 1

1 1 1

 c

c c c

b c b

b a c b a

b a c b a

a c a

Se cumple ya que existe neutro de 2x2 de la misma forma por tanto verifica Axioma (5). Existencia Del Inverso “u^1” Aditivo: u^₁u^1^

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar Inverso “u^1” Aditivo





 







4 3

2 1 1

u u

u

u u 



 







 







 









0 0

0 0

4 3

2 1

1 1 1

1 1 1

u u

u u b

b a

b a a



 







 

















0 0

0 0

4 1 3 1 1

2 1 1 1 1

u b u b a

u b a u a

Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales

 

   

 

^_^















 















































1 1

1

1 1 1

1

1 4

1 1 3

1 1 2

1 1

4 1

3 1 1

2 1 1

1 1

0 0 0 0

b b

a

b a u a

b c

b a c

b a c

a c

u b

u b a

u b a

u a

Se cumple ya que existe inverso de 2x2 de la misma forma por tanto verifica

JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA

 

5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR Axioma (6). Clausura Para El Producto: k^u₁ V

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar



 







 



 









1 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

kb kb

ka

kb ka ka

b b a

b a k a

También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica Axioma (7). Distributividad Del Producto Por Un Escalar Respecto A La Suma De Vectores:







  



 

 u₁ u₂ ku₁ ku₂ k

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar



 







 



 







 







 



 







 



 









2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

b b a

b a k a

b b a

b a k a

b b a

b a a b

b a

b a k a

   

       

   

^_^



















 



 





















2 1 2

2 1

1

2 2 1

1 2

1

2 1 2

2 1 1

2 2 1

1 2

1

kb kb kb

ka kb ka

kb ka kb ka ka

ka kb

kb kb

ka kb ka

kb ka kb ka ka

ka

También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica Axioma (8). Distributividad Del Producto De Un Vector Respecto A La Suma De Escalares:



k₁k₂



u^₁ k₁u^₁k₂u^₁

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar

 

_



 







 



 







 



 







 

1 1 1

1 1 1 2 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 2

1 a b b

b a k a

b b a

b a k a

b b a

b a k a

k

     

           

     

^_^



















 



 





















1 2 1 1

2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1

2 1

1 2 1 1

2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1

2 1

b k k b

k k a k k

b k k a k k a

k k b

k k b

k k a k k

b k k a k k a

k k

También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica

Axioma (9). Asociatividad Del Producto:

 





 







 ₂ ^_{1 1 2} ^₁

1 k u k k u

k

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar

 

_







 



 







 





 







 

1 1 1

1 1 1 2 1 1

1 1

1 1 1 2

1 a b b

b a k a

b k b a

b a k a

k

     

           

     

^_^



















 



 





















1 2 1 1

2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1

2 1

1 2 1 1

2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1

2 1

b k k b

k k a k k

b k k a k k a

k k b

k k b

k k a k k

b k k a k k a

k k

También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica

JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA

 

Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “k^*”: k^*u^₁u^₁k^*1 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar



 







 



 









1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

* 1

b b a

b a a b

b a

b a k a



 







 



 









1 1 1

1 1 1

1

* 1

* 1

*

1

* 1

* 1

*

b b a

b a a b

k b

k a k

b k a k a

k

Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales

   

   

^{* 1}

1 1

*

1 1 1 1

*

1 1 1 1

*

1 1

*





















k b

b k

b a b a k

b a b a k

a a k

Se cumple ya que existe neutro multiplicativo y verifica la unidad Por tanto, las matrices de la forma _



 







 b b a

b a

a , forman espacio vectorial.

Ejemplo (2)

Determine si el conjunto de números reales positivos forme un espacio vectorial con las operaciones suma: xyxy y la multiplicación por un escalar con la operación xx^

Solución:

Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores







u^ u^ u^ u^ u^_n

V ₁, ₂, ₃, ₄,... el otro de escalares ^K 



^k₁^,k₂^,k₃^,,...k_n



Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son los reales positivos (para este tipo de demostraciones suficiente con tres vectores)

x

u^₁  u^₂  yu^₃  z

5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES Axioma (1). Clausura Para La Suma: u^₁u^₂  V

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar xy y x 

Si dos números reales positivos su suma también es un numero positivo como también su producto por tanto verifica

JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA

 

Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma:







₁u₂ u₂u₁ u

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad x

y y x  

yx xy

Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (3). Asociatividad Para La Suma: ^{    } ^



 

 





 

 

 _{2 3 1 2 3}

1 u u u u u

u

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad



y z

 

x y



z

x    

   

yz xy z

x  

xyz xyz

Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (4). Existencia Del Neutro “^” Aditivo: u^₁^u^₁

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar el Neutro “^” Si ^c xcx

1



x c

cx ^1

Se cumple ya que existe neutro forma por tanto verifica Axioma (5). Existencia Del Inverso “

1

u ” Aditivo: u^₁u^1^

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar Inverso “

1

u ” Aditivo



 

¹ 

u x 1

x 1x

1 

 

 u^₁  1x

Se cumple ya que existe inverso por tanto verifica 5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR

Axioma (6). Clausura Para El Producto: k^u₁ V Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar

xk

kx

Con:

   



 





































R x Es

x sea

R Es x

sea

R Es x

x sea















1 1

0 ⁰

Se cumple por tanto verifica

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 

Axioma (7). Distributividad Del Producto Por Un Escalar Respecto A La Suma De Vectores:







  



 

 u₁ u₂ ku₁ ku₂ k

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar



x y



kx ky

k   

 

xy ^k kxky ky kx y

x^{k k}  

  

kx ky kxkyAplicando la condición de problema

   

kx  ky kxky

Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (8). Distributividad Del Producto De Un Vector Respecto A La Suma De Escalares:



k₁k₂



u^₁ k₁u^₁k₂u^₁

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar



k₁k₂



xk₁xk₂x

 

x k x k

x

^k1k2



₁



₂

x k x k x

x

^{k1 k2}



₁



₂ Aplicando la condición de problema

x k x k x k x

k

₁



₂



₁



₂

Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (9). Asociatividad Del Producto:

 





 







 ₂ ^_{1 1 2} ^₁

1 k u k k u

k

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar

 k

₁

 k

₂

 x  k

₁

   k

₂

x



^{1 2}



1

 

²

k k

k

k x

x

^

 

^{k1 k2}

  ^x

^{k2 k1}

x

^



k₁k₂ k₁k₂

x x

^



^

Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “k^*”: k^*u^₁ u^₁k^* 1

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar x x k^* 

x x

^k*



* 1 k

Se cumple ya que existe neutro multiplicativo y verifica la unidad

Por tanto el conjunto de números reales positivos forman un espacio vectorial con las operaciones suma: xyxy y la multiplicación por un escalar con la operación xx^

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 

SUB ESPACIOS VECTORIALES

Es un conjunto “S” no vacío donde sus objetos son llamados vectores sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, siendo su Estructura 



V,,



¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL?

Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores







u^ u^ u^ u^ u^_n

S ₁, ₂, ₃, ₄,... el otro de escalares K 



k₁,k₂,k₃,,...kn



UN SUB ESPACIO VECTORIAL ES SUB CONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL V

S

1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES Axioma (1). Clausura Para La Suma: u^₁u^₂  S

1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR Axioma (2). Clausura Para El Producto: k^u₁ S

UN SUB ESPACIO VECTORIAL ES SUB CONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL V

S

Una segunda forma de caracterizarlos a los 2 axiomas se concreta en la condición equivalente a la anterior “S” es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que:

W u k u k S u u R k

k     

 ₁, ₂ , ^₁,^₂ ; ₁^_{1 2}^₂

SUB ESPACIO VECTORIAL “S” (CONDICION )

En los problemas veremos que es necesario expresar al sub espacio como conjunto con restricción de esta manera siempre reconoceremos las condiciones del conjunto para fines prácticos lo veremos de esta forma general



^{ESPACIO VECTORIAL CONDICION}



S  /

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 

EJEMPLOS (MODELOS A SEGUIR)

Ejemplo (1)

Analizar si los polinomios a₀ a₁xa₂x² a₃x³ para los que a₀ 0 son subespacios de P3

Solución:

Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores







u^ u^ u^ u^ u^_n

S ₁, ₂, ₃, ₄,... el otro de escalares K 



k₁,k₂,k₃,,...kn



escribimos el subespacio es su forma general



^{ESPACIO VECTORIAL CONDICION}



S  /

  

3^/ 0 ⁰



3 3 2 2 1

0    





 P x a ax a x a x P a S

Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son polinomios de grado 3 (para subespacios suficiente con dos vectores)

0 0

3 3 2 2 1 0

1     



a x a x a x a a

u u^₂ b₀b₁xb₂x²b₃x³ b₀ 0

1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES Axioma (1). Clausura Para La Suma: u^₁u^₂  S

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar

   

3

3 3 2 2 1 0 3 3 2 2 1 0 2

1 u a a x a x a x b bx b x b x P

u^ ^         



_{0 0}

 

_{1 1}

 

_{2 2}



²



_{3 3}



³ ₃



_{0 0}



0

2

1 ^            



b a P x b a x b a x b a b a u u

Verificando la condición REMPLAZANDO LAS CONDICIONES:



a₀ b₀



0 Con:u^₁a₀a₁xa₂x²a₃x³ a₀ 0u^₂ b₀b₁xb₂x²b₃x³ b₀ 0



a₀b₀



0 0 0 0 

0 0

Es la misma forma por tanto verifica la condición 1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR

Axioma (2). Clausura Para El Producto: k u^₁ S Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar

 

3

3 3 2 2 1 0

1 k a a x a x a x P

u

k ^     



_{0 0}



0

3 3 3 2 2 1 0

1        



b a P x ka x ka x ka ka u k

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 

Verificando la condición REMPLAZANDO LAS CONDICIONESka₀ 0Con:

0 0

3 3 2 2 1 0

1     



a x a x a x a a u

0 0

Es la misma forma por tanto verifica la condición POR TANTO CUMPLE LOS DOS AXIOMAS ES UN SUB ESPACIO VECTORIAL DE P3

Ejemplo (2)

Determinar si ^{W }

 

^x,y,z,u



^{R4/xyz 0 yu0}



es Sub Espacio de R⁴?

Solución:

Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores







u^ u^ u^ u^ u^_n

W ₁, ₂, ₃, ₄,... el otro de escalares K 



k₁,k₂,k₃,,...k_n



escribimos el subespacio es su forma general



^{ESPACIO VECTORIAL CONDICION}



W  / ^{W }

 

^x,y,z,u



^{R4/x yz0 yu0}



Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son polinomios de grado 3 (para subespacios suficiente con dos vectores)



₁, ₁, ₁, ₁



_{1 1 1} 0 _{1 1} 0

1      



u y z

y x u z y x

u ;u^₂ 



x₂,y₂,z₂,u₂



x₂ y₂ z₂ 0 y₂ u₂ 0 1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES

Axioma (1). Clausura Para La Suma: u^₁u^₂  W

Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar



x y z u

 

x y z u



W u

u^₁ ^₂  ₁, ₁, ₁, ₁  ₂, ₂, ₂, ₂ 



_{1 2}, _{1 2}, _{1 2}, _{1 2}

 

_{1 2}

 

_{1 2}

 

_{1 2}



0



_{1 2}

 

_{1 2}



0

2

1 ^                 



u u y y z

z y y x x W u

u z z y y x x u u

Verificando la condición



x₁x₂

 

 y₁y₂

 

 z₁z₂



0



y₁y₂

 

 u₁u₂



0Con:



₁, ₁, ₁, ₁



_{1 1 1} 0 _{1 1} 0

1      



u y z

y x u z y x

u ; u^₂ 



x₂,y₂,z₂,u₂



x₂ y₂ z₂ 0 y₂u₂ 0 REMPLAZAMOS EN LA NUEVA CONDICIÓN



x₁x₂

 

 y₁y₂

 

 z₁z₂



0



y₁y₂

 

 u₁u₂



0



x₁y₁z₁

 

 x₂ y₂z₂



0



y₁u₁

 

 y₂u₂



0

   

0  0 0

   

0  0 0 0 0 0

0 