Espacios Vectoriales
Dr. Rogerio
• Casi todas las matemáticas que han estudiado están basadas en las propiedades de los
Reales
• Primero enfoque intuitivo ahora
• Enfoque axiomático
uno de los conjuntos mas importantes de las matemáticas
conjunto que contiene mas de un elemento y dos operaciones:
la adición y multiplicación ´+´ y ´.´
Las operaciones cumplen con los axiomas de:
i) la adición y la multiplicación ii) orden
iii) completidad
o complitud.
Axiomas sobre la adición y multiplicación
• Axiomas de CAMPO
• Cualquier conjunto que cumpla será un campo
• Propiedades de CAMPO:
– Leyes conmutativas – Leyes asociativas – Leyes distributivas
– Elemento idéntico para cada operación
– Elementos inversos
Vectores
• Geométrico
– Segmentos de línea dirigidos o flechas
• Suma
• Substracción
• Multiplicación por un numero real
• Analítico
– n-adas ordenadas de números llamadas componentes – Operaciones deducidas de los reales
– Sistemas coordenados
• Axiomático
– Vectores y sus operaciones son conceptos abstractos
– Sistema algebraico llamado ESPACIO VECTORIAL
– Independiente de coordenadas
Axiomas sobre la adición y multiplicación
. Leyes conmutativas , . Leyes asociativas , ,
( ) ( ) ( ) ( )
. Leyes distributivas , ,
( ) ( ) ( )
(
I a b
a b b a a b b a
II a b c
a b c a b c a b c a b c
III a b c
a b c a b a c izquierda b c
) ( ) ( )
. Elemento idéntico
aditivo 0 0 0
multiplicativo denotado 1 1 1 .
aditivos ´ ( ) 0 ( )
multiplic
a b a c a derecha
IV a
e denotado a a a
a a a
V Elementos Inversos a
a denotado a a a a a
1 1 1
ativos a 0 denotado a
a a
1 a
a
Vectores
• Geométrico
– Segmentos de línea dirigidos o flechas
• Suma
• Substracción
• Multiplicación por un numero real
• Analítico
– n-adas ordenadas de números llamadas componentes – Operaciones deducidas de los reales
– Sistemas coordenados
• Axiomático
– Vectores y sus operaciones son conceptos abstractos
– Sistema algebraico llamado ESPACIO VECTORIAL
– Independiente de coordenadas
Espacio lineal
o Espacio Vectorial lineal o Espacio Vectorial
o Espacio Vectorial Lineal Real o Espacio Vectorial Lineal Complejo
• Conjunto de elementos de cualquier tipo con ciertas operaciones definidas
(suma y multiplicación por números
• Sea V un conjunto no vacío de objetos
llamados elementos donde se satisfacen 10
axiomas, el conjunto es llamado espacio lineal
Espacio lineal o Espacio Vectorial lineal
. Cerrado bajo la adición, , ,
.Cerrado bajo la multiplicación por números escalares (reales o complejos), y a o , a
III. Leyes conmutativas , ,
I a b V a b V
II
a V a V
Cerradura
Suma
a b V a b b
. Leyes asociativas , , , ( ) ( )
. Elemento idéntico , 0 0 0
.Elemento Inverso , ´ ( ) 0 ( )
a
IV a b c V a b c a b c
V a V e V denotado a a a
Multip
VI a V a denotado a a a a a
. Asociativa ,b ,(ab) a(b )
. para la adición en V, , y a a ( ) (a ) (a ) . para la adición de escalares,
por escal a
y r
es
VII a a a a
VIII Distributiva a b V a b a b
IX Distributiva licació
a V n
a,b (a+b) (a ) (b )
.Elemento idéntico escalar , 1 1
a a a
X a V e denotado a a
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
5.
6. ( , ) en el intervalo ( , )
7.
8. integrables en un intervalo 6.
n
Espacio de funciones Funciones reales Polinomios
C a b Funciones continuas a b Funciones diferenciables en un punto dado
Funciones Soluci
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
ones de
Sub-Espacio Vectorial
Sub-Espacio Vectorial
• Dado un espacio vectorial V y sea S un
subconjunto de V , si S es tambien un espacio vectorial con las mismas operaciones que V, S es llamado sub-espacio de V.
Tma.
Sea S un subconjunto no vacío del espacio vectorial,
S es sub-espacio S satisface los axiomas de cerradura.
Espacios Vectoriales Métricos o Normados
• Medimos en segmentos de línea:
– longitud – Ángulos
• Producto interno (punto o escalar)
– No necesidad de fórmula explicita solo aximaticamente
En un espacio vectorial se define el producto interno si para cada par de sus elementos , le corresponde un único número escalar ( , ) tal que , , y c
) o simetría
, ,
)
V x y
x y x y z V
i Conmutativo x y y x ii D
o linealidad
, , ,
) u homegeneidad ESPACIO EUCLIDIANO
c , c ,
)" "
, 0 si 0 istributivo
x y z x y x z iii Asociativo
x y x y iv positivez
x x x
Espacios Euclidiano
2 ,
cos ,
En un espacio Euclidiano dos elementos:
son ortogonales si su producto interno es cero.
son ortonormales si la norma de cada uno es unitaria.
.
, , y c Norma
x x y
x y x y
Tma
x y z V la norm
es tal que
) 0 si 0
) 0 si 0 " "
) homegeneidad
) desigualdad del triángulo
) , desigualdad del Cauchy-Schwarz a
i x x
ii x x positivez
iii cx c x
iv x y x y
iv x y x y
ejemplos
1 1
( ,..., ) y ( ,..., )
toman valores continuos
, ( ) ( )
n n
n
k k k
b
a
producto punto
x x x y y y
x y x y funciones
f g f x g x dx
Ortogonalidad
Un subconjunto S de V es llamado un conjunto ortogonal si
, 0
para cada par , de elementos distintos en S
S es llamado conjunto ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma unitaria x y
x y
Bases
1
combinación lineal de elementos de significa
,
.En un espacio Euclidiano, cada conjunto de elementos ortogonales no cero es independiente.
i.e. no
n N
n n n n
n
Una e V Intuitivamente
v c e donde c v e
Tma
1
1
1
se puede obtener uno del otro.
Ejemplo i.j =0
Generalizando
,..., , 0 lo que nos lleva a 0
pero si 0 y 0 entonces son dependientes
BASES
Si son independient
N
N n m n n n
n N
n n n
n
e e c e e c e
c c v
es y el espacio se puede generar
(todos los demas vectores son combinaciones lineales) a partir de solo ellos se llama base del espacio vetorial.
Si un espacio vectorial tiene una base de N el entonces
ementos, N es la dimension de V Y cualquier base tendra la misma cantidad de elementos
Bases ortogonales
En un espacio Euclidiano , cada conjunto ortogonal de elementos no zero es independiente.
En particular, en un espacio de dimension finita dim cada conjunto ortogonal de n elementos no zero es una V
V n
1
base de
Sea un espacio de dimension finita y suponga que ,..., es una base ortogonal de entonces cualquier elemento puede ser exprsado como una combinacion lineal del conjunto base
n
V Tma
V n S e e V
x
1
1
, es decir,
, ,
son las componentes de
En particular si ,.... es ortonormal, entonces las componentes son ,
n i i i
j j
j j
n
j j
x c e donde c x e
e e
x
S u u
c x u
Ejemplo
0 1 2
0 2 1 2
2
0
En el espacio lineal de funciones continuas (0, 2 ) se define el conjunto , , ,...
( ) 1
( ) cos( ) ( ) sin( ) con 1, 2,...
y como , ( ) ( )
es de
n n
C S u u u
u
u n
u n
n
f g f g d
entonces S es ortogonal
2
0
2
0 0
0 2
2
2 1 2 1
0 2
2
2 2
0
0 1 2
cir,
( ) ( ) 0
y las normas de casa elemento son
, 2
, cos ( )
, sin ( )
asi que podemos definir un conjuntoortonormal S= , , ,... con
n m
n n
n n
si n m
u u d
u u d
u u n d
u u n d
0 2 1 2
1 cos( ) sin( )
, ( ) , ( ) , 1
2
n n
n
n n
u u
n n
n
Con matrices
• El numero de renglones o columnas no
iguales implica el numero de la dimension
OBSERVACION
1
La combinacion lineal significa que los elementos de la base no estan elevados a ninguna potencia 0
Pero eso no significa que en si, los elementos de la base esten definidos directamente c
l N
n n n
e c e
2 2
1 2 3
1 2 3
omo potencias, por ejemplo
( ) cos , ( ) sin , 1,
pero de todas maneras una combinacion lineal de esos elementos no lineales quede como sigue
( 1) 0 por teorema de Pitagoras es decir en
e t t e t t e t
e e e
1
1 1
la formula general
0 y 0 entonces son dependientes
( ) , 1, 2,... , &
0 independientes se demuestra por induccion y derivadas en 0
N
n n n
n
k k
N N
k
k k k
k k
n
c c e
tambien
e t t k N t
c t c e son t
tambien u
1 1
( ) son umeros distintos reales
0 independientes se demuestra por induccion
n
k
a
n
N N
a
k k k
k k
e a
c e c u son
