Introducción Variedades diferenciables

de

Introduccion a las Variedades Diferenciables

La Laguna, 1997

CONTENIDO

Variedades diferenciables. Subvariedades

1

1.1 Denicion de variedades diferenciables . . . 1

1.2 Ejemplos de variedades diferenciables . . . 5

1.3 Propiedades topologicas de una variedad diferenciable . . . 9

1.4 Funciones y aplicaciones diferenciables . . . 12

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas . . . 15

1.6 Rango de una aplicacion diferenciable . . . 28

1.7 Subvariedades inmersas y embebidas o regulares . . . 30

1.8 Grupos y subgrupos de Lie . . . 42

Tensores y formas diferenciales sobre una variedad

51

2.1 Tensores sobre espacios vectoriales reales . . . 51

2.2 Algebra tensorial . . . 56

2.3 Algebra exterior . . . 62

2.4 Tensores en un punto de una variedad . . . 68

2.5 Fibrado tangente. Campos de vectores . . . 69

2.6 Fibrado cotangente. 1{formas diferenciales . . . 73

2.7 Fibrado tensorial. Campos de tensores . . . 75

2.8 Formas diferenciales . . . 80

2.9 Diferencial exterior . . . 82

2.10 Formas cerradas y exactas. Cohomologa de De Rham . . . 86

Sistemas diferenciales. Teorema de Frobenius

93

3.1 Curvas integrales y campos de vectores . . . 93

3.2 Grupo unipametrico de transformaciones . . . 96

3.3 Derivada de Lie . . . 100

3.4 Sistemas diferenciables. Variedades integrales . . . 105

3.5 Teorema de Frobenius . . . 109

Integracion en variedades diferenciables

117

4.1 Variedades de Riemann . . . 117

4.2 Variedades de Riemann como espacios metricos . . . 118

4.3 Particion de la unidad . . . 118

4.4 Orientacion de variedades . . . 120

4.5 Integracion en IRn . . . 126

4.6 Integracion sobre variedades diferenciables . . . 128

4.7 Integracion en variedades de Riemann . . . 132

4.8 Variedades con borde . . . 134

4.9 Teorema de Stokes . . . 136

4.10 Teorema de Green y Teorema de la divergencia . . . 140

4.11 Aplicacion a los grupos cohomologa de De Rham . . . 142

Diferentes enfoques de conexiones lineales

143

5.1 Enfoque axiomatico . . . 146

5.2 Enfoque tensorial o clasico . . . 148

5.3 Conexiones denidas por caminos . . . 156

5.4 Enfoque por brados . . . 160

Ejercicios

187

Bibliografa

209

Smbolos

211

Indice alfabetico

215

Variedades diferenciables

Subvariedades

1.1 Denicion de variedades diferenciables

Dado un espacio (conjunto), denido por alguna condicion geometrica, topolo-gica, analtica, etc..., no siempre se puede establecer una correspondencia biunvoca entre sus puntosy una serie de numeros, denominadoscoordenadas. En la mayorade los casos nos tenemos que restringir a una parte de dicho espacio. Si ademas exigimos que esta biyeccion tenga propiedades topologicas, la dicultad de encontrarla se incrementa.

Nos restringiremos a aquellos espacios topologicos a cuyos puntos le podemos asignar (localmente) un conjunto de numeros reales, de tal forma que esta corres-pondencia venga dada por un homeomorsmo.

Una variedad diferenciable, a \grosso modo", es un espacio topologico donde cada punto tiene un entorno que esta parametrizado de tal forma que la transformacion entre dos conjuntos de parametros esta dada por funciones diferenciables. Una funcion sobre un tal espacio topologico puede ser considerada localmente como una funcion de estos parametros. Por lo tanto, podemos denir la diferenciabilidad de funciones y aplicaciones. Usando la idea de diferencial, podemos \linealizar" un entorno sucientemente peque~no de un punto sobre una variedad y considerar un espacio tangente. A lo largo de este curso discutiremos los hechos basicos del calculo diferencial sobre una variedad diferenciable.

Comencemos con una serie de deniciones que nos conduzcan al concepto de variedad diferenciable.

Denicion 1.1

Sea U IR

n _{un conjunto abierto del espacio eucldeo n} {dimensio-nal IRn y f:U !IR una funcion valuada real. Se dice que f esdiferenciable

de clase Ck _{sobre U, o simplemente que f es de clase C}k _{(k entero no} negativo) si existen las derivadas parciales

@1

++nf (@r1)

1

(@rn)n

(i 0; 1+

2 1 Variedades diferenciables. Subvariedades y son funciones continuas en U.

En particular, f es de clase C0 si f es continua; y f es de clase C1 si existen y son continuas las derivadas parciales _@r@f_i (siendo ri_{: IR}n ! IR la i{esima proyeccion canonica (i=1,2,...,n)).

Una aplicacion F : U ! IR

n_{, se dice que es diferenciable de clase C}k _si cada una de sus funciones componentes, Fi _{= r}iF, i=1,2,...,n es de clase

Ck_{. Se dice que F es de clase C}1 si es de clase Ck, para todo k 0. Y, nalmente, F es de clase C! _{si es analtica, es decir, si F puede ser} expresada como una serie de Taylor convergente en un entorno de cada punto del dominio de denicion.

Denicion 1.2

Una variedad topologica n{dimensional M es un espacio topologico Hausdor (i.e. (separado o T2) si cualquier par de puntos distintos ad-miten entornos disjuntos), segundo contable (i.e.; con una base numerable de conjuntos abiertos) y localmente eucldeo (i.e.; tal que para cada punto

x 2 M, existe un subconjunto abierto Ux entorno de x homeomorfo a un subconjunto abierto del espacio eucldeo IRn).

Nota 1.3

De esta condicion local no se deduce que el espacio topologico M sea Hausdor, como contraejemplo ver el Ejercicio 4.

Nota 1.4

Podemos, si deseamos, elegir el homeomorsmo de la Denicion 1.2 como

'x : Ux ! 'x(Ux), tal que 'x(x) = 0 y ademas que la imagen de 'x sea una bola de centro el origen y radio "; Bn

0("). En efecto, dado cualquier 'x aplicando homeomorcamente un conjunto abiertoUx conteniendo ax en un conjunto abierto de IRn, sea " > 0 tal que B_n'x(x)(")

'x(Ux). Sea : Bn'

x(x)(")

! Bn 0(") la traslacion por 'x(x). Entonces

e

'x ='

xj' 1

x (Bn'x (x)

(")) aplica' 1

x (Bn'_x(x)(")) homeomorcamente en B n 0(").

Tambien, podemos elegir, en vez de una bola, un entorno cubico centrado en el origen y de lado ", Cn

0(").

Denicion 1.5

Si ':U !'(U)IRn es uno de los homeomorsmos de la Deni-cion 1.2, siendo U un abierto conexo, 'recibe el nombre de homeomorsmo coordenado;U abierto coordenado; al par (U;') se le denominasistema coor-denado o carta; cada aplicacion continua xi _{= r}i' se denomina funcion

coordenada; y la n{upla (x1;x2;:::;xn) se dice que es el sistema de funciones

1.1 Denicion de variedades diferenciables 3

ε ϕx

-1

(B_ϕn

x(x)( ))

ε

ε

φ ϕx

ϕx

ϕx

Bn ϕx(x)

ϕx(x)( )

Ux

(Ux)

x .

.

Rn I

M

Fig. 1.1: Entornos homeomorfos a bolas en IRn

Nota 1.6

A veces, la carta (U;') se representa por (U;(x1;:::;xn)).

Nota 1.7

Como la nocion de espacio localmente eucldeo es tan solo ligeramente distinta de la nocion de variedad diferenciable que nos interesa en este curso, veremos ejemplos de aquellos al dar los de variedades diferenciables.

Denicion 1.8

Un conjunto de cartas A = f (U;')

2 A g se denomina un

atlassi verica S 2A

U =M:

Denicion 1.9

Una estructura diferenciable de clase Ck ₍₁ k 1) sobre una variedad topologicaM de dimensionn es una coleccion

A=f(U;')

2A g

de sistemas coordenados vericando las tres condiciones siguientes: 1. S

2A

U =M (A es un atlas de M) 2. 8(;)2AA, si U\U 6= , la aplicacion

''

1

:'(U\U)!'(U\U) es diferenciable de clase Ck_{. (}A atlas diferenciable )

3. La coleccion A es maximal con respecto a la condicion 2; es decir: si (U;') es un sistema de coordenadas tal que ''

1

y ''

1 son de clase Ck _{para todo} 2A, entonces (U;')2A.

4 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

Nota 1.10

Si A 0 =

f (U;')

2 A g es una coleccion de sistemas coordenados satisfaciendo a las condiciones 1 y 2 de la Denicion 1.9, entonces existe una unica estructura diferenciable maximalA conteniendo a A

0. En efecto, basta considerar A=

( (U;')

,

U abierto; ':U !'(U) homeomorsmo;

''

1

; ''

1 son de clase Ck;

8(U;')2A 0

) Entonces, A contiene aA

0, claramente satisface 1, cumple la condicion 2 (Ejer-cicio 2) yAes maximal por construccion. As, Adene una estructura diferenciable sobre M conteniendo a A

0. Evidentemente,

A es la unica estructura maximal que contiene a A

0.

Rn

I R

n

I

β

β α

α α

α ϕ _ϕ

ϕ

U

U

(U )

M

ϕα

ϕβ(Uβ)

Fig. 1.2: Superposicion de entornos coordenados

Denicion 1.11

Una variedad diferenciable de clase Ck _{y dimension n es un par} (M;A) formado por una variedad topologica M de dimension n y una es-tructura diferenciableA de clase Ck sobre M.

En general, representamos la variedad diferenciable (M, A) simplemente por M, sobrentendiendo que cuando nos referimos a la \variedad diferenciable M" se con-sidera sobre Muna estructura diferenciableA.

Para dar una estructura diferenciable sobre una variedad basta con dar un atlas diferenciable (es decir, una coleccion de sistemas coordenados vericando las condi-ciones 1 y 2 de la denicion), y este se buscara en general no necesariamente maximal sino lo mas peque~no posible.

Notese que un mismo conjunto puede ser dotado de estructuras diferenciables dis-tintas (ver Ejemplo 1.22), por lo que se necesita dar una denicion de \equivalencia" entre atlas denidos sobre un mismo conjunto:

1.2 Ejemplos de variedades diferenciables 5 Centraremos nuestro estudio especialmente en las variedades y funciones de clase

C1. Esto se hace por comodidad, lo que nos permitira, entre otras ventajas, denir un vector tangente de una forma elegante. La intencion no es adoptar las menos hipotesis posibles sino mas bien usar aquellos conceptos que aparecen, de un modo natural, en una situacion general. La restriccion no es demasiado drastica, como muestra el siguiente resultado, debido a Whitney(1): \Un atlas de clase Ck;(k >0)

sobre una variedad paracompacta contiene un atlas de clase C1." Sin embargo, si tenemos una variedad topologica (de clase C0) no siempre admite una estructura diferenciable de clase C1, como ha demostrado con su ejemplo Kervaire (2).

1.2 Ejemplos de variedades diferenciables

Ejemplo 1.13

IRn es una variedad diferenciable de dimensionn.

En efecto, basta tomar comoA la estructura diferenciable maximal que contiene a A

0 = f(IR

n_;1IRn)

g. Es decir, un atlas constituido por una sola carta formada por el abiertoU = IRn y el homeomorsmo coordenado '_{= 1IR}n, identidad en IRn:

Ejemplo 1.14

Si (M;A) es una variedad diferenciable de dimensionn, todo abierto

U M es de nuevo una variedad diferenciable de dimension n (variedad inducida) cuyo atlas viene dado por

AU =

(U \U;' jU

\U)

8(U;')2A :

En efecto, como los abiertos U recubren a M, V = U \U son abiertos en U que lo recubren. Las aplicaciones = 'jU

\U: V

!(U \U) = '(U \U) son homeomorsmos locales de U en IRn. Ademas,

1

son diferenciables al ser las restricciones a '(U \U\U) de '

' 1 .

Ejemplo 1.15

Variedad producto

Sean (M;A) y (M 0;

A

0) variedades diferenciables de dimensionesn y n0, respecti-vamente. Entonces el espacio producto MM

0 se puede dotar, de forma canonica, de una estructura de variedad diferenciable de dimensionn+n0, considerando para ello el atlas

A 0 =

(U V;')

8(U;')2A y 8(V;)2A 0 :

Ejemplo 1.16

La esfera Sn = fx 2 IRn +1

kxk =

p

(x1)2+

+ (xn

+1)2 = 1 g es una variedad diferenciable de dimensionn.

(1)H. Whitney.- Geometric integration theory, Princeton, 1957.

(2)M. Kervaire.- A manifolds which does not admit any dierentiable structure. Comm. Math. Helv. 35(1961), pag 1{14.

6 1 Variedades diferenciables. Subvariedades Sus abiertos coordenados son los conjuntos

Ukj =

x2Sn

( 1)jxk _{>0 (j = 0;1; k= 1;2;:::;n+ 1)} y los homeomorsmos coordenados son

'kj:Ukj !Bn 0(1) =

fx2IRn=kxk<1g x 7!(x

1;:::;xk 1;xk+1;:::;xn+1): Resulta facil demostrar que este atlas es diferenciable, pues la aplicacion

' 1

kj :B0n(1) !Sn tiene la coordenada k{esima igual a

( 1)j 0 @1

X i6=k

(xi₎2 1 A

1=2

;

que es una funcion diferenciable en el sentido usual en Bn

0(1) y 'kj es la restriccion de una aplicacion diferenciable de IRn+1

en IRn.

Ejemplo 1.17

El grupo lineal generalGL(n;IR) admite una estructura diferenciable de dimensionn2.

GL(n;IR), conjunto de las matrices reales de orden ncon determinante no nulo, se identica de forma natural con un subconjunto de IRn2

; as, si det: IRn2

!IR es la aplicacion determinante:

GL(n;IR) = det 1

(IR f0g)

y, como \det" es una funcion continua,GL(n;IR) se identica con un abierto de IRn2 . La estructura diferenciable en GL(n;IR) se obtiene ahora como en el Ejemplo 1.14.

Ejemplo 1.18

El espacio proyectivo real Pn(IR) se puede dotar de estructura de variedad diferenciable de dimensionn.

El espacio proyectivo realPn(IR) puede denirse como el cociente de IRn+1 f0g por la relacion de equivalencia de proporcionalidad entre coordenadas homogeneas

x1;:::;xn+1.

Se puede tomar como funciones coordenadas, las funciones

f_i:Pn(IR)!IR; [(x

1;:::;xn+1)] 7!

xi

x; x 6= 0 (i;= 1;:::;n+ 1) y por recubrimiento, los abiertos

U =

[(x1;:::;xn+1)]

x 6= 0

(su imagen recproca por la proyeccion canonica son abiertos en IRn+1). El atlas diferenciable esta formado porA= f(U;')

= 1;:::;n+ 1g siendo

los homeomorsmos coordenados':

' = (f1

;:::;f 1

;f+1

;:::;fn+1

1.2 Ejemplos de variedades diferenciables 7

Ejemplo 1.19

La banda de Moebius

Desde el punto de vista topologico, puede ser descrita identicando un lado de un rectangulo en el plano con su opuesto, recorrido en sentido contrario, en la forma siguiente: 6 ? 2 4 6 8 10 14 2 ...

Fig. 1.3: Banda de Moebius

Consideremos en IR2, el rectangulo R=f(x;y) 2IR

2

0x 10; 0< y <2g y en el denimos la relacion de equivalencia siguiente:

(x;y) (x 0;y0)

() 8 < :

x=x0 y=y0 0< x <10 0< y <2

x= 0; x0 = 10 y= 2 y0 0< y <2

x= 10; x0 = 0 y= 2 y0 0< y <2

El conjuntoM=R=con la topologa cociente (considerando enR la topologa inducida por el plano) es la banda de Moebius.

Para denir en Mun atlas de clase C1 procedemos como sigue: Seap:

R!M la proyeccion canonica y Ue

1; e

U2 abiertos de

R dados por e

U1 =

f(x;y)2R

2< x <8; 0< y <2g e

U2 =

f(x;y)2R

0x <4; 6< x10; 0< y <2g

y sean Ui =p(Uei); i = 1;2, que son abiertos en M, como se comprueba inmediata-mente.

Denimos ahora e

'1: e U1 !W 1 IR 2 e

'2: e U2 !W 2 IR 2 por e

'1(x;y) = (x;y)

e

'2(x;y) =

(x;y) si 6< x10

(10 +x;2 y) si 0x <4 Es claro que'e

1 y e

'2 son continuas yW1 y W2 son los abiertos de IR

2 dados por

W1 =

f(x;y)2 IR 2

2< x <8; 0< y <2g

W2 =

f(x;y) 2IR 2

6< x < 14; 0< y <2g: Como'e

1 y e

'2 son compatibles con la relacion de equivalencia en

R, inducen las aplicaciones

'1:U1 !W

1 y '2:U2 !W

2;

8 1 Variedades diferenciables. Subvariedades que se comprueba que son homeomorsmos. Para ver queA

0 = f(U

1;'1);(U2;'2) g es un atlas de clase C1 en M, basta comprobar que '

2 '

1 1 y '

1 '

1

2 son difeo-morsmos. En efecto, por ejemplo, el primero

'2 '

1 1 :'

1(U1 \U

2) !'

2(U1 \U

2) esta dado por

('2 '

1

1 )(x;y) =

(x;y) 6< x <8 0< y <2 (10 +x;2 y) 2< x <4 0< y <2

Ejemplo 1.20

Un espacio vectorial real E de dimension nita, tiene una estructura natural de variedad.

En efecto, si fe

1;:::;en

g es una base de E, entonces los elementos de su base dualf

1;:::;n gdeE

son las funciones coordenadas de un sistema de coordenadas globales sobreE. Tal sistema de coordenadas determina una estructura diferenciable Asobre E. Esta estructura diferenciable es independiente de la base elegida, pues el cambio de coordenadas estara dado por una matriz de coecientes constantes y no singular.

Ejemplo 1.21

Sea f: IRn ! IR una funcion continua, su grafo f IR

n+1 es una variedadn{dimensional.

En f = f (x

1;:::;xn;xn+1)

xn+1 = f(x1;:::;xn)

g, consideramos un atlas constituido por una sola carta':U = f !IRn, denida como la proyeccion sobre las n primeras coordenadas: '(x1;:::;xn+1) = (x1;:::;xn). La aplicacion inversa

' 1 esta dada por

' 1(x1;:::;xn) = (x1;:::;xn;f(x1;:::;xn)) que es, evidentemente, continua.

Ejemplo 1.22

Consideremos M1 = (IR; A

1), donde el atlas A

1 consta de la unica carta 1IR : IR ! IR, y la variedad M

2 = (IR; A

2), cuyo atlas esta formado por la carta ': IR ! IR, denida por '(x) = x

3. Entonces las variedades M

1 y M2 son distintas ya que' 1 no es de clase C1 en el origen.

No obstante, estas variedades no son esencialmente distintas, como veremos en el Ejemplo 1.39.

Ejemplo 1.23

El espacio de las conguraciones en un sistema mecanico es una va-riedad diferenciable de dimension igual al numero de grados de libertad del sistema. 1. El espacio de conguracion de un pendulo plano es representado como los pun-tos de una circunferencia tomando como coordenada el angulo que el pendulo forma con una direccion ja.

1.3 Propiedades topologicas de una variedad diferenciable 9 3. El espacio de conguracion de un pendulo doble plano (resp. esferico) es

S1 S

1, es decir un toro (resp. S2 S

2).

4. El espacio de conguracion de un solido con un punto jo es la variedad

SO(3;IR) , constituida por las matrices ortogonales 33 con determinante igual a 1; las coordenadas que describen esta variedad son los angulos de Euler que determinan la posicion de una terna ortonormal respecto de otra.

Se puede ver que SO(3;IR) es homeomorfo a la esfera S3 con los puntos dia-metralmente opuestos identicados, que es el espacio proyectivo real de tres dimensionesP3(IR).

5. En toda la teora fsica macroscopica el fenomeno fundamental es el \suceso", punto de una variedad de cuatro dimensiones,del espacio{tiempo: de las cuatro coordenadas, tres son intrepretadas como coordenadas espaciales y una como la coordenada temporal.

Nota 1.24

Veremos mas ejemplos de variedades en los parrafos dedicados al estudio de subvariedades diferenciables. En especial, en el de subgrupos de Lie.

1.3 Propiedades topologicas de una variedad diferenciable

Comentaremosaqualgunas propiedades topologicas que posee una variedad dife-renciable, las cuales son consecuencia inmediata de las hipotesis impuestas al espacio topologico subyacente. Dichas hipotesis son muy poco restrictivas a la hora de con-siderar conjuntos sobre los que nos interesa denir una estructura diferenciable. Y ademas, con estas restricciones topologicas garantizamos que sobre una variedad se pueda denir conceptos como metrica, conexion e integral de una n{forma, entre otros.

En los ejemplos de variedades diferenciables, que hemos rese~nado en el parrafo anterior, no nos hemos preocupado de que los conjuntos, sobre los que hemos construido atlas diferenciables, posean las propiedades topologicas requeridas en la Denicion 1.2. Pues bien, que tales propiedades se cumplan, surge de alguno de los resultados que veremos a continuacion.

Del hecho de ser localmente eucldea surgen las siguientes armaciones:

1. Una variedad diferenciableM es un espacio topologico localmente compacto. 2. Una variedad diferenciableM es localmente conexa.

3. Una variedad diferenciableM es conexa si y solo si M es conexa por arcos. La comprobacion de las dos primeras armaciones es inmediata, sin mas que considerar los homeomorsmos locales. En cuanto a la tercera, basta con establecer que, para x2M, el conjunto

10 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

Q= fy2M

Existe un camino que unex cony g coincide conM; esto es, demostrar que Q6= , abierto y cerrado.

Nota 1.25

Supondremos, en caso de que una variedad n{dimensional M no sea conexa, que todas sus componentes conexas son de la misma dimension.

Como hemos dicho las variedades diferenciables que vamos a considerar son de clase C1; apoyandonos en el resultado de Whitney (ver pag. 5) para variedades paracompactas. Por lo que se hace necesario recordar este concepto e indicar su relacion con las propiedades topologicas impuestas a una variedad.

Denicion 1.26

Un recubrimiento V = fVg

2B de un espacio topologico X se dice que es un renamiento de un recubrimiento dadoU = fUg

2A si, para todo elemento V de V existe un elemento U de U que lo contiene.

Un recubrimientoU =fUg

2Ade un espacio topologicoXeslocalmente

nitosi para todo puntox2X, existe un conjunto abierto deX que contiene a x y que intersecta solo a un numero nito de elementos deU.

Un espacio topologico X se llamaparacompacto si es Hausdor, y todo recubrimiento abierto del mismo posee un renamiento localmente nito. Se tiene el siguiente resultado relativo a la paracompacidad de una variedad diferenciable, que puede verse en cualquier libro de topologa general (3) o en [10, pag. 9]:

Lema 1.27

Si X es un espacio topologico localmente compacto, Hausdor y se-gundo contable (por ejemplo, una variedad), entonces es paracompacto. Los Ejemplos 1.18 y 1.19 son casos de variedades abstractas, no denidas como subconjuntosde espacios eucldeos; en estos casos, se trata de espacios topologicos co-cientes. Veamos pues los requisitos para que estos tengan las propiedades topologicas exigidas a una variedad.

SeaX un espacio topologico y una relacion de equivalencia sobreX. Denota-mos porX= el espacio topologico cociente con la topologa canonica (la que hace continua a la proyeccion canonica p: X ! X=). Denotamos por [A] el saturado de A (es decir, [A] = S

a2A

fx 2 X

x ag ). Veamos que condiciones debe cumplir la relacion de equivalencia para que X= sea segundo contable y Hausdor:

Lema 1.28

Una relacion de equivalencia sobre X es abierta (i.e. [A] es abierto para todoAX abierto) si y solo si la proyeccion canonicap:X ! X=es una aplicacion abierta (i.e. la imagen de un abierto es un abierto). Cuando es abierta y X tiene una base contable de conjuntos abiertos (i.e. X es segundo contable), entonces tambien X= es segundo contable.

1.3 Propiedades topologicas de una variedad diferenciable 11

Demostracion.- SeaA Xun subconjunto abierto. Ya que [A] =p

1(p(A)), sip es abierta (p(A) es abierto) [A] es abierto, por la denicion de la topologa cociente. Recprocamente, si [A] es abierto implica que p(A) es abierto, luego p es abierta.

Ahora supongamos que es abierta y X tiene una base contable de conjuntos abiertosU =fUigi

2I. SiW es un subconjunto abierto de X=

, entoncesp

1(W) = S

j2J

Uj para alguna subfamilia deU y W = p(p

1(W)) = S j2J

p(Uj). Se concluye, al ser p abierta, que fp(Ui)gi

2I es una base de conjuntos abiertos para X= .

Lema 1.29

Sea una relacion de equivalencia abierta en un espacio topologico

X. Entonces R = f(x;y)

x yg es un subconjunto cerrado del espacio

XX si y solo si el espacio topologico cociente X= es Hausdor.

Demostracion.- Supongamos que X= es Hausdor y que (x;y) 62 R, esto es,

x 6 y. Entonces existen entornos abiertos disjuntos U de p(x) y V de p(y). Sean e

U = p 1(U) y e

V = p 1(V), los cuales contienen a x y a y, respectivamente. Si el conjunto abiertoUe

e

V que contiene a (x;y) intersecta aR, entonces debe contener al punto (x0;y0) tal que x0

y

0, esto es p(x0) = p(y0), lo que esta en contradiccion de la suposicion de que U \V = . Esta contradiccion demuestra que

e

U

e

V no

intersecta a R y, por tanto, R es cerrado.

Inversamente, supongamos que R es cerrado. Dado cualquier par de puntos distintos p(x);p(y) en X= , existe un conjunto abierto de la forma

e

U

e

V que

contiene a (x;y) y sin puntos comunes con R. Se sigue que U = p( e

U) y V = p(Ve) son disjuntos. Por hipotesis y por el Lema 1.28 se sigue que U y V son abiertos. As,X= es Hausdor.

Utilizando los Lemas 1.28 y 1.29 podemos establecer que el espacio topologico subyacente de la variedad del Ejemplo 1.18 satisface el segundo axioma de numera-bilidad y es separado:

Espacio proyectivo. Veamos primero que es segundo contable:

Segun el Lema 1.28, basta demostrarque la relacion de equivalencia en IR n+1 f0g, que dene Pn(IR), es abierta. Sea': IRn

+1

f0g!IRn +1

f0g, la aplicacion denida por'(x) =x(2IR f0g), es claramente un homeomorsmocon inversa

' 1

= '1=, y si U

IRn +1

f0g es un conjunto abierto, [U] =

S 2IR f0g

'(U) es abierto, pues'(U) es un abierto.

Necesitamos aplicar el Lema 1.29 para probar que Pn(IRn) es Hausdor: Sea la funcion

f: (IRn+1

f0g)(IRn +1

f0g)IRn +1

IRn +1

!IR

f(x;y) =f(x1;:::;xn+1;y1;:::;yn+1) = X i6=j

(xi_yj _xj_yi₎2: Entonces f es continua y

R =f(x;y)2(IR n+1

f0g)(IR n+1

f0g)

x yg=f

1(0)

12 1 Variedades diferenciables. Subvariedades es un subconjunto cerrado de (IRn+1

f0g)(IRn +1

f0g) y por consiguientePn(IR) es Hausdor.

1.4 Funciones y aplicaciones diferenciables

Vamos a establecer el concepto de funcion diferenciable en una variedadMy el de aplicaciones diferenciables entre variedades, para lo cual utilizaremos el lenguaje de cartas locales y poder utilizar asel concepto de diferenciabilidad en IRn del Calculo.

Denicion 1.30

Sea M una variedad diferenciable. Una funcion f : M ! IR se dice que es diferenciable (de clase C1) si para toda carta (U;'), f

' 1:

'(U)!IR es una funcion diferenciable de clase C 1.

Nota 1.31

La diferenciabilidad de f depende de la estructura diferenciable de M

y no de la eleccion de las cartas; pues si (U;') y (V;) son dos cartas de M con

U \V 6= , f

'

1 es diferenciable si y solo si f

1 es diferenciable. Esto es consecuencia del hecho de ser

f'

1 = (f

1)

(' 1) y de que '

1 es siempre diferenciable por la propia denicion de variedad dife-renciable.

Representaremos por F(M) el conjunto de todas las aplicaciones diferenciables sobre M.

Para el estudio local es natural no solo considerar funciones f: M ! IR deni-das en todo M sino tambien admitir funciones que esten denidas solamente en un entorno de un punto de M:

Denicion 1.32

Sea x un punto de la variedad diferenciable M. Una funcionf se dice que es diferenciable de clase C1 en un entorno del puntox si su dominio

Df es abierto,x2Df yf 2F(Df), cuando enDf se considera la estructura diferenciable inducida por la de M.

As pues,f es diferenciable en un entorno del punto x 2 Df, si para toda carta (U;') en M con x2U, la composicion f

'

1:'(D

f \U)!IR es diferenciable de claseC1.

1.4 Funciones y aplicaciones diferenciables 13

Algebra de las funciones diferenciablesen un entorno de un puntoxde una variedad

M:

Si f;g2F(x) y 2IR, entonces f +g,fg y f, denidas por

(f+g)(y) =f(y)+g(y) (fg)(y) =f(y)g(y) (f)(y) =f(y); y2Df\Dg son funciones con dominio la interseccion de los dominios def y deg y trivialmente

f +g; fg; f 2F(x), puesto que para cada carta (U;'), con x 2U, se tiene (f+g)'

1 = (f '

1) + (g '

1); (fg)'

1 = (f '

1)(g '

1); (f) '

1=(f '

1): Con estas operaciones el conjunto F(x) se convierte en un algebra.

As mismo, el conjunto de las funciones diferenciables sobre M,F(M), se dota de una estructura de algebra.

Ejemplo 1.33

Sea (U;') una carta enM, y sean (x1;:::;xn) lasn funciones coor-denadas de la carta; es decir, xi _{= r}i'; i = 1;2;:::;n, con ri : IRn

! IR las proyecciones dadas por ri_(a1;:::;an) = ai, que son diferenciables. Entonces, cada funcion coordenada xi 2 F(x); x 2U. En efecto, basta tener en cuenta que, por la propia denicion

xi'

1 =ri; i= 1;2;:::;n:

Denicion 1.34

Sean M1 y M2 dos variedades diferenciables. Una aplicacion F:

M1

! M

2 se dice que es diferenciable (de clase C

1) si para todo x 2 M

1 existe una carta (U1;'1) alrededor de x y una carta (U2;'2) alrededor de

F(x) con F(U1) U

2 y tal que

'2

F' 1 1 : '(U

1) IR

n1 !IR

n2 es diferenciable (Fig. 1.4).

Nota 1.35

De esta denicion se sigue que la aplicacion F es continua, pues si B

es un abierto de M2 que contiene a F(x), '2(U2

\ B) es un abierto de IR n2 y ('2

F' 1 1 )

1 ' 2(U2

\B)

es un abierto de IRn1 (n

1;n2 dimensiones de M1 y M2, respectivamente), luego A = ' 1

1

('2

F' 1 1 )

1 ' 2(U2

\B)

es un abierto de

M1 y se verica F(A)

B; es decir, F es continua. Si imponemos de antemano que la aplicacionF:M1

!M

2 sea continua, siempre se puede lograr la condicion de la denicion: F(U1)

U 2.

Ademas, es claro que la denicion dada no depende de las cartas tomadas. Veamos ahora una caracterizacion equivalente de aplicacion diferenciable entre variedades:

14 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

Rn

I ϕ1 IRn

ϕ

ϕ

ϕ ϕ1

ϕ

U1

U

2(U2) 1(U1)

-1

M1

1

2

2 2

2 F

F(U1)

M2

F

Fig. 1.4: Aplicaciones diferenciables

Proposicion 1.36

Sean M1 y M2 dos variedades diferenciables y F : M1

! M

2 una aplicacion continua, entonces F es diferenciable si y solo si para toda funcion diferenciablef:W M

2

!IR,W abierto,f

F es diferenciable en

F 1(W):

Demostracion.- Sean x 2 M

1, W un abierto de M2 que contiene a F(x) y una funcionf 2 F(W), demostremos que f

F

2F(x).

Si (U1;'1) y (U2;'2) son cartas alrededor de x y F(x), respectivamente, tales que F(U1)

U

2, entonces U1 \F

1(U

2) es un entorno abierto de x. As, al ser F diferenciable enx y f 2 F(F(x)), resulta que '

2

F ' 1

1 es diferenciable en ' 1(x) y f'

1

2 es diferenciable en '

2(F(x)). Luego

fF'

1 1 = (f

' 1 2 )

(' 2

F' 1 1 ) es diferenciable en '1(x); lo que quiere decir que f

F es diferenciable en x.

Recprocamente, para probar queF es diferenciable, tenemos que establecer que

'2

F' 1

1 es diferenciable, o, lo que es equivalente, que sus funciones componentes:

sj' 2

F' 1 1 =y

jF' 1 1 son diferenciables, dondesj_{: IR}n2

!IR y ' 2 = (y

1;:::;yn

2). Lo cual es cierto, pues basta tomarf =yj_{; (j= 1;:::;n}

2). Denotamos por F(M

1;M2) al conjunto de las aplicaciones diferenciables de M1 en M2.

Ejemplo 1.37

Si (U;') es una carta local en una variedadM y seaO ='(U), abierto en IRn, entonces

' 2F(U;O) y '

1

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas 15 En efecto, si 1O:

O !O es la carta identidad en O, se tiene que 1O

'' 1

= 1O y ' '

1 1

1 O = 1

O:

Denicion 1.38

Dos variedades diferenciablesM1 yM2se dice que sondifeomorfas si existe una aplicacion diferenciable F : M1

! M

2 que admita inversa

F 1:M

2 !M

1 diferenciable. A una tal F se le denomina difeomorsmo.

Ejemplo 1.39

Si M1 y M2 son las variedades del Ejemplo 1.22, y F : M1

! M

2, esta dada por x 7!F(x) = x

1=3, es un difeomorsmo. Sin embargo,G: M 1

! M 2, denida por x7!G(x) =x, es diferenciable, pero su inversa no lo es.

Nota 1.40

Dos variedades difeomorfas son necesariamente homeomorfas. El pro-blema estriba en saber si dos variedades diferenciables homeomorfas son difeomorfas. Se demuestra que lo son si la dimension es 1, 2 o 3. En el caso general es preciso decir que ello no es siempre posible, despues del descubrimiento de Milnor(4) de la exis-tencia de 15 estructuras diferenciables no difeomorfas sobre la esfera S7, resultado extendido a S9, S15 y S31.

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas

Un concepto de gran importancia en la teora local de las variedades diferenciables es el de espacio tangente en un punto. Si imaginamos que la variedad esta inmersa en el espacio eucldeo IRn, resulta intuitivo hacer corresponder a cada p 2 M un cierto espacio vectorial: el espacio de los vectores tangentes a M en p; es decir, los vectores tangentes a las curvas sobre M que pasan por p. As, en la esfera

S2 =

f~x 2IR 3

k~xk= 1ginmersaen IR 3

, el plano tangente en un puntop(Ejercicio 17 o Corolario 1.81) es el conjunto de vectores ortogonales al vector posicion~p, es decir, f~v 2IR

3

~v~p = 0g

Como, en general, tal inmersion no viene dada canonicamente, hemos de describir el espacio tangente mediante propiedades intrnsecas de la variedad. Esto es, recurrir a las cartas que forman el atlas que describe su estructura diferenciable. As, y volviendo al caso de supercies en IR3, un vector tangente ~v a una supercie M en un puntop contenido en la imagen de una representacion parametrica local

~

x

:AIR 2

!MIR 3

(u1;u2)

7!~

x

(u 1;u2) viene dado por

~v =v1 @~

x

@u1 +v 2 @~

x

@u2

(4)J. Milnor.- On manifolds homeomorphic to the 7{sphere. Ann. of Math., 64(1956), pag. 399{ 405.

16 1 Variedades diferenciables. Subvariedades es decir, un vector esta determinado por un par de numeros reales (v1;v2), res-pecto a una representacion parametrica dada, que son sus componentes en la base f@~

x

=@u

1;@~

x

=@u2 g.

De nuevo aqu, recurrimos a vectores tangentes en IR3, pero estos se pueden entender como una aplicacion que asigna a cada funcion diferenciable un numero real determinado por el valor de la derivada direccional con respecto a ellos, en su punto de aplicacion. Y a esta interpretacion de vector es a la que acudiremos en una variedad.

Denicion 1.41

Un vector tangente a una variedad diferenciable M de dimension

n en un punto x 2M, es una aplicacion

v:F(x) !IR;

tal que jada una carta coordenada (U;') en M con x 2 U, existe una

n upla (a1;:::;an) de numeros reales tal que, para toda f

2F(x):

v(f) =Xn i=1

ai@(f' 1)

@ri j'(x)

:

Observemos que si v: F(x) ! IR es una aplicacion que verica esta propiedad relativamente a una carta coordenada (U;') con x 2 U, la misma propiedad se verica tambien para cualquier carta coordenada (V;) con x 2 V; es decir, existe unan{upla (b1;:::;bn) de numeros reales tal que,

8f 2F(x),

v(f) =Xn j=1

bj@(f 1)

@rj j(x)

:

En efecto, supongamos quevtiene a (a1;:::;an) comon{upla asociada a la carta (U;'), entonces:

v(f) = Xn

i=1

ai@(f' 1)

@ri j'(x) =Xn

i=1

ai@(f 1

' 1)

@ri j'(x)

= ()

= Xn i=1

ai

0 @

n X j=1

@(f 1)

@rj j(x)

@(rj' 1)

@ri j'(x) 1 A= = Xn

i=1

ai 0 @

n X j=1

@(f 1)

@rj j(x)

J_ij(' 1)

j'(x) 1 A= = Xn

j=1 n X 1=1

ai_Jij₍' 1)

j'(x) !

@(f 1)

@rj j(x) =Xn

j=1

bj@(f 1)

@rj j(x) donde J_ij('

1)

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas 17 Por tanto

v(f) =Xn j=1

bj@(f 1)

@rj j(x)

:

donde

bj ₌Xn i=1

ai_Jij₍' 1)

j'(x):

En consecuencia, esto signica que, para que una aplicacion v: F(x) ! IR sea un vector tangente en x 2 M, basta con que verique la condicion exigida en la denicion con respecto a una carta coordenada (U;') para que automaticamente la satisfaga para todas las cartas coordenadas.

Para un punto x 2 M, representamos por Tx(M) el conjunto de los vectores tangentes a M en x, al que llamaremosespacio tangente a la variedadM en x.

Sea ahora (U;') una carta coordenada con x 2 U, y sean (x

1;:::;xn) las fun-ciones coordenadas de esta carta. Para cada i = 1;2;:::;n, denimos:

@

@xi :F(x) !IR por

@

@xi(f) = @(f '

1)

@ri j'(x)

; 8f 2F(x) y observemos que _@x@_i 2Tx(M) trivialmente, puesto que lan{upla de numeros reales que le corresponde, relativamente a la carta (U;'), es (0;:::;1;:::;0), con el 1 en el i{esimo lugar.

Proposicion 1.42

Sea M una variedad diferenciable de dimension n. El espacio tangenteTx(M) en un puntox es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros reales IR de dimension n. Si (U;') es una carta coordenada con

x 2 U y (x

1;:::;xn) sus funciones coordenadas,

f@x@i;:::;@x@ng constituye una base deTx(M), denominada base canonica o natural asociada a la carta (U;').

(*) Regla de la cadena:

Dada una funcion G: IRn ! IR de n variables, G(x) = G(x

1;:::;xn), y si cada una de las variables es reemplazada por una funcion, xk _{= F}k_{(z), de otra variable}

z, m{dimensional, z = (z1;:::;zm). La funcion compuesta H, as formada, es una funcion de m variables z1;:::;zm, y la regla de la cadena, en este caso, consiste en un conjunto de m formulas, una para cada derivada parcial D1H;:::;DmH, cuya formula paraDrH(z) es

DrH

(z) = Xn k=1

DkG

(F(z)) DrFk

(z) (r = 1;:::;m):

18 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

Demostracion.- De forma natural, aTx(M) se le dota de una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros reales como sigue: si v; v1; v2

2 Tx(M) y

2IR, denimos

v1+v2:

F(x) !IR v:F(x)! IR (v1+v2)(f) =v1(f) +v2(f) (v)(f) =v(f)

8f 2F(x): Para ver que v1+v2;v

2 Tx(M), observemos que dada una carta coordenada (U;') con x 2 U, (a

1 1;:::;a

n 1), (a

1 2;:::;a

n 2) y (a

1;:::;an) las n{uplas de numeros reales asociados a v1, v2 y v respectivamente, entonces (a

1 1 +a

1

2;:::;a n 1 +a

n 2) es la n{upla asociada a v1 +v2 y (a

1;:::;an) es la n{upla asociada a v, ambas relativamente a la carta (U;').

Veamos ahora que f@x@ 1;:::;

@

@xng constituyen un sistema generador de Tx(M). Sea v 2 Tx(M); entonces, asociado a la carta (U;'), v determina una n{upla de numeros reales (a1;:::;an) de forma que, paraf

2F(x) arbitraria,

v(f) =Xn i=1

ai@(f' 1)

@ri j'(x) =Xn

i=1

ai @

@xi(f) = n X i=1

ai @

@xi !

(f);

luego

v=Xn

i=1

ai @

@xi y, por tanto,f@x@

1;:::; @

@xng generanTx(M).

Veamos, nalmente, que son linealmente independientes. Para ello, supongamos que tenemos una combinacion lineal

n X i=1

i_@x@_i = 0;

si se la aplicamos a cadaxj 2F(x), tenemos 0 =Xn

i=1

i_@x@_i(xj) =Xn i=1

i@(xj' 1)

@ri j'(x)

= Xn i=1

i@r_@rj_i

j'(x) =Xn

i=1

ij_i =j

luegoj _{= 0;} 8j2f1;2;:::;ng.

Cambio de basede vectores tangentes canonicos en un puntox 2M: Sean (U;') y (V;) dos cartas alrededor de un punto x 2 M, (x

1;:::;xn) y (y1;:::;yn) las respectivas funciones coordenadas y, nalmente,

f@x@ 1;:::;

@ @xng y f@y@

1;:::; @

@yng las correspondientes bases canonicas de Tx(M). Vamos a obtener la matriz que expresa el cambio de una base a otra.

Para obtenerla, observemos que,8f 2F(x) y cada i= 1;2;:::;n,

@

@xi(f) = @(f '

1)

@ri j'(x)

= @(f 1

' 1)

@ri j'(x)

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas 19

=Xn j=1

@(f 1)

@rj j(x)

@(rj' 1)

@ri j'(x) perorj=yj, paraj = 1;2;:::;n, luego

@

@xi(f) = n X j=1

@(yj' 1)

@ri j'(x)

@(f 1)

@rj j(x) =

=Xn j=1

@

@xi(yj)_@y@j(f) = 0 @

n X j=1

@

@xi(yj)_@y@j 1 A(f); y comof es arbitraria, se sigue

@ @xi =

n X j=1

@

@xi(yj)_@y@j

lo que signica que

@ @xi(yj)

es la matriz cuadrada de orden n que da el cambio de base correspondiente a un cambio de cartas. Conviene observar, para claricar las cosas, que se trata de una matriz numerica cuyos terminos estan dados por

@

@xi(yj) = @(yj '

1)

@ri j'(x)

= @(rj' 1)

@ri j'(x)

;

se trata pues de la matriz jacobiana de la aplicacion'

1de cambio de coordenadas valuada en el punto'(x).

Proposicion 1.43

Todo vector tangentev2Tx(M) satisface las siguientes propie-dades, paraf;g 2F(x) y 2IR arbitrarios:

1) v(f +g) =v(f) +v(g) 2) v(f) =v(f)

3) v(fg) =v(f)g(x) +f(x)v(g):

Demostracion.- Las tres propiedades se demuestran de forma analoga; centremo-nos, por tanto, en una de ellas, por ejemplo en la tercera.

Para ello, tomemos una carta (U;') arbitraria con x 2 U y sea (a

1;:::;an) la n{upla de numeros reales que determina a v en este sistema de coordenadas. Entonces

20 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

v(fg) = Xn

i=1

ai@ (fg)' 1

@ri j'(x)

=Xn i=1

ai@ (f' 1)(g

' 1)

@ri j'(x)

= =Xn

i=1

ai

@(f' 1)

@ri j'(x) (g'

1)('(x)) + (f '

1)('(x))@(g '

1)

@ri j'(x)

= = Xn

i=1

ai@(f' 1)

@ri j'(x)

g(x) +Xn i=1

aif(x)@(g' 1)

@ri j'(x) = = Xn

i=1

ai@(f' 1)

@ri j'(x) !

g(x) +f(x) Xn i=1

ai@(g' 1)

@ri j'(x) !

= =v(f)g(x) +f(x)v(g):

Es importante se~nalar que las propiedades 1), 2) y 3) de esta Proposicion carac-terizan totalmente a los vectores tangentes enx2M, las cuales se resumen diciendo que la aplicacionv: F(x) ! IR es una derivacion. Es decir, de forma equivalente a la que hemos dado, se puede denirTx(M) como el conjunto de las derivaciones

D(x) =fv:F(x)!IR

v es una derivacion g:

Para establecer esta equivalencia, observemos, en primer lugar, que D(x) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros reales con las operaciones

(v+w)(f) =v(f) +w(f); (v)(f) =v(f) 8v;w2 D(x) y 2IR: Para ver queTx(M) y D(x) coinciden, necesitamos el siguiente lema:

Lema 1.44

Sea (U;') un sistema coordenado alrededor de x0

2 M, con fun-ciones coordenadas (x1;:::;xn) y tal que xi(x

0) = 0; i = 1;2;:::;n y

'(U) =Bn

0("). Entonces para toda funcion f

2 F(x

0), existen n funciones

f1;:::;fn

2F(x

0), tal que

f(x) =f(x0) + n X i=1

xi_(x)fi(x) para x en un entorno de x0.

Demostracion.- Sea la funcion diferenciable F = f'

1: Bn 0(")

IR n

! IR; para (1;:::;n)

2Bn

0("), ponemos

F(1;:::;n) =

= F(1;:::;n) F(1;:::;n 1;0) +F(1;:::;n 1;0)

F(1;:::;n 2;0;0) +F(1;:::;n 2;0;0) +

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas 21

= Xn i=1

F(1;:::;i 1;ti;0;:::;0)

1

0+F(0;:::;0) = = F(0;:::;0) +Xn

i=1 Z

1 0

@F

@ri(1;:::;i 1;ti;0;:::;0)idt= = F(0;:::;0) +Xn

i=1

i_Fi(1;:::;n) donde las Fi, denidas por Fi(1;:::;n) =

R 1 0

@F

@ri(1;:::;i 1;ti;0;:::;0)dt es diferenciable. Poniendo fi =Fi', para i= 1;2;:::;n, queda probado el lema.

Proposicion 1.45

Existe un isomorsmo entre los vectores tangentes enx0 aM y el conjunto de las derivacionesD(x

0).

Demostracion.- Todo vector tangente v 2 Tx

0(M) verica las propiedades de la Proposicion 1.43, luego es un elemento de D(x

0). En particular los elementos de la base canonica f@x@

1;:::; @

@xngD(x 0).

Para establecer la otra inclusion, observemos en primer lugar que

v(c) = 0 para v2D(x

0) y c 2IR

pues v(c) = v(c1) = cv(1) = cv(11) = c(1v(1) + 1v(1)) = 2cv(1), ascv(1) = 0 y, por tanto, v(c) = 0.

Tomemos ahora una carta local (U;') de funciones coordenadas (x1;:::;xn) alrededor de x0, tal que (ver Nota 1.4) '(x0) = 0 y '(U) = B

n

0("). Demostremos, que para todo v 2D(x

0), se tiene:

v=Xn

i=1

v(xi)_@x@_i:

En efecto, 8f 2F(x

0) se tiene, utilizando el lema anterior:

v(f) =v

f(x0) + n X

i=1

xi_fi =Xn

i=1

v(xi_)fi(x 0) +x

i_(x

0)v(fi)

=

=Xn i=1

v(xi₎@f

@xi(x0) = n X i=1

v(xi₎ @

@xi !

(f):

Vamos a asociar a cada aplicacion diferenciable entre variedades una aplicacion lineal entre sus espacios tangentes.

Sean My N variedades diferenciables de dimensionesm y n, respectivamente, y

22 1 Variedades diferenciables. Subvariedades punto imagenF(x)2N, y los espacios tangentesTx(M) yTF

(x)(N). Parav

2Tx(M), vector tangente en el puntox2M, denimos

F(v):

F F(x)

!IR como la aplicacion dada por

[F(v)](h) =v(h F);

8h2F F(x)

Observemos que esta aplicacion esta bien denida, puesto que hF

2 F(x), al ser h y F diferenciables.

Proposicion 1.46

Para cadav 2Tx(M), F (v)

2TF

(x)(N) y la aplicacion

F:Tx(M) !TF

(x)(N) v 7!F

(v) es lineal (i.e. homomorsmo entre espacios vectoriales).

Demostracion.- Para ver queF(v) 2TF

(x)(N) tendremos que probar que si (V;) es una carta local en N, con F(x) 2 V, existe una n{upla (b

1;:::;bn) de numeros reales de forma que

[F(v)](h) = n X j=1

bj@(h 1)

@sj j(F(x))

8h2F(F(x)) dondesj_{: IR}n !IR es laj{esima proyeccion.

Para ello, consideremos una carta local arbitraria (U;') en M con x 2U, y sea (a1;:::;am) la m{upla de numeros reales tales que

v(f) =Xm i=1

ai@(f' 1)

@ri j'(x)

8f 2F(x) donderi_{: IR}m

!IR es la i{esima proyeccion.

Recordemos que, si (x1;:::;xm) y (y1;:::;yn) son las funciones coordenadas de las cartas (U;') y (V;), entonces

@ @x1;:::;

@ @xm y

n @ @y1;:::;

@ @yn

o

son bases de

Tx(M) y TF(x)(N) respectivamente. Se deduce, para h

2F(F(x)), que: [F(v)](h) = v(h

F) = m X i=1

ai @

@xi(hF) = m X i=1

ai@(hF' 1)

@ri j'(x) = = Xm

i=1

ai@(h 1

F' 1)

@ri j'(x)

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas 23

= Xm i=1

ai 0 @

n X j=1

@(h 1)

@sj j(F(x))

@(sjF' 1)

@ri j'(x)

1 A= = Xn

j=1 m X

i=1

ai@(yjF' 1)

@ri j'(x) !

@(h 1)

@sj j(F(x)) = = Xn

j=1

bj@(h 1)

@sj j(F(x))

:

Por tanto, F(v) 2TF

(x)(N).

Como h es arbitraria, de aqu se sigue

F(v) = n X j=1

bj_@y@_j con bj =v(yjF); (j= 1;2;:::;n):

Ademas, estas mismas expresiones nos permiten deducir queF es un homomor-smo entre espacios vectoriales y deducir cual es la matriz de numeros reales que tiene asociada con respecto a las bases canonicas

@ @x1;:::;

@ @xm y

n @ @y1;:::;

@ @yn

o . En efecto

F(

@ @xi) =

n X j=1

@

@xi(yjF) @

@yj

de lo que se sigue que F es lineal, y esta determinada por la matriz de coecientes: (F)

j

i = _@x@i(yjF) = @(s

jF' 1)

@ri j'(x)

i2f1;2;:::;mg j2f1;2;:::;ng es decir, que F esta representada por la matriz jacobiana, de mcolumnas y nlas, en el punto'(x), de la aplicacionF'

1.

Denicion 1.47

A la aplicacion lineal F : Tx(M)

! TF

(x)(N), inducida por la aplicacion diferenciable F : M ! N, entre los espacios tangentes en pun-tos correspondientes, le llamamosaplicacion lineal tangente de F, aplicacion inducida porF o tambiendiferencial de F.

Nota 1.48

Si hubiera necesidad de ello, para evitar confusiones, escribiremosF(x), para indicar el punto de partida. Se suele tambien representarF pordF; sin em-bargo, no la utilizaremos y reservaremos ladpara una situacion particular (funciones diferenciables), por una parte, y para el operador diferencial exterior (Teorema 2.53).

Proposicion 1.49

Sean F: M !N y G: N ! P aplicaciones diferenciables entre variedades. Entonces

(GF)

= G F

:

24 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

Demostracion.- Para un punto x2M se tienen las aplicaciones inducidas:

Tx(M) TF(x)(N) TG(F(x))(P)

F G

(GF)

-

6 Seanv 2Tx(M) y h2F G(F(x))

arbitrarios, entonces: [(GF)

(v)](h) =v h

(GF)

=v (hG)F

= = [F(v)](h

G) = [G

F(v)

](h) = [(G F

)(v)](h) y comov y h son arbitrarios se sigue: G

F

= (G F)

.

Ejemplo 1.50

Sea M una variedad diferenciable y U M un conjunto abierto. EntoncesU tiene una estructura de variedad diferenciable, la inducida por la de M

(Ejemplo 1.14), y la inclusioni: U ! M es una aplicacion diferenciable. Ademas, 8f 2F(M); f

jU

2F(U). Por ultimo,

i:Tx(U)

!Tx(M); 8x2U

es un isomorsmo, con lo que podemos identicar estos espacios tangentes.

Nota 1.51

Curvas sobre una variedad:

Consideraremos las curvas como un caso particular de aplicaciones entre varie-dades, pues trataremos con curvas parametrizadas.

Una curva en una variedad M es una aplicacion diferenciable de un intervalo abierto de IR enM. A menudo hableremos de una curva

: [a;b]IR!M;

donde [a;b] es un intervalo cerrado de IR, y en este caso suponemos que admite una extension diferenciable a un abierto de IR que contiene al intervalo [a;b].

Sea : I ! M, con I IR un intervalo, una curva diferenciable sobreM. Para cadat 2I, el vector tangente a la curva en el punto (t) es, por denicion

_

(t) =

d drjt

2T

(t)(M); donde ddr es el vector basico asociado a la coordenadar de IR.

Si (x1;:::;xn) es un sistema de coordenadas locales alrededor del punto (t), entonces

_

(t) =Xn i=1

d(xi)

dr jt

@ @xij(t)

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas 25 Habiendo denido los conceptos de curva y de vector tangente, podemos ahora dar una interpretacion geometrica de la aplicacion F inducida por la aplicacion diferenciable entre variedades F:M!N.

Siv 2Tx(M) tomemos una curva sobreMtal que(0) =xy _(0) =v; entonces

F es una curva enN, vericandose (F)(0) =F(x) y tambien _F(0) =F (v). Observemos que tal curva existe, sin mas que considerar una carta (U;') alrededor de x2M y tomar, por ejemplo, la imagen mediante'

1 de un segmento de la recta en IRn que pasa por '(x) y tiene la direccion del vector '(v). Tambien observemos que la obtencion del vector F(v), no depende de la curva elegida con tal que pase porx y sea tangente a v.

Aspues, para hallar la imagen de un vector v2Tx(M), trazamos una curva a la que el vector v es tangente, hallamos su imagen en Ny tomamos el vector tangente en esta curva, obteniendose el vector F(v).

Denicion 1.52

Denominamos espacio cotangente en el punto x de la variedad diferenciable M al espacio vectorial real T

x(M) dual del espacio tangente

Tx(M) en x. Un elemento! 2T

x(M) es, por denicion, una aplicacion lineal !:Tx(M)!IR, al cual denominaremos, indistintamente,vector cotangente, covector o 1{formaen el puntox.

Si U;(x1;:::;xn)

es una carta local conx 2U, la base canonica

@ @x1;:::;

@ @xn

deTx(M) nos permite denir por dualidad una base natural en el espacio cotangente

T

x(M) cuyos elementos los representamos por fdx

1;:::;dxn

g y que estan denidos por

dxi

@ @xj

=_ij

donde _ij son los deltas de Kronecker: _ij = 0;sii=6 j; ij = 1;si i=j:

Veamos ahora que la aplicacion lineal tangente de una funcion real se puede considerar como un elemento del espacio cotangente:

Seaf 2F(M) y x2M, entonesf induce, de forma natural, una aplicacion lineal

f:Tx(M) !Tf

(x)(IR) y, si se considera el isomorsmo natural,

f(x):Tf(x)(IR)

!IR dado por ddr 7!; siendo r: IR!IR la funcion coordenada en IR. Obtenemos la aplicacion

df =f(x) f

:Tx(M) !IR.

26 1 Variedades diferenciables. Subvariedades Veamos como esta denidadf; para ello, siv 2Tx(M), ponemosf

(v) = ddr, as

df(v) = (f(x) f

)(v) = f (x)

ddr

=

y tan solo nos queda por determinar este numero real:

=

ddr

(r) = f(v)

(r) = v(rf) =v(f) por tanto,

df(v) =v(f) 8v2Tx(M)

Como consecuencia de esta relacion, se tienen las siguientes propiedades, para

v;v0

2Tx(M) y a2IR:

df(v+v0) = (v+v0)(f) =v(f) +v0(f) =df(v) +df(v0)

df(av) = (av)(f) =a(v(f)) =adf(v) y, por tanto,df 2T

x(M).

Denicion 1.53

Para cadaf 2F(x), el elementodf 2T

x(M), denido pordf(v) =

v(f); 8v2Tx(M), se denominadiferencialde la funcionf en el puntox2M.

Nota 1.54

Observese que, en el caso particular de M = IRn, df es la diferencial ordinaria. Ademas, queda justicada la notacion para los elementos de la base dual fdx

1;:::;dxn gdeT

x(M), asociada a una carta local (U;(x1;:::;xn)), pues de hecho, comoxi_:U !IR,dxi es la diferencial de xi.

Sif 2F(x), x2U, entonces

df =Xn

i=1

@

@xi(f)dxi: En particular, si V;(y1;:::;yn)

es otra carta coordenada alrededor del punto

x, entonces la relacion entre las bases naturalesfdx

1;:::;dxn

g y fdy

1;:::;dyn g en

T

x(M) se expresa por

dyj ₌Xn i=1

@

1.5 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas 27 As como una aplicacion diferenciable entre variedades F : M ! N induce una aplicacion lineal entre los espacios tangentes, veamos que ella tambien induce una aplicacion lineal entre los espacios cotangentes en puntos correspondientes. Para ello solo tenemos que considerar la aplicacion traspuesta de F.

SeanT

x(M) y T

F(x)(N) los espacios contangente enx

2M y en su punto imagen

F(x)2N. Para! 2T

F(x)(N), 1{forma en el punto F(x)

2N, denimos

F(!): T

x(M)!IR como la aplicacion dada por

[F(!)](v) =! F (v)

; 8v2Tx(M)

Denicion 1.55

Si F: M ! N es una aplicacion diferenciable, x 2 M, un punto de M, y ! 2 T

F(x)(N), a la 1{forma F (!)

2 T

x(M) se le domina imagen

recproca de ! porF.

Proposicion 1.56

Sean F: M !N y G: N ! P aplicaciones diferenciables entre variedades. Entonces

(GF)

=F G

:

Demostracion.- Para un punto x 2M se tienen las aplicaciones inducidas entre los espacios cotangentes:

T

G(F(x))(P) T

F(x)(N) T x(M)

G F

(GF)

-

6 Sean !2T

G(F(x))(P) yv

2Tx(M) arbitrarios, entonces: [(GF)

(!)](v) =! (G F)

(v)

=!

G F(v)

= = [G(!)] F

(v)

=

F[G(!)]

(v) y comov y ! son arbitrarios se sigue: F

G

= (G F)

.

Nota 1.57

Si x 2 M, F : M ! N aplicacion diferenciable y f : N ! IR funcion diferenciable, como df 2T

F(x)(N), se tiene

F(df) =d(f F); pues, [F(df)](v) =df F

(v)

= [F(v)](f) =v(f

F) =d(fF)(v),

28 1 Variedades diferenciables. Subvariedades En particular, si (V;(y1;:::;yn)) es una carta coordenada alrededor de F(x)

F(dyj) =d(yj

F) = m X

i=1

@

@xi(yjF)dxi;

8j2f1;2;:::;ng:

Esto nos permite calcular los terminos de la matriz asociada la aplicacion lineal

F: T F(x)(N)

! T

x(M) respecto a los sistemas coordenados (U;' = (x1;:::;xm)), (V; = (y1;:::;yn)) alrededor de x

2M y F(x)2N, respectivamente: (F)j

i = _@x@i(yjF) =

@

@ri(yjF'

1) = @

@ri(sjF' 1);

Se trata de una matriz dencolumnas y mlas, que es la traspuesta de la matriz asociada a F, respecto de estos mismos sistemas de coordenadas.

1.6 Rango de una aplicacion diferenciable

Sea F : N ! M una aplicacion diferenciable entre variedades diferenciables de dimensionesn y m, respectivamente, y sea x 2 N. Si (U;') y (V;) son sistemas coordenados locales alrededor dexy deF(x), respectivamente, tales queF(U)V, entonces tenemos la correspondiente expresion de F en coordenadas locales:

b

F =F'

1:'(U)

!(V) (1;:::;n)

7 ! b

F(1;:::;n) = F1(1;:::;n); ::: ;Fm(1;:::;n)

:

Denicion 1.58

El rango de F en x es el rango de la matriz jacobiana de Fb en

'(x).

As, el rango de F en x es es el rango en '(x) de la matriz 0

B B B B B @

@F1

@r1

@F1

@rn

@Fm

@r1

@Fm

@rn 1 C C C C C A

'(x)

Esta denicion debe ser independiente de la eleccion de las coordenadas. Para lo cual basta observar que la matriz anterior es la asociada a la aplicacion lineal inducida entre los espacios tangentes Tx(N) en x a N y TF(x)(M) en F(x) a M, relativamente a las cartas (U;') y (V;):

F:Tx(N) !TF

(x)(M) pues, Fj _{= s}jF'

1.6 Rango de una aplicacion diferenciable 29

φ

φ φ

φ

φ

Rn I Rn

I R

m

I

Rm-k I

Rk

I

ϕ’

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

U’

V’

’(V’) ’(U’ )

-1

-1

F

F

F(x)

F

B A

G H

. .x

V U

’

’

’

’

’

ε

C0n( ) C ε

m ( )

0

Fig. 1.5: Teorema del rango

Denicion 1.59

Se llamarango de F enx al rango de la aplicacion lineal inducida

F:Tx(N) !TF

(x)(M).

Proposicion 1.60 (Teorema del rango)

SeaF:N!Muna aplicacion diferen-ciable entre variedades de dimensiones n y m, respectivamente, y supon-gamos que rangoF = k en todo punto de N. Si x 2 N, entonces existen sistemas coordenados (U;') y (V;) alrededor de x y de F(x) tales que

'(x) = 0 2 IR

n_{;'(U) = C}n

0(") y (F(x)) = 0 2 IR

m_{;(V) = C}m

0 (") y la expresion de F en coordenadas,Fb =

F'

1, esta dada por b

F(1;:::;n) = (1;:::;k;0;:::;0):

Demostracion.- Sean (U0;'0) una carta alrededor de x en Ny (V0;0) una carta alrededor del punto F(x) en M, vericandose F(U0)

V

0, entonces la aplicacion

0

F'

0 1:'0(U0) IR

n

!

0(V0) IR

m

30 1 Variedades diferenciables. Subvariedades es diferenciable y de rango constante igual ak en'0(U0), entonces existen (en virtud del teorema del rango entre espacios eucldeos) conjuntos abiertosA'

0(U0) yB

0(V0) con'0(x)

2Ay

0(F(x))

2B, y existen difeomorsmosG:A!Cn 0(")

IR n y H:B !Cm

0 (")

IRm, vericando H (

0

F' 0 1)

G 1

(Cn

0("))

Cm

0 ("), tal que esta aplicacion se expresa en la forma simple

H(

0

F' 0 1)

G 1

(1;:::;n) = (1;:::;k;0;:::;0): Consideremos ahora las cartas

(U;')

'0 1(A);G '

0 j'

0 1 (A)

alrededor de x; (V;)

0 1(B);H

0 j

0 1 (B)

alrededor de F(x);

con lo que

F'

1:'(U) =Cn 0(")

!(V) =Cm

0 ("); (

1;:::;n)

7 !(

1;:::;k;0;:::;0): (ver Fig. 1.5)

1.7 Subvariedades inmersas y embebidas o regulares

En esta seccion discutiremos varios tipos de subvariedades de una variedad dife-renciable. Este termino es usado en mas de un sentido en la bibliografa; sin embargo, todos coinciden en que una subvariedad N de una variedad diferenciable M es un

subconjuntoque a su vez es una variedad diferenciable. La confusion surge de que si debera o no requerirse que fuera unsubespacio topologico de M, esto es, que tenga la topologa relativa. Adoptaremos la denicion mas usual, a saber, unasubvariedad

diferenciable es la imagen N= F(N0) en M de una aplicacion F:N0

! M inyectiva y tal que rangoF = dimN0, N con la topologa y estructura diferenciable que hace a F:N0

!N un difeomorsmo. Nos referiremos a N en este caso como subvariedad

inmersa. Como demuestran los Ejemplos 1.68 y 1.69, la estructura diferenciable de

N puede tener una oscura y complicada relacion con la de M. Una nocion mas na-tural que desarrollaremos, es la desubvariedad regular, que como su nombre indica, sera un caso especial del anterior. Es mas natural ya que su topologa y estructura diferenciable se derivan directamente de la de M. Pasamos a exponer con detalle estos conceptos.

Denicion 1.61

Decimos que una aplicacion diferenciable F : N ! M es una

1.7 Subvariedades inmersas y embebidas o regulares 31

Denicion 1.62

SiF:N!Mes una inmersion inyectiva, entonces decimos que la imagenF(N), dotada de la estructura diferenciable que hace aF:N!F(N) un difeomorsmo, es una subvariedad (o subvariedad inmersa) deM.

F es un embebimiento si es una inmersion inyectiva que ademas es ho-meomorsmo deNsobre su imagenF(N), con la topologa como subespacio deM. La imagen de un embebimiento se llama subvariedad embebida.

Nota 1.63

Tambien se suele decir, para indicar que F(N) es una subvariedad, que el par (N;F) es una subvariedad de M. Cabe entonces, establecer una relacion entre pares que denan una misma subvariedad: Dos subvariedades (N1;F1) y (N2;F2) de M se dice que son equivalentes si existe un difeomorsmo : N1

! N

2 tal que

F1 =F2 .

N1 M

F1

-P

P P

P P

P P q

6

N2

F2

Esta es una relacion de equivalencia en el conjunto de todas las subvariedades de

M. Cada clase de equivalencia tiene un unico representante de la forma (A;i) dondeA

es un subconjunto deM con la estructura de variedad tal que la aplicacion inclusion

i:A ,!M es una inmersion. As, si (N;F) es un representante de la clase, entonces el subconjunto A de M debe ser F(N). Se induce una estructura de variedad en A

exigiendo que F: N ! A sea un difeomorsmo. Con esta estructura de variedad, (A;i) es una subvariedad de M equivalente a (N;F), y es la unica estructura de variedad sobreA con la propiedad de que (A;i) es equivalente a (N;F).

Veamos una serie de ejemplos que ilustren las deniciones dadas; en todos ellos las variedades M y N seran espacios eucldeos o abiertos en ellos, con coordenadas cartesianas; salvo en los Ejemplos 1.66 y 1.67 donde es mas comodo, para efectuar los calculos, considerar en IR2 coordenadas polares.

Ejemplo 1.64

La aplicacion F : IR ! IR 3

, dada por F(t) = (cost;sent;t), es inyectiva y tiene rango constante igual a 1 en todo t 2 IR. Por consiguiente, su imagenF(IR), una helice circular con eje elOZ, es una subvariedad de IR3. Ademas

F es un homeomorsmo sobre su imagen, considerando en esta la topologa inducida por la de IR3

, por lo queF es un embebimiento yF(IR) es una subvariedad embebida. Fig. 1.6.

Ejemplo 1.65

Sea F: IR ! IR

2 denida por F(t) = (cost;sent). Se trata de una aplicacion de rango igual a 1 para todo t2 IR. Sin embargo no es inyectiva, ya que los puntost = 2k+t0 tienen la misma imagen para cualquier enterok. Se trata de una inmersion, pero el par (IR;F) que describe la circunferencia unidad S1 en IR

2 no representa una subvariedad. Fig. 1.7.

32 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

R3 I

R2 I

(a) (b)

S1

Fig. 1.6: Helice Fig. 1.7: Circunferencia Fig. 1.8: Espirales

Ejemplo 1.66

Denimos F:]1;1[!IR 2 por

F(t) =

1

t cos2t;1t sen2t

:

La imagenF(]1;1[) es la curva espiral que tiende a (0;0) cuando t!1, y a (1;0) cuandot !1. ClaramenteF es inmersion (como se observa utilizando coordenadas polares), inyectiva y homeomorsmo sobre su imagen, esta con la topologa inducida por IR2. Se trata pues de una subvariedad embebida. Fig. 1.8 (a).

Ejemplo 1.67

Si denimos F:]1;1[!IR

2 como

F(t) =

t+ 1

2t cos2t; t+ 12t sen2t

:

La imagen de esta aplicacion describe, como en el Ejemplo 1.66, una espiral pero en este caso se enrolla en el crculo de radio 1

2 y centro en (0;0) cuando t

! 1

y tiende a (1;0) cuando t ! 1. Como all, se trata de una subvariedad embebida. Fig. 1.8 (b).

Ejemplo 1.68

La gura de \ocho" (conjunto de puntos de IR2, vericando x 4 4x2+ 4y2 = 0) esta descrita por la imagen de la aplicacion

F: IR!IR

2 denida por F(t) =

2cos t ₂

;sen2 t ₂

;

que es recorrida innidad de veces con periodo igual a 2. Se trata de una inmersion no inyectiva. No obstante, podemos hacer que dicha gura sea recorrida una sola vez, estableciendo previamente una biyeccion de IR en el intervalo ]0;2[, de la forma siguiente:

Para t ! 1 y t ! +1, nos aproximamos al (0;0) solo como lmite (ver Fig. 1.9). La inmersion esta dada por un cambio de parametro: Sea g: IR!IR una aplicacion monotona creciente y diferenciable tal que

g(0) = _tlim ! 1

g(t) = 0 _tlim !+1

1.7 Subvariedades inmersas y embebidas o regulares 33 por ejemplo, podemos poner g(t) =+ 2arctagt.

EntoncesG: IR!IR 2

, dada por

G(t) =F g(t) =

2cos g(t) ₂

;sen2 g(t) ₂

es ahora una inmersion inyectiva; por lo que (IR;G) representa la gura de \ocho" como subvariedad inmersa en IR2. Sin embargo, sigue ocurriendo que G no es un homeomorsmo sobre su imagen, ya queG 1 deja de ser continua en el puntoG(0). Fig. 1.9.

-1 1

(1,0)

Fig. 1.9: Figura de \ocho" Fig. 1.10: Curva no conexa

Ejemplo 1.69

Consideremos la curva en el plano denida por la imagen de la apli-cacion F: IR!IR

2, dada por

F(t) = 8 < :

(0;t+ 2) para 1< t 1

~(t) para 1t 1

(1

t;sent) para 1t <1

siendo, ~ : [ 1;1] ! IR

2 una curva que enlaza diferenciablemente los otros dos trozos. F(IR) es una subvariedad inmersa en IR2

. F no es un embebimiento, puesto que F 1 no es continua (basta tomar cualquier entorno de uno de sus puntos de la forma (0;y), con 1y 1). Fig. 1.10.

Nota 1.70

De los ejemplos previos podemos sacar las siguientes concluciones: Pri-mera, no todas la inmersiones consideradas son inyectivas globalmente (Ejemplo 1.65, 1.68) aunque si son localmente inyectivas. Y segunda, una inmersion aunque sea inyectiva no es en general un homeomorsmo sobre su imagen (considerada como subespacio topologico del conjunto de llegada), Ejemplo 1.68, 1.69. No obstante, localmente esto siempre es posible como se demuestra en la proposicion siguiente.

34 1 Variedades diferenciables. Subvariedades

Proposicion 1.71

Sea F: N ! M una inmersion. Entonces todo x 2 N tiene un entorno abierto U tal que FjU es un embebimiento de U en F(U)

M.

Demostracion.- De acuerdo con el Teorema del rango constante podemos escoger sistemas coordenados cubicos centrados en el origen (U;') y (V;) alrededor de

x2Ny deF(x)2M, respectivamente; esto es, tales que '(x) = 02IRn;(F(x)) = 02IRm, con'(U) =Cn

0(") y (V) =C m

0 ("), (cubos con la misma longitud de lado

") y tal que la expresion de F en coordenadas locales, Fb =

F'

1, esta dada por

b

F(1;:::;n) = (1;:::;n;0;:::;0):

ξn+1

=0,...,ξm

=0

φ

Rn I

Rm I

ϕ N

F

F(x)

F(U)

M

F

. .x

V U

ε

C0n( )

ε

C0m( )

Fig. 1.11: Inmersion ) Embebimiento local

Para ver queFjU es un homeomorsmodeU sobreF(U) con la topologa relativa, observemos en primer lugar que comoF(U) V y V es abierto en M, la topologa de F(U) como subespacio de Mes la misma que como subespacio de V: AsFjU es un homeomorsmos, pues lo son las aplicaciones': U ! Cn

0("), : V

! Cm 0 (") y b

F deCn

0(") sobre el subconjunto de C m

0 (") denido por

n+1= 0; ::: ;m= 0: