F es el conjunto de todas las funciones f : D → R ( D es cualquier

(1)

ESPACIOS VECTORIALES: OBJETIVO:

Reconocer la Estructura de Espacio Vectorial y utilizar sus propiedades.

1)DEFINICIÓN:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo K consiste en un conjunto V

≠

φ, sobre el cual están definidas dos operaciones denotadas por:

"+" adición de vectores

"

.

" Multiplicación de escalar por vector Las cuales satisfacen los siguientes axiomas:

i)

∀

x

,

y

∈

V

;

x

+

y

∈

V

Es decir +: VxV→ V, es una L.C.I ( x,y)→x+y

ii)

∀α

∈

K

y

∀

x

∈

V

,

α

x

∈

V

Es decir K x V →V, es una L.C.E (

α

,x) →

α

x

iii) Para cualesquiera x,y,z, en V se cumple ( x + y ) + z = x + (y + z ). iv) Para cualesquiera x,y en V se cumple x + y = y + x.

v) Existe un elemento 0 en V tal que x + 0 = x para cualquier x en V. vi) Para cada x en V, existe un elemento x

'

en V tal que x +x

´

= 0

vii) Para cualquier

α

,

β

∈

K

y cualquier x en V se cumple (

α

+

β

) x =

α

x +

β

x viii) Para cualquiera

α

,

β

∈

K

y cualquier x en V, se cumple

α

(

β

x

)

=

(

αβ

)

x

ix) Para cualquier

α

∈

K

y cualquier x en V, se cumple

α

(x+y ) =

α

x +

α

y x) Para cualquier x en V se cumple 1x=x

Observaciones:

a) A los elementos de V se les llama vectores y a los elementos de K escalares.

b) La ley de composición interna en V es llamada adición de vectores y la ley de composición externa es llamada multiplicación de escalares por vectores. Las leyes de K son llamadas la adición y la multiplicación de escalares

c) El hecho de que + sea una L.C.I en V, nos afirma que: si x = y y z = w, entonces x + z = y + w

d) El hecho de que "

.

" sea una L.C.E en V con escalares K nos afirma que: si

α

=

β

y x =y, entonces

α

x =

β

y.

e) Al elemento 0 de la condición (v) se le llama el vector nulo y para cada x en V al elemento x

´

de la condición (vi) se le llama el vector opuesto de x, y se denota por –x.

f) Para cada par de vectores x e y de V al vector x+(-y) se le llama la diferencia de x e y y se denota x-y.

g) Las condiciones (i), (ii), (iii) y (iv) nos afirma que el par ordenado (V,+) es un grupo abeliano con neutro 0.

(2)

i) Es importante resaltar que estamos usando un símbolo "+", para denotar dos leyes distintas, la adición de K y la adición de V.

j) Algunos autores para indicar las leyes definen espacio vectorial como un cuarteto ordenado (V, + , K, ·)

k) Por lo general se llama espacio vectorial al conjunto V y se supone que las operaciones son las usuales y el cuerpo R. En caso contrario deben indicarse.

EJEMPLOS:

1. (R , +, R, .) es un espacio vectorial, donde R son los pares ordenados de números reales sobre el cuerpo de los números reales. "+" es la suma usual de pares ordenados y "

.

" el producto usual de escalar por par ordenado.

2 2

2. (R, +, R, .) es un espacio vectorial. 3. V={0} es el espacio vectorial trivial

4. V=

{ }

1

con las operaciones adición y multiplicación usual, no es un espacio vectorial, sobre R 5. Sea V el conjunto de todos los puntos en R2 que se encuentran sobre una recta que pasa por

el origen, con la adición usual y el producto usual, de un escalar por un par ordenado: V=

{

( )

x

,

y

∈

R

2

/

y

=

mx

,...

m

∈

R

}

. V es un espacio vectorial.

6. El conjunto de puntos de R que se encuentra en una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial.

2

7. (P , + R, .) es un espacio vectorial, P₃es el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a 3, con coeficientes reales, "+" adición usual de polinomios y “.” es la multiplicación usual de un número real por un polinomio.

3

8. El conjunto de matrices invertibles nxn no forma un espacio vectorial, con las operaciones usuales adición y multiplicación por escalar

9. El conjunto V=Rmxn, K=R es un espacio vectorial.

10.(

F

,+,R,.) donde

F

es el conjunto de todas las funciones f : D → R ( D es cualquier conjunto no vacío)

Propiedades:

En cualquier espacio vectorial V sobre un cuerpo K se verifica: a) El vector nulo es único.

b) El opuesto de cada vector es único

c) Todo elemento de V es cancelable para la adición esto es si x+y = x+z, entonces y=z d) La ecuación en w, x+w=y tiene solución única en V para cualesquiera x,y en V.

Además para cualquier x,y∈V y para todo α,β∈K se verifica: e)

α

0 = 0

f) 0 x= 0

g)

α

X = 0 →

α

= 0 ∨ x = 0 h) (-1) x = -x

i) (

α

–

β

) x =

α

x –

β

x

(3)

1. Determine si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K= R:

V=

{

( )

x

,

y

∈

R

2

/

y

≤

0 }

con la adición usual de pares ordenados y la multiplicación usual por un escalar.

2. DEFINICION:

Sean (V,+,K,.) un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V. Diremos que S es un subespacio vectorial de V si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composición definida en V. Es decir que (S,+,K,.) es también un espacio vectorial.

Observaciones:

a) De la definición anterior podemos concluir que un subconjunto S de un espacio vectorial de V sobre un cuerpo K es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que:

i) x, y ∈ S

⇒

x + y ∈ S. ii) x ∈ S ∧ α∈K

⇒

αx ∈ S iii) 0∈ S

iv) x ∈ S

⇒

-x ∈S .

Nota: esto se debe a que los demás axiomas se cumplen para todos los elementos de V y son heredados por S.

b) Para indicar que S es un subespacio de V denotaremos S≤ V

c) Para cualquier espacio vectorial V sobre un cuerpo K se tiene que {0} y V son subespacios vectoriales de V. A estos subespacios se les llama los subespacios triviales de V, en particular a {0} se le llama el subespacio nulo.

Ejemplo: Considere el espacio vectorial R2 y S=

{

(

a

₁

,

a

₂

)

∈

R

2

/

a

₁

+

a

₂

=

0 }

. Verifique que S

≤

V.

TEOREMA:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea S un subconjunto no vacío de V. S es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifican las siguientes condiciones:

i) x, y ∈ S → x + y ∈ S ii) x ∈ S →

α

x

∈

S

, ∀

α

∈K

Nota: Las condiciones i,ii de este teorema se pueden ensamblar de la forma siguiente ∀x,y∈V, ∀α∈K:

(

α

x

+

y

)

∈

S

Observación:

(4)

Por otra parte si S≤ V, entonces 0∈S y por lo tanto si 0∉S podemos asegurar que S no es un subespacio de V. Luego para mostrar que S ≠ φ conviene determinar si 0∈S. En la práctica la condición S ≠φ es sustituida por la condición 0∈S.

EJERCICIOS:

a) Determine cuál de los siguientes conjuntos son subespacios de R3: V1=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

/

z

=

2 x

−

y

}

3

V2=

{

(

a

,

2 ,

2 )

:

a

∈

R

}

V3=

{

(

a

,

b

,

c

)

:

a

+

b

+

c

=

0 }

V4=

{

(

a

,

b

,

c

)

:

a

+

b

+

c

=

3 }

V5={(x,y,z)∈R3: z=sen(x+y)} V6={(x,y,z)∈R3: x2-y2+z=0}

b) Sea

F

[0,1

]

el espacio de las funciones reales definidas en [0,1]. Determine si los siguientes conjunto son subespacios de

F

[0,1].

C

[0,1]: funciones reales continuas en [0,1]. D[0,1]: funciones derivables en [0,1]

3. OPERACIONES CON SUBESPACIOS: 3.1 Intersecciónes de subespacios.

Sea {S } con i = 1,2,...n una familia de subespacios de un espacio vectorial V. Denotaremos con ..., la intersección de dicha familia.

i

, 3 2 1

S

∩

S

_n

TEOREMA:

La intersección de toda familia de subespacios de un espacio vectorial V, es un subespacio de V.

EJEMPLOS:

Sea V=R donde S3 1 y S2 son subespacios de V. Demuestre que S1

∩

S2 es un subespacio de V.

a)

S

₁

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

3

;

z

=

0 }

y

S

₂

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

3

;

y

=

0 }

b)

S

₁

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

3

/

2 x

−

y

−

z

=

0 }

y

S

₂

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

3

/

x

+

2 y

+

3 z

=

0 }

3.2 Unión de subespacios

Si S1 y S2 son dos subespacios de un espacio vectorial V, entonces S1

∪

S2 no es necesariamente

un subespacio de V.

(5)

En (R , + R .) sean los subespacios: 2

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

_∈

₌

=

x

y

R

y

x

S

2

1 ;

)

,

(

2

1

y

S

₂

=

{

(

x

,

y

)

∈

R

2

;

y

=

x

}

. Demuestre que S1

∪

S1 no es subespacio de R .

2

3.3 Suma de subespacios.

Sean S1 y S2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Definimos el conjunto

S1 + S2 = {x ∈V / x= x1 + x2 donde x1∈ S1 y x2∈ S2}

O bien

S = { x1 + x2 / x1∈ S1 y x2∈ S2}

El conjunto S se llama suma de los subespacios S1 y S2. Se indica S = S1 + S2.

TEOREMA.

La suma de dos subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

EJEMPLOS:

a) Sea V=R y los subespacios 2

S

₁

=

{

(

x

,

y

)

∈

R

2

;

x

=

0 }

y

S

₂

=

{

(

x

,

y

)

∈

R

2

;

y

=

0 }

. Calcular S1 + S2.

b) Sea V= R y los subespacios 3

S

₁

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

3

;

z

=

2 x

∧

y

=

0 }

y

S

₂

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

3

/

z

=

3 x

∧

y

=

0 }

. Hallar S1 + S2.

3.4 Suma directa:

Si H y S son subespacios de V, H + S es subespacio de V. Si H

∩

S =

{ }

0

, al subespacio H+S; se le llama suma directa de H y S y se denota por H

⊕

S.

Ejemplo:

Sean

S

₁

=

{

(

x

,

y

)

∈

R

2

;

y

=

4 x

}

≤

R

2 y

S

₂

=

{

(

x

,

y

)

∈

R

2

;

y

=

5 x

}

≤

R

2. Hallar S1 + S2 y determine si la suma es directa.

Propiedad: Si el espacio vectorial V es la suma directa de los subespacios H y K ( V=H

⊕

K ) entonces para todo v∈V existen únicos h∈H y k∈K tales que v=h+k

(6)

Sea S=

{

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

,....,

v

_n

}

subconjunto del espacio vectorial V llamaremos Combinación

Lineal de los vectores de S a todo vector de la forma V=

α

₁

v

₁

+

α

₂

v

₂

+

....

+

α

_n

v

_n con

K

n

∈

α

₁

,

₂

,....,

(escalares).

EJEMPLOS:

a) En R3 sean V₁(1,0,3), V (2,0,0) y V (0,1,2). Demostrar que el vector (-4,1,5) es C.L de V₁, V , V .

2 3

b) La matriz C=

_⎟⎟

se puede expresar como C.L de las matrices:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

3

9

1

8

2

3

A=

_⎟⎟

y B=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

5

1

4

0

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

6

3

2

1

0

. En efecto C= 3A + 2B

c) En Pn todos los polinomios se pueden expresar como C.L de los monomios 1, x, x ,....,x

2 n

d) ¿Cualquier vector (x,y,z) se puede expresar como C.L de los vectores V₁, V , V dados en (a) ?

3

R

∈

₂ ₃

TEOREMA.

Si A=

{

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

,....,

v

_n

}

subconjunto de un espacio vectorial (V, + K, .), entonces el conjunto de todas las C.L de los vectores de A, forman un subespacio de V.

Notas:

i) Denotemos

A

como el conjunto de todas las C.L de los vectores de A ii) Al subespacio

A

se le llama subespacio generado por A

iii) En el caso particular

A

= V, al conjunto A se le dice conjunto generador

iv) Que A sea un conjunto generador del espacio V significa que todo vector de V se puede expresar como C.L de los elementos de A.

EJEMPLOS:

a) Sea A=

{

v

₁

,

v

₂

}

⊆

R

3 donde v₁= (1,0,1) y v =(0,1,1). Halle ₂

A

.

b) Sean (M₂

(

R

)

,+,R,.) y A= . Hallar

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

0

(7)

c) En (R3, +, R, .) y A=

({

−

2 ,

3 ,

1 )}

. Hallar

A

.

5. VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y LINEALMENTE DEPENDIENTES:

Si V es un espacio vectorial y S=

{

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

,....,

v

_n

}

⊆

V

entonces la ecuación

n n

v

α

₁ ₁

+

₂ ₂

+

....

+

= 0, tiene al menos una solución trivial (

α

₁

=

α

₂

=

....

=

α

_n

=

0

).

¾ Si la solución trivial es la única solución, entonces se dice que S es un conjunto de vectores linealmente independientes ( L.I)

¾ Si existen otras soluciones entonces decimos que S es un conjunto linealmente dependiente (L.D)

Ejemplo:

Determine si A=

{

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

}

⊆R3 es L.D o L.I.

Sabiendo que v₁= (1,-2,0) , v = (2,1,3) y v = (4,-3,3). ₂ ₃

TEOREMA.

Si los vectores

v

₁

,

v

₂

,....,

v

_n de un espacio vectorial V forman un conjunto L.D, entonces uno de ellos es C.L de los demás.

Nota:

¾ Un Conjunto formado por un único vector no nulo constituye un conjunto L.I.

¾ Todo conjunto al que pertenezca el vector nulo es L.D.

¾ Dos vectores de un espacio vectorial V son L.D si y solo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

¾ Si un vector es C.L de un conjunto de vectores L.I entonces dicha C.L es única.

¾ Un conjunto A finito y no vacío de vectores es L.I si y solo si ningún vector de A puede expresarse como una C.L de los restantes vectores de A.

6. BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

♦ Sea A=

{

v

₁

,

v

₂

,

v

₃

,....,

v

_n

}

un conjunto de vectores en un espacio vectorial (V, +, K, .). A es una base de V si y solo si A es L.I y A genera a V.

(8)

a) En R A=2

{

(

2 ,

0 ),

(

1 ,

−

2 )

}

y B=

{

(

1 ,

0 ),

(

0 ,

1 )

}

( Base canónica) b) En

R

3 A=

{

(

1 ,

0 ,

0 ),

(

0 ,

1 ,

0 ),

(

0 ,

1 )

}

( Base canónica)

c) En P₂

(

R

)

B =

{

1 ,

x

,

x

2

}

d) En M₂_x₂

(

R

)

C=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

0

0 ,

0

1

0

0 ,

0

1

0 ,

0

1

Observaciones:

i) Un espacio vectorial puede tener varias bases

ii) Dos bases distintas de un mismo espacio vectorial tienen un mismo número de elementos, tal número se llama la dimensión del espacio.

♦ Llamaremos dimensión de un espacio vectorial al número de elementos de una base cualquiera del espacio.

Nota:

1. La dimensión de V se denota así dim(V).

2. Diremos que V tiene dimensión finita si tiene una base finita.

3. Si un espacio no tiene dimensión finita se dice que tiene dimensión infinita. 4. Si V=

{

0 }

entonces dim(

{

0 }

)= 0, ¿ Existirá una base para V ?

5. Si U y V son subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial, ambos de dimensión finita entonces: dim(V + U)= dim(V) + dim(U)-dim(V

∩

U).

7. NULIDAD DE UNA MATRIZ:

Sea A una matriz mxn, definamos a N_A como el conjunto

{

x∈Rnx1: Ax = 0

}

, a este conjunto N se le llama núcleo de la matriz A, y se le llama nulidad de A a la dim(N ). La nulidad de una matriz A la denotaremos por η

A A

A

Nota: N es un subespacio de R_A nx1

. Al espacio R

nx1

también se acostumbra denotarlo

Rn

, mas adelante ofreceremos la justificación.

(9)

Sea A una matriz mxn, definamos a IA como el conjunto

{

_y_∈_Rmx1_:_Ax ₌_y_para_algún_x_∈_Rnx1

}

el cual llamaremos imagen o recorrido de A, luego a la dim(IA) se le denomina rango de A y se denota por

ρ

A.

Notas: I _A es un subespacio de Rmx1.

ρ

_A es igual al número de columnas LI de A y al número de filas LI de A

11.ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR:

Sea (V, +, R,

.

) un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales, llamaremos producto interno (pi) en V a toda función : VxV

o

→

R que satisfaga las siguientes propiedades:

i) x y = y

o

x,

∀

x,y

∈

V

ii) (x+y)z = x z + y

o

z

∀

x,y,z

∈

V

iii) (

α

x) y =

o

α

(x y)

o

∀

x,y

∈

V,

α

∈

R

iii) x x

o

≥

0

∀

x

∈

V

y x

o

x = 0

↔

x = 0

Ejemplo:

1. En R se define usualmente el pi de la siguiente forma x =n

(

x

₁

,

x

₂

,

x

₃

,..,

x

_n

)

,

y=

(

y

₁

,

y

₂

,

y

₃

,...,

y

_n

)

, luego x y =

o

(

+

)

=

∑

=

n i i i n

n

y

x

y

x

y

x

y

x

1 2

2 1

1

...

Nota: verificar que se cumplen las condiciones para x

o

y = x.yT

2. En particular en R si x= (2,-1) y y= (3,4), entonces x2

o

y = 2

3. En R sea la función * definida por 2

(

x

₁

,

x

₂

) (

*

y

₁

,

y

₂

)

=

x

₁

y

₁

−

x

₂

y

₂. Verifique que * no define un pi.

Observaciones:

a) En un espacio vectorial se pueden definir más de un pi, aunque hay un usual

b) Una función que no es un pi en un espacio vectorial, puede serlo en otro espacio vectorial

EJERCICIOS: Verifique que "

o

" define un producto interno en V

(10)

2. Sabiendo que A, B

∈

M₂_x₃

(

R

)

, A

o

B=

∑

a_ijb_ij 1≤i≤2 y 1≤j≤3

Propiedades:

i) x

o

0 = 0 ,

∀

x

∈

V

ii) x

o

(y+z) = x y + x

o

z,

∀

x

,

y

,

z

∈

V

Definición: Si V es un vector de un espacio vectorial con pi, entonces la "norma de V" denotada por

V

se define así

V

=

V

o

V

, también es equivalente a

V

2

=

V

o

V

.

Propiedades:

i)

α

x

=

α

x

ii) x

≥

0

y

x

=

0 ⇔

x = 0

iii)

x

+

y

≤

x

+

y

iv)

x

o

y

≤

x

o

y

desigualdad de Schwarz

Definición: Se define ángulo entre dos vectores no nulos x e y al número real

α

tal que: i)

0 ≤

α

≤

π

ii) cos

y

x

y

x

_o

=

α

Nota: Dos vectores son ortogonales si el pi entre ellos es cero(0).

12.BASE ORTONORMAL DE UN ESPACIO VECTORIAL:

Sea (V,+,R,

.)

un espacio vectorial con producto interno y sea A=

{

x

₁

,

x

₂

,....

x

_n

}

una base de V.

Diremos que A es una base ortonormal si y sólo sí

⎩

⎨

⎧

=

≠

=

j

i

si

j

i

si

x

_i _j

....

...

1 ....

...

0 o

.

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt:

Sea B =

{

una base del espacio vectorial V con pi. Se puede obtener una base A=

{

que sea ortonormal, siguiendo los siguientes pasos:

}

v

n

v

₁

,

₂

,....,

n

(11)

Paso 1. Se obtiene

1 1 1

v

x

=

Paso 2. Se calcula

v

₂'

=

v

₂

−

(

v

₂

o

x

₁

)

x

₁ (vector ortogonal con

x

₁)

Paso 3. Se normaliza

v

₂' , es decir

' 2 ' 2 2

v

x

=

Paso 4. Se calcula

v

₃'

=

v

₃

−

(

v

₃

o

x

₁

)

−

(

v

₃

o

x

₂

)

x

₂

Paso 5. Se obtiene

' 3 ' 3 3

v

x

=

Paso 6. Se calcula siguiendo los pasos en forma análoga...hasta obtener el último vector de A

' 4

v

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Determine si las cuaternas que se indican denotan espacios vectoriales: i) (R, +, Q, .) ii) (Q, +, Q, .) iii) (Q, +, R, .)

2. Sean V= R , K=R. Determine si las operaciones dadas definen sobre V una estructura de espacio vectorial.

2

a) (a,b) +(a',b') = (

'

2

1

2

1 ,

'

2

1

2

1 b

b

a

+

);

α

(

a

,

b

)

=

(

α

a

,

α

b

)

b) (a,b) +(c,d) = (a+c,b+d) ;

α

(

a

,

b

)

=

(

α

a

,

b

)

c) (a,b) +(c,d) = (a+c,b+d) ;

α

(

a

,

b

)

=

(

α

2

a

,

α

2

b

)

3. En los siguientes ejercicios determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es o no subespacio de V

a) V = R , H= 2

{

(

x

,

y

)

/

y

≥

0 }

b) V = R , H= 2

{

(

x

,

y

)

/

y

=

x

}

c) V = R , H= 2

{

(

x

,

y

)

/

x

2

+

y

2

≤

1 }

d) V = R , 3

H

=

{

(

x

,

y

,

z

)

∈

R

3

;

ax

+

by

+

cz

=

0 ,

a

,

b

,

z

∈

R

}

(12)

f) V = Mn(R), H= Conjunto de matrices triangulares superiores g) P , H= Conjunto de los polinomios de grado 2. ₄

4. Sean los vectores v₁

(

−

1 ,

0 ,

2 ),

v₂

(

−

1 ,

2 ,

4 ),

en R3. Determine si los vectores v= (-1,1,3) y u =(1,2,2) son C.L de los vectores v₁ y v . ₂

5. Determine si los vectores dados son L.D o L.I. a) (1,-2,3) , (2,-2,0), (0,1,7)

b) (1,-3,7), (3,0,4), (11,-6,12)

c) En P₃ : 2x, x -3, 1- x- 4x , x + 18x - 9 3 3 3

e) En R2x2 :

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

0

0 ,

1

2

1 ,

1

3

0

1 ,

6

0

1

6. En cada una de los siguientes problemas: (a) determinar el subespacio S de (R , +, R, .) generado por los vectores dados, (b) Obtener una base de S, (c) dim(S).