2
x 3xy2 8
m n m n
a a
a ⋅ = +
TEMA 3. POLINOMIOS
Expresión Algebraica: Conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Nacen para traducir a lenguaje matemático enunciados en los que aparecen datos desconocidos.
Ej: x2−3xy2+8 Variables: letras que intervienen en las expresiones algebraicas
Término o Monomio: Cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. Producto de un número por una o varias letras. (Nota: cuando se quiere indicar una multiplicación entre variables o entre variables y números, para simplificar la notación, no se pone el signo de la multiplicación Ej.: 3⋅x⋅y2 se escribe 3xy2).
Partes de un monomio:
• Coeficiente: es la parte numérica, el número que interviene. En
• Parte Literal: son las letras o incógnitas.
Grado de un monomio: suma de los exponentes de su parte literal (nº de factores que forman su parte literal).
En el ejemplo anterior:
x2: su coeficiente es 1, y es de segundo grado. -3xy2: su coeficiente es -3 y es de tercer grado.
8 : término independiente ( es un monomio de grado cero, pues x0 =1)
Valor numérico de un monomio: resultado que se obtiene al sustituir el valor de la variable.
Monomios Semejantes: los que tienen la misma parte literal. Ejemplos:
¾ x, 3x ¾ 7x2, x2 ¾ 4y3, 17y3 ¾ 3x2y, 8x2y
1) Determina el grado de cada monomio:
a) −3ab2c b) −5xy3 c) 7x3y2z4
2) Calcula el valor numérico de los monomios siguientes para x = 3, y = -2, z = 1: a) −6x2yz b) 3x2 c)4xy2 d) −2xz3
3) Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:
a) 2ab2 b) 12x3 c) 5y11t7
OPERACIONES CON MONOMIOS:
Suma o Resta: Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Se suman los coeficientes y se deja la misma
parte literal. ( Ej.: 3a3b+7a3b=10a3b)
Multiplicación: Se multiplican los coeficientes y con las partes literales se actúa como con productos de potencias de
la misma base. ( Ej.: 5x2y3⋅3x3y=15x5y4). Recuerda
División: Se dividen los coeficientes y con las partes literales se actúa como en las divisiones de potencias de la
misma base. ( Ej.: 15x5 ÷3x−2 =5x7). Recuerda an :am =an−m
4) Reduce los términos semejantes que encuentres en las expresiones:
a) x+x+x= b) 2x2 +6x2 −5x2 = c) 2ab2 +3ab2 −ab2 = d) 3x7 +4x+7x7 = e) x3 −5a x2 +7x3 = f) x0 +x0 +x0 =
5) Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) x⋅x= b) y⋅y⋅y⋅y= c) z⋅z2⋅z3 =
d) x⋅(−x)⋅(−x)= e) (−2x2y)⋅(−4xy3)= f)
(
−3x3a2b)
2 =g)
(
3x2ab)
⋅(
5xac)
=Polinomio: suma de dos o tres monomios. Puede ser:
¬ Completo: cuando tiene todos los monomios de grado inferior a n.
¬ Ordenado: Si están escritos de menor a mayor o viceversa.
¬ Opuesto: al que resulta de cambiar de signo todos sus términos.
Grado del Polinomio: al mayor de los grados de los monomios, después de reducir el polinomio.
Ej.6x3 −5x2 +4x3 −2x−10x3 =5x2 −2x. Su grado es dos y no tres.
Valor Numérico de un Polinomio: el que se obtiene al sustituir el valor de la variable.
6) Di el grado de cada polinomio: a) x5 −6x2 +3x+1
b) 5xy4 +2y2 +3x3y3−2xy
c) x2 +3x3 −5x2 +x3 −3−4x3
7) Reduce (simplifica) los siguientes polinomios:
a) P(x)
=
4−3x2 +x+x2 +1b) P(x)
=
x4 −4−3x2 +x+x2 +1−3x4 −3x8) Calcula el valor numérico de los anteriores polinomios para x = 2.
9) Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x =1. ¿Y para x = -1?
a) x+1 b)x3 +1
c) 1x2 + d) x4 +1
Simplificamos cada polinomio poniéndolo en su forma reducida.
Se suman o se restan las columnas de monomios semejantes
Colocamos los polinomios haciendo coincidir los términos semejantes.
Ordenamos cada polinomio y completamos con ceros (o dejamos huecos) en los monomios que falten.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma y Resta:
1º
2º
3º
4º
Nota:También podemos colocar en línea los polinomios y agrupar los términos semejantes hasta dejar lo más reducido posible el polinomio resultante.
10) Quita paréntesis y realiza las siguientes operaciones:
a)
(
−3x3 +5x+3) (
− 5x3 −3x2 +5)
= b)(
3x3−5x+1) (
+ x2 −7x−3)
= c)(
x3 −5x+7) (
− 6x3 +5x2 −6x+2)
=d)
(
x3 −5x+7)
−(
2x+3)
+(
−3x3 −2x2 +x+2)
=11) Sean:
a)p(x)=
(
x2 −3x3+5x+3)
y q(x)=5x3 +3x2 −11 b)p(x)=(
3x3 +2x2 −x−4)
y q(x)= x3 −x2 −9x+3 c)p(x)=x7 −8x4 +3 y q(x)=x5 +3x3 −6d)p(x)=10x4 +x2 +1 y q(x)=x5 +7x2 −x
e) p(x)=−x4 −x3−2 y q(x)=−3x4 −2x2 −x−5
Calcula p+q y p−q
Producto: se multiplica cada monomio de uno de los polinomios por todos y cada uno los monomios del otro polinomio y después agrupamos los monomios semejantes.
12) Multiplica:
a)x⋅(2x+y+1)= b)2a2⋅
(
3a2 +5a3)
= c) ab⋅(
a+b)
= d)5⋅(
3x2 +7x+11)
= e) x2y⋅(
x+y+1)
= f) 5xy2⋅(
2x+3y)
=Ordenamos los polinomios del dividendo y del divisor de forma decreciente. Si están incompletos podemos completarlos con ceros o dejamos espacios.
Bajamos el siguiente término del dividendo y repetimos el proceso con el nuevo dividendo formado (resto parcial).
Multiplicamos el monomio obtenido por todos los términos del divisor y el resultado obtenido lo colocamos debajo del dividendo y restamos. O le cambias el signo y sumas. Hallamos el cociente entre el monomio de mayor grado del polinomio dividendo y el monomio de mayor grado del polinomio divisor.
13) Multiplica:
a)
(
2x2 −x+3)
⋅(
x−3)
= b)(
−x2 +3x−5)
⋅(
2x−1)
= c)(
x2 −5x−1)
⋅(
x−2)
= d)(
2x+1)
⋅(
3x3 −5x2 +6)
= e)(
x2 −2) (
⋅ 2x2 +x−3)
=14) Realiza las siguientes operaciones con polinomios:
a)3⋅
(
x3 −5x+7) (
− 2x3 +6x2 +11x+4)
= b) 2x⋅(
3x2 −5x+1) (
+5⋅ 3x2 −5x+1)
−21x2 = c)[
(
3x2 −7x−1)
⋅(
3x+2)
]
+3x5 −x4 +2x2 −6= d)(
6x4 −7x3 +2x2 −x+1)
⋅(
2x−1)
=e)
(
4x3 −7x) (
⋅ 2x2 −1) (
− 6x2 −4x−3)
= f)x⋅(
x2 −4)
+(
x+3) (
⋅ x+1)
=g)
(
x2 −x+1)
⋅(
x−2)
−(
x2 +x−1)
⋅(
x−3)
= h)2x2(
x−2) (
−3x+4)
⋅(
x2 −1)
=División:
1º
2 3
2 − +
x
x x−1
2º
x
x x2 =
3º
2 3 2 − +
x
x x−1
−x2 +x
x −2x+2
4º
2 3 2 − +
x
x x−1
−x2 +x x - 2 −2x+2
+ 2x - 2 0
15) Realiza las siguientes divisiones:
a)
(
x3 −3x2 +2x)
÷x= b)(
4x4 −2x3 +x+1)
÷(
2x+1)
= c)(
x3 +x2 +x+1) (
÷ x2 +1)
= d)(
x4 −2x)
÷(
x−1)
=e)
(
2x3−3x2 −x−2)
÷(x−2)= f)(
2x3+x2 −2x−1)
÷(
x+2)
= g)(
3x4 +2x3 −x+1)
÷(
x−1)
= h)(
2x4 +2x2 +12x−6)
÷(
x+2)
= i)(
x5 +2x3 −x2 +3)
÷(
x+1)
= j)(
x4 −8x2 +16)
÷(
x+2)
=Comprueba que D (Dividendo) = d (divisor) x C (cociente) + R (Resto).
SACAR FACTOR COMÚN
Cuando hay un factor multiplicando en todos los términos de un polinomio, se puede sacar dicho factor como “Factor Común”.
Ej.: 3x2 −9x−12=3⋅
(
x2 −3x−4)
16) Saca Factor Común:
a)2x2 +6x+4= b)−6x2 −18x−12= c)x3 +x2 −2x=
d)2x4 −4x3−12x2 +6x= e)3x2 +6x= f)a4 −3a2 =
g)
(
x+1)
⋅a+(
x+1)
⋅b= h) ⋅(
+)
− = 2 5 2 x x xi)
(
+) (
− +)
=5 1 3 1 2 2 x x
j)3x2 −6x+9x2 = k) x − x +2x=
3 4
2 3 2 l)−x2 +x−3x3 =
IDENTIDADES NOTABLES
(
a+b)
2 =a2 +b2 +2ab(
a−b)
2 =a2 +b2 −2ab(
a+b) (
⋅ a−b)
=a2 −b217) Desarrolla las siguientes expresiones:
a)
(
x+1)
2 = b)(
x+3)
2 = c)(
x−3)
2 = d)(
2x−1)
2 = e)(
5x+2)
2 = f)(
5x+2y)
2 = g)(
x2 +5)
2 = h)(
2x+ y)
2 =i)
(
x2 −y)
2 = j)(
xy−2)
2 = k)(
x−3y)
2 = l)(
x+2y2)
2 =ll)
(
xy2 +1)
2 = m) ⎟⎟ =⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 y y x
n) ⎟⎟ =
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 y x ñ) ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ + 2
4 5 2
x
18) Expresa en forma de producto:
a)x2 +2x+1= b)x2 +4+4x= c)4x2 +4x+1= d)4x2 +9+12x=
e)4x2 −9= f) 16x2 −25= g)x2 −10x+25= h)x2 +9+6x=
i)x2 +49−14x=
j)4x2 +9−12x=
k)9 2 −12 +4=
x
x l) 4 +4 2 +4=
x x
19) Desarrolla las siguientes expresiones:
a)
(
x+1) (
⋅ x−1)
= b)(
x+3) (
⋅ x−3)
= c)(
x2 +2) (
⋅ x2 −2)
=20) Simplifica:
a)
(
x+3)
2 −[
x2 +(
x−3)
2]
= b)3x2 −2(
x+4)
2 −(
x2 −1)
2 = c) 4 26 3
− − x x
d)
x x
x
6 2
4 2
2 2
+ +
= e) =
+ −
2 4 2
x x
f)
25 5 2 −
− x
x
g)
9 3 2 2
− − x
x x
h)
1 1 2 2 2
− + − x
SOLUCIONES TEMA 3:
1.4;4;9 2.108;27;48;-6 3.ab2, 7 3ab
2;−x3, 99x3; 1 3 y
11t7; 6y11t7 4.3x; 3x2; 4ab2; 10x74x; 8x3 −5ax2; 3
5.x2;y4;z6;x3; 8x3y4; 9x6a4b2; 15x3a2bc 6.5;6;27.−2x2 x5;−2x4−2x2−2x−3
8.P2 −1;P2 −47
9.x 1 → 2; 2; 2; 2. x −1 → 0; 0; 2; 2. Que cuando x está elevado a número par obtenemos el mismo resultado.
10.−8x33x25x−2; 3x3 x2−12x−2;−5x3 −5x2 x5;−2x3−2x2−6x6
11. a)2x34x25x−8;−8x3−2x25x14 b)4x3 x2−10x−1; 2x33x28x−7
c)x7 x5−8x43x3−3;x7 −x5−8x4 −3x3 9 d)x5 10x48x2−x1;−x510x4 −6x2x1 e)−4x4 −x3−2x2 −x−7; 2x4−x3 2x2 x3
12.a)2x2xyx; b)6a410a5; c)a2bab2; d)15x2 35x55; e)x3yx2y2 x2y; f)10x2y215xy3; g)6x4y2−6x3y2 6x2y2; h)−10x3−6x2 16; i)3a3b3 −3a2b43a2b3; j)−6x310x2 −16x;
k)4x11−x94x8−5x6 x5x4 x2−1
13.2x3−7x2 6x−9; −2x37x2 −13x5; x3 −7x2 9x2; 6x4 −7x3 −5x2 12x6; 2x4x3 −7x2 −2x6
14.a)x3 −6x2 −26x17; b)6x3−16x2 −23x5; c)3x5−x4 9x3−13x2 −17x−8;
d)12x5 −20x411x3 −4x23x−1; e)8x5−18x3 −6x2 11x3 f)x3 x23; g)−x27x−5; h)−x3−16x2 3x12
15.a)C:x2 −3x2 R:0; b)C:2x3−2x2xR:1; c)C:x1 R:0 ; d)C:x3 x2x−1 R:−1; e) C:2x2x1 R:0; f)C:2x2−3x4R:-9
16. a)2x2 3x2b)−6x23x2c)xx2x−2d)2xx3−2x2 −6x3e)3xx2f)a2a2 −3 g)x1abh)x
2x5−1i)x
211 3 −
1
5j)3xx−23xk)2xx 2 − 2
3x1l)x−x1−3x 2