OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma y Resta:

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(1)

2

x 3xy2 8

m n m n

a a

a ⋅ = +

TEMA 3. POLINOMIOS

Expresión Algebraica: Conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Nacen para traducir a lenguaje matemático enunciados en los que aparecen datos desconocidos.

Ej: x2−3xy2+8 Variables: letras que intervienen en las expresiones algebraicas

Término o Monomio: Cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. Producto de un número por una o varias letras. (Nota: cuando se quiere indicar una multiplicación entre variables o entre variables y números, para simplificar la notación, no se pone el signo de la multiplicación Ej.: 3⋅xy2 se escribe 3xy2).

Partes de un monomio:

Coeficiente: es la parte numérica, el número que interviene. En

Parte Literal: son las letras o incógnitas.

Grado de un monomio: suma de los exponentes de su parte literal (nº de factores que forman su parte literal).

En el ejemplo anterior:

ƒ x2: su coeficiente es 1, y es de segundo grado. ƒ -3xy2: su coeficiente es -3 y es de tercer grado.

ƒ 8 : término independiente ( es un monomio de grado cero, pues x0 =1)

Valor numérico de un monomio: resultado que se obtiene al sustituir el valor de la variable.

Monomios Semejantes: los que tienen la misma parte literal. Ejemplos:

¾ x, 3x ¾ 7x2, x2 ¾ 4y3, 17y3 ¾ 3x2y, 8x2y

1) Determina el grado de cada monomio:

a) −3ab2c b) −5xy3 c) 7x3y2z4

2) Calcula el valor numérico de los monomios siguientes para x = 3, y = -2, z = 1: a) −6x2yz b) 3x2 c)4xy2 d) −2xz3

3) Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:

a) 2ab2 b) 12x3 c) 5y11t7

OPERACIONES CON MONOMIOS:

Suma o Resta: Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Se suman los coeficientes y se deja la misma

parte literal. ( Ej.: 3a3b+7a3b=10a3b)

Multiplicación: Se multiplican los coeficientes y con las partes literales se actúa como con productos de potencias de

la misma base. ( Ej.: 5x2y3⋅3x3y=15x5y4). Recuerda

División: Se dividen los coeficientes y con las partes literales se actúa como en las divisiones de potencias de la

misma base. ( Ej.: 15x5 ÷3x−2 =5x7). Recuerda an :am =anm

(2)

4) Reduce los términos semejantes que encuentres en las expresiones:

a) x+x+x= b) 2x2 +6x2 −5x2 = c) 2ab2 +3ab2 −ab2 = d) 3x7 +4x+7x7 = e) x3 −5a x2 +7x3 = f) x0 +x0 +x0 =

5) Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) xx= b) yyyy= c) zz2⋅z3 =

d) x⋅(−x)⋅(−x)= e) (−2x2y)⋅(−4xy3)= f)

(

−3x3a2b

)

2 =

g)

(

3x2ab

)

(

5xac

)

=

Polinomio: suma de dos o tres monomios. Puede ser:

¬ Completo: cuando tiene todos los monomios de grado inferior a n.

¬ Ordenado: Si están escritos de menor a mayor o viceversa.

¬ Opuesto: al que resulta de cambiar de signo todos sus términos.

Grado del Polinomio: al mayor de los grados de los monomios, después de reducir el polinomio.

Ej.6x3 −5x2 +4x3 −2x−10x3 =5x2 −2x. Su grado es dos y no tres.

Valor Numérico de un Polinomio: el que se obtiene al sustituir el valor de la variable.

6) Di el grado de cada polinomio: a) x5 −6x2 +3x+1

b) 5xy4 +2y2 +3x3y3−2xy

c) x2 +3x3 −5x2 +x3 −3−4x3

7) Reduce (simplifica) los siguientes polinomios:

a) P(x)

=

4−3x2 +x+x2 +1

b) P(x)

=

x4 −4−3x2 +x+x2 +1−3x4 −3x

8) Calcula el valor numérico de los anteriores polinomios para x = 2.

9) Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x =1. ¿Y para x = -1?

a) x+1 b)x3 +1

c) 1x2 + d) x4 +1

(3)

Simplificamos cada polinomio poniéndolo en su forma reducida.

Se suman o se restan las columnas de monomios semejantes

Colocamos los polinomios haciendo coincidir los términos semejantes.

Ordenamos cada polinomio y completamos con ceros (o dejamos huecos) en los monomios que falten.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma y Resta:

Nota:También podemos colocar en línea los polinomios y agrupar los términos semejantes hasta dejar lo más reducido posible el polinomio resultante.

10) Quita paréntesis y realiza las siguientes operaciones:

a)

(

−3x3 +5x+3

) (

− 5x3 −3x2 +5

)

= b)

(

3x3−5x+1

) (

+ x2 −7x−3

)

= c)

(

x3 −5x+7

) (

− 6x3 +5x2 −6x+2

)

=

d)

(

x3 −5x+7

)

(

2x+3

)

+

(

−3x3 −2x2 +x+2

)

=

11) Sean:

a)p(x)=

(

x2 −3x3+5x+3

)

y q(x)=5x3 +3x2 −11 b)p(x)=

(

3x3 +2x2 −x−4

)

y q(x)= x3 −x2 −9x+3 c)p(x)=x7 −8x4 +3 y q(x)=x5 +3x3 −6

d)p(x)=10x4 +x2 +1 y q(x)=x5 +7x2 −x

e) p(x)=−x4 −x3−2 y q(x)=−3x4 −2x2 −x−5

Calcula p+q y pq

Producto: se multiplica cada monomio de uno de los polinomios por todos y cada uno los monomios del otro polinomio y después agrupamos los monomios semejantes.

12) Multiplica:

a)x⋅(2x+y+1)= b)2a2⋅

(

3a2 +5a3

)

= c) ab

(

a+b

)

= d)5⋅

(

3x2 +7x+11

)

= e) x2y

(

x+y+1

)

= f) 5xy2⋅

(

2x+3y

)

=

(4)

Ordenamos los polinomios del dividendo y del divisor de forma decreciente. Si están incompletos podemos completarlos con ceros o dejamos espacios.

Bajamos el siguiente término del dividendo y repetimos el proceso con el nuevo dividendo formado (resto parcial).

Multiplicamos el monomio obtenido por todos los términos del divisor y el resultado obtenido lo colocamos debajo del dividendo y restamos. O le cambias el signo y sumas. Hallamos el cociente entre el monomio de mayor grado del polinomio dividendo y el monomio de mayor grado del polinomio divisor.

13) Multiplica:

a)

(

2x2 −x+3

)

(

x−3

)

= b)

(

x2 +3x−5

)

(

2x−1

)

= c)

(

x2 −5x−1

)

(

x−2

)

= d)

(

2x+1

)

(

3x3 −5x2 +6

)

= e)

(

x2 −2

) (

⋅ 2x2 +x−3

)

=

14) Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

a)3⋅

(

x3 −5x+7

) (

− 2x3 +6x2 +11x+4

)

= b) 2x

(

3x2 −5x+1

) (

+5⋅ 3x2 −5x+1

)

−21x2 = c)

[

(

3x2 −7x−1

)

(

3x+2

)

]

+3x5 −x4 +2x2 −6= d)

(

6x4 −7x3 +2x2 −x+1

)

(

2x−1

)

=

e)

(

4x3 −7x

) (

⋅ 2x2 −1

) (

− 6x2 −4x−3

)

= f)x

(

x2 −4

)

+

(

x+3

) (

x+1

)

=

g)

(

x2 −x+1

)

(

x−2

)

(

x2 +x−1

)

(

x−3

)

= h)2x2

(

x−2

) (

−3x+4

)

(

x2 −1

)

=

División:

2 3

2 +

x

x x−1

x

x x2 =

2 3 2 − +

x

x x−1

x2 +x

x −2x+2

2 3 2 − +

x

x x−1

x2 +x x - 2 −2x+2

+ 2x - 2 0

(5)

15) Realiza las siguientes divisiones:

a)

(

x3 −3x2 +2x

)

÷x= b)

(

4x4 −2x3 +x+1

)

÷

(

2x+1

)

= c)

(

x3 +x2 +x+1

) (

÷ x2 +1

)

= d)

(

x4 −2x

)

÷

(

x−1

)

=

e)

(

2x3−3x2 −x−2

)

÷(x−2)= f)

(

2x3+x2 −2x−1

)

÷

(

x+2

)

= g)

(

3x4 +2x3 −x+1

)

÷

(

x−1

)

= h)

(

2x4 +2x2 +12x−6

)

÷

(

x+2

)

= i)

(

x5 +2x3 −x2 +3

)

÷

(

x+1

)

= j)

(

x4 −8x2 +16

)

÷

(

x+2

)

=

Comprueba que D (Dividendo) = d (divisor) x C (cociente) + R (Resto).

SACAR FACTOR COMÚN

Cuando hay un factor multiplicando en todos los términos de un polinomio, se puede sacar dicho factor como “Factor Común”.

Ej.: 3x2 −9x−12=3⋅

(

x2 −3x−4

)

16) Saca Factor Común:

a)2x2 +6x+4= b)−6x2 −18x−12= c)x3 +x2 −2x=

d)2x4 −4x3−12x2 +6x= e)3x2 +6x= f)a4 −3a2 =

g)

(

x+1

)

a+

(

x+1

)

b= h) ⋅

(

+

)

− = 2 5 2 x x x

i)

(

+

) (

− +

)

=

5 1 3 1 2 2 x x

j)3x2 −6x+9x2 = k) xx +2x=

3 4

2 3 2 l)−x2 +x−3x3 =

IDENTIDADES NOTABLES

(

a+b

)

2 =a2 +b2 +2ab

(

ab

)

2 =a2 +b2 −2ab

(

a+b

) (

ab

)

=a2 −b2

17) Desarrolla las siguientes expresiones:

a)

(

x+1

)

2 = b)

(

x+3

)

2 = c)

(

x−3

)

2 = d)

(

2x−1

)

2 = e)

(

5x+2

)

2 = f)

(

5x+2y

)

2 = g)

(

x2 +5

)

2 = h)

(

2x+ y

)

2 =

i)

(

x2 −y

)

2 = j)

(

xy−2

)

2 = k)

(

x−3y

)

2 = l)

(

x+2y2

)

2 =

ll)

(

xy2 +1

)

2 = m) ⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 y y x

n) ⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 y x ñ) ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ + 2

4 5 2

x

18) Expresa en forma de producto:

a)x2 +2x+1= b)x2 +4+4x= c)4x2 +4x+1= d)4x2 +9+12x=

e)4x2 −9= f) 16x2 −25= g)x2 −10x+25= h)x2 +9+6x=

i)x2 +49−14x=

j)4x2 +9−12x=

k)9 2 −12 +4=

x

x l) 4 +4 2 +4=

x x

(6)

19) Desarrolla las siguientes expresiones:

a)

(

x+1

) (

x−1

)

= b)

(

x+3

) (

x−3

)

= c)

(

x2 +2

) (

x2 −2

)

=

20) Simplifica:

a)

(

x+3

)

2 −

[

x2 +

(

x−3

)

2

]

= b)3x2 −2

(

x+4

)

2 −

(

x2 −1

)

2 = c) 4 2

6 3

− − x x

d)

x x

x

6 2

4 2

2 2

+ +

= e) =

+ −

2 4 2

x x

f)

25 5 2 −

x

x

g)

9 3 2 2

− − x

x x

h)

1 1 2 2 2

− + − x

(7)

SOLUCIONES TEMA 3:

1.4;4;9 2.108;27;48;-6 3.ab2, 7 3ab

2;x3, 99x3; 1 3 y

11t7; 6y11t7 4.3x; 3x2; 4ab2; 10x74x; 8x3 5ax2; 3

5.x2;y4;z6;x3; 8x3y4; 9x6a4b2; 15x3a2bc 6.5;6;27.2x2 x5;2x4−2x2−2x3

8.P2  −1;P2  −47

9.x  1 → 2; 2; 2; 2. x  −1 → 0; 0; 2; 2. Que cuando x está elevado a número par obtenemos el mismo resultado.

10.−8x33x25x2; 3x3 x212x2;5x3 5x2 x5;2x32x26x6

11. a)2x34x25x8;8x32x25x14 b)4x3 x210x1; 2x33x28x7

c)x7 x58x43x33;x7 x58x4 3x3 9 d)x5 10x48x2x1;x510x4 6x2x1 e)−4x4 −x3−2x2 −x7; 2x4−x3 2x2 x3

12.a)2x2xyx; b)6a410a5; c)a2bab2; d)15x2 35x55; e)x3yx2y2 x2y; f)10x2y215xy3; g)6x4y2−6x3y2 6x2y2; h)10x3−6x2 16; i)3a3b3 −3a2b43a2b3; j)6x310x2 −16x;

k)4x11−x94x8−5x6 x5x4 x2−1

13.2x3−7x2 6x9;2x37x2 −13x5; x3 −7x2 9x2; 6x4 −7x3 −5x2 12x6; 2x4x3 7x2 2x6

14.a)x3 −6x2 −26x17; b)6x3−16x2 −23x5; c)3x5−x4 9x3−13x2 −17x8;

d)12x5 20x411x3 4x23x1; e)8x518x3 6x2 11x3 f)x3 x23; g)x27x5; h)−x316x2 3x12

15.a)C:x2 3x2 R:0; b)C:2x32x2xR:1; c)C:x1 R:0 ; d)C:x3 x2x1 R:1; e) C:2x2x1 R:0; f)C:2x23x4R:-9

16. a)2x2 3x2b)6x23x2c)xx2x2d)2xx32x2 6x3e)3xx2f)a2a2 3 g)x1abh)x

2x5−1i)x

211 3 −

1

5j)3xx−23xk)2xx 2 2

3x1l)x−x1−3x 2

Figure

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