“Jesús María Semprum”
Programa de Contaduría Pública Prof. Pedro Quintela
Matemática II
Unidad V. Integral Definida Ejercicios Resueltos
Evaluar las siguientes integrales definidas:
1. ∫ +
2 √
Hallando la integral indefinida
+ 2
√ = + 2
2
√ +
2
√ Efectuando el producto notable ( + ) = + 2 +
=
+ 4/ +4 Eliminando paréntesis y aplicando propiedad de radicación √ =
/
= + 4
/ + 4
Aplicando propiedades de potenciación = y =
= +4
/
+4 Separando fracciones
= 1 + 4 + 4 Simplificando y aplicando propiedad de potenciación =
= + 4
⁄
−12
+4
(−2)+ Integrando
= − 8
√ −
2
+ Simplificando
Calculando la integral definida
+ 2
√ = − 8
√ −
2 Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
= 4 − 8
√4−
2
4 − 2 −
8
√2−
2
2 Sustituyendo y operando
= 4 − 4 −1
8− 2 −
8
√2−
1 2
= −1
8−
3
2+ 4√2
= 4√2 −13
8
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2. ∫ |2 − 1|
Partiendo de la definición de valor absoluto
2 − 1 = 0 → 2 = 1 → = 1/2
|2 − 1| = 2 − 1 si ≥ 1/2
−2 + 1 si < 1/2
Hallando las integrales indefinidas
(2 − 1) =2
2 − + Integrando
= − + Simplificando
(−2 + 1) = −2
2 + + Integrando
= − + + Simplificando
Calculando la integral definida
|2 − 1| = (−2 + 1)
/
+ (2 − 1)
/
Aplicando propiedad de integral definida
∫ ( ) = ∫ ( ) + + ∫ ( ) si ≤ ≤
= [− + ] / + [ − ] / Integrando
= − 1
2 +
1
2 — [−(0) + 0] +
+ [(2) − 2] − 1
2 −
1 2
Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
= −1
4+
1
2 − 0 + (4 − 2) −
1
4−
1
2 Operando y simplificando
=1
4+ 2 − −
1 4
=1
4+ 2 +
1 4
=5
2
= 2,5 Resultado
3. ∫ √
Partiendo del método de integración por sustitución
= + 1 → = + 1 ⇒
Para los límites de integración:
= 3; = 3 + 1 = √10
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2 = 2 → =
Calculando la integral definida
Calcular el área de la región encerrada por las siguientes curvas:
4. = 2 − 3; eje ; = −1; = 3
La función = 2 − 3 es una recta de la forma = + , es decir, una recta inclinada con pendiente
= 2 y ordenada en el origen en (0, −3). Calculando las imágenes para
= −1 → = 2(−1) − 3 = −5 → (−1; −5)
= 3 → = 2(3) − 3 = 3 → (3; 3)
Graficando la región encerrada
Observamos que si = 0 → 2 − 3 = 0 → = 3/2. Asimismo < 0 para < 3/2, e > 0 → > 3/2. Por consiguiente, se plantea
Área total = ∑ (áreas positivas) - ∑ (áreas negativas) Calculando el área de la región
√ + 1 = √ + 1 Reescribiendo =
√
√
√
Aplicando el cambio de variable
=
√
√
Simplificando
=
√
√
= |√√ Integrando
= √10 − √2 Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
≈ 1,7481 Resultado
= − (2 − 3)
/
+ (2 − 3)
/
= −[ − 3 ] ⁄ + [ − 3 ] / Integrando
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5. = e = 6 −
De las gráficas tenemos,
= , parábola con vértice en (0; 0) y abre hacía arriba.
= 6 − , recta de la forma = + , es decir, una recta inclinada con pendiente = −1 y ordenada en el origen en (0,6).
Hallando los puntos de intersección entre las dos curvas
Calculando imágenes para
= −3 → = (−3) = 9 → (−3; 9)
= 2 → = 2 = 4 → (2; 4)
Graficando la región encerrada
= − 3
2 − 3
3
2 − [(−1) − 3(−1)] +
+ [(3) − 3(3)] − 3
2 − 3
3 2
Aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
= − 9
4−
9
2 − (1 + 3) + (9 − 9) −
9
4−
9
2 Operando
= − −9
4− 4 + 0 +
9 4
=9
4+ 4 +
9 4
=17
2
= 8,5 unidades de área Resultado
= 6 − Igualando las dos ecuaciones dadas
+ − 6 = 0 Pasando todos los términos del segundo miembro al primer miembro
( + 3)( − 2) = 0 Factorizando
= −3
= 2 Coordenadas de la abscisa
Página 5 de 11 Para determinar el área entre dos curvas, recordemos,
= ∫ [(curva de arriba) − (curva de abajo)]
en la variable Rectángulos verticales
Donde ( ; ) y ( ; ) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas. Entonces, la parábola es menor que la recta para todo en el intervalo [−3; 2].
6. 4 − − 1 = 0, 2 − 3 − 3 = 0 y + − 4 = 0
Llevando las ecuaciones de las rectas de la forma general a la forma explícita, es decir,
+ + = 0 → = +
R1: 4 − − 1 = 0 → = 4 − 1
R2: 2 − 3 − 3 = 0 → 3 = 2 − 3 → = − 1
R3: + − 4 = 0 → = − + 4
De las rectas tenemos,
R1: = 4 − 1, recta inclinada con pendiente = 4 y ordenada en el origen en (0; −1). R2: = − 1, recta inclinada con pendiente = y ordenada en el origen en (0; −1). R3: = − + 4, recta inclinada con pendiente = −1 y ordenada en el origen en (0; 4). Hallando los puntos de intersección
Entre R1 y R2: Se sabe que dos rectas se intersecan en un solo punto. Asimismo, observamos que para ambas rectas (R1
y R2) sus ordenadas en el origen coinciden. Por consiguiente, el punto de intersección entre R1 y R2 es (0; −1).
Entre R2 y R3: Igualando las ecuaciones y resolviendo para , tenemos
= [(6 − ) − ] Planteando la integral
= (6 − − ) Eliminando paréntesis
= 6 −
2 − 3 Integrando
= 6(2) − − − 6(−3) −( ) −( ) Aplicando Primer Teorema Fundamental del Cálculo
= 12 − 2 −8
3+ 18 +
9
2− 9 Eliminado paréntesis
=125
6 Operando
Página 6 de 11 2
3 − 1 = − + 4 → 2 − 3 = −3 + 12 → 2 + 3 = 12 + 3 → 5 = 15 → =
15
5 = 3
Asimismo, con = 3 se sustituye en R2 o R3 para calcular la imagen de .
= −3 + 4 = 1
El punto de intersección entre R2 y R3 es (3; 1).
Entre R3 y R1: Igualando las ecuaciones y resolviendo para , tenemos
− + 4 = 4 − 1 → 4 + = 4 + 1 → 5 = 5 → =5
5= 1
Asimismo, con = 1 se sustituye en R3 o R1 para calcular la imagen de .
= −1 + 4 = 3
El punto de intersección entre R3 y R1 es (1; 3). Graficando la región
Para determinar el área entre dos curvas, recordemos,
= ∫ [(recta de arriba) − (recta de abajo)]
en la variable Rectángulos verticales
Donde ( ; ) y ( ; ) son los puntos adyacentes de intersección de las rectas. En el punto (1; 3), la recta R1 se intercambia por la recta R3, es decir,
2( ) ≤ 1( ) para todo en el intervalo [0; 1], y
2( ) ≤ 3( ) para todo en el intervalo [1; 3].
Así, se necesitan dos integrales, una para el intervalo [0; 1] y otra para el intervalo [1; 3].
= [ 1( ) − 2( )] + [ 3( ) − 2( )] Planteando las integrales
= (4 − 1) − 2
3 − 1 + Sustituyendo
(0; −1) (1; 3)
3
(3; 1) 1
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7. = ; = 2 −
De las gráficas tenemos,
= , parábola con vértice en (0; 0) y abre hacía arriba.
= 2 − , parábola con vértice en (0; 2) y abre hacía abajo. Hallando los puntos de intersección entre las dos curvas
Calculando imágenes para
= −1 → = (1) = 1 → (−1; 1)
+ (− + 4) − 2
3 − 1
= 4 − 1 −2
3 + 1 +
+ − + 4 −2
3 + 1
Eliminando paréntesis
= 10
3 + −
5
3 + 5 Agrupando términos semejantes
= 10
3 2 + −
5
3 2 + 5 Integrando
= 5
3 + −
5
6 + 5 Simplificando
= 5(1)
3 −
5(0)
3 +
+ −5(3)
6 + 5(3) − −
5(1)
6 + 5(1)
Aplicando Primer Teorema Fundamental del Cálculo
=5
3− 0 −
15
2 + 15 − −
5
6+ 5 Eliminando paréntesis y agrupando términos semejantes
=5
3− 0 −
15
2 + 15 +
5
6− 5
= 5 unidades de área Resultado
= 2 − Igualando las dos ecuaciones dadas
2 − 2 = 0 Pasando todos los términos del segundo miembro al primer miembro
2( − 1) = 0 Factor común 2
( + 1)( − 1) = 0 Factorizando por la regla de diferencia de cuadrados − = ( + )( − )
= −1
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= 1 → = 1 = 1 → (1; 1)
Graficando la región
Para determinar el área el área entre dos curvas, recordemos,
= ∫ [(curva de arriba) − (curva de abajo)]
en la variable Rectángulos verticales
Donde ( ; ) y ( ; ) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas. Entonces, la parábola es menor que la recta para todo en el intervalo [−1; 1].
8. = ; = 4
De las gráficas tenemos,
= , parábola con vértice en (0; 0) y abre hacía la derecha.
= 4, recta vertical.
= [(2 − ) − ] Planteando la integral
= (2 − 2 ) Eliminando paréntesis
= 2 −2
3 Integrando
= 2(1) − ( ) − 2(−1) − ( ) Aplicando Primer Teorema Fundamental del Cálculo
= 2 −2
3− −2 +
2
3 Eliminado paréntesis
=4
3+
4
3 Operando
=8
3
≈ 2,6667 unidades de área Resultado
Página 9 de 11 Hallando los puntos de intersección entre las dos curvas
Los puntos de intersección son:
(4; −2) y (4; 2)
Graficando la región
Para determinar el área entre dos curvas, recordemos,
= ∫ [(curva de derecha) − (curva de izquierda)]
en la variable Rectángulos horizontales
Donde ( ; ) y ( ; ) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas.
Entonces, la recta se encuentra a la derecha con respecto a la parábola para todo en el intervalo [−2; 2].
= 4 Igualando las dos ecuaciones dadas
− 4 = 0 Pasando todos los términos del segundo miembro al primer miembro
( + 2)( − 2) = 0 Factorizando
= −2
= 2 Coordenadas de la ordenada
= (4 − ) Planteando la integral
= 4 −
3 Integrando
= 4(2) −( ) − 4(−2) −( ) Aplicando Primer Teorema Fundamental del Cálculo
= 8 −8
3+ 8 −
8
3 Eliminado paréntesis
=32
3 Operando
≈ 10,6667 unidades de área Resultado
Página 10 de 11 Calcular el área de la región encerrada por ( ) = ( − 1) y ( ) = − 1
Los puntos de intersección entre las dos curvas son
(0; −1), (1; 0) y (2; 1)
Para determinar el área entre dos curvas, recordemos,
= ∫ [(curva de arriba) − (curva de abajo)]
en la variable Rectángulos verticales
Donde ( ; ) y ( ; ) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas. Además, éstas se intersecan en más de dos puntos, entonces para encontrar el área de la región comprendida entre las curvas, se toman los puntos de intersección dados y se verifica en cada uno de los intervalos determinados por esos puntos, cuál de las gráficas está encima de la otra.
Las dos gráficas cambian en , es decir,
( ) ≤ ( ) en el intervalo [0; 1], y
( ) ≤ ( ) en el intervalo [1; 2]
Así, se necesitan dos integrales, una para el intervalo [0; 1] y otra para el intervalo [1; 2].
= [ ( ) − ( )] + [ ( ) − ( )] Planteando las integrales
= [( − 1) − ( − 1)] + [( − 1) − ( − 1) ] Sustituyendo
= ( − 3 + 3 − 1 − + 1) +
+ ( − 1 − + 3 − 3 + 1)
Eliminando paréntesis
Página 11 de 11 =
4 − + + − 4 + − Integrando
= 1
4 − 1 + 1 −
0
4 − 0 + 0 +
+ −2
4 + 2 − 2 − −
1
4 + 1 − 1
Aplicando Primer Teorema Fundamental del Cálculo
=1
4− 4 + 8 − 4 + 1 4
=1
2
