Ejercicios de multiplicación de polinomios

Multiplicación de Polinomios

Ejercicios de multiplicación de polinomios

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José de Jesús Angel Angel

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Contenido

1. Antecedentes 2

2. Multiplicación de monomios 4

3. Multiplicación de un monomio por un polinomio 11

1

Antecedentes

La multiplicación de polinomios se lleva a cabo usando las reglas de los números reales de campo (aún si los coeficientes son complejos). Entonces lo más importante al realizar multiplicación de polinomios es tener en mente las reglas de campo de los números reales.

Propiedades de grupo abeliano de losRcon la suma(R,+).

1. Para todo realesa, b, entoncesa+b∈R,(cerradura).

2. Pata todo realesa, b, entoncesa+b=b+a,(conmutatividad).

3. Para todo realesa, b, c, tenemos quea+ (b+c) = (a+b) +c,(asociatividad).

4. Existe un elemento0∈R, llamado cero, tal quea+ 0 = 0 +a=a,Wa∈R,(existencia del neutro aditivo).

5. Para todoa∈R, existe un real llamado inverso aditivo (−a), tal quea+(−a) = 0,(existencia del inverso aditivo).

Propiedades de grupo abeliano de losRcon el producto(R∗_,·),R∗_{=R− {0}.}

6 Para todo realesa, b, entoncesa·b∈R,(cerradura).

7 Pata todo realesa, b, entoncesa·b=b·a,(conmutatividad).

8 Para todo realesa, b, c, tenemos quea·(b·c) = (a·b)·c,(asociatividad).

9 Existe un elemento1∈R, llamado uno, tal quea·1 = 1·a=a,Wa∈R,(existencia del neutro multiplicativo).

10 Para todoa∈R∗_{, existe un real llamado inverso multiplicativo (a}−1_{), tal quea·(a}−1_{) = 1,} (existencia del inverso multiplicativo).

Propiedades distributiva del producto respecto a la suma en losR.

1.Antecedentes 3

A las propiedades anteriores las haremos referencia por el número del1al11.

Otras de las propiedades que se derivan de las anteriores pero que son usadas frecuentemente con un nombre especial se listan a continuación:

1. Ley de los signos:

a) +por+da+

b) −por+da−

c) +por−da−

d) −por−da+ 2. Ley de los exponentes:

a) Al multiplicar potencias con la misma base, las potencias se suman:an_·am_=an+m

Haremos uso también de la siguiente notación:

1. Un monomio es un término comoax, dondearepresenta una constante y se llama coeficiente y

xrepresenta una variable y se llama indeterminada. En general un monomio es un producto de constantes y potencias de indeterminadas, comoax5

2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemploax3_+bx6_.

2

Multiplicación de monomios

1. abpor−ab

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(ab)(−ab) = −(abab) = −aabb

= −a1+1b1+1

= −a2_b2

Paso 2 Por lo tanto

(ab)(−ab) =−a2_b2

2. −3x3_yporxy

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(−3x3y)(xy) = −(3x3yxy) = −3x3_xyy

= −3x3+1y1+1

= −3x4_y2

Paso 2 Por lo tanto

(−3x3_{y)(xy) =−3x}4_y2

3. abcporc2_d

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa y la ley de los exponentes, obtenemos: (abc)(c2_{d) = (abcc}2_d)

2.Multiplicación de monomios 5

Paso 2 Por lo tanto

(abc)(c2_{d) =abc}3_d

4. abcporc2_d

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa y la ley de los exponentes, obtenemos: (abc)(c2d) = (abcc2d)

= abc1+2_d

= abc3d

Paso 2 Por lo tanto

(abc)(c2d) =abc3d

5. −8m2_n4_por−9a2_mx3

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(−8m2n4)(−9a2mx3) = +(8m2n49a2mx3) = 8·9m2_mn4_a2_x3

= 72m2+1n4a2x3

Paso 2 Por lo tanto

(−8m2n4)(−9a2mx3) = 72m3n4a2x3

6. −5am_bn_por−6a2_b3_x

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(−5ambn)(−6a2b3x) = +(5ambn)(6a2b3x) = 5·6am_a2_bn_b3_x

= 30am+2bn+3x

Paso 2 Por lo tanto

(−5ambn)(−6a2b3x) = 30am+2bn+3x

2.Multiplicación de monomios 6

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(xmync)(−xmyncx) = −(xmync)(xmyncx) = −xm_xm_yn_yn_ccx = −xm+myn+nc1+x

= −x2m_y2n_c1+x

Paso 2 Por lo tanto

(xmync)(−xmyncx) =−x2my2nc1+x

8. 4an_bx_por−abx+1

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(4anbx)(−abx+1) = −(4anbx)(abx+1) = −4an_abx_bx+1

= −4an+1_bx+x+1

= −4an+1b2x+1

Paso 2 Por lo tanto

(4an_bx_)(−abx+1_{) =−4a}n+1_b2x+1

9. 3xn+2_bn+5_por−5xn+5_bn+1

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(3xn+2_bn+5_)(−5xn+5_bn+1_{) = −(3x}n+2_bn+5_)(5xn+5_bn+1₎

= −3·5xn+2xn+5bn+5bn+1

= −15xn+2+n+5_bn+5+n+1

= −15x2n+7b2n+6

Paso 2 Por lo tanto

(3xn+2_bn+5_)(−5xn+5_bn+1_{) =−15x}2n+7_b2n+6

10. −5ma_nb−1_c−3_por−7m2a−3_nb−4_cd−1

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obten-emos:

(−5manb−1c−3)(−7m2a−3nb−4cd−1) = +(5manb−1c−3)(7m2a−3nb−4cd−1) = 5·7ma_m2a−3_nb−1_nb−4_c−3_cd−1

= 35ma+2a−3_nb−1+b−4_c−3+d−1

2.Multiplicación de monomios 7

Paso 2 Por lo tanto

(−5ma_nb−1_c−3_)(−7m2a−3_nb−4_cd−1_{) = 35m}3a−3_n2b−5_cd−4

11. am_bn_cpora2m−1_b3n+7_c−1

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(am_bn_c)(a2m−1_b3n+7_c−1_{) = (a}m_bn_c)(a2m−1_b3n+7_c−1₎

= am+2m−1_bn+3n+7_c1−1

= a3m−1b4n+7c0

= a3m−1_b4n+7

Paso 2 Por lo tanto

(am_bn_c)(a2m−1_b3n+7_c−1_{) =a}3m−1_b4n+7

12. 2

3abcpor 2 7a

3_bn_c1−s

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(2 3abc)(

2 7a

3_bn_c1−s_{) =} 4

21(abc)(a

3_bn_c1−s₎

= 4

21aa

3_bbn_cc1−s

= 4

21a

4_bn+1_c1+1−s

= 4

21a

4_bn+1_c2−s

Paso 2 Por lo tanto

(2 3abc)(

2 7a

3_bn_c1−s_{) =} 4 21a

4_bn+1_c2−s

13. −3

5x

3_y4_za_por−5 6x

n−3_ym−4_zb

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(−3 5x

3_y4_za₎₍₋5 6x

n−3_ym−4_zb_{) = +}1 2(x

3_y4_za_)(xn−3_ym−4_zb₎ = 1

2(x

3_y4_za_)(xn−3_ym−4_zb₎ = 1

2x

3_xn−3_y4_ym−4_za_zb = 1

2x

3+n−3_y4+m−4_za+b = 1

2x

2.Multiplicación de monomios 8

Paso 2 Por lo tanto

(−3 5x

3_y4_za₎₍₋5 6x

n−3_ym−4_zb_{) =}1 2x

n_ym_za+b

14. −2

11a

x+1_bx−3_c2_por−44

7 a

x−3_b2_cy−2

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(− 2 11a

x+1_bx−3_c2₎₍₋44

7 a

x−3_b2_cy−2_{) = +}8

7(a

x+1_bx−3_c2_)(ax−3_b2_cy−2₎

= 8 7a

x+1_ax−3_bx−3_b2_c2_cy−2

= 8 7a

x+1+x−3_bx−3+2_c2+y−2

= 8 7a

2x−2_bx−1_cy

Paso 2 Por lo tanto

(−2 11a

x+1_bx−3_c2₎₍₋44

7 a

x−3_b2_cy−2_{) =} 8

7a

2x−2_bx−1_cy 15. (2a)(−a2_)(−3a3_)(4a)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(2a)(−a2_)(−3a3_{)(4a) = (−)(−)(2)(3)(4)aa}2_a3_a

= (+)(24)a1+2a3+1

= (+)(24)a3_a4

= 24a3+4

= 24a7

Paso 2 Por lo tanto

(2a)(−a2_)(−3a3_{)(4a) = 24a}7

16. (4a2_)(−5a3_x2_)(−ax3_y)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(4a2)(−5a3x2)(−ax3y) = (−)(−)(4)(5)a2a3x2ax3y) = (−)(−)(4)(5)a2_a3_ax2_x3_y

= (+)(20)a2+3_ax2+3_y

= 20a5+1x5y

2.Multiplicación de monomios 9

Paso 2 Por lo tanto

(4a2_)(−5a3_x2_)(−ax3_{y) = 20a}6_x5_y

17. (−am_{)(−2ab)(−3a}2_bx_)(by₎

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(−am)(−2ab)(−3a2bx)(by) = (−)(−)(−)(2)(3)(am)(ab)(a2bx)(by) = (−)(−)(−)(2)(3)am_aba2_bx_by = (−)(6)amaa2bbxby

= −6am+1_a2_b1+x_by = −6am+1+2_b1+x+y = −6am+3_b1+x+y

Paso 2 Por lo tanto

(−am_{)(−2ab)(−3a}2_bx_)(by_{) =−6a}m+3_b1+x+y 18. (−am_bx_)(−2a2_b3_{)(−2ab)(−3a}2_x)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(−am_bx_)(−2a2_b3_{)(−2ab)(−3a}2_{x) = (−)(−)(−)(−)(2)(2)(3)(a}m_bx_)(a2_b3_)(ab)(a2_x)

= (+)(12)(am_bx_)(a2_b3_)(ab)(a2_x)

= 12am_a2_aa2_bx_b3_bx

= 12am+2+1+2_bx+3+1_x

= 12am+5bx+4x

Paso 2 Por lo tanto

(−am_bx_)(−2a2_b3_{)(−2ab)(−3a}2_{x) = 12a}m+5_bx+4_x

19. (1 2a

n_x3₎₍₋2

3a

2_x)(−3

5a m_x2_).

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(1 2a

n_x3₎₍₋2

3a

2_x)(−3

5a

m_x2_{) = (−)(−)(}1

2)( 2 3)(

3 5)(a

n_x3_)(a2_x)(am_x2₎

= (+)(1 5)(a

n_x3_)(a2_x)(am_x2₎

= 1 5a

n_a2_am_x3_xx2

= 1 5a

n+2+m_x3+1+2

= 1 5a

2.Multiplicación de monomios 10

Paso 2 Por lo tanto

(1 2a

n_x3₎₍₋2

3a

2_x)(−3

5a

m_x2_{) =}1

5a

2+n+m_x6

20. (−1

2x

2_y3_z)(−3

5xyz

−n₎₍₋10 3 x

−3_y−_2zm₎₍₋3 4x

2_y).

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0₌

1), obtenemos:

(−1 2x

2_y3_z)(−3

5xyz

−n₎₍₋10 3 x

−3_y−2_zm₎₍₋3 4x

2_{y) = (−)(−)(−)(−)(}1

2)( 3 5)( 10 3 )( 3 4) (x2y3z)(xyz−n)(x−3y−2zm)(x2y) = (+)(3

4)(x

2_y3_z)(xyz−n_)(x−3_y−_2zm_)(x2_y)

= 3 4x

2+1−3+2_y3+1−2+1_z1−n+m+1

= 3 4x

2_y3_zm−n+2

Paso 2 Por lo tanto

(−1 2x

2_y3_z)(−3

5xyz

−n₎₍₋10 3 x

−3_y−2_zm₎₍₋3 4x

2_{y) =} 3

4x

2_y3_zm−n+2

Algunos errores comúnmente hechos:

3

Multiplicación de un monomio por un

polinomio

Observación 2:Al multiplicar un monomio por un polinomio se hace uso de la ley distributiva del producto respecto a la sumaa(b+c) =ab+ac.

Observación 3:De hecho la multiplicación de un monomio por un polinomio, es lo mismo que multi-plicar el monomio por cada término del polinomio que son monomios. Es decir, esta operación es varias veces la operación de la sección anterior.

1. (a3_−4a2_{+ 6a)por(−ab)}

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0_{= 1)}

y la ley distributiva, obtenemos:

(a3_−4a2_{+ 6a)(−ab) = [(a}3_{)(−ab)] + [(−4a}2_{)(−ab)] + [(6a)(−ab)]}

= −a3_ab−4a2_ab−6aab

= −a4b+ 4a3b−6a2b

Paso 2 Por lo tanto

(a3_−4a2_{+ 6a)(−ab) =−a}4_{b+ 4a}3_b−6a2_b

2. (am_bn_+am−1_bn+1_−am−2_bn+2_)por(3a2_b)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0_{= 1)}

y la ley distributiva, obtenemos:

(am_bn_+am−1_bn+1_−am−2_bn+2_)(3a2_{b) = [(a}m_bn_)(3a2_{b)] + [(a}m−1_bn+1_)(3a2_b)]

−[(am−2bn+2)(3a2b)]

= [3am+2_bn+1_{] + [3a}m−1+2_bn+1+1_]−[3am−2+2_bn+2+1_]

3.Multiplicación de un monomio por un polinomio 12

Paso 2 Por lo tanto

(am_bn_+am−1_bn+1_−am−2_bn+2_)(3a2_{b) = 3a}m+2_bn+1_{+ 3a}m+1_bn+2_−3am_bn+3

3. (x3_−4x2_{y+ 6xy}2_)por(ax3_y)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0_{= 1)}

y la ley distributiva, obtenemos:

(x3_−4x2_{y+ 6xy}2_)(ax3_{y) = [(x}3_)(ax3_y)]−[(4x2_y)(ax3_{y)] + [(6xy}2_)(ax3_y)]

= [ax3+3y]−[4ax2+3y1+1] + [6ax1+3y2+1] = ax6_y−4ax5_y2_{+ 6ax}4_y3

Paso 2 Por lo tanto

(x3_−4x2_{y+ 6xy}2_)(ax3_{y) =ax}6_y−4ax5_y2_{+ 6ax}4_y3

4. (xa+5_−3xa+4_+xa+3_−5xa+1_)por(−2x2₎

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0_{= 1)}

y la ley distributiva, obtenemos:

(xa+5−3xa+4+xa+3−5xa+1)(−2x2) = [(xa+5)(−2x2)] + [(−3xa+4)(−2x2)] +[(xa+3_)(−2x2_{)] + [(−5x}a+1_)(−2x2_)]

= [−2xa+5+2_{] + [(−)(−)6x}a+4+2_]

−[2xa+3+2] + [(−)(−)10xa+1+2]

= [−2xa+7_{] + [6x}a+6_]−[2xa+5_{] + [10x}a+3_]

= −2xa+7+ 6xa+6−2xa+5+ 10xa+3

Paso 2 Por lo tanto

(xa+5−3xa+4+xa+3−5xa+1)(−2x2) =−2xa+7+ 6xa+6−2xa+5+ 10xa+3

5. (2 3a−

3

4b)por(− 2 3a

3_b)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0_{= 1)}

y la ley distributiva, obtenemos:

(2 3a−

3 4b)(−

2 3a

3_{b) = [(}2

3a)(− 2 3a

3_{b)] + [(−}3

4b)(− 2 3a

3_b)]

= −(4 9a

4_{b) + (}1

2a

3_b2₎

Paso 2 Por lo tanto

(2 3a−

3 4b)(−

2 3a

3_{b) =−}4

9a

4_b+1

2a

3.Multiplicación de un monomio por un polinomio 13

6. (3 5a−

1 6b+

2

5c)por(− 5 3ac

2_).

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0_{= 1)}

y la ley distributiva, obtenemos:

(3 5a−

1 6b+

2 5c)(−

5 3ac

2_{) = [(}3

5a)(− 5 3ac

2_{)] + [(−}1

6b)(− 5 3ac

2_)]

+[(2 5c)(−

5 3ac

2_)]

= [−a2_c2_{] + [} 5

18abc

2_]−[2

3ac

3_]

= −a2_c2₊ 5

18abc

2₋2

3ac

3

Paso 2 Por lo tanto

(3 5a−

1 6b+

2 5c)(−

5 3ac

2_{) =−a}2_c2₊ 5

18abc

2₋2

3ac

3

7. (2 3m3+

1 2m2n−

5 6mn2−

1

9n3)por( 3 4m2n3)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0_{= 1)}

y la ley distributiva, obtenemos:

(2 3m

3₊1

2m

2_n−5

6mn

2₋1

9n

3₎₍3

4m

2_n3_{) = [(}2

3m

3₎₍3

4m

2_n3_{)] + [(}1

2m

2_n)(3

4m

2_n3_)]

−[(5 6mn

2₎₍3

4m

2_n3_)]−[(1

9n

3₎₍3

4m

2_n3_)]

= 1 2m

5_n3₊ 3

12m

4_n4

−5 8m

3_n5₋ 1

12n

6_m2

Paso 2 Por lo tanto (2

3m

3₊1

2m

2_n−5

6mn

2₋1

9n

3₎₍3

4m

2_n3_{) =} 1

2m

5_n3₊ 3

12m

4_n4₋5

8m

3_n5₋ 1

12n

4

Multiplicación de Polinomios

La multiplicación de polinomios se lleva a cabo de manera similar que las anteriores, multiplicando cada término del primer polinomio por cada uno del segundo polinomio.

Observación 4:Al multiplicar polinomios hay que tener mucho cuidado al eliminar paréntesis ya que los signos pueden ser afectados. Un signo fuera de un paréntesis afecta a todos los términos dentro del paréntesis.

Observación 5:El procedimiento general es multiplicar cada término de un polinomio por todos los términos del otro y posteriormente A6ucir términos semejantes.

Observación 6:Se sugiere que primero se practique ejemplos de dos o tres términos a lo más de manera amplia y después se realicen ejemplos más grandes, que de esta manera NO deben de ofrecer obstáculo alguno.

1. (a−3)por(a+ 1)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(a−3)(a+ 1) = (a−3)a+ (a−3)(1) = (aa−3a) + (a−3) = (a2_{−3a) + (a−3)}

= a2_−3a+a−3

= a2_−2a−3

Paso 2 Por lo tanto

4.Multiplicación de Polinomios 15

2. (5a−7b)por(a+ 3b)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(5a−7b)(a+ 3b) = (5a−7b)a+ (5a−7b)(3b) = (5a2_{−7ab) + (15ab−21b}2₎

= 5a2_{−7ab+ 15ab−21b}2

= 5a2+ 8ab−21b2

Paso 2 Por lo tanto

(5a−7b)(a+ 3b) = 5a2_{+ 8ab−21b}2

3. (−4y+ 5x)por(−3x+ 2y)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(−4y+ 5x)(−3x+ 2y) = (−4y+ 5x)(−3x) + (−4y+ 5x)(2y) = 12xy−15x2_−8y2_{+ 10xy}

= 22xy−15x2_−8y2

Paso 2 Por lo tanto

(−4y+ 5x)(−3x+ 2y) = 22xy−15x2−8y2

4. (6m−5n)por(−n+m)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(6m−5n)(−n+m) = (6m−5n)(−n) + (6m−5n)(m) = −6mn+ 5n2_{+ 6m}2_−5nm

= 6m2_{+ 5n}2_−11mn

Paso 2 Por lo tanto

(6m−5n)(−n+m) = 6m2_{+ 5n}2_−11mn

5. (x2_+xy+y2_)por(x−y)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(x2+xy+y2)(x−y) = (x2+xy+y2)(x) + (x2+xy+y2)(−y) = x3_+x2_y+xy2_−x2_y−xy2_−y3

4.Multiplicación de Polinomios 16

Paso 2 Por lo tanto

(x2_+xy+y2_{)(x−y) =x}3_−y3

6. (m3_−m2_{+m−2)por(am+a)}

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(m3−m2+m−2)(am+a) = (m3−m2+m−2)(am) + (m3−m2+m−2)(a) = am4_−am3_+am2_−2am+am3_−am2_+am−2a

= am4_−am−2a

Paso 2 Por lo tanto

(m3−m2+m−2)(am+a) =am4−am−2a

7. (a2_{+a+ 1)por(a}2_−a−1)

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(a2_{+a+ 1)(a}2_{−a−1) = (a}2_{+a+ 1)(a}2_{) + (a}2_{+a+ 1)(−a) + (a}2_{+a+ 1)(−1)}

= a4+a3+a2−a3−a2−a−a2−a−1 = a4_−2a−a2₋₁

Paso 2 Por lo tanto

(a2_{+a+ 1)(a}2_{−a−1) =a}4_−2a−a2₋₁

8. (x2_+y2_+z2_{−xy−xz−yz)por(x+y+z)}

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(x2+y2+z2−xy−xz−yz)(x+y+z) = (x2+y2+z2−xy−xz−yz)(x) +(x2_+y2_+z2_{−xy−xz−yz)(y)}

+(x2_+y2_+z2_{−xy−xz−yz)(z)}

= x3+xy2+xz2−x2y−x2z−xyz

+yx2_+y3_+yz2_−xy2_−xyz−y2_z

+x2z+y2z+z3−xyz−xz2−yz2

= x3_{+ +y}3_+z3_−3xyz

Paso 2 Por lo tanto

(x2_+y2_+z2_{−xy−xz−yz)(x+y+z) =x}3_{+ +y}3_+z3_−3xyz

4.Multiplicación de Polinomios 17

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(an_b−an−1_b2_{+ 2a}n−2_b3_−an−3_b4₎

(an_b2_−an−2_b4_{) = (a}n_b−an−1_b2_{+ 2a}n−2_b3_−an−3_b4_)(an_b2₎

(an_b−an−1_b2_{+ 2a}n−2_b3_−an−3_b4_)(−an−2_b4₎

= a2n_b3_−a2n−1_b4_{+ 2a}2n−2_b5_−a2n−3_b6

−a2n−2b5+a2n−3b6−2a2n−4b7+a2n−5b8) = a2n_b3_−a2n−1_b4_+a2n−2_b5_−2a2n−4_b7_+a2n−5_b8

Paso 2 Por lo tanto

(an_b−an−1_b2_+2an−2_b3_−an−3_b4_)(an_b2_−an−2_b4_{) =a}2n_b3_−a2n−1_b4_+a2n−2_b5_−2a2n−4_b7_+a2n−5_b8

10. (a2m+1_−5a2m+2_{+ 3a}2m_)por(a3m−3_{+ 6}3m−1_−8a3m−2₎

Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los exponentes (a0_{= 1), obtenemos:}

(a2m+1−5a2m+2+ 3a2m)

(a3m−3_{+ 6a}3m−1_−8a3m−2_{) = (a}2m+1_−5a2m+2_{+ 3a}2m_)(a3m−3₎

(a2m+1−5a2m+2+ 3a2m)(6a3m−1) (a2m+1_−5a2m+2_{+ 3a}2m_)(−8a3m−2₎

= a5m−2_−5a5m−1_{+ 3a}5m−3

6a5m−30a5m+1+ 18a5m−1 −8a5m−1_{+ 40a}5m_−24a5m−2

= −23a5m−2+ 5a5m−1+ 3a5m−3+ 46a5m−30a5m+1

Paso 2 Por lo tanto