Universidad Antonio Nari˜no Ingenier´ıa de Sistemas Educaci´on a Distancia
Teor´ıa de Grafos
GUIA No.3 RELACIONES Y FUNCIONES
Tutor: Helena Dulcey Hern´andez1.
Productos cartesianos
Definici´on 1 Para los conjuntosA,B ⊆U, el producto cartesiano, deAyB se denota con A×B y es igual a {(a, b)/a∈A, b∈B}.
Decimos que los elementos de A×B son pares ordenados. Para (a, b), (c, d) ∈A×B, tenemos que (a, b) = (c, d) si y s´olo si a=cyb=d
SiA,B son finitos, se sigue de la regla del producto que |A×B|=|A| · |B|. Aunque generalmente no ocurre queA×B =B×A, tendremos que |A×B|=|B×A|
Ejemplo 1 SeaU={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4},B ={4,5}. Entonces
1. A×B ={(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5)};|A×B|= 6
2. B×A={(4,2),(4,3),(4,4),(5,2),(5,3),(5,4)};|B×A|= 6
Claramente tenemos que A×B 6=B×A, pero |A×B|=|B×A|
3. B×B ={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}
4. A×A={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}
Teorema 1 Para cualesquiera conjuntos A, B, C ⊆U:
1. A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
2. A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
3. (A∩B)×C= (A×C)∩(B×C)
2.
Funciones
Definici´on 2 Para los conjuntos no vacios AyB, una funci´on de un conjuntoA a un conjunto B, que se denota con f :A→ B es una regla que asigna un elemento ´unico f(x)∈B a cada elementox∈A.
Ejemplo 2 SeanAyBel conjunto de los n´umeros reales, entonces x→f(x) =x2
Definici´on 3 El conjuntoAde todos los valores de entrada posibles se llama dominio. El conjunto de todos los valores de f(x) a medida que x var´ıa en todoA se denomina rango de la funci´on. El rango puede no incluir todos los elementos del conjunto B.
Pensemos una funci´on f como una especie de m´aquina que produce un valor f(x) en su rango siempre que ”alimentemos” con un valor de entradax de su dominio.
Ejemplo 3 Para la funci´on definida porf(x) =x2
, tenemos que el dominio son todos los n´umeros reales y el rango est´a dado por los reales no negativos.
Definici´on 4 Una funci´on f : A → B se denomina uno a uno, o inyectiva, si cada elemento deB aparece como m´aximo una vez como la imagen de un elemento A.
Ejemplo 4 SeanA={1,2,3}yB ={1,2,3,4,5}.
La funci´onf ={(1,1),(2,3),(3,4)}es una funci´on uno a uno de A en B.
La funci´on g = {(1,1),(2,3),(3,3)} NOes una funci´on uno a uno deA en B porque
g(2) =g(3), pero 26= 3;
Definici´on 5 Un diagrama de flechas es un dibujo que relaciona por medio de flechas los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B. Para que un diagrama de flechas sea una funci´on, se requiere que cada elemento del conjunto de partida A tenga s´olo una flecha de salida hacia el conjunto de llegada B.
Definici´on 6 La gr´afica de una funci´onf cuyo dominio y rango son subconjuntos de los n´umeros reales se obtiene trazando puntos en el plano que corresponden a los ele-mentos enf. El dominio est´a contenido en el eje horizontal y el rango en el eje vertical.
Ejemplo 6 La gr´afica de la funci´onf(x) =x2 es
y
5 25
x 100
10 75
50
0
0 −5 −10
Definici´on 7 Si x es un entero y y es un entero positivo, se definex mod y como el residuo cuando x se divide entrey.
Ejemplo 7 Se tiene
1. 6mod 2 = 0
2. 8mod 12 = 8
3. 15425mod 3 = 2
3.
Relaciones
Definici´on 8 Una relaci´on (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Si(x, y) ∈R, se escribe x R y, y se dice que ”x est´a relacionada cony”. SiX =Y, R se llama relaci´on (binaria) sobre X.
El conjunto{x∈X|(x, y)∈R para algunay∈Y}se llama dominio de R. El conjunto{y∈Y|(x, y)∈R para algunax∈X}se llama rango de R.
NOTA: Una funci´on es un tipo especial de relaci´on. Una funci´on f :X → Y es una relaci´on deX aY que tiene las propiedades:
1. El dominio def es igual aX
Ejemplo 8 SeaA×B ={(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5)}. Entonces las siguien-tes son algunas relaciones deA en B
a. ∅ b. {(2,4)}
c. {(2,4),(2,5)} d. {(2,4),(3,4),(4,4)} e. {(2,4),(3,4),(4,5)} f. A×B
Como|A×B|= 6, existen26
= 64 posibles relaciones deAen B.
NOTA:En general, para conjuntos finitos A,B con|A|=m y |B|=n, existen 2mn
relaciones deA en B incluyendo la relaci´on vac´ıa y la propia relaci´on A×B.
Tambi´en existen 2nm relaciones de B en A, una de las cuales tambi´en es ∅ y otra es
B×A.
El siguiente ejemplo muestra que algunas veces es posible definir una relaci´on dando la regla para pertenecer a la relaci´on
Ejemplo 9 Sean X = {2,3,4}, Y = {3,4,5,6,7} y una relaci´on R de X a Y por
(x, y)∈R six divide ay, se obtieneR={(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)}
Si se reescribeR como tabla, se obtiene
X Y 2 4 2 6 3 3 3 6 4 4
El dominio deR es el conjunto {2,3,4} y el rango de R es el conjunto{3,4,6}
Ejemplo 10 SeaRla relaci´on sobreX={1,2,3,4}definida por(x, y)∈Rsix≤y,x, y ∈ X. Entonces R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}. El dominio y rango deR son ambos iguales a X
Una manera informativa de visualizar una relaci´on en un conjunto es dibujar sudigr´ afi-ca. (las digr´aficas se estudiar´an con m´as detalle en la gu´ıa de gr´aficas). Para dibujar la digr´afica de una relaci´on en un conjuntoX, primero se dibujan los puntos o v´ertices
para representar los elementos deX, despu´es si el elemento (x, y) est´a en la relaci´on, se dibuja una flecha (llamadaarista dirigida) dexay. Un elemento de la forma (x, x) en una relaci´on corresponde a una arista dirigida dex ax. Tales aristas se llamanlazos.
EJEMPLOS
a) SeaA={1,2,3,4} y se define la relaci´on ”x es menor que y”, entonces
b) Sea A={1,2,3,4}y se define la relaci´on ”x es menor o igual que y”, entonces
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} y la digr´afica correspondiente es
Definici´on 9 Una relaci´on R en un conjunto X se llama reflexiva si (x, y)∈R para todax∈X
R es reflexiva ⇔ ∀x∈X →x R x
EJEMPLOS
1. La relaci´onRdefinida en el ejemplob) anterior es reflexiva porque cada elemento
x∈X, (x, x)∈R; en particular, (1,1),(2,2),(3,3) y (4,4) est´an enR. La digr´afica de una relaci´on reflexiva tiene un lazo en cada v´ertice.
2. La relaci´on R = {a, a),(b, c),(c, b),(d, d)} sobre X = {a, b, c, d} no es reflexiva. Puesto que,b∈X pero (b, b)∈/ X
Definici´on 10 Una relaci´onR sobre un conjuntoX se llama sim´etrica si para toda x, y∈X, si (x, y)∈R entonces(y, x)∈R
R es sim´etrica⇔ ∀x, y∈X(x R y→y Rx)
EJEMPLOS
1. La relaci´on R={a, a),(b, c),(c, b),(d, d)} sobre X ={a, b, c, d} es sim´etrica por-que para toda x,y, si (x, y)∈R, entonces (y, x)∈R. Por ejemplo, (b, c) est´a en
R y (c, b) tambi´en est´a en R. La digr´afica de una relaci´on sim´etrica tiene la pro-piedad de que siempre que existe una arista dirigida dev aw, tambi´en existe una arista dirigida dew av.
2. La relaci´on R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x, y) ∈ R si x ≤ y, x, y ∈ X, no es sim´etrica. Por ejemplo, (2,3)∈R pero (3,2)∈/ R
R es antisim´etrica⇔ ∀x, y∈X((xRy)∧(y Rx)→x=y)
EJEMPLOS
1. La relaci´on R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x, y) ∈ R si x ≤ y, x, y ∈ X, es antisim´etrica porque para todax,y, si (x, y)∈R yx /∈y; entonces (y, x)∈/ R
Por ejemplo, (1,2)∈Rpero (2,1)∈/ R. La digr´afica de una relaci´on antisim´etrica tiene la propiedad de que entre cualesquiera dos v´ertices existe a lo sumo una arista dirigida.
2. La relaci´onR={a, a),(b, c),(c, b),(d, d)}sobreX={a, b, c, d}no es antisim´etrica porque (b, c) y (c, b) est´an ambos enR.
Definici´on 12 Una relaci´on R sobre un conjunto X se llama transitiva si para toda x, y y z∈X, si (x, y) y(y, z)∈R, entonces(x, z)∈R
R es transitiva ⇔ ∀x, y, z∈X((x R y)∧(y R z)→x R z)
EJEMPLOS
1. La relaci´on R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x, y) ∈ R si x ≤ y, x, y ∈ X, es transitiva porque para todox,y yz si (x, y) y (y, z)∈R; entonces (x, z)∈R
Una forma de verificar que la relaci´on satisface la propiedad de transitividad es listar todos los pares de la forma (x, y) y (y, z) en R y comprobar que en cada caso (x, z)∈R
Pares de la forma Pares de la forma
(x, y) (y, z) (x, z) (x, y) (y, z) (x, z) (1,1) (1,1) (1,1) (2,2) (2,2) (2,2) (1,1) (1,2) (1,2) (2,2) (2,3) (2,3) (1,1) (1,3) (1,3) (2,2) (2,4) (2,4) (1,1) (1,4) (1,4) (2,3) (3,3) (2,3) (1,2) (2,2) (1,2) (2,3) (3,4) (2,4) (1,2) (2,3) (1,3) (2,4) (4,4) (2,4) (1,2) (2,4) (1,4) (3,3) (3,3) (3,3) (1,3) (3,3) (1,3) (3,3) (3,4) (3,4) (1,3) (3,4) (1,4) (3,4) (4,4) (3,4) (1,4) (4,4) (1,4) (4,4) (4,4) (3,4)
En realidad, algunos elementos de la tabla anterior eran innecesarios. Si x = y
Pares de la forma
(x, y) (y, z) (x, z) (1,2) (2,3) (1,3) (1,2) (2,4) (1,4) (1,3) (3,4) (1,4) (2,3) (3,4) (2,4)
La digr´afica de una relaci´on transitiva tiene la propiedad de que siempre que hay aristas dirigidas dex ay y de y a z, tambi´en habr´a una arista dirigida de x a z
2. La relaci´on R ={a, a),(b, c),(c, b),(d, d)} sobre X ={a, b, c, d} no es transitiva. Por ejemplo (b, c) y (c, b) est´an en R, pero (b, b) no est´a en R.
Definici´on 13 Una relaci´onR en un conjuntoX se llama orden parcial siR es refle-xiva, antisim´etrica y transitiva.
Ejemplo 11 Como la relaci´on R definida en los enteros positivos por (x, y) ∈R, si x divide ay es reflexiva, antisim´etrica y transitiva,R es un orden parcial.
SiRes un orden parcial en un conjunto X, la notaci´onxy se usa algunas veces para indicar que (x, y) ∈ R. Esta notaci´on sugiere que estamos interpretando la relaci´on como una ordenaci´on de los elementos deX.
Supongamos que R es una relaci´on de orden parcial en un conjunto X. Si x,y ∈X y ya seaxyoyx, se dice quexyysoncomparables. Six,y ∈X yxy yyx, se dice que x yy son incomparables. Si todo par de elementos de X es comparable, se llama aR de orden total.
Definici´on 14 Sea R una relaci´on de X a Y. La inversa de R, denotada por R−1, es
la relaci´on de Y a X definida porR−1={(y, x)|(x, y)∈R}
Ejemplo 12 Si se define la relaci´on R de X = {2,3,4} a Y = {3,4,5,6,7} por
(x, y)∈R six divide ay, se obtieneR={(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)}.
El inverso de esta relaci´on es R−1 ={(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4)}.
En palabras, esta relaci´on se describe como ”es divisible entre”.
3.1. Relaciones de equivalencia
Definici´on 15 Una relaci´on que es reflexiva, sim´etrica y transitiva en un conjuntoX se llama relaci´on de equivalencia sobreX
EJEMPLOS
1. Considere la relaci´onR={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5)(4,2),
(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)} en{1,2,3,4,5}.
reflexiva porque (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)∈R.
sim´etrica porque siempre que (x, y) est´a enR, (y, x) tambi´en est´a en R. transitiva porque siempre que (x, y) y (y, z) est´an enR, (x, z) tambi´en est´a en
R.
ComoR es reflexiva, sim´etrica y transitiva, entonces R es una relaci´on de equi-valencia en{1,2,3,4,5}.
2. La relaci´on R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x, y) ∈ R si x ≤ y, con x y
y∈R, no es una relaci´on de equivalencia porqueRno es sim´etrica. Por ejemplo, (2,3)∈R pero (3,2)∈/R. La relaci´on es reflexiva y transitiva
Teorema 2 Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto X. Para cada a∈X. Sea
[a] ={x∈X|x R a}
(En palabras,[a]es el conjunto de todos los elementos deX que est´an relacionados con a.) Entonces
S ={[a]|a∈X} es una partici´on de X
Definici´on 16 Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto X. Los conjuntos
[a]se llaman clases de equivalencia de X dada por la relaci´on R.
Obs´ervese que la clase de equivalencia de un elemento a nunca es vac´ıa, ya que la reflexividad deR implica quea∈[a].
EJEMPLOS
1. El d´ıgrafo y las clases de equivalencia en el conjuntoA={a, b, c, d}de la relaci´on
R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(c, d),(d, c),(d, d)}
NOTA: Obs´ervese que [a] = [b] y [c] = [d], es decir, existen s´olo dos clases de equivalencia.
2. Existen dos clases de equivalencia para la relaci´on de equivalenciaR={(1,1),(1,3),
3.2. Matrices de relaciones
Una matriz es una manera conveniente de representar una relaci´on R de X a Y. Esta representaci´on se puede usar en un computador para analizar una relaci´on.
Definici´on 17 Dados dos conjuntos finitos, no vac´ıos A = {a1, a2, . . . , am} y B =
{b1, b2, . . . , bn} y una relaci´on cualquiera R de A a B, llamaremos matriz de R a la
matriz booleana siguiente:
MR= (mij) :mij =
(
1 si (ai, bj)∈R
0 si (ai, bj)∈/ R
NOTA: De la anterior definici´on se deduce que la matriz de relaci´on es una matriz cuadrada, es decir, que tiene el mismo n´umero de renglones que de columnas.
Ejemplo 13 Si A={1,2,3,4} y la relaci´on (a R b)⇔bes m´ultiplo dea,∀a, b∈A.
Entonces la matriz de relaci´on est´a dada porMR=
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
, puesto que la
rela-ci´on est´a dada por el conjuntoR={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}
NOTAS:
1. Obs´ervese que la matriz de una relaci´on caracteriza a la misma, es decir, si se conoce la relaci´on se conoce la matriz y si se conoce la matriz se sabr´a de que relaci´on trata.
2. Obs´ervese tambi´en lo siguiente: si MR es la matriz de una relaci´on R de A aB,
cada fila se corresponde con un elemento deA y cada columna con un elemento de B. Para calcular el dominio de R bastar´a ver en que filas hay, al menos, un uno y para calcular la imagen bastar´a con ver en que columnas hay, al menos, un uno.
As´ı, por tanto tenemos para el ejemplo 13 que Dom(R) = {1,2,3,4} e Img(R) =
4.
EJERCICIOS PARA ENTREGAR
1. Trace la gr´afica de las siguientes funciones e indique en cada una cu´al es el dominio y el rango.
a) f(x) =
(
x si 0≤x≤1 2−x si 1< x≤2
b) g(x) =
1
x si x <0 x si 0≤x
c) |x|+|y|= 1. De acuerdo a la gr´afica, explique si representa una funci´on o no.
2. En cada cada caso escriba la relaci´on R de A en B o de A en A definida por la regla
a) A = {huevos, leche, ma´ız} y B = { vacas, cabras, gallinas }. Regla: a es producido por b
b) A={1,2,3,4,5}. Regla:x+y ≤6
3. Dibuje el digrafo de las siguientes relaciones
a) R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}definida en el conjunto A={1,2,3}
b) R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} definida en el conjuntoA={1,2,3,4}
c) La relaci´on R sobre el conjunto A={1,2,3,4} definida porx2 ≥y
4. Determine si la relaci´on R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}
es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica y transitiva.
5. Determine si la relaci´on dada por la matriz que la representa es una relaci´on de equivalencia a)
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0
b)
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
BIBLIOGRAF´
IA
1. JOHNSONBAUGH, Richard. Matem´aticas discretas. Sexta edici´on. Pearson Edu-caci´on de M´exico. 2005.
2. GONZALEZ, Francisco Jos´e. Apuntes de matem´atica discreta. C´adiz. 2004.
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