I
I
N
N
S
S
T
T
I
I
T
T
U
U
T
T
O
O
P
P
O
O
L
L
I
I
T
T
E
E
C
C
N
N
I
I
C
C
O
O
N
N
A
A
C
C
I
I
O
O
N
N
A
A
L
L
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
ANÁLISIS FOTOELÁSTICO Y NUMÉRICO DE UNA PLACA
CON DOBLE RANURA BAJO CARGA CENTRÍFUGA.
T E S I S D E M A E S T R Í A
QUE
P A R A O B T E N E R EL G R A D O DE:
MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD
E N I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A
P
P
R
R
E
E
S
S
E
E
N
N
T
T
A
A
:
:
I
I
N
N
G
G
.
.
R
R
A
A
F
F
A
A
E
E
L
L
H
H
E
E
R
R
N
N
Á
Á
N
N
D
D
E
E
Z
Z
B
B
A
A
U
U
T
T
I
I
S
S
T
T
A
A
D
D
I
I
R
R
E
E
C
C
T
T
O
O
R
R
D
D
E
E
T
T
E
E
S
S
I
I
S
S
:
:
M
M
.
.
e
e
n
n
C
C
.
.
G
G
A
A
B
B
R
R
I
I
E
E
L
L
V
V
I
I
L
L
L
L
A
A
Y
Y
R
R
A
A
B
B
A
A
S
S
A
A
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO
CARTA CESIÓN DE DERECHOS
En la ciudad de México, Distrito Federal, el día 30 del mes de Mayo del año 2006, el que suscribe Rafael Hernández Bautista alumno del programa de Maestría en Ciencias con especialidad en Ingeniería Mecánica con número de registro B031533, adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Adolfo López Mateos, manifiesta que es autor intelectual del presente Trabajo de Tesis bajo la dirección del M. en C. Gabriel Villa y Rabasa y cede los derechos del trabajo intitulado: ANÁLISIS FOTOELÁSTICO Y NUMÉRICO DE UNA PLACA PLANA CON
DOBLE RANURA BAJO CARGA CENTÍFUGA, al Instituto Politécnico Nacional para su
difusión, con fines académicos y de investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección: [email protected]
Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.
En el presente trabajo de investigación, se emplea el método fotoelástico y el
método del elemento finito, para el análisis de esfuerzos que se produce en el
modelo de una placa plana con doble ranura a la que se aplica una carga centrifuga
real, para realizar este cometido, se diseñó un banco de pruebas que consiste de
una bobina de alto voltaje, un motor eléctrico que se acopla a un distribuidor
automotriz por medio de un rotor donde se instala la placa ranurada.
Al dispositivo se agrega una lámpara estroboscópica cuidadosamente diseñada, la
cual se sincroniza con la chispa de alto voltaje repartida por el distribuidor para ser
disparada en el momento en que el motor completa una revolución, todo el
dispositivo es acomodado dentro del polariscopio circular ubicando la lámpara
estroboscópica en la parte posterior del polariscopio.
Una vez completa la instalación de los elementos de la celda de pruebas, se pone
en operación la máquina para poder ver el patrón de franjas isocromáticas de la
placa ranurada en rotación, esto se logra por el efecto óptico de congelación de
imagen, que es provocado por el destello sincronizado de la lámpara
estroboscópica, con esta técnica se consigue fotografiar el patrón de franjas usando
equipo fotográfico convencional para su análisis posterior.
En la última etapa del trabajo se realiza la comparación del resultado obtenido por el
At this work, the photoelastic and the finite element methods are employed to
analyze the stresses on a double notch plane plate under centrifugal load, to do it, a
test cell were made, it consist of a high voltage coil, an electrical engine and an
automotive distributor. The engine is coupled with the distributor by a rotor where the
notched plate is installed.
A stroboscopic lamp is added to the machine, the high voltage signal that the
distribuidor deliverers is used to synchronize and trigger the flash lamp, at the
moment that one revolution is completed, the cell test is installed inside a circular
polariscope and the stroboscopic lamp is located behind the polariscope.
Once the elements of the test cell were installed, then it is energized to make the
machine work and see isochromatic fringes when the notched plate is rotating, this is
done for the optical effect produced by the synchronized flashing of the stroboscopic
lamp, it makes possible to take photos with common photographic equipment for
analyze them later.
Finally, the experimental and numerical results are compared to see if there are
differences.
OBJETIVO
Realizar el estudio a través del método fotoelástico y del elemento finito de una
placa plana con dos ranuras bajo carga centrífuga que se genera por la rápida
rotación de la placa.
JUSTIFICACIÓN
Actualmente, en el laboratorio de análisis experimental de esfuerzos de la
SEPI-ESIME Zacatenco, es muy común utilizar el método fotoelástico para hacer análisis
de esfuerzos de elementos mecánicos que conforman partes esenciales de una
máquina en particular; sin embargo, en ocasiones los elementos mecánicos que se
analizan se encuentran en movimiento y el estudio que se practica en estas piezas,
consiste en mantener inmóvil la pieza y aplicar cargas estáticas previamente
calculadas mediante expresiones matemáticas que se aproximan a la carga real de
la pieza en movimiento.
Lo anterior se debe a que el laboratorio de análisis experimental de esfuerzos de la
SEPI-ESIME no cuenta con el equipo necesario para elaborar análisis fotoelásticos
de piezas en movimiento. El personal que practica análisis fotoelásticos en
elementos mecánicos bajo estas condiciones, no puede asegurar que una pieza en
movimiento pueda soportar eficientemente las cargas de trabajo, si dicho análisis es
elaborado como se menciona en el párrafo anterior.
Por otra parte todos los equipos e instrumentos empleados en el laboratorio de la
SEPI-ESIME para evaluar esfuerzos por el método fotoelástico son importados
porque no se fabrican en México, lo que ocasiona que no se tenga un interés por
diseñar un equipo que permita realizar análisis fotoelásticos de piezas en
movimiento por el temor de no conseguir los resultados deseados y limitando la
por el desplazamiento de la pieza fotoelástica.
Por lo tanto, el trabajo de tesis que se presenta, pretende diseñar y construir una
máquina que permita obtener imágenes de un modelo fotoelástico en movimiento
exclusivamente rotativo, como el inicio del primer intento de realizar un análisis
fotoelástico dinámico en el laboratorio, utilizando para ello el equipo de análisis
fotoelástico con que cuenta el laboratorio actualmente, además de tratar de proveer
a los alumnos de una herramienta de análisis extra que les ayude a elaborar análisis
fotoelásticos de piezas en movimiento, que hasta el momento no se han llevado
acabo en el laboratorio de la SEPI-ESIME a pesar de la existencia del equipo que la
compañía Vishay Measurements Group ofrece para ejecutar análisis fotoelásticos
RESUMEN i
ABSTRAC ii
OBJETIVO iii
JUSTIFICACIÓN iii
ÍNDICE v
ÍNDICE DE FIGURAS ix ÍNDICE DE TABLAS xiv
SIMBOLOGÍA xv
INTRODUCCIÓN xix ESTADO DEL ARTE xxii CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Descripción del problema 2
1.2 Naturaleza y comportamiento de la luz 4
1.2.1 Luz blanca y luz monocromática. 7
1.2.2 Luz ordinaria y luz polarizada. 9
1.2.3 Luz polarizada plana. 10
1.2.4 Luz polarizada circularmente. 11
1.2.5 Luz polarizada elípticamente. 12
1.2.6 Doble refracción. 13
1.3 Óptica del polaricopio plano. 15
1.3.1 Placas de onda. 15
1.4 Óptica del polariscopio circular. 20
1.4.1 Campo oscuro. 20
1.4.2 Campo claro. 24
1.4.3 Posiciones intermedias del analizador. 27
1.5 Polariscopio de luz difuza. 27
1.5.1 Placa de cuarto de onda. 31
1.5.2 Placas de media onda. 32
1.5.3 Arreglos de polariscopios. 34
1.6 Sumario 36
2.1 Introducción. 39
2.2 Diseño conceptual. 39
2.2.1 Requerimientos. 40
2.2.2 Límites del sistema. 44
2.2.3 Análisis funcional. 46
2.2.4 Generación de conceptos. 49
2.2.5 Evaluación de conceptos. 50
2.2.6 Croquis de dispositivo. 54
2.3 Diseño de detalle. 56
2.3.1 Ensamble general. 56
2.3.2 Lámpara estroboscópica. 56
2.3.3 Diseño de la fuente de poder. 61
2.3.4 Sincronización de dispositivos. 70
2.3.5 Instrumentos de medición. 81
2.3.6 Dibujos de detalle. 82
2.4 Prototipo y pruebas realizadas. 82
2.5 Sumario 92
Referencias. 94
CAPÍTULO III APLICACIÓN DEL MÉTODO FOTOELÁSTICO
3.1 Introducción al método fotoelástico. 98
3.2 Ley óptica del esfuerzo y la deformación. 99
3.6.1 Ley óptica de esfuerzo cortante. 101
3.6.2 Esfuerzos principales secundarios. 103
3.6.3 Ley óptica de esfuerzo en dos dimensiones. 105
3.6.4 Constantes fotoelásticas. 106
3.6.5 Calibración fotoelástica. 110
3.7 Análisis fotoelástico. 112
3.7.1 Patrón de franjas isocromáticas. 113
3.7.2 Patrón de franjas isóclinas. 118
3.7.3 Identificación de los órdenes de franja. 121
3.8 Métodos de compensación. 124
3.9.2 Sensibilidad. 131
3.9.3 Linealidad. 131
3.9.4 Homogeneidad e isotropía. 132
3.9.5 Fluencia. 133
3.9.6 Módulo de elasticidad y límite de proporcionalidad. 134
3.9.7 Efecto del envejecimiento. 137
3.9.8 Maquinabilidad. 139
3.9.9 Esfuerzos residuales. 140
3.10 Análisis fotoelástico de la placa ranurada 141
3.10.1 Fabricación de la probeta. 142
3.10.2 Equipo fotoelástico. 143
3.10.3 Equipo fotográfico. 144
3.10.4 Procedimiento para grabar la imagen. 145
3.11 Sumario 149
Referencias 151
CAPÍTULO IV APLICACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS
4.1 Introducción 155
4.2 Método del elemento finito 156
4.3 Tipos de elementos finitos 160
4.3.1 Elementos isoparamétricos 164
4.4 Generación de malla. 166
4.5 Interpolación. 174
4.5.1 Propiedades de las funciones de forma. 174
4.5.2 Tipos de funciones de forma. 175
4.6 Formulaciones del método del elemento finito 178
4.6.1 Formulación directa. 178
4.6.2 Formulación variacional. 178
4.6.3 Formulación de los pesos residuales. 179
4.6.4 Formulación del balance de energía. 179
4.7 Clasificación de los problemas en ingeniería. 179
4.9.1 Características del programa Ansys 9.0. 187
4.9.2 Ventajas de Ansys 9.0. 188
4.10 Sumario 189
Referencias. 190
CAPÍTULO V ANÁLISIS DE RESULTADOS
5.1 Calculo del valor de franja. 193
5.2 Análisis por el método del elemento finito. 195
5.3 Análisis de comparativo. 200
5.4 Discusión de resultados 204
Referencias. 207
CONCLUSIONES 210
TRABAJO FUTURO 213
1.1 Patrón de franjas de un diente de engrane obtenido con el polariscopio
circular que actualmente posee el laboratorio. 2
1.2 Vibraciones transversales en un rayo de luz ordinaria. Todas las
longitudes de onda se pueden encontrar en vibraciones de forma
azarosa en el plano perpendicular al eje de propagación. 6
1.3 Representación gráfica del espectro electromagnético 8
1.4 Representación gráfica de la luz visible del espectro electromagnético.
8
1.5 Luz polarizada mediante filtro horizontal. 9
1.6 Esquema óptico del fenómeno de luz polarizada plana. 10
1.7 Esquema óptico del fenómeno de luz polarizada circularmente. 11
1.8 Esquema óptico del fenómeno de luz polarizada elípticamente. 12
1.9 Esquema para explicar el índice elipsoide. 14
1.10 Esquema óptico de un polarizador plano. 15
1.11 Ejes principales de una placa doble refractante. 16
1.12 Esquema óptico de una placa de onda. 16
1.13 Representación esquemática del polariscopio plano. 17
1.14 Polariscopio plano ilustrando los puntos de extinción. 19
1.15 Arreglo de los elementos en un polariscopio circular con el polarizador
y el analizador cruzados, y las laminas de cuarto de onda cruzadas
(región oscura). 20
1.16 Posibles arreglos del polariscopio circular en campo oscuro. 24
1.17 Arreglos del polariscopio circular en campo claro. 26
1.18 Diagrama esquemático de las transformaciones ópticas en un
polariscopio circular configurado para campo oscuro. 27
1.19 Comparación entre dos polariscopios de luz difusa y dos polariscopios
convencionales. 29
1.20 Representación exagerada de los efectos producidos por haces de luz
no paralelos. 30
1.21 Porción de un patrón de esfuerzos de un anillo bajo compresión
1.23 Esquema mostrando el efecto óptico de una placa de media onda. 33
1.24 Esquema mostrando el efecto óptico de dos placas de cuarto onda
cruzadas. 34
1.25 Arreglos posibles de los elementos del polariscopio 35
2.1 Funciones de servicio del banco de pruebas y elementos de su
entorno. 45
2.2 Función global del banco de pruebas. 46
2.3 Niveles que componen la función global. 47
2.4 Elementos que integran el nivel A1. 48
2.5 Elementos que integran el nivel A3. 48
2.6 Elementos que integran el nivel A4. 48
2.7 Elementos que integran el nivel A5. 49
2.8 Representación esquemática del concepto V. 55
2.9 Circuito básico del flash electrónico. 58
2.10 Transformador de horno de microondas. 62
2.11 Circuito doblador de voltaje de media onda. 62
2.12 Otra configuración de un circuito doblador de voltaje. 63
2.13 Doblador de voltaje de onda completa. 64
2.14 Circuito eléctrico elaborado y simulado en multisim 8.0. 69
2.15 Sistema de encendido del tipo DIS. 71
2.16 Estructura básica de un sistema de encendido. 72
2.17 Sistema de encendido por distribuidor. 73
2.18 Generador de impulsos de inducción. 74
2.19 Cambios que experimenta la señal de inducción. 76
2.20 Sensor de efecto Hall. 77
2.21 Esquema de unidad de control. 79
2.22 Conexión eléctrica entre la lámpara estroboscópica y el distribuidor. 80
2.23 Material empleado en la construcción del banco de pruebas. 83
2.24 Herramienta eléctrica utilizada. 84
2.25 Soporte del banco de pruebas. 85
2.26 Dispositivo instalado en el polariscopio. 86
2.30 Fuente de poder conmutada de alta frecuencia. 90
2.31 Prueba de la lámpara estroboscópica a 1200 rpm. 91
2.32 Imagen conseguida con la lámpara estroboscópica diseñada. 92
3.1 Franjas rebeladas por el modelo de plástico sometido a compresión en
sus extremos. 96
3.2 Esfuerzo cuadrático de Cauchy para todos los esfuerzos principales
del mismo signo. 104
3.3 Esfuerzo cuadrático de Cauchy para todos los esfuerzos principales
del diferente signo. 105
3.4 Patrón de franjas isocromáticas de un eslabón de cadena sujeto a
cargas de tensión a través de los pernos de unión. 114
3.5 Circulo de Mohr para el estado de esfuerzos en un punto. 116
3.6 Patrón de franjas fotoelásticas mostrando la distribución de esfuerzos
a través de una sección cuadrada con un orificio circular en su centro. 117
3.7 Patrón de franjas isóclinas para un anillo circular sujeto a compresión
diametral. 118
3.8 Patrón compuesto de isóclinas para un anillo circular sujeto a
compresión diametral. 119
3.9 Ilustración del método de Tardy’s en la compensación birrefringente. El
patrón de franjas en los ejes es proporcional a la rotación del
analizador y da el orden de franja fraccional. 128
3.10 Ilustración del método de Tardy’s para los puntos genéricos. Los
órdenes de interferencia fraccionaria son dados por la posición de las
isocromáticas sobre las isóclinas dibujadas. 129
3.11 Curvas típicas (a) esfuerzo-deformación y (b) orden de franja
deformación para polímetros utilizados en fotoelásticidad. 132
3.12 Curva típica mostrando el tiempo después de la carga dependiente del
valor de franja esfuerzos en un material polímetro fotoelástico. 136
3.13 Curva típica que muestra los cambios en el valor de franja-esfuerzo
esfuerzos producidos por el envejecimiento de un modelo fotoelástico. 138
3.15 Maquinado de un modelo fotoelástico en router. 140
3.16 Sierra circular de banco. 142
3.17 Banco de pruebas instalado entre el polarizador y el analizador del
polariscopio. 144
3.18 Cámara digital de alta velocidad. 146
3.19 Videocámara casera utilizada en el experimento. 147
3.20 Sesiones de video separado en fotogramas. 148
3.21 Comparación de la fotografía digital en campo claro con el fotograma
en campo oscuro. 149
4.1 Dos tipos de elementos empleados para discretizar una región dada
(b) elementos de forma simple sin refinamiento. (a) elementos de
forma simple con refinamiento. 161
4.2 Ejemplos de elementos finitos unidimensionales. 162
4.3 Ejemplos de elementos finitos bidimensionales. 163
4.4 Ejemplos de elementos finitos tridimensionales. 164
4.5 Elementos triangulares y sus formas isoparamétricas con interpolación
cuadrática y cúbica. 165
4.6 Elementos cuadriláteros y sus formas isoparamétricas con
interpolación cúbica y cuarta. 165
4.7 Problemas tridimensionales simplificados a dos dimensiones por
deformación plana. 166
4.8 Problemas tridimensionales simplificados a dos dimensiones por
esfuerzo plano. 167
4.9 Tipos de simetría. 167
4.10 Ejemplo de un problema con simetría plana. 168
4.11 Típicos elementos para análisis de esfuerzos. 169
4.12 Efecto del número de elementos en un análisis de esfuerzos. 170
4.13 Métodos para el cambio de densidad en la malla. 171
4.14 Ejemplos de la relación de forma para medir la distorsión de un
4.16 Ejemplos donde la localización de nodos es importante. 173
4.17 Dos modos diferentes de enumerar elementos y nodos. 173
4.18 Tipos de nodos de un elemento. 175
4.19 Transformación de la geometría mediante el empleo de funciones de
interpolación. 176
4.20 Transformación biunivoca que provoca pliegues en el elemento
transformado. 176
4.21 Flecha modelada como viga de Rayleigh. 181
5.1 Patrón de franjas isocromáticas del modelo a 3600 rpm. 193
5.2 Amplificación de la zona de mayor concentración de esfuerzos. 194
5.3 Modelo tridimensional elaborado de Mechanical Desktop 2006. 195
5.4 Sección transversal a analizar. 196
5.5 Maya generada para la placa ranurada. 196
5.6 Refinamiento de la maya entre las ranuras. 197
5.7 Esfuerzo principal uno a 3600 rpm. 199
5.8 Esfuerzo principal dos a 3600 rpm. 199
5.9 Comparación del patrón de franjas isocromáticas de ambas
fotografías. 201
5.10 Comparación del patrón de isocromáticas del modelo simulado sin el
fondo azul. 202
5.11 Comparación del patrón de las isolíneas del modelo simulado. 203
5.12 Si se observa la fotografía cuidadosamente, se puede notar que el
campo de isocromáticas del esfuerzo principal uno carece de la franja
isocromática que se aprecia en el borde posterior del modelo
ÍNDICE DE TABLAS
2.1 Traducción de requerimientos. 42
2.2 Metas de diseño. 43
2.3 Clasificación de las funciones de servicio. 45
2.4 Matriz morfológica de las ideas propuestas para el diseño. 49
2.5 Ideas propuestas para el concepto I. 50
2.6 Ideas propuestas para el concepto II. 50
2.7 Ideas propuestas para el concepto III. 51
2.8 Ideas propuestas para el concepto IV. 51
2.9 Ideas propuestas para el concepto V. 52
2.10 Evaluación conceptos de diseño por el método Pugh. 53
2.11 Concepto de diseño electo. 54
3.1 Características de franjas isocromáticas. 123
5.1 Resultados del análisis por el método del elemento finito. 200
α Amplitud de onda.
rev
t Tiempo necesario para completar una revolución.
f Frecuencia.
c
C Capacitancia.
T
C Capacitancia total. o
E Energía de operación del flash.
x
E Energía de explosión del flash.
o
K Impedancia del flash.
T Ancho de pulso.
destello
T Tiempo de destello esperado.
flash
a Constante para el flash de gas xenón.
ind
L Inductancia.
arc
l Longitud del arco eléctrico formado por el flash.
p
L Tiempo de vida del flash en pulsos.
d Diámetro interior del tubo flash. fill
P Presión del gas xenón dentro del flash.
3 / 1
t Tiempo de duración del destello.
λ Longitud de onda. ∆ Retardación relativa.
1
R Retado relativo en el plano de σ2 y σ3
2
R Retado relativo en el plano de σ3 y σ1 3
R Retado relativo en el plano de σ1 y σ2
' 1
E Amplitud del vector luz.
C Coeficiente óptico de esfuerzo relativo.
max
τ Esfuerzo cortante máximo.
f N
n, , Orden de franja.
σ
C Coeficiente de esfuerzo óptico relativo.
max
γ Deformación tangencial máxima.
o
n Índice de refracción original.
1
A Haz de luz que entra al plano de doble refracción.
3 2,A
A Componentes del vector luz en el plano de doble refracción.
5 4,A
A Componentes del vector luz que pasa a través del analizador del
polariscopio plano.
7 6,A
A Componentes del vector luz en el plano de doble refracción en el
polariscopio circular.
9 8,A
A Componentes del vector luz que pasa a través de la segunda placa de
cuarto de onda del polariscopio circular.
11 10,A
A Componentes del vector luz en la segunda placa de cuarto de onda del
polariscopio circular.
13 12,A
A Componentes del vector luz que pasa a través del analizador del
polariscopio circular.
14
A Plano de vibración del analizador.
15
A Vector de luz que emerge del analizador orientado en campo claro en
el polariscopio circular.
b Amplitud de la luz que emerge del analizador.
I Intensidad luminosa.
R Retardación relativa.
θ Angulo formado entre una de las componentes del vector luz con respecto al eje horizontal.
δ Distancia que existe entre las ondas de la luz cuando emerge de la placa de cuarto de onda.
ε
f Valor de franja en términos de deformación.
σ
f Valor de franja en términos de esfuerzo.
Q Figura de calidad del material fotoelástico.
E Modulo de Young.
1
3
ε Deformación principal tres.
x
σ Esfuerzo de deformación en la dirección del eje x
1
σ Esfuerzo principal uno.
2
σ Esfuerzo principal dos.
3
σ Esfuerzo principal tres.
pl
σ Límite proporcional del material fotoelástico
S Índice de sensibilidad.
D Diámetro del disco.
disco
t Espesor del disco.
xy
τ Esfuerzo cortante en el plano xy.
P Carga puntual aplicada al disco.
x Distancia a lo largo del diámetro del disco medica desde su centro. υ Relación de Poisson
ω Velocidad angular.
( ) ( )
x v xu , Funciones de desplazamiento lineal.
( )
tfσ Valor de franja-esfuerzo en función del tiempo.
( )
tfε Valor de franja-deformación en función del tiempo
h
t, Espesor de la placa en la dirección de la trayectoria del haz luminoso.
1
I Intensidad de la luz en el plano polarizado.
k
(
σ1−σ2)
Diferencia de esfuerzos principales.ρ Densidad.
A Área.
M Matriz masa
G Matriz giroscópica.
K Matriz de rigidez.
R Matriz de rotación.
s e
M Matriz masa del elemento.
s e
i
Ψ Funciones forma.
T Energía cinética para el elemento.
V Energía potencial para el elemento.
m Masa del disco.
U Producto cruz. i
q Coordenadas generalizadas, sistema estacionario de referencia.
L Longitud del elemento la flecha del rotor.
L x =
ξ Parámetro adimensional.
Ω Velocidad angular de rotación de la flecha
p
I Momento polar de inercia del área.
d
I Momento diametral de inercia del área.
p
J Momento polar de inercia de la masa.
d
J Momento diametral de inercia de la masa.
XYZ Sistema estacionario de referencia.
X’Y’Z’ Sistema de referencia de rotación.
u Vector de rotación de dos sistemas de referencia.
r Vector de desplazamiento con coordenadas en el sistema de referencia
En la actualidad el hombre ha sido capaz de desarrollar máquinas cada vez más
complejas para facilitar la transformación de la materia en productos que le ayuden a
transportarse más rápido de un lugar a otro, por ejemplo el automóvil, el tren
eléctrico, el barco, el avión, entre otros. Esto ha contribuido a que la ingeniería
mecánica encargada de desarrollar cada uno de los elementos estructurales, se
enriquezca más, con cada nuevo invento de la industria de la transformación y el
transporte. Sin embargo, con cada nuevo vehículo de transporte que surge, las
exigencias estructurales son mayores, ello se debe a que se espera una mayor
comodidad y rapidez en cada vehiculo que se lanza al mercado. Como
consecuencia de lo anterior, ha llevado a los ingenieros a desarrollar métodos
nuevos para realizar un diseño estructural óptimo que cubra todas las expectativas
del usuario alrededor del mundo.
México no es la excepción, cada vez son más los centros de investigación que
proponen métodos teórico-experimentales para resolver los problemas que se
presentan cotidianamente dentro de la ingeniería mecánica, tal es el caso de la
SEPI-ESIME Zacatenco, que cuenta con un laboratorio de análisis experimental de
esfuerzos, donde se imparten clases a los alumnos para enseñarles los métodos
experimentales que existen, y así determinar los esfuerzos a los que esta sujeto una
pieza bajo carga; sin embargo, todos los análisis que se practican en el laboratorio,
son estáticos como es el caso del método fotoelástico entre otros. Esto despertó la
curiosidad del autor, por saber si el análisis fotoelástico se puede aplicar a un
modelo birrefringente en movimiento rotatorio, lo cual lo motivó a diseñar y construir
un dispositivo que permita realizar el análisis de modelos de policarbonato en
movimiento, utilizando equipo fotográfico convencional. Toda esta inquietud que el
autor experimento trajo como resultado el presente trabajo de investigación, del cual
se habla brevemente en los siguientes párrafos.
En el primer capítulo del presente trabajo se inicia por plantear el problema, donde
se da una breve explicación de las variables físicas involucradas en el desarrollo del
El segundo capítulo cubre el diseño de la celda de pruebas, iniciando por su diseño
conceptual, en el cual, se plantean los parámetros de operación del dispositivo,
comenzando por los requerimientos expresados y no expresados, continuando con
su traducción para plantear las metas de diseño y proponer los límites del sistema
que permite realizar el análisis funcional descendente, donde se identifican por
separado las funciones que realiza cada elemento del banco de pruebas.
Continuando con la generación de conceptos de diseño y su evaluación para
seleccionar el que satisfaga los requerimientos expresados y se elabora el croquis
del dispositivo tomando en cuenta el concepto de diseño electo. Este capítulo
también incluye el diseño de detalle, en el cual se presenta el diseño detallado de
cada elemento que conforma el banco de pruebas, bajo las condiciones de
operación a las que estará sujeta la celda de pruebas, para ello se utiliza el croquis
que se elaboró en el diseño conceptual y se comienza por los cálculos necesarios
para dar paso a escoger el material y los componentes más adecuados para la
construcción del dispositivo. Además se describe detalladamente la operación de los
componentes que son adquiridos y forman parte medular del banco de pruebas, así
mismo se generan los dibujos de detalle del dispositivo. En la última etapa de
desarrollo del capítulo, se da una explicación de cómo se construye el prototipo, las
herramientas utilizadas para su manufactura y se describen las pruebas realizadas
para comprobar el funcionamiento adecuado del dispositivo.
En el capitulo tres se explica brevemente la naturaleza de la luz, los tipos de luz y las
formas de polarizar la luz. También se describen las partes que conforman un
polariscopio circular, los tipos y arreglos del polariscopio circular. Así como las
posiciones de las placas de cuarto de onda y las placas polarizadas, además se
mencionan los tipos de campos que se consigue mediante el polariscopio circular, se
identifican los diferentes patrones de franja y las expresiones matemáticas que son
empleadas en su análisis. Finalmente se habla de las propiedades mecánicas que
posee el material fotoelástico y los esfuerzos residuales que se presentan durante la
maquila del material.
recomendaciones a seguir para la generación de la malla sobre el modelo de
análisis, se explica cada una de las formulaciones del método de elemento finito, se
clasifican los problemas de ingeniería, se da una breve introducción de cómo se
aplica el método a estructuras rotativas, se muestra paso a paso el procedimiento a
seguir durante un análisis mediante elemento finito. Finalmente se describen las
ventajas y desventajas del programa Ansys 9.0 que se usa en el análisis de la placa
ranurada.
En el capítulo cinco se aplica ambos análisis (fotoelástico y numérico) para obtener
el resultado experimental y el resultado teórico, en este mismo capítulo se hace la
comparación entre ambos métodos y así se comprueba la coherencia entre ambos
En 1965, A. J. Durelli y W. F. Riley [1] incluyeron en su obra algunas aplicaciones del
método fotoelástico al estudio de problemas dinámicos, como la propagación de las
ondas de esfuerzo en una barra de material fotoelástico con forma rectangular sujeta
a una carga de impacto, en el experimento utilizaron una cámara de alta velocidad
de 12500 exposiciones por segundo para grabar el patrón de las franjas conforme
estas se desplazaban en el modelo. En un análisis posterior observaron la dilatación
y la distorsión de las ondas de esfuerzo, así como su reflexión en los extremos de
una placa plana de gran tamaño de material Hystol 4485. En este análisis utilizaron
la cámara de alta velocidad ajustada a 6000 exposiciones por segundo. Durelli y
Riley iluminaron ambos experimentos con luz proveniente de un arco eléctrico de
alto voltaje.
Otro análisis desarrollado por Durelli y Riley consistió en estudiar la propagación de
las ondas de esfuerzo en una placa plana perforada en su centro durante el paso de
un pequeño pulso de esfuerzo de corta duración, para ello utilizaron una pequeña
carga explosiva para generar la onda de esfuerzo. Con la cámara de alta velocidad
de 16 mm operando a 6780 exposiciones por segundo grabaron la trayectoria del
patrón de ondas de esfuerzo. En su obra también incluyeron el análisis de la
propagación de las ondas de esfuerzo en una placa plana con una perforación
elíptica en su centro bajo una carga de larga duración. Durelli y Riley utilizaron una
pequeña masa que dejaron caer de una altura de 16 pies, para producir la onda de
esfuerzo de 12000 µseg de duración, en el experimento ajustaron la cámara de alta
velocidad a 6900 exposiciones por segundo para observar el comportamiento del
patrón de franjas cuando se desplazó en el modelo.
El último documento incluído por A. J. Durelli y W. F. Riley en su obra fue el análisis
de la propagación de las ondas de esfuerzo a través de una placa plana con un
pequeño orificio por encima de su centro. A la placa le aplicaron una onda de
choque de aire en el borde más cercano al orificio, en este experimento instalaron la
placa por uno de sus extremos en un ducto de aire de alta velocidad. El modelo fue
de esfuerzo en la placa. Este mismo análisis fue incluído en la obra publicada por
James W. Dally [2] en 1991. Sin embargo, no incluyó muchos de sus experimentos
de fotoelasticidad dinámica que discutió y publicó en 1978.
En 1996, M. A. Vaz, F. Q. de Melo, J. F. D. Rodríguez y J. S. Gómez [3] estudiaron
el ruido y las vibraciones producidas en la tapa de la cadena de distribución de un
motor automotriz, para ello utilizaron la técnica de interferometría electrónica laser
de patrones coloreados (ESPI), el resultado experimental obtenido con esta técnica
fue comparado con un análisis por elemento finito bajo las mismas condiciones de
frontera, además realizaron un análisis modal discreto con la ayuda de
acelerómetros lo cual contribuyó a determinar la magnitud del ruido producido por la
cadena y la vibración del motor para solucionar la fatiga causada en la tapa de la
cadena. Monterio, J. M., Chozula J. A y Vaz, M. A. [4] estudiaron el mismo problema
con la diferencia de no haber elaborado una comparación de los resultados
experimental y numérico, en vez de ello únicamente se avocaron a estudiar las
vibraciones en la tapa de distribución mediante la técnica de holografía laser (ESPI),
para elaborar una representación tridimensional de los resultados obtenidos
mediante este análisis.
En 1998, Zhiguo Wang y Andreas Ettemeyer [5] analizaron la distribución de
esfuerzos en un freno de disco que vibraba por la presión ejercida del caliper sobre
su cara frontal y posterior al momento de estar girando a 18 rpm. Para dicho análisis
utilizaron la técnica de interferometría electrónica laser pulsada de patrones
coloreados, con este equipo de análisis les fue posible obtener un mapa en tiempo
real de la distribución de esfuerzos en el freno de disco bajo las condiciones de
carga mencionadas. El mismo procedimiento de análisis también lo aplicaron cuando
el disco giraba a 40 rpm. En ambos casos determinaron que el patrón de franjas se
magnificaba cuando el disco giraba en sentido contrario de las manecillas del reloj,
estando el disco bajo la acción de presión del caliper como consecuencia del
esfuerzos de contacto en dos modelos metálicos (acero y aluminio) bajo carga
estática y carga dinámica de impacto. En este experimento primero ejecutaron la
medición del esfuerzo en carga estática y posteriormente lo desarrollaron con la
carga dinámica. Ambas mediciones fueron ejecutadas mediante la técnica de
interferometría laser; sin embargo, en el caso de la carga dinámica se utilizó una
cámara de alta velocidad para grabar los patrones de franjas durante el impacto de
la esfera. Finalmente los resultados (estático y dinámico) fueron comparados con un
análisis por elemento finito del caso estudiado.
En ese mismo año, A. Pandolfi, P. R. Guduru, M. Ortiz y A. J. Rosakis [7] elaboraron
un análisis experimental de la dinámica de la fractura en probetas acero C300 a
cada espécimen le fue aplicada una carga de impacto para promover su rápida
fractura, en dicho análisis se utilizó la técnica de interferometría laser junto con una
cámara de alta velocidad de 2 millones de exposiciones por segundo para grabar el
desplazamiento de la fractura cuando se propagó a través de la probeta, además de
observar el comportamiento del campo de esfuerzos que la punta de la grieta generó
durante su avance. Con los datos experimentales A. Pandolfi, P. R. Guduru, M. Ortiz
y A. J. Rosakis determinaron la velocidad de propagación de la grieta y finalmente
elaboraron un análisis por elemento finito del espécimen en cuestión para comparar
los datos experimentales con los numéricos así como el patrón de franjas
isocromáticas en ambos casos.
En el año 2001, A. Palevičius [8] realizó un análisis de múltiples sistemas mecánicos
sujetos a vibración, para esto utilizó el método de interferometría laser también
conocida como holografía. Los elementos mecánicos que sometió a análisis son los
siguientes: un motovibrador, una viga piezoeléctrica, un rodillo guía de cinta
magnética, los elementos de un disco duro, un rodamiento de bolas al momento de
ser instalado en una flecha con una prensa vibratoria, un amplificador electro
hidráulico, etc. El estudio realizado por A. Palevičius mostró la distribución de
esfuerzos que existe en este tipo de elementos y ayudó a optimizar el diseño de
cada uno de estos. En el mismo año, Anand Asundi y Sajan, M.R [9] elaboraron un
iluminación y una cámara TDI que no es tan rápida como una cámara de alta
velocidad. Asundi y Sajan consiguieron visualizar la propagación de las ondas de
esfuerzo sincronizando la cámara con el diodo laser. Los excelentes resultados que
obtuvieron en la nitidez de las imágenes grabadas por la cámara TDI demostraron
que el experimento se podía ejecutar sin la necesidad de disponer de un equipo
fotográfico especializado como lo es una cámara de alta velocidad.
Otro experimento fue elaborado por Anand Asundi, Liu Tong y Chai Gin Boay [10] en
el año 2001. Este consistió en someter una probeta de material fotoelástico a una
carga dinámica cíclica con una máquina Instron; sin embargo, en este experimento
el equipo de captura de imágenes que usaron fue un arreglo de cuatro detectores
CCD de 640X480 pixeles, un arreglo de cuatro lentes de cuarto de onda y un
analizador, estos elementos fueron encapsulados en un cilindro metálico para su
fácil manipulación. El dispositivo les permitió grabar el evento dinámico con la
ventaja de obtener el patrón de franjas isocromáticas en campo claro, en campo
oscuro y el patrón de isóclinas a diferentes ángulos al mismo tiempo en una
fotografía realizada con esta cámara.
En el año 2002, J. W. Tong, S. B. Wang, H. Q. Li y X. D.Ni [11] observaron el
desplazamiento de las ondas de esfuerzo en una placa plana de material plástico
opaco bajo una carga de impacto, a través de la técnica de interferometría laser
digital de patrones coloreados (DSPI). Ellos graficaron la distribución del
desplazamiento de la ondas con respecto al tiempo; sin embargo, no realizó un
análisis numérico para comparar ambos resultados en vez de ello sólo determinaron
el campo de desplazamiento del patrón de franjas en una placa plana semi-infinita
mediante el procedimiento descrito. En el mismo año, Dvosřáková Pavla, Trnka Jan,
CSc. y Veselý Eduard [12] elaboraron un análisis de la propagación de ondas de
esfuerzo en un cráneo humano cuando este fue sometido a una carga dinámica de
corta duración. Ellos utilizaron la técnica de interferometría laser de doble pulso para
ejecutar el análisis. En la primer prueba tomaron ventaja de la explosión eléctrica
producida por la descarga de un capacitor electrolítico a través de un filamento
de alta intensidad generado por un laser de varilla de ruby, en ambos casos los
holointerferogramas fueron reconstruidos por un haz laser de Ne-He con una
longitud de onda de 632.8 nm. Sin embargo, no compararon los resultados
experimentales con análisis teóricos.
En el año 2003, Timothy Schmidt y John Tyson [13] analizaron un par de objetos en
movimiento rotativo, el primer objeto que analizaron fue una llanta de automóvil que
rotaba a una velocidad angular equivalente a un desplazamiento de 290 Km/h. el
segundo elemento analizado consistió de un rotor suspendido magnéticamente que
giraba a velocidades de 20 a 30000 rpm. Ambos elementos fueron estudiados
mediante el método de fotogrametría tridimensional. Esta técnica les permitió
obtener la distribución de esfuerzos de ambos elementos en rotación. La fuente
luminosa que utilizaron fue una lámpara estroboscópica para el primer análisis y un
laser de ruby sincronizado para iluminar el rotor suspendido magnéticamente.
En el año 2005, Kaiwen Xia [14] desarrolló un análisis de la propagación de las
fracturas subRayleigh y transversal que se presentan en la corteza terrestre durante
un terremoto. Kaiwen consiguió visualizar en intervalos de 2 µseg el comportamiento
de las ondas de esfuerzo en la ruptura subRayleigh y en la ruptura transversal
mediante condiciones simuladas en el laboratorio. Kaiwen incluso pudo observar el
desplazamiento de las ondas de esfuerzo a velocidades supersónicas de 1970 m/s,
para ello se valió de la fotoelasticidad dinámica y la fotografía de alta velocidad. En
sus experimentos Kaiwen utilizó Homalite 100, Policarbonato y Resina Epóxica. Su
método experimental consistió en someter dos placas de cada material cortadas a
un ángulo de 25o y unidas por el mismo extremo. Aplicó una carga de compresión de
13 MPa con una prensa hidráulica para simular la presión que existe debajo de la
corteza terrestre, para reproducir la onda sísmica, Kaiwen tomó ventaja de la
explosión eléctrica que se produce en la descarga de un capacitor de alto voltaje a
través de un conductor metálico. Como fuente de iluminación él utilizó un laser
conmutado de varilla de ruby y su equipo fotográfico consistió de una cámara de alta
velocidad de 100 millones de exposiciones por segundo. En cada experimento
[1] J. Durelli, W. F. Riley, “INTRODUCTION TO PHOTOMECHANICS”, Prentice
Hall, Inc. / Englewood Cliffs, N. J.
[2] James W. Dally, William F. Riley, “EXPERIMENTAL STRESS ANALYSIS”, Mc
Graw Hill Book Company.
[3] M. A. Vaz, F. Q. de Melo, J. F. D. Rodrigues and J. S. Gomes, “NOISE AND
VIBRATION ANALYSIS OF AN AUTOMOTIVE ENGINE COMPONENT”,
Mechanical Engineering and Industrial Management, University of Port, Rau
dos Bragas 4099 PORTO CODEX Portugal.
[4] Monterio, J. M; Chozula, J. A; Vaz, M. A., “VIBRATION ANALYSIS BY LASER
INTERFEROMETRY TECHNIQUES”, LOME-Laboratory of Optics and
Experimental Mechanics, INEGI-Institute of Mechanical Engineering and
Industrial Management, Rau dos Bragas 4099 PORTO CODEX Portugal.
[5] Zhiguo Wang and Andreas Ettemeyer, “SOME APPLICATION OF PULSE
ESPI TO BRACKE SQUEAL ANALYSIS”, Dr. Ettemeyer Application Report
No. 03-98, Dr. Ettemeyer GmbH & Co. Germany 1998, www.ettemeyer.de
[6] Liming Xu, Hareesh V. Tippur, and Carl-Ernst Rousseau, “MEASUREMENT
OF CONTAC STRESSES USING REAL-TIME SHEARING
INTERFEROMETRY”, May 14, 1999, Auburn University, Department of
Mechanical Engineering Auburn, Alabama 36849.
[7] Pandolfi, P. R. Guduru, m. Ortiz, A. J. Rosakis, “THREE DIMENSIONAL
COHESIVE-ELEMENT ANALYSIS AND EXPERIMENTS OF DYNAMIC
FRACTURE IN C300 STEEL”, Journal of Mechanics and Physics of Solids,
Pergamon July 30, 2002, email address: [email protected], fax:
+1-620-304-0175, www.elsevier.com
[8] Palevičius, “HOLOGRAPHIC INTERFEROMETRY FOR INVESTICATION,
Mickeviciaus 19, LT-3000, Kaunas.
[9] Asundi, A and Sajan, M.R, “DYNAMIC PHOTOELASTICITY BY TDI
IMAGING”, School of Mechanical & Production Engineering, Nanyang
Technological University, 50 Nanyang Avenue, Singapore 639798,
[10] Anand Asundi, Liu Tong and Chai Gin Boay, “DYNAMIC PHASE SHIFT
PHOTOELASTICITY”, Strength of Materials Lab, School of Mechanical &
Production Engineering, Nanyang Technological University, Singapore,
[11] J. W. Tong, S. B. Wang, H. Q. Li, X. D.Ni, “STUDY OF DYNAMIC
DISPLACEMENT FIELD MEASUREMENT USING DSPI”, Mechanics
Department, Tianjin University, 300072, China, [email protected]
[12] Ing. Dvosřáková Pavla, Ing. Trnka Jan, CSc., Ing. Veselý Eduard, “OPTICAL
METHODS IN DIAGNOSTIC OF TRASIENT DYNAMIC RESPONSES IN
HUMAN SKULL”, Mezinárodní Konference Experimentální Napetí, 40th
International Conference Experimental Stress Analysis, Praha/Prague, Czech
Republic, E-mail: [email protected]
[13] Timothy Schmidt and John Tyson, “FULL-FIELD DYNAMIC DISPLACEMENT
AND STRAIN MEASUREMENT USING ADVANCED 3D IMAGEN
CORRELATION PHOTOGRAMMETRY”, Trilion Quality Systems, 200 Bar
Harbor Drive, Suite 400, W. Conshohocken, PA 19428 Konstantin Galanulis,
GOM mbH, Mittelweg 7-8, D-38106 Braunschweig Gerrmany,
www.ettemeyer.de
[14] Kaiwen Xia, “LABORATORY INVESTIGATIONS OF EARTHQUAKE
DYNAMICS”, Thesis January 2005, California Institute of Technology,
Capítulo I
Planteamiento del
problema
En este capítulo se describen las desventajas que existen en el laboratorio de
análisis experimental de esfuerzos por no contar con un método de visualización del
campo de esfuerzos de un modelo fotoelástico en movimiento. Además, se estudia
la naturaleza de la luz y su comportamiento cuando viaja a través de un polariscopio
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.
En la actualidad muchos de los análisis de esfuerzos mediante el método
fotoelástico que se llevan a cabo en el laboratorio de análisis experimental de
esfuerzos de la SEPI-ESIME Zacatenco, se realizan aplicando cargas puramente
estáticas; es decir, todos los análisis que se hacen en el laboratorio se efectúan bajo
condiciones donde la carga aplicada al modelo no es generada por el movimiento de
la pieza. Generalmente primero se elabora un estudio teórico cinemático del
movimiento involucrado para obtener las cargas más significativas presentes en
dicho sistema. Concluído lo anterior, las cargas críticas se aplican al modelo
fotoelástico como una carga estática, que representa la carga máxima en un instante
dado, y de esta forma obtiene la distribución de esfuerzos sobre el modelo para
revelar la zona de mayor concentración de esfuerzos como se aprecia en la figura
1.1, donde se aplica una carga puntual estática al diente de un engrane elaborado
[image:33.595.161.467.393.642.2]en material fotoelástico.
Figura 1.1 Patrón de franjas de un diente de engrane obtenido con el polariscopio circular que actualmente posee el laboratorio (vea la referencia [1.5]).
Esto ha conllevado a que cuando se realiza un análisis de una pieza sujeta a cargas
realiza consideraciones que no se ajustan a la situación real del problema porque se
desprecian los efectos del medioambiente y la gravedad, además se considera el
material como ideal para simplificar el análisis; sin embargo, todos los materiales
poseen defectos microscópicos y esto provoca que la distribución de la carga no sea
uniforme en el interior de la pieza independientemente de su forma geométrica, lo
que dificulta determinar correctamente la distribución de esfuerzos en la pieza por no
contar con un método visual de campo completo que obtenga en forma directa la
distribución de esfuerzos en una pieza sujeta a cargas dinámicas. Como un ejemplo
típico se puede citar el caso de una turbina de gas axial, donde se producen fuerzas
centrifugas que son debidas al movimiento rotatorio de la turbina que interactúan al
mismo tiempo con las cargas aerodinámicas en los alabes y las cargas giroscópicas,
cuando es el caso de una turbina de gas de uso aeronáutico.
Para este ejemplo en particular, el análisis fotoelástico que se puede realizar con el
equipo del laboratorio es puramente estático, porque se considera a la fuerza
centrifuga como una carga axial estática. Posteriormente se estudia el caso de las
cargas aerodinámicas, que al ser aplicadas se consideran como una carga
uniformemente distribuida por no poderse aplicar correctamente al modelo aún en
forma estática. Finalmente, no se toman en cuenta las cargas producidas por los
fenómenos rotodinámicos presentes en los rodamientos de la turbina, por no tener
forma de aplicarse correctamente.
Todas las observaciones mencionadas en el párrafo anterior demuestran que no se
analiza el comportamiento real del problema, primeramente porque las cargas
aerodinámicas sobre una turbina no se encuentran uniformemente distribuidas,
estas tienden a cambiar con la forma geométrica de la pala, el torcimiento
aerodinámico, el torcimiento geométrico y la velocidad angular de la turbina. La
segunda observación es el hecho de que la carga producida por la fuerza centrífuga
sobre los alabes también difiere de la considerada, esto se debe a los parámetros
geométricos expuestos y al material con que es elaborado cada alabe. Por último se
desprecian las cargas producidas por los efectos rotodinámicos.
Lo anterior plantea un serio problema debido a que en el laboratorio no existe un
un alabe de turbina bajo cargas dinámicas. Esto implica que se haga uso de
métodos teórico-computacionales que simulen el problema estudiado bajo estas
condiciones de carga y que adicionalmente generen imágenes donde se muestre el
campo de esfuerzos a partir de la información numérica, como es el caso del método
del elemento finito, sin embargo la desventaja de éste, es que no considera la
estructura microscópica del material al momento de discretizar el modelo y se corre
el riesgo de tener una inadecuada representación visual de la distribución de
esfuerzos en la pieza, aún aplicando este método numérico en forma precisa sólo se
obtiene una aproximación visual del problema real.
He aquí la relevancia de contar con una técnica de visualización directa de campo
completo utilizando los métodos experimentales disponibles en el laboratorio, como
es el caso del método fotoelástico, implementando instrumentos o dispositivos que
permitan obtener la distribución de esfuerzos en problemas dinámicos. Además de
contar con la versatilidad de poder analizar, desde problemas dinámicos
relativamente simples, hasta problemas donde se encuentran involucrados
mecanismos complejos que en ocasiones resulta complicado realizar un estudio
cinemático, para posteriormente aplicar el método del elemento finito y obtener
resultados confiables.
De todo lo expuesto anteriormente, se vuelve indispensable conocer la naturaleza y
el comportamiento de la luz cuando viaja a través del polariscopio circular para
comprender los fenómenos físicos que están involucrados en el sistema y proponer
una solución adecuada al problema, por lo tanto en las siguientes secciones se
explica en detalle todos los fenómenos físicos que la luz experimenta cuando
atraviesa un polariscopio lineal y uno circular.
1.2 NATURALEZA Y COMPORTAMIENTO DE LA LUZ.
La luz tiene una naturaleza dual y obedece leyes que pueden explicarse a partir de
una corriente de partículas o paquetes de energía llamados fotones, o a partir de
producen un cambio en la forma de energía, como ocurre con el efecto fotoeléctrico
o la luminiscencia. En cambio el concepto de onda suele emplearse para explicar la
propagación de la luz y algunos de los fenómenos de formación de imágenes. De
acuerdo con lo anterior, el concepto de onda es el adecuado para describir el efecto
fotoelástico.
Hasta la fecha, varias teorías sobre la naturaleza de la luz han sido propuestas. La
teoría corpuscular planteada por Newton es históricamente de las más antiguas,
está establece que la luz consiste de cadenas extremadamente pequeñas
proyectadas en todas direcciones desde su fuente. Esta fue reemplazada por la
teoría ondulatoria de la luz (teoría de onda del éter) propuesta por Huygens. De
acuerdo con esta última, el espacio se encuentra lleno de un medio hipotético
denominado éter, y la luz es un fenómeno de onda causado por la propagación de
un disturbio en dicho medio. Este disturbio consiste de las vibraciones de las
partículas del medio, las cuales toman lugar en una dirección perpendicular a la
dirección de la propagación de la onda.
Otra teoría más reciente generalmente aceptada es la teoría electromagnética
desarrollada por Maxwell. De acuerdo con esta teoría, la luz es un disturbio
electromagnético propagándose a través del espacio. Este disturbio puede ser
representado por dos vectores, uno eléctrico y otro magnético, perpendiculares uno
del otro y con la dirección de la propagación de la onda. La teoría más reciente es la
teoría quántica, la cual puede considerarse como una combinación de una teoría
corpuscular y una teoría de onda.
El verdadero conocimiento de la naturaleza de la luz no es indispensable para una
explicación del fenómeno óptico de la fotoelásticidad. Ambas tanto la teoría de onda
del éter como la teoría electromagnética son suficientes para explicar los fenómenos
de reflexión, refracción, y polarización. En ambos casos un vector perpendicular a la
dirección de propagación es suficiente para describir la luz. Un vector en la teoría de
onda del éter representa la dirección de vibración de las partículas del éter y la
amplitud de la vibración. Por otro lado, en la teoría electromagnética, ambas tanto el
En lo subsiguiente, solamente este conocimiento de óptica es necesario para un
entendimiento del efecto fotoelástico. Con el propósito de describir el efecto
fotoelástico, se usa de manera común la teoría electromagnética de Maxwell, que
como se mencionó anteriormente establece que la luz es un disturbio
electromagnético, el cual puede ser expresado como un vector de luz, y que es
normal a la dirección de la propagación.
En la luz, la cual puede ser emitida, digamos por una lámpara de filamento de
tungsteno, el vector de la luz no está restringido en ningún sentido y puede
considerarse compuesto de un número de vibraciones transversales (vibraciones
que son perpendiculares a la dirección de avance del frente de ondas) arbitrarias,
[image:37.595.206.389.337.488.2]como se ilustra en la figura 1.2
Figura 1.2 Vibraciones transversales en un rayo de luz ordinaria. Todas las longitudes de onda se pueden encontrar en vibraciones de forma azarosa en el plano perpendicular al eje de propagación.
En las ondas de luz, como en todas las ondas electromagnéticas, existen campos
eléctricos y magnéticos en cada punto del espacio, que fluctúan con rapidez. Como
estos campos tienen, además de una magnitud, una dirección determinada, son
cantidades vectoriales.
Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y también
perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. La onda luminosa más
del campo eléctrico o magnético trazada en cualquier momento a lo largo de la
dirección de propagación sería la gráfica de una función seno.
El número de oscilaciones o vibraciones por segundo en un punto de la onda
luminosa se conoce como frecuencia. La longitud de onda es la distancia a lo largo
de la dirección de propagación entre dos puntos con la misma fase, es decir, puntos
que ocupan posiciones equivalentes en la onda. Por ejemplo, la longitud de onda es
igual a la distancia que va de un máximo de la onda sinusoidal a otro, o de un
mínimo a otro.
1.2.1 LUZ BLANCA Y LUZ MONOCROMÁTICA.
El orden del espectro electromagnético va desde ondas de frecuencias elevadas
(longitudes de onda pequeñas) hasta frecuencias muy bajas (longitudes de onda
altas) y en orden decreciente de frecuencias (o creciente de longitudes de onda)
incluye a los rayos gamma, rayos X, radiación ultravioleta, luz visible, rayos
infrarrojos, microondas y ondas de radio.
Como se aprecia en la figura 1.3., la luz visible sólo representa una banda muy
estrecha del espectro electromagnético. En el espectro visible, las diferencias en
longitud de onda se manifiestan como diferencias de color. Cada color de la luz
visible corresponde a una frecuencia determinada de los componentes del vector de
luz en el espectro visible. La luz violeta es la luz con menor longitud de onda y mayor
frecuencia, el rojo tiene la mayor longitud de onda y la menor frecuencia dentro del
rango visible como se observa en la figura 1.4.
Cuando el vector de luz está compuesto de vibraciones, las cuales tienen la misma
frecuencia (o la misma longitud de onda), la luz se dice es monocromática, esto es,
de un sólo color, el cual depende del valor de la frecuencia. Los colores observados
por el ojo, en orden de frecuencia decreciente son, violeta, índigo, azul, verde,
Figura 1.3 Representación gráfica del espectro electromagnético. (Cortesía de microsoft corporation)
Figura 1.4 Representación gráfica de la luz visible del espectro electromagnético. (Cortesía de microsoft corporation)
La forma más práctica para obtener un rayo monocromático de suficiente intensidad,
es mediante el uso de una lámpara de vapor de mercurio. De esta forma la radiación
visible se concentra en dos líneas: una línea verde y otra violeta. Haciendo pasar la
luz a través de un filtro adecuado, el rayo violeta puede ser absorbido y un rayo
verde puro puede obtenerse. Por otro lado, la luz blanca es producida por la acción
todos los colores. La luz que no es monocromática ni blanca, se le puede llamar
policromática.
1.2.2 LUZ ORDINARIA Y LUZ POLARIZADA.
De acuerdo con la teoría ondulatoria, un rayo de luz que emana de una fuente
ordinaria, tal como una lámpara incandescente, consiste de ondas de éter
transversales de un carácter caótico (propagación enteramente al azar), esto es, de
frecuencia y orientación variable. El movimiento de cada partícula de éter es
entonces, una curva complicada e irregular en un plano normal al eje de
propagación. Cabe considerar que el movimiento de cada partícula es transmitido
sin ningún cambio, de tal forma que las ondas tienen las mismás orbitas. Es posible,
sin embargo introducir un orden en estas ondas caóticas. Este proceso de
rectificación o de impartir orden a los movimientos de las partículas de éter, es
conocido como polarización.
Por otro lado, si se parte de la teoría electromagnética, cuando el patrón de vibración
de las ondas electromagnéticas exhibe una preferencia a seguir, órbitas bien
definidas en el plano perpendicular al eje de propagación, entonces la luz se
considera polarizada (figura 1.5). Existen tres diferentes formás de luz polarizada
que son actualmente utilizadas en el método de análisis de esfuerzos y se
describirán posteriormente.
1.2.3 LUZ POLARIZADA PLANA.
Se dice que la luz es polarizada plana cuando la orbita es una línea recta
perpendicular al eje de propagación. Es obtenida restringiendo al vector de luz a
vibrar en un sólo plano conocido como el plano de polarización, como se puede
apreciar en la figura 1.6.
Figura 1.6 Esquema óptico del fenómeno de luz polarizada plana
Si el ángulo β es igual a cero y la retardación relativa ∆ no tiene restricciones en
ningún sentido, la magnitud y dirección del vector de la luz emergente está dado
por:
E1´=kcosωt y γ =0 (1.1)
Debido a que γ =0, el vector luz no está girado como pasa a través de la placa de onda y la luz se mantiene polarizada plana. La placa de onda en esta ocasión no
influye en la luz excepto para producir una retardación con respecto a una onda en
el vacío la cual depende del espesor de la placa y del índice de refracción n1. Se
E1'=kcos
(
ωt−∆)
y 2π
γ = (1.2)
1.2.4 LUZ POLARIZADA CIRCULARMENTE.
Se dice que la luz está polarizada circularmente si la orbita es circular. Se obtiene
cuando el vector de luz describe una hélice circular conforme la luz se propaga a lo
largo del eje de propagación como se muestra en la figura 1.7. La luz polarizada
circularmente es un caso especial de la polarización elíptica en donde el vector
cambia continuamente de dirección pero no de amplitud.
Figura 1.7 Esquema óptico del fenómeno de luz polarizada circularmente
Para obtener este tipo de polarización en el laboratorio, se selecciona una placa de
onda tal que ∆ = π/2, esto es, una placa cuarto de onda y β = π/4, la magnitud y
dirección del vector luz que emerge del plato está dada por:
E k t sen t k 2
2 cos
2 2
' 2 2
1 = ω + ω = y γ =ωt (1.3)
El vector luz descrito tiene una magnitud constate y su punta traza un círculo cuando
cuando se observa en la dirección positiva de z. Esta luz es conocida como luz
polarizada circularmente izquierda. La luz polarizada circularmente derecha podría
obtenerse si se establece a β igual a 3π/4. El vector luz entonces giraría con una
velocidad angular constante en dirección horaria.
1.2.5 LUZ POLARIZADA ELÍPTICAMENTE.
Se dice que la luz está polarizada elípticamente si la orbita es elíptica. Se obtiene
cuando el vector de luz describe una hélice elíptica, lo cual sucede cuando dicho
vector cambia continuamente de amplitud y orientación como en la figura 1.8.
Figura 1.8 Esquema óptico del fenómeno de luz polarizada circularmente.
La forma de conseguir esta polarización en el laboratorio es utilizar una placa cuarto
de onda (∆ = π/2) y β ≠ nπ/4 siendo (n = 0, 1, 2,3,...), entonces, la magnitud y
dirección del vector luz emergente es:
t sen sen t
E1'= cos2 βcos2ω + 2β 2ω
La amplitud del vector luz en este caso varía con la posición angular de tal forma
que la punta del vector luz traza una elipse cuando gira. La forma y la orientación
de la elipse y la dirección de rotación del vector luz depende de β.
Actualmente, la polarización elíptica describe la condición general de luz polarizada,
y la luz polarizada circularmente o plana son casos especiales de ella. Si se
considera que los ejes mayor y menor de una elipse se denotan por a y b, cuando
b
a= , la luz polarizada elípticamente se convierte en luz polarizada circularmente. De la misma forma, si a = 0 y b se extiende al infinito, entonces la luz polarizada
elípticamente se convierte en luz polarizada plana. Finalmente si b = 0 y a se
extiende al infinito, la luz es otra vez polarizada plana, pero con distinto plano de
polarización.
Para aplicaciones fotoelásticas, la luz polarizada se obtiene usando a) reflexión, b)
un cristal, o c) una hoja polarizadora. Por ejemplo, en la práctica, la luz polarizada
plana puede producirse mediante un elemento óptico llamado polarizador lineal o
plano (figura 1.5). La producción de luz polarizada circular o elípticamente requiere
el uso de dos elementos ópticos, los cuales se discutirán en secciones
subsecuentes. Los polariscopios modernos usan hojas polarizadoras partiendo de
que este material no es relativamente caro.
1.2.6 DOBLE REFRACCIÓN.
La luz viajando a través de un medio isotrópico se propaga con la misma velocidad
en cada dirección. En cambio la luz entrando en un medio anisotrópico es dividida o
refractada, en general, en dos componentes polarizadas planas viajando a diferentes
velocidades. Este es el fenómeno conocido como Doble Refracción o Birrefringencia.
Las componentes de luz polarizada vibrando en cada uno de estos planos es
inversamente proporcional al índice de refracción correspondiente a su plano en
