Guia de refuerzo 8 pdf

INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA

2013 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR

GUIA DE REFUERZO

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. EJEMPLOS: 4ax4_y3 _{+ x}2_{y + 3ab}2_y3 _{b) 4x}4 _-2x3 _{+ 3x}2 _{- 2x + 5}

Clasificación: A) Binomios. Dos términos Ej. 4ax4_y3 _{+ x}2_y Trinomios: Tiene 3 términos Ej. 4ax4_y3 _{+ x}2_{y + 3ab}2_y3

Polinomios, más de tres términos ejemplo 4x

4 _-2x3 _{+ 3x}2 _{- 2x + 5}

Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Ejemplo: el grado del polinomio 4ax4_y3 _{+ x}2_{y + 3ab}2_y3 _{, es 8}

El grado de polinomio 2x

4

+ 4x

2

– 3 es 4

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Ejemplo: Sumar los polinomios

(3 x

2

-2 x + 5) + (x

2

+ 4x – 9) = 3x

2

– 2x + 5 + x

2

+ 4x – 9 destrucción de paréntesis

= 4x

2

+ 3x - 4 reducción de términos semejantes

Efectuar: ( 3x

2

– xy – 5 ) – ( x

2

– 3xy + 1) = 3x

2

– xy – 5 - x

2

+3xy -1 destrucción de paréntesis

= 2x

2

+ 2xy – 6 Reduciendo términos semejantes

La adición y sustracción de Polinomios se pude concebir como una operación combinada de supresión

de paréntesis y reducción de términos semejantes. Ver los video

http://www.youtube.com/watch?v=ZIzj8sSIvww

http://www.youtube.com/watch?v=zRlJgiDVcPo

TALLER 1

1.

Efectuar las siguientes operaciones:

A.



2

3

4

 

3

2

5



2

2











x

x

x

x

_B.



3

a

2



4

a



1

 



2

a

2



5

a



6



_C.

3

y

2



5

y



6

y



10

B.



22

x

3



12

x

2



x

 



5

x

3



3

x

2



5



F.



2

x

2



7

x



8

 



6

x

2



6

x



8





(

4

x

2



2

x



3

)

G.





8

x

2



2

x



1

 



10

x

2



33

x



5





(

3

x

2



5

x



8

)

E.



a

2



a



1

 





a

2



a



1



H.

5

)

8

1

7

1

(

7

3

4

3

10

1

3

5

2

2

3

1

_{3 3 2 2 2 3 3 2}





















_

_

_















_

_

_

xy

y

y

xy

y

x

y

x

y

x

I. Restar



2

x

2



3

x



4



de



3

x

2



2

x



5



J. Restar 2x

2

– 2x + 5 de 4x

2

-5x +10

k. Restar 3x – 5 de la suma de 3x – 2 y 11x + 5

2. Encontrar el valor numérico de

A. x

2

– 2x + 1 cuando x = 3

B. y

2

– 10y + 25 cuando y = -10

C. a

2

+4ª + 4 cuando a = -2

PRODUCTO DE POLINOMIOS.

En la multiplicación de expresiones algebraicas, utilizaremos los mismos criterios de la multiplicación de los números

reales. Miremos los siguientes casos:

A)

Productos de monomios entre sí

B) Productos de monomios por polinomios

C) Productos de polinomios entre sí.

PRODUCTOS DE MONOMIOS

Recordemos

1.

Ley de los signos

2.

Producto de potencias de la misma base

m n m

n

a

a

a

.





EJEMPLOS

Multiplicar

1.

3 5 4 7 6

20

5

.

4

x

y

x

y





x

y



_2.

3 2

_

2 5

_

5 7

10

4

.

2

5

y

x

y

x

y

x













PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Utilizaremos la propiedad distributiva. Ejemplos



3



2 3 2 2 5 3 2

2

6

12

18

1

.

6

2

.

6

3

.

6

1

2

3

6

a

a



a





a

a



a

a



a



a



a



a





x

4



2

x



1



.

3

x



 



x

4

      

3

x



2

x

3

x



1

.

3

x





3

x

5



6

x

2



3

x

PRODUCTO DE POLINOMIOS ENTRE SÍ

Aplicando la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio

por todos los del segundo. Ejemplo:











 



1

6

1

3

2

2

6

1

3

1

1

3

.

2

1

3

1

2

2 3

2 2

3

2 2

2







































a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

OBSERVE EL VIDEOS

http://www.youtube.com/watch?v=63td2G3V44Q

TALLER 2

Efectuar las operaciones indicadas en cada caso

1.

3

x

2



10

x

4



8

x

2



x



3



2.



2

x

2



5

x

5



4

x

2



x



3



3.



2

a

4



3

a

2



5

 



a

2

a

3



2

a



1



4.



3

x



1



2

x



3





6

x



x

2



2



5.



2

x

2



3

xy



y

2



x

2



2

xy



y

2



6.



x



3

y





x

2



3

xy



y

2



PRODUCTOS NOTABLES

En la vida diaria, la palabra notable significa: especial, destacable o digno de tener en cuenta. En Matemáticas,

también le daremos dicho significado.

Cuadrado de una suma

: El cuadrado de un binomio es igual al cuadra del primer término, más dos veces el primero

por el segundo, más el cuadrado del segundo.





2 2 2

2

a b





a



ab b



Mire y analice el video

http://www.youtube.com/watch?v=suDCpkVJsGA

Cuadrado de una diferencia

: El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos dos veces

el primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.





2 _{2 2}

2

a b





a



ab b



Mire y analice el video

http://www.youtube.com/watch?v=YLiuBZrfX_E

TALLER 3

Hallar por inspección

1.



2



x



2

2.



x

2



y



2

3.



4

x



1



2

4.

2

1

4

4

x



_











5.



1 3



x

2



2

6.



3

m

2



5

n

2



2

7.



2

x



a

y



2

8.

2

2

3

3

x



_











Cuadrado de un Polinomio

: Es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos y todos los posible

dobles productos que resulten al aplicar cada término por cada uno de los que le suceden.





2 _{2 2 2}

2

2

2

a b c

 



a



b

 

c

ab



ac



bc

Mire y analice el video

http://www.youtube.com/watch?v=T8ty3COc5D4

Producto de la suma por la diferencia

: El producto de la suma (a+b) por su diferencia(a-b), es igual al cuadrado del

primer término menos el cuadrado del segundo término.







2 2

a b a b







a



b

Observe y analice el video

http://www.youtube.com/watch?v=NyOQ6zOUyM8

Taller 4

Hallar por inspección

1.



x

 

y

z



2

2.



3

a



9 3



a



9



3.



x

 

y

z



2

4.



2

a



3 2



a



3



5.



a b

 

3

c



2

6.



m n t

 



2

7.



x



2

y



z



2

8.



2

x

 

y

1



2

Cubo de una suma:

es igual al cubo del primer término, más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más

tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.





3 _{3 2 2 3}

3

3

a b





a



a b



ab



b

Observe y analice el video

http://www.youtube.com/watch?v=EF7um42wuXU

Cubo de una diferencia:

es igual al cubo del primer término, menos tres veces el cuadrado del primero por el

segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.





3 _{3 2 2 3}

3

3

a b





a



a b



ab



b

Taller 5

Hallar por inspección

1.



x



1



3

2.



2



3

2

x



3.



m



3

n



3

4.



0,5



x



3

5.



2n m



3

x



y

6.

3

2

1

3

n



_











7.

3

2

3

3

x

2

y



_











DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Consideraremos los siguientes casos:

A)

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,

esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:



Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.



Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido

por el monomio.



Se realizan las respectivas divisiones entre monomios.



Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplo:

Encontrar el cociente

3 2

48

30

18

6

y

y

y

y







=

3 2

48

30

18

6

6

6

y

y

y

y

y

y



_

_

=



8

y

2



5

y



3

B)

División entre Polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a

seguir son los siguientes.



El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el

primer miembro del divisor.



Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este

producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial

o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.



Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca

este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.



Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer

término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

Refuerce y amplié sus conocimientos, observe el video

http://www.youtube.com/watch?v=_Kjaj9XEb6E

Taller 6

Encontrar el cociente y comprobar los resultados.

1.

3 2

2

16

24

4

x

x

x



2.

6 3 2 2

10

50

5

x y

x y

x y



3.

3 2

48

30

18

6

y

y

y

y







4.

4 6

2

16

64

4

n n

n

z

z

z



5.

3

7

6

2

x

x

x







6.

2

5

8

2

x

x

x







7.

6

a

3



13

a

2



4

a



15



3

a



5

8.

6

a

2



5

a



1



2

a



3

9.

3

2

3

3

x



x



 

x

10.

3

27

3

x



 

x

FACTORIZACIÓN ESTANDAR

Desarrollo técnicas para factorizar polinomios

INTRODUCCIÓN

Si un polinomio puede escribirse como el producto de otros polinomios, entonces cada uno de estos polinomios es un FACTOR del polinomio dado.

RECORDEMOS QUE:

Factorizar un polinomio en un determinado conjunto numérico es obtener otros polinomios cuyos coeficientes pertenezcan al conjunto al conjunto numérico indicado y cuyo producto sea igual al polinomio dado.

La propiedad distributiva de los números reales, en la forma: ab + ac = a(b+c) es importante, porque justifica todo el proceso. Observe que la factorización es la operación inversa de la

multiplicación..

PRIMER CASO FACTOR COMUN Observe los videos

http://www.youtube.com/watch?v=5gb2sPuPPDc http://www.youtube.com/watch?v=VtktG_DfC5E

Taller 7

1. x(m+n)+y(m+n) 2.

10

a

2



5

a

2



15

a

3

3.

9

a

2



12

a

b



15

a

3

b

2



24

ab

3

4.

14

x

2

y

2



28

x

3



56

ax

4 5.

x

15



x

12



2

x

9



3

x

6

6.

a

3



2

a

2



8

a

7. 7w – 14 8.

15

t

2

w



5

w

9. 5x -15z 10. 7ª + 56b 11. 12m + 28n 12. 15r – 21 p

SEGUNDO CASO

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO:

Observe el vide y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=_6SZnJjusx4

TALLER 8

1. 20ax – 5bx – 2by + 8ay 2. 6m – 9n +21nx -14mx 3. 21 – 7m + 3n –mn

4. 54 + 12a + 45b + 10ab 5. 56 35x + 24y + 15xy

6.

a

2



ab



ac



bc

CUARTO CASO IV

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=t5YXmKl0T9g

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas

)

)(

(

2 2

b

a

b

a

b

a









TALLER 9

Factorizar: 1. m2 _{– n}2 2. 4x2 _{– 9y}2 3. 16x2 _{– 4} 4. 64y2 _{– 25z}2

5.

1

2 2

4

x



y

6.

2 2

36

9

a

_

y

7. 2

1

4

9

n

x



8. 2 2

100

16

a

_

y

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS TERCER CASO: 3

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=Zkc0V7qB-YA

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Al aplicar los productos especiales

2 2 2 2 2 2

2

)

(

2

)

(

y

xy

x

y

x

y

xy

x

y

x

















La propiedad simétrica de la igualdad, se obtiene las fórmulas

2 2 2 2 2 2

)

(

2

)

(

2

y

x

y

xy

x

y

x

y

xy

x

















Taller 10 Factorizar:

1.

a

2



2

ab b



2 2.

x

2



2

x



1

3.

1 2a



3



a

6 4.

400

x

10



40

x

5



1

5. 2 2

4

a

ab b





6. 4 4 2 2

4

b

a



a b



7.

2 2

2

9

9

n

nm

m





CASO 5

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=NHMJtDU9e28

Taller 11

Factorizar:

1.

a

4



a

2



1

2.

a

4



2

a

2



9

3.

8 2 4 8

4

16

x



x y



y

4.

6 2

144 23



n



9

n

CASO 6

TRINOMIO DE LA FORMA

x

2



mx



n

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=dGHShMzydW8

Para factorizar trinomios de la forma

x

2



mx



n

en los enteros, se necesita encontrar dos números

Ejemplo: Factorizar

x

2



8

x



12

El trinomio

x

2



8

x



12

es de la forma

x

2



mx



n

. Entonces se deben encontrar dos enteros con

producto 12 y suma 8

12

8

2





x

x

=



x



2



x



6



TALLER 12 FACTORIZAR:

1. 2

7

10

x



x



2.

y

2



4

y



3

3.

y

2

 

y

30

4.

n

2



6

n



40

5.

y

2



5

y



36

6.

y

2



4

y



3

7.

x

2

 

x

132

8.

y

4



5

y

2



50

CASO 8

CUBOS PERFECTOS DE BINOMIOS Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=1kRn_Eo2zIc

Recuerde los productos notables





3 _{3 2 2 3}

3

3

a b





a



a b



ab



b





3 _{3 2 2 3}

3

3

a b





a



a b



ab



b

Aplicando la propiedad simétrica de la igualdad obtenemos





2

3 2 2 3

3

3

a



a b



ab

 

b

a b







3

3 2 2 3

3

3

a



a b



ab

 

b

a b



Taller 13

Factorizar:

1.

a

3



3

a

2



3

a



1

2.

m

3



3

m n

2



3

mn

2



n

3 3.

1 3



a

2



3

a a



3

4.

3 2 2 3

27

m



108

m n



144

mn



64

n

5.

125

m

3



150

m n

2



60

mn

2



8

n

3

6.

8 36



x



54

x

2



27

x

3

CASO 9

Suma o diferencia de cubos perfectos

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=obhTifVWx9w

Taller 14

Factorizar:

1.

1 27



x

3 2.

8

x

3



y

3 3.

8

y

3



64

x

3 4. 512 – 64y6

5.

a

6



512

x

6 6.

216



x

12

CASO x

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Observe y analice el video:

Taller 15 Factorizar:

1.

a

6



1

2.

32



a

5

3.

32



a

5

4.

n

7



128

5.

m

7



n

7