PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

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(1)

1

1

1

1

1

Demostrar que los puntos A=

( )

0,1 y B=

( )

3,5 ; C=

( )

7,2 y D=

(

4, 2−

)

son los vértices de un cuadrado.

Solución:

LQQD cuadrado.

un es ABCD

5 CD AD BC AB : Como

5 25 9 16 CD

5 25 16 9 AD

5 25 9 16 BC

5 25 16 9 AB

ˆ

= = = =

= = + =

= = + =

= = + =

= = + =

! ! ! !

1

1

1

1

1

Capítulo

(2)

2

2

2

2

2

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A= −

( )

1,1 y

( )

B= 3,1 . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos). Solución:

( )

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( )

(

1,1 2 3

)

C

3 2 1 y

1 x : y De

16 1

y 3 x

AB BC

1 y 1 x

1 y 3 x

AC BC

vértice. tercer

el x,y C Sea

2 2

2 2

2 2

± =

  

± = =

→  =

− + −

=

→  −

+ + =

= − + −

= =

ˆ

!

"

!

"

! !

! !

Dados los puntos P1=

(

2, 3−

)

y P2= −

(

1,2

)

encontrar sobre P1P2 el punto que diste doble de P1 que P2.

Solución:

( )

( )

0 x 0

3 0 3

2 2

2 1

1 2 2 r 1

x r x x

2 1 2 P P PP r

pedido. punto

el x,y P Sea

2 1

2 1

= =

= − =

= +

− + = + + =

= = =

=

! !

(3)

3

3

3

3

3

( )

( )

     = =

= =

+ − = + + − = + + =

3 1 , 0 y , x P

3 1 y 3

1 3

4 3 2

1 2 2 3 r

1 y r y

y 1 2

ˆ

! !

El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P=

( )

4,9 y Q=

(

−2,1

)

. Calcular el área de este rombo. Solución:

10 100 64

36

PQ = + = =

(

)

2 2 2

2 2

m 150 A 150

2 10 30 2

d D A

: Luego

15 x 225 x 25 250 5 10 5 x

= =

× = × =

= =

− = − =

!

! !

!

(4)

4

4

4

4

4

Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P=

( )

2,2 y Q=

( )

1,5 . Solución:

(

)

(

3, 1

)

A

1 y 2

5 y 2

3 x 2

x 1 2

1 PQ

AP r

: ,y x A de Cálculo

1 1

1 1

1 1

− =       

− = +

=

= +

= = =

=

ˆ

! ! !

! !

(

)

( )

0,8 B

8 y 2

y 2 5

0 x 2

x 2 1 1

QB PQ r

: ,y x B de Cálculo

2 2

2 2

2 2

=

      

= +

=

= +

= =

=

=

ˆ

! ! !

! !

La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto

(

3, 2

)

M= − ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a −12. Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de

(5)

5

5

5

5

5

Solución:

(

) (

)

( ) (

x,y 9, 7

)

N

7 y 13

2 y 3 x 13

MN Si

9 x 12

3 x 12 AB Si

2 2

− − = =

− = =

+ + − =

− = −

= − −

=

ˆ

! !

! !

! !

Tres de los vértices de un paralelogramo son A=

(

−1,4

)

, B=

(

1,−1

)

y

( )

6,1

C= . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa? Solución:

( )

( ) (

2

)

2

( ) ( )

2 2

1 1 1 6 4

6 1 x BC

AD

pedido. punto

el ,6 x D Sea

+ + − = − + + =

=

(6)

6

6

6

6

6

( )

x,6 D

( )

4,6 D

: Luego

6 x

4 x

0 24 x 2 x

es: operacion Efectuando

2 1 2

= =

   

− = =

= − +

! !

! !

El punto medio de cierto segmento es el punto M=

(

−1,2

)

y uno de sus extremos es el punto N=

( )

2,5 . Hallar las coordenadas del otro extremo. Solución:

( )

( ) (

x,y 4, 1

)

P

1 y 2

5 y 2 2

y y y

4 x 2

2 x 1 2

x x x

pedido. punto

el y x, P Sea

N M

N M

− − = =

− = +

= +

=

− = +

= − +

= =

ˆ

! !

! !

! !

Los vértices de un triángulo ABC son A=

(

2,−1

)

, B=

(

−4,7

)

y C=

( )

8,0 . Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.

Solución:

(7)

7

7

7

7

7

( ) ( )

x,y 2,2

G

2 3 6 y 3

0 7 1 y 3

y y y y

2 3 6 x 3

8 4 2 x 3

x x x x

3 2 1

3 2 1

= =

= = +

+ − = +

+ =

= = +

− = +

+ =

ˆ

! !

! !

! !

¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos

(

1, 1

)

A= − y B=

( )

4,5 en la dirección AB, para que su longitud se triplique? Solución:

( )

AB 2 BP 2

1 BP AB :

Sabemos

pedido. punto

el y x, P Sea

= =

=

(8)

8

8

8

8

8

(

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

(

) (

)

( ) ( )

!

"

→  = + − − +

+ + − = − + − + + + −

= +

→  = − − − +

+ + − = − + −

0 14 y 10 x 8 y x

: s operacione Efectuando

1 y 1 x 5

y 4 x 1 5 1 4

AP BP AB :

También

0 139 y 10 x 8 y x

: s operacione Efectuando

1 5 1 4 2 5 y 4 x

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

! ! ! !

!

( ) (

x,y 10,17

)

P

7 y ; 2 x

17 y ; 10 x :

y De

2 2

1 1

= =

   

− = −

=

= =

ˆ

(9)

9

9

9

9

9

Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

0 y x 16 2− =

Solución:

( )

x,y : 16x −y=0 →

!

E 2

1º. Intercepciones con los ejes:

( )

0,0 O 0

y 0

x : Y Eje

0 x 0

16x 0

y : X

Eje 2

= 

  

= =

= =

=

! !

! !

2

2

2

2

2

Capítulo

(10)

10

10

10

10

10

2º. Simetría:

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

coneleje X

sólo simétrica Curva

y x, E y

x, E : Origen

y x, E y

x, E : Y Eje

y x, E y

x, E :

X Eje

     

≠ − −

= −

≠ −

3º. Extensión:

ú

∈ =16x ;

x y

:

De

!

2

4º. Asíntotas:

No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.

5º. Cuadro de valores:

.... 4 4 16 16 0 y

.... 2 1 2 1 1 1 0

x − −

(11)

11

11

11

11

11

0 1 2x xy− − =

Solución:

( )

x,y : xy−2x−1=0 →

!

E

1º. Intercepciones con los ejes:

(

)

X eje el con ón intercepci

0 x : Y Eje

,0 2 1 A ; 2 1 x 0

y : X Eje

ò

! ! =

− = −

= =

2º. Simetría:

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

losejesniconelorigen

con ni simétrica no

Curva y

x, E y

x, E : Origen

y x, E y

x, E : Y Eje

y x, E y

x, E :

X Eje

     

≠ − −

≠ −

≠ −

3º. Extensión:

0 x ; x

x 2 1 y 0

1 x 2 xy

: De

≠ +

= =

− !

!

4º. Asíntotas:

2 y 0

2 y ; 2 y

1 x

0 x x

x 2 1 y

: De

= =

− −

=

= +

=

! !

! !

!

5º. Cuadro de valores:

.... 2 3 1 2 5 3 y

.... 2 1 2 1

(12)

12

12

12

12

12

6º. Gráfico:

0 4 y 4 y

x3+ 2− + =

Solución:

( )

x,y : x +y −4y+4=0 →

!

E 3 2

1º. Intercepciones con los ejes:

(

)

( )

0,2 B ; 2 y 0

x : Y Eje

1.6,0 A

; 6 . 1 x 0

y : X Eje

= =

=

− = −

= =

! !

2º. Simetría:

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

losejesniconelorigen

con ni simétrica no

Curva y

x, E y

x, E : Origen

y x, E y

x, E : Y Eje

y x, E y

x, E :

X Eje

     

≠ − −

≠ −

(13)

13

13

13

13

13

3º. Extensión:

0 x ; x 2 y

: De

3

− ±

=

!

4º. Asíntotas:

No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.

5º. Cuadro de valores:

.... 5 4 , 5 24 10 13 0 2

y

.... 2

1 5 8 0 x

− − −

(14)

14

14

14

14

14

4 x

1 x

y 2

2 2

− − =

Solución:

( )

→

!

− − =

4 x

1 x y : y x, E

2 2 2

1º. Intercepciones con los ejes:

(

)

(

0, 12

)

B ; 2 1 y 0

x : Y Eje

1,0 A

; 1 x 0

y : X Eje

± = ±

= =

± = ± = =

! !

2º. Simetría:

Curva simétrica con los ejes y con el origen.

3º. Extensión:

[ ]

− ∪ +∞ ∪

− ∞ − ∈ −

− ±

=

x , 2 1,1 2,

4 x

1 x y

: De

2 2

!

4º. Asíntotas:

1 y 0

1 y 1

y 1 y 4 x

2 x 0

4 x 4

x 1 x y

: De

2 2

2

2 2

2

± = =

− −

− ±

=

± = =

− −

− ± =

! !

! !

! !

!

5º. Cuadro de valores:

.... 5 24 10

11 3

1 2 1 0 0 y

... 2 1 4

3 0

1 1 x

± ±

± ±

± ±

(15)

15

15

15

15

15

6º. Gráfico:

( )

x 1 4 y 2+ =

Solución:

( )

x,y : y

( )

x +1=4 →

!

E 2

1º. Intercepciones con los ejes:

( )

0,4 A ; 4 y 0

x : Y Eje

X eje el con ón intercepci 0

y : X Eje

= =

= =

!

!

ò

2º. Simetría:

(16)

16

16

16

16

16

3º. Extensión:

ú

∈ =

+ +

= x 1 0;

x 1

x 4 y

: De

2

2 !

!

4º. Asíntotas:

(

Eje X

)

0 y 0

y y

y 4 x

x 0

1 x 1 x

4 y

: De

2 2

= =

− ± =

∉ =

+ +

=

! !

! !

!

!

ú

!

5º. Cuadro de valores:

.... 5 2 5 4 2 4 y

.... 3 2 1 0

x ± ± ±

(17)

17

17

17

17

17

Una recta pasa por los dos puntos A=

(

−2,−3

)

y B=

( )

4,1. Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada?

Solución:

(

)

( )

(

) (

)

5 y

: s operacione Efectuando

3 y 2 10

1 y 36 16 36

AC BC AB : que Dado

pedido. punto

el y 10, C Sea

2 2

2

=

+ + + =

= − + + +

= + =

! !

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal

manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos

puntos A=

( )

2,−2 y B=

( )

4,1 es siempre igual a 12. Solución:

( )

(

) ( )

(

) (

)

0 3 6y 4x

: s operacione efectuando

Luego,

12 2

y 2 x

1 y 4 x

: donde De

12 AP BP

: tenemos problema

del condición la

de Entonces

pedido. punto

el y , x P Sea

2 2 2

2 2 2

2 2

= + +

=    

+ +

−    

+

= −

=

(18)

18

18

18

18

18

Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de

los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece

siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto

medio del segmento.

Solución:

(

) (

)

( ) (

)

16 y x

: s operacione Efectuando

4 y 2 y 2 x

2 y 2

x x

4 PB PA

: condición la

De

2 2

2 2

2 2

= +

= − + +

+ −

+ −

= +

! ! !

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P=

( )

x,y , tal que la distancia de P al punto A=

( )

0,6 es igual a la mitad de la distancia de

P al eje X. Solución:

(

)

0 144 y 48 y 3 4x

: s operacione efectuando

Luego,

y 2 1 6 y x y

2 1 AP

: condición la

De

2 2

2 2

= + − +

= − + =

!

(19)

19

19

19

19

19

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A=

( )

4,2 y

(

5,7

)

B= − . Solución:

( )

(

)

(

x 4

)

: 5x 9y 38 0 9

5 2 y :

9 5 4 5

2 7 m m 7

, 5 B

2 , 4 A :

pendiente. su

conocer puede

se

recta, la de puntos dos conocen se

que Dado

buscada. recta

la Sea

AB

= − + −

− = −

− = − −

− = = 

  

− =

=

! " !

ˆ

3

3

3

3

3

Capítulo

(20)

20

20

20

20

20

Calcular el área del triángulo que forma la recta 3x−4y−12=0 con los ejes coordenados.

Solución:

( )

2

u 6 A 2

12 2

3 4 A

3 b

4 a 1

3 y 4 x :

: 2 ividiendo D

12 y 4 x 3 :

: Luego

0 12 y 4 x 3 :

= =

− × =

  

− = = =

− +

× = −

= − −

∆ ∆ "!

!

ˆ

! ! !

Los vértices de un triángulo son A=

( )

0,0 , B=

( )

4,2 y C=

(

−2,6

)

. Obtener las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo.

Solución:

( )

( )

(

)

( )

(

)

(

x 4

)

2x 3y 14 0 3

2 2 y

3 2 m

6 , 2 C

2 , 4 B : BC

: BC de Ecuación

0 y 2 x 0

x 2 1 0 y

2 1 m

2 , 4 B

0 , 0 A : AB

: AB de Ecuación

BC AB

= − + −

− = −

− = 

  

− = =

= − −

− = −

− = 

  

= =

! "

! ! " !

ˆ

ˆ

(21)

21

21

21

21

21

( )

(

)

(

x 0

)

3x y 0 3

0 y

3 m 6

, 2 B

0 , 0 A : AC

: AC de Ecuación

AC

= + −

− = −

− = 

  

− =

=

! "

!

ˆ

!

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A=

(

4,83

)

y por la intersección de las rectas 3x−4y−2=0, 9x−11y−6=0

Solución:

(

)

(

)

(

)

(

x 4

)

: 12x 15y 8 0 5

4 3 8 y :

: Finalmente

5 4 4 3 2

3 8 0 m m : Donde x

x m y y :

: Luego

,0 3 2 B 0

6 y 11 x 9 :

0 2 y 4 x 3 :

recta la de punto Un 3

8 , 4 A :

AB

1 1

2 1 2

1

= − − −

= −

= − − = = −

= −       

= = ∩ 

  

= − −

= − − =

! "

!

Si la recta ax+by+c=0 pasa por el punto P=

( )

p,q , escribir una ecuación en forma de:

a) pendiente y ordenada en el origen.

b) punto - pendiente.

c) simétrica.

Solución:

)

b c x b a y 0

c by ax :

(22)

22

22

22

22

22

)

( )

(

x p

)

b a q y :

q , p P ; b a m : Donde ;

0 c by ax : b

− − = −

= −

= =

+ +

!

)

1

b c y

a c x :

c by ax : 0

c by ax : c

= − + −

− = + =

+ +

!

!

Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que

pasa por el punto A=

( )

8,−6

Solución:

( )

0 2 y x : 1

2 y 2 x :

2 a 1 a

6 a 8 : Luego

6 , 8 A : Pero 1 a y a x : :

Sea

= − + =

+

= =

− +

∈ − = =

+

! "

!

ˆ

Desde el punto M0 =

(

−2,3

)

se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz con una inclinación de un ángulo α, se sabe que tgα=3. El rayo se ha reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están

los rayos incidente y reflejado.

Solución:

(

x 2

)

3x y 9 0 3

3 y

3 tg m : pendiente

: incidente rayo

del Ecuación

= + − +

= −

= α =

! " !

!

(23)

23

23

23

23

23

(

)

(

)

(

x 3

)

3x y 9 0 3

0 y

3 tg º

180 tg m : pendiente

3,0 P

; 3 x 0

y Si

: reflejado rayo

del Ecuación

0

= + + +

− = −

− = α − = α − =

− = −

= =

! " !

!

!

Dados los puntos M=

( )

2,2 y N=

( )

5,−2 . Hallar en el eje de abscisas un punto P de modo que en el ángulo MPˆN sea recto.

Solución:

( )

6,0 ; P

( )

1,0 P

1 x

6 x 0

6 x 7 x

: s operacione Efectuando

1 5 x

2 2 x

2

1 m m NP

MP : que Dado

2 1

2 1 2

NP MP

= =

   

= = =

+ −

− =      

− ⋅      

− −

− = ⋅

ˆ

! !

(24)

24

24

24

24

24

Los puntos A=

( )

3,−2 , B=

( )

4,1 y C=

(

−3,5

)

son los vértices de un triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los

lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo.

Solución:

(

)

(

)

      = 

    

= + =

= + =

=

      − = 

    

− = + =

= + =

=

2 3 0, M 2

3 2

y y y

0 2

x x x

y , x M de Cálculo

2 1 , 2 7 M 2

1 2

y y y

2 7 2

x x x

y , x M de Cálculo

2 C

A 2

C A 2

2 2 2

1 B

A 1

B A 1

1 1 1

! !

! !

(25)

25

25

25

25

25

LQQD

M M BC :

nte efectivame Luego

7 4 7 4 m

m M

M BC :

que Sabemos

2 1 2 1

2 M 1 M BC

*

*

"! = "! − =−

Calcular la distancia entre las rectas paralelas: x+2y+4=0 y

0 5 y 4 x

2 + − =

Solución:

(

)

( )( ) ( )( )

90 . 2 20 13 d 20

5 8 4

2

5 2 4 0 2 d

: Luego

2 0, P 2

y 0

x Para

. recta la de , P ra cualesquie punto

un Hallamos

0 5 y 4 x 2 : 0

4 y 2 x :

: que Dado

2 2

1 2

1

≈ = −

− = +

− − + =

− = −

= =

= − + ∧

= + +

! " !

ˆ

ˆ

(26)

27

27

27

27

27

Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de

un diámetro son los puntos A=

(

−2,3

)

y B=

( )

4,−1 . Solución:

( )

( )

( ) (

)

( ) ( )

0 36 y 12 x 12 2 y 2 x :

13 1 y 1 x

r k y h x :

13 r 2

52 2

AB r : Luego

1,1 C 1

k 1 h

AB de medio punto es k h, C

2 2

2 2 2

2

= + − + +

= − + −

= − + −

= =

= = 

 

= = =

C

C

ˆ

! !

!

4

4

4

4

4

Capítulo

(27)

28

28

28

28

28

Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,

en el segundo cuadrante.

Solución:

( ) (

)

( ) (

)

(

) (

)

0 36 y 12 x 12 y x :

36 6 y 6 x

r k y h x :

6. r radio su y

ncia circunfere la

de

centro el es 6,6 h,k

C

que deduce se

gráfico, Del

2 2

2 2

2 2 2

= + − + +

= − + +

= − + −

= − = =

C

C

ˆ

Dada la ecuación de la circunferencia 3x2+3y2+4y−7=0, encontrar el centro y el radio.

Solución:

3 5 r ; 3 2 , 0 C

3 2 k , 0 h : donde De ; 9 25 3

2 y x

3 25 3

2 y 3 x 3

3 4 7 9 4 y 3 4 y 3 x 3

0 7 y 4 y 3 x 3

: cuadrados o

Completand

2 2

2 2

2 2

2 2

=       − =

− = = =

      + +

=       + +

+ =    

+ +

+

= − + +

ˆ

!

(28)

29

29

29

29

29

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=

(

−4,−1

)

y que es tangente a la recta: 3x+2y−12=0. Solución:

( )( ) ( )( )

( ) (

)

(

x 4

) ( )

y 1 52 : : do Reemplazan r k y h x : 52 r 13 26 13 26 13 12 2 12 2 3 12 1 2 4 3 r : Luego 0 12 y 2 x 3 : a C de Distancia r : Sea 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + = − + − = = − = − − − = + − − + − = = − + =

C

C

ˆ

! !

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A=

( )

4,0 ,

( )

0,3

B= y C=

(

−2,−2

)

. Solución:

( )

( )

(

)

13 132 F ; 13 5 E ; 13 19 D : y , de Luego, 8 F E 2 D 2 2 , 2 C 0 F E 3 9 0,3 B 0 F D 4 16 4,0 A 0 F Ey Dx y x :

Sea 2 2

(29)

30

30

30

30

30

0 132 y 5 x 19 y 13 x 13

0 13 132 y 13

5 x 3 19 y x :

: En

2 2

2 2

:

+ − + − =

= − + − +

C

C

ˆ

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X,

cuyo centro está sobre la recta x=2y. Solución:

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

0 400 y 20 x 40 y x

100 10

y 20 x

r k y h x :

20,10 C

; 20 h ,10

h C pero y 2 x :

caso Primer

2 2

2 2

2 2 1 2

1

1 1

= + − − +

= − + −

= − + −

= =

∈ =

=

C

!

(30)

31

31

31

31

31

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

0 400 y 20 x 40 y x 100 10 y 20 x r k y h x : 10 20, C ; 20 h 10 , h C pero y 2 x : caso Segundo 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + = + + + = − + − − − = − = ∈ − = =

C

!

!

La ecuación de una circunferencia es x2+y2 =50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto P=

(

−2,4

)

. Hallar la ecuación de la cuerda.

(31)

32

32

32

32

32

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C=

(

4,43

)

y que pasa por Q=

(

−1,−4 3

)

.

Solución:

( ) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

9 289 3 4 y 4 x : 9 289 r r 3 4 3 4 4 1 3 4 , 1 Q r 3 4 y 4 x r k y h x : : tenemos datos, los De 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       − + − = =       + − − ∈ − − = = − + − = − + −

C

C

C

ˆ

! ! !

Hallar el área del círculo cuya ecuación es:

0 103 y 12 x 72 y 9 x

9 2+ 2+ − + =

(32)

33

33

33

33

33

Por una traslación de ejes, transformar la ecuación:

0 133 y 4 x 42 y 2 x

3 2− 2− − + =

en otra que carezca de términos de primer grado.

Solución:

(

) (

)

(

)

( )

12 y 2 x 3 1

y y

7 x x : Siendo

12 1 y 2 7 x 3

2 147 133 1

y 2 y 2 49 x 14 x 3

0 133 y 4 x 42 y 2 x 3

: cuadrados o

Completand

2 2 2

2

2 2

2 2

= − 

 

+ =

− =

= + − −

− + − = + + − + −

= + − − −

N N N

N

!

5

5

5

5

5

Capítulo

(33)

34

34

34

34

34

Simplificar la ecuación:

0 55 y 36 x 48 y 36 x

72 2+ 2− + − =

por una traslación de los ejes coordenados.

Solución:

(

)

      = + + = − = =       + +       − =       + +       − + + = + + +       + = − + − + 2 y x 2 2 1 y y 3 1 x x : Siendo 2 2 1 y 3 1 x 2 72 2 1 y 36 3 1 x 72 9 8 55 1 y y 36 9 1 x 3 2 x 2 7 0 55 y 36 x 48 y 36 x 72 : cuadrados o Completand 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N N N N !

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:

0 3 y 4 x 8 y 2

x2− 2+ + − =

(34)

35

35

35

35

35

Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado

de la ecuación: 2xy−x−y+4=0

Solución:

(

)(

) (

) (

)

(

) (

)

0 7 y x 4 0 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y x 2 en Luego 2 1 k h 0 1 h 2 0 1 k 2 : donde De 0 4 k h hk 2 y 1 h 2 x 1 k 2 y x 2 4 k y h x hk 2 y k 2 x k 2 y x 2 k y h x k y h x 2 : en k y y h x x 0 4 y x y x 2

:

= + = + − −             + = =    = − = − →  = + − − + − + − + + − − − − + + + + − + − + + →     + = + = →  = + − − N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N ! ! !

!

!

"

#

#

"

Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación:

0 x 25 y 9 xy 24 x

16 2+ + 2+ =

en otra que carezca del término en xy.

Solución:

#

"

→      θ + θ = θ − θ = →  = + + + cos y sen x y sen y cos x x : Luego 0 x 25 y 9 xy 24 x

16 2 2

N N

(35)

36

36

36

36

36

(36)

37

37

37

37

37

(

)

(

)

0 y 3 x 4 x 5 0 y 15 x 20 x 25 0 y 5 3 25 x 5 4 25 y 5 4 3 5 3 4 x 5 3 3 5 4 4 0 sen y 25 cos x 25 y cos 3 sen 4 x sen 3 cos 4 En 2 2 2 2 2 2 2 2

:

= − + = − + = ⋅ − ⋅ +       + +       + = θ − θ + θ + θ + θ + θ

N N N N N N N N N N N N N N ! !

Simplificar la ecuación:

0 13 y 2 x 10 y xy 10

x2− + 2− + + =

por transformación de coordenadas.

(37)

38

38

38

38

38

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 2 cos 0 sen cos 0 sen cos 10 0 sen 10 cos 10 : y x término el eliminar para Ahora ... 0 12 y x sen 10 cos 10 y cos sen 10 1 x cos sen 10 1 0 12 y x sen 10 cos 10 cos sen 2 cos sen 2 y cos sen 10 cos sen x cos sen 10 sen cos 0 12 cos sen y 10 sen y x 10 cos y x 10 cos sen x 10 cos y cos sen y x 2 sen x sen y cos sen y x 2 cos x : en ... cos y sen x y sen y cos x x : Pero ... 0 12 y x 10 y x 0 13 2 1 y x 10 y x : En 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = θ = θ − θ = θ − θ − = θ + θ − = + θ + θ − + + θ θ + + θ θ − = + θ + θ − θ θ − θ θ + + θ θ + θ + θ + θ θ − θ + θ = + θ θ + θ + θ − − θ θ + − θ + θ θ + + θ + θ + θ θ − θ     θ + θ = θ − θ = = + − + = + − + − +

! ! ! ! ! ! ! NN NN NN NN NN NN N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N

!

$

$

!

(38)

39

39

39

39

39

( )

( )

0 6 y 3 x 2

: 2 Dividiendo

0 12 y 6 x 4

0 12 y 5 1 x 5 1

0 12 y 2

2 2

2 10 1 x 2

2 2

2 10 1

: en do Reemplazan

2 2 2 1 2

2 cos 1 cos

2 2 2 1 2

2 cos 1 sen

: Además

2 2

2 2

2 2

2 2

= − − ×

= + + −

= + +

+ −

= +   

⋅ ⋅ + +   

⋅ ⋅ −

= = θ + = θ

= = θ − = θ

NN NN

NN NN

NN NN

NN NN

! ! ! !

Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A=

( )

1,4 y B=

(

−2,1

)

es siempre igual a 3. Hallar la ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de

coordenadas.

Solución:

( )

( ) (

x 1 y 4

)

(

x 2

) ( )

y 1 3 3

P B AP

: condición la

De

mueve. se

que punto el y x, P Sea

2 2

2

2+ + + =

= − =

(39)
(40)

41

41

41

41

41

6

6

6

6

6

Capítulo

LA PARÁBOLA

Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz

es y=2. Solución:

y 8 x : : En

2 p

py 4 x :

: tiene se gráfico, Del

2 2

− = =

→  −

=

!

!

(41)

42

42

42

42

42

Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta x=−6 y su foco es F=

( )

0,0 .

Solución:

(

)

(

)

(

)

(

)

36 x 12 y :

3 x 12 y :

: En

3 FV p y 3,0 V

: Como

h x p 4 k y :

: gráfico Del

2 2

2

+ =

+ =

= = −

=

→  − = −

!

!

!

Calcular el radio focal del punto M de la parábola y2 =20x si la abscisa del punto M es igual a 7.

Solución:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

12 144 FM

5 7 0 140 FM

: tanto lo Por

140 7, M

140 y

7 20 y

: En

y 7, M

5,0 F : donde de

5 p 20

4p : De

x 20 y :

2 2

1 2

1 1 2

= =

− + − =

± =

± = =

∈ =

=

= =

→  =

!

! !

!

!

!

(42)

43

43

43

43

43

Dada la ecuación de la parábola x2+8y−2x=7. Hallar el vértice, eje, foco y directriz. Trazar la curva.

Solución:

( )

( )

( )

( ) ( )

(

) ( )

3 y : directriz la

de Ecuación

1 x : eje del Ecuación

1 1, p k h, F : foco del s coordenada las

Ahora,

2 p 8

4p : te Seguidamen

1,1 k h, V : parábola la

de vértice del s coordenada las

Luego,

1 y 8 1 x : 8

y 8 1 x :

1 7 y 8 1 x 2 x : 7

x 2 y 8 x :

cuadrados o

Completand

7 x 2 y 8 x :

2 2

2 2

2

= =

− = + = − = −

=

= = − − = − +

− = −

+ + − = + − =

− +

= − +

! !

(43)

44

44

44

44

44

Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto V=

( )

3,2 y el foco es F=

( )

4,2 .

Solución:

( )

(

)

( )

( )(

)

( )

(

)

16 x 4 y 4 y :

3 x 4 2 y

3 x 1 4 2 y :

: en valores los

do Reemplazan

1 VF p

: foco el y vértice el conoce se

que Dado

h x p 4 k y :

2 2 2 2

− + =

− = −

− =

− = =

→  − = −

!

!

!

Obtener la ecuación de la parábola con foco en F=

( )

2,3 y cuya ecuación de la directriz es x =−6.

Solución:

(

)

( ) (

)

0 23 y 6 x 16 y :

: s operacione Efectuando

6 x 3 y 2 x

definición

a

P de Distancia FP

: gráfico Del

2

2 2

= − − −

+ = − + − =

! !

(44)

45

45

45

45

45

Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación y2 =4x, con la recta de ecuación x=2y−3.

Solución:

( )

( )

( ) (

9 1 6 2

)

64 16 PP 4 5 8,94 P

P : Luego

: gráficas dos

las de ón intersecci

P y P

9,6 P

1,2 P puntos

los obtenemos

y De

3 y 2 x :

x 4 y : :

Tenemos

2 1 2

2 2

1 2 1

2 1 2

≈ = +

= − + − =

   

= = 

  

→  − =

→  =

! "

"

!

"

!

(45)

46

46

46

46

46

Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la

cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es y2=16x. Solución:

( ) ( )

(

) ( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

0 48 x 8 y x :

64 y 4 x :

: tanto lo Por

4,0 C F

C

ncia circunfere la

de centro C Siendo

64 r 8

F P FP r

8 , 4 P

8 , 4 P :

y De

4 x : N C

recto lado normal cuerda la Luego,

4,0 p,k h F : Tambien

0,0 k h, V vértice el que deduce se

x 16 y :

2 2

2 2

2 2

1

2 1 2

= − − +

= + −

= =

= =

= =

   

− = = →  =

= + =

= = →  =

C

C

! " !

! " !

!

!

"

!

"

!

Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen

y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto A=

(

−3,8

)

. Calcular las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta.

Solución:

( ) ( )

h,k 0,0 V

vértice su y

px 4 y : 2

= =

→ 

=

!

!

(46)

47

47

47

47

47

(

)

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

12, 12

)

P

3 , 4 3 P 0

12 y 3 x 4 :

x 12 y : :

P : y De

0 12 y 3 x 4 : 3

x 3 4 y

3 x m 0 y :

3 4 m

m 3,0

k , p h F

3,8 A

:

x 12 y : : en

3 p : Además

2 1 2

2

AF

− = =

   

= − + =

→  = − + −

− =

− = −

− = = 

  

= + =

− =

→  =

→  =

! " !

"

!

#

$

#

$

!

"

"

(47)

48

48

48

48

48

Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m.

y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la

forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente,

determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a

100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal).

Solución:

(

)

( )

(

)

(

)

35,55m.

9 320 y

y 4

15 75 100 y

, 100 P

. m 88 , 8 9 80 y y

4 15 75 50 y

, 50 P

: Luego

y 4

15 75 x : : En

4 15 75 p 4 80

p 4 150

. 150,80

P

py 4 x : que observa se

gráfico, Del

2 2

2 2

2

1 1

2 1

1

2 2

2

≈ = ×

= ∈

=

≈ = ×

= ∈

=

× =

× = =

∈ =

→  =

! !

! !

! " !

! ! !

!

(48)

49

49

49

49

49

7

7

7

7

7

Capítulo

LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado

recto) es 5 vértices

(

±10,0

)

. Solución:

1 25 y 100

x : :

en tanto lo Por

100 a 10 a

25 b 5

a b 2 CN

: enunciado del

Luego

1 b y a x : :

Sabemos

2 2 2

2 2

2 2

2 2

= + =

=

= =

=

→  = +

õ

õ

!

!

!

! "

(49)

50

50

50

50

50

Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con x=1, C=

( )

1,5 ,

( )

1,8

F= ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12. Solución:

( ) ( )

( ) (

)

1

36 5 y 27

1 x : :

tanto lo Por

27 b 27

9 36 b c

a b : Sabemos

9 c 3

CF c : Luego

36 a 6

a 12

a 2 : Pero

1 a

k y b

h x : :

deducimos enunciado

Del

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

= − + −

= =

− = −

=

= =

=

= =

=

= − + −

õ

õ

! " !

" ! "

! " !

(50)

51

51

51

51

51

Reducir la ecuación x2+4y2−6x+16y+21=0 a la forma ordinaria de la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices

y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la

(51)

52

52

52

52

52

Por el foco de la elipse x2 25+y2 15=1 se ha trazado una perpendicular a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de

esta perpendicular con la elipse hasta los focos.

Solución:

(

)

(

)

"

!

→  =

± = ±

=

± = − ± = −

= −

=

→  = +

10 x : es foco primer el en trazada

lar perpendicu la

de ecuación La

,0 10 F

c,0 F

: son elipse la de focos los Luego,

10 15

25 c

b a c c

a b : Sabemos

1 15 y 25 x :

: elipse la de ecuación la

Tenemos

2 2 2 2

2 2

2 2

! !

! !

(52)

53

53

53

53

53

( )

( )

(

)

(

)

(

10 10

)

(

0 3

)

7 C

F

3 3 0 10 10 C

F : tanto lo Por

3 , 10 y

x, C : aquí De

3 y 9

y 1 15 y 25

9 : y De

2 2

2

2 2

1

2 2

= − + −

− =

= − + −

=

= =

± = =

= +

! !

! !

"

!

Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro C=

(

−2,4

)

y sea tangente a los dos ejes de coordenadas.

Solución:

(

) (

)

(

) (

)

1

16 4 y 4

2 x :

4 b 2

b

Y eje al C de Distancia :

b

16 a 4

a

X eje al C de Distancia :

a

: caso este Para

1 a

k y b

h x : : Sea

2 2

2 2

2 2

2 2

= − + +

= =

= =

= − + −

õ

õ

!

! !

! !

(53)

54

54

54

54

54

Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en

( )

5,0

V1= y pasa por el punto P=

( )

2,3 . Solución:

( )

( )

75 y 7 x 3 : 1

7 75

y 25 x :

: tanto lo Por

7 75 b 1 b

3 25

4 2,3

P : Como

1 b y 25 x : : Luego

25 a 5

a 5,0

V : que Dado

1 b y a x :

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 1

2 2

2 2

= + =

+

= =

+ ∈

=

= +

= =

= = +

õ

õ

õ

õ

õ

!

! !

! !

!

La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m

de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha

claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro

foco?

Solución:

12 c 2 2 F 1 F : tanto lo Por

6 c 36

c c

a b : donde De

64 b 8

b

100 a 10 a

: enunciado del

datos los Según

2 2

2 2

2 2

= =

± = =

− =

= =

= =

! !

! !

! !

Según los datos del enunciado:

(54)

55

55

55

55

55

Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos

en F=

(

−3,4

)

y F2 =

( )

5,4 eje mayor 12. Solución:

( )

(

) (

)

(

) (

)

0 31 y 72 x 10 y 9 x 5 :

: s operacione Efectuando

12 4 y 5 x 4

y 3 x

: donde De

12 a 2 P F P F

: que tiene se elipse, de definición la

Por

mueve. se

que punto el y x, P Sea

2 2

2 2

2 2

2 1

= + + + −

= − + − − − + +

= = − =

õ

(55)

56

56

56

56

56

Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia

de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la

mitad de la longitud del eje mayor.

Solución:

a a F B : tanto lo Por

b c a : que definición por

sabemos pero,

b c F B : figura la de Luego,

a 2

a 2 2

V V F B

: que Probar

origen. el en vértice con elipse la 1 b y a x : Sea

2 1 1

2 2 2

2 2 1 1 2 1 1 1

2 2

2 2

= =

+ = + = = = =

= +

(56)

57

57

57

57

57

Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los

puntos A=

(

−2,0

)

y B=

(

−2,6

)

es 8. Hallar la ecuación del lugar geométrico de P.

Solución:

( )

(

)

(

) (

)

(

) (

)

1

16 3 y 7

2 x :

0 15 y 42 x 64 y 7 x 16 :

: tiene se s, operacione Efectuando

8 6 y 2 x y 2 x

: donde De

8 BP AP

: problema del

condición la

Por

mueve. se

que punto el y x, P Sea

2 2

2 2

2 2

2 2

= − + + ∴

= + − + +

= − + + + + +

= + =

õ

õ

La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una

elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica

es de 300000km. y la excentricidad es de 0170, aproximadamente. Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.

Solución:

550 2 c 000

150 0,017 a

0,017 c

0,017 a

c e

: elipse la de dad excentrici la

de aproximado valor

Del

000 150 a 000

300 2a

: que tenemos gráfico,

el según y datos los De

= ×

= × =

= =

= =

! !

!

! !

(57)

58

58

58

58

58

450 147 c a 550

2 000 150 c a : Minimo

550 152 c a 550

2 000 150 c a : Máximo

: Luego

= − −

= −

= + +

= +

! !

! !

(58)

59

59

59

59

59

8

8

8

8

8

Capítulo

LA HIPÉRBOLA

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto A=

( )

2,3 , tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus

asíntotas es la recta 2y− 7x=0.

Solución:

(

)(

)

( )

1 7 8

x 2 y : 8

x 7 y 4 : : En

8 k k 28 36 2,3

A : Pero

k x 7 y 4 : k

x 7 y 2 x 7 y 2 :

: Luego

0 x 7 y 2 : 0

x 7 y 2 : Si

. hipérbola la

de asíntotas

y Sean

2 2 2

2

2 2 2

1

2 1

= − =

= =

− ∈

=

→  = − =

+ −

= + =

H

H

H

H

H

H

!

! !

! !

!

!

!

(59)

60

60

60

60

60

Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en V=

(

0,±7

)

y e=4 3. Solución:

(

) (

)

343 y 7 9x : 1 9 343 x 49 y : : tanto lo Por 9 343 b 49 9 784 a c b : Luego 9 784 c a 3 4 c 3 4 a c e : Además 7 a a 0, 7 0, V : Si 1 b x a y : : deduce se datos los De 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − = − = − = = × = = = ± = ± = ± = = −

H

H

H

! ! ! !

Dada la ecuación de la hipérbola x2−4y2=4, hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la

excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).

(60)

61

61

61

61

61

2

b 2 : Conjugado Eje

4 a 2 : Transverso Eje

1 2

1 2 a 2b CN : Normal Cuerda

2

= =

= × = =

Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos F1=

(

−1,1

)

y F2 =

( )

5,1

(61)

62

62

62

62

62

( )

( )

(

) (

)

(

) ( )

1

5 1 y 4 2 x : 1 b k y a h x : : tanto lo Por 5 b b 4 9 b a c 4 a 2 CV a : Ahora 2,1 C 1 k 2 h k h, C 9 c 3 c 6 c 2 F F : Sabemos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = − − − = − − − = + = + = = = = =    = = = = = = =

H

H

! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los

puntos F1=

( )

3,4 y F2 =

(

3,−2

)

y su excentricidad es igual a 2.

Solución:

( )

( )

(

) (

)

( ) (

)

1

(62)

63

63

63

63

63

Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la

elipse: x2100+y2 64=1. Y las directrices pasan por los focos de esta elipse.

Solución:

(

) (

)

100 c 10 c

elipse. la en a de valor del partir a

hipérbola la

en c de valor el obtenemos problema,

del condición Por

1 b y a x : :

hipérbola la

En

6,0 c,0

F : donde De

6 c 36 64 100 b a c c

a b

8 b 64 b 10

a 100 a

1 64 y 100

x : :

elipse la En

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

= ±

=

= − ± = ± =

± = =

− = − = −

=

± = =

± = =

= +

!

! !

! !

! !

! !

H

(63)

64

64

64

64

64

1 100

y 60 x :

1 b y a x : :

tanto lo Por

40 b 60 100 b c

a b : Seguido

60 a : en Luego

elipse. la en

obtenido valor

un es c donde ; c x : problema del

condición Por

10 a c a a c

a x

e a x : hipérbola la

de directriz la

de ecuación La

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

= −

= −

= −

= −

= =

= →  ±

= = ± =

± =

H

H

! !

!

!

(64)

65

65

65

65

65

Dada la ecuación de la hipérbola:

(

x−4

)

2 16−y2 128=1, encontrar las coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones

de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).

(65)

66

66

66

66

66

64 64 4

128 2 a 2b CN : Normal Cuerda

2

(66)

67

67

67

67

67

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos A=

( )

3,−2 y

( )

7,6

B= , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje X.

Solución:

( )

( )

16 y 5 x 4 :

1 5 16

y 4 x : :

Luego

5 16 b ; 4 a : y De

1 b 36 a 49 :

6 , 7 B

1 b

4 a

9 :

2 3, A

1 b y a x :

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

= − ∴

= −

= =

→  = − ∈

=

→  = − ∈

− =

= −

H

H

H

H

H

"

!

"

!

! !

! !

Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el

lugar geométrico de P es una hipérbola. Solución:

v e t t v e : Además

sonido del Velocidad :

V

bala la de Velocidad :

V : Sean

s b

= ⋅

= !

(67)

68

68

68

68

68

!

→  +

=

s b

s V

BP V BR V RP : problema del

condición Por

(

)

LQQD

hipérbola de

Definición k

BP RP

k V BR V BP RP

V BR V

BP V RP

: De

b s

b s s

= −

= × = −

= −

! ! !

(68)

69

69

69

69

69

9

9

9

9

9

Capítulo

CURVAS PLANAS

DE GRADO SUPERIOR

Trazar la curva potencial, cuya ecuación es: y2 =x3. Solución:

... 1 . 5 8 . 2 1 0

y

... 3 2 1 0 x

: valores de

Cuadro

0 x ; x x y x

y x

y2 3 3

± ± ±

≥ ±

= ±

=

= ! !

(69)

70

70

70

70

70

Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: y=log10 x

Solución:

... 2 1 1 47 . 0 301 . 0 0 y

... 1 . 0 100 9

4 1 x

: valores de

Cuadro

0 x ; x log y 10

− >

=

(70)

71

71

71

71

71

Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: y=4ex−1

Solución:

... 5 . 0 8 . 10 4 4 . 1 y

... 1 2 1 0 x

: valores de

Cuadro

x ; e 4 y x 1

− ∈

= −

ú

(71)

72

72

72

72

72

Trazar la curva, cuya ecuación es: 

     =

3 x cos

y .

Solución:

1 2 1 86 . 0 0 2 1 86 . 0 1 y

3 2 5 2 2 3 2

0 x

: valores de

Cuadro

− −

π π

π π

π π

La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de

presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación p⋅v =c, para algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20

libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas.

Hallar c de la ecuación: p⋅v =c

Solución:

0 p ; p 6000 v

6000 v p

: Luego

6000 c 300 20 c c v p

≠ ∀ =

= ⋅

= ×

= =

!

! !

(72)

73

73

73

73

73

... 1

6000 1

6000 y

... 6000 1

6000 1

x

: valores de

Cuadro

− −

(73)

75

75

75

75

75

10

10

10

10

10

Capítulo

PROBLEMAS

SUPLEMENTARIOS

¿Para qué valor de h estará el punto P=

(

h,−3

)

en la recta determinada por A=

( )

1,−1 y B=

( )

4,7 ?

4 1

: Rpta.

Demostrar que el triángulo cuyos vértices son A=

(

10,5

)

, B=

( )

3,2 y

(

6, 5

)

C= − es rectángulo. Hallar el área.

2

u 29 : Rpta.

Si A=

(

5,12

)

es el punto medio del segmento BC y B=

(

−7,−3

)

. ¿Cuáles son las coordenadas de C?

(

17,27

)

C= : Rpta.

Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

)

)

y

( )

x 4 10x b

0 4 x 2 y x a

2 2 2 2

= +

(74)

76

76

76

76

76

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de

(

6,0

)

A= − es dos veces su distancia de B=

( )

6,0 . Trazar la curva.

0 36 x 20 y

x2+ 2− + = :

Rpta.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por P=

( )

5,3 y su X-interceptor es 10.

0 30 y 5 x

3 − − = :

Rpta.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1=

( )

7,4 y forma un

ángulo de 120º con la parte positiva del eje X.

0 3 7 4 y x

3 + − − = :

Rpta.

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección

de las rectas x+2y−4=0 y 4x−y−2=0, tal que forman con el primer cuadrante un triángulo de área 25u2.

0 30 y 2 x 9 , 0 10 y x

2 + − = + − =

: Rpta.

Los puntos X=

( )

3,−2 , Y=

( )

4,1 y Z=

(

−3,5

)

son los vértices de un triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa

por Y.

0 17 y 7 x

6 − − = :

Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro

está en el cuarto cuadrante.

(

) ( )

34 1 1 y 4

x− 2+ + 2 =

(75)

77

77

77

77

77

La ecuación de la circunferencia es x2+y2−10x=28. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto A=

( )

3,7 .

0 43 y 7 x

2 − + = :

Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de

las circunferencias: x2+y2+2x+y−1=0 y x2+y2+2x+2y−4=0

y por el punto P=

(

−3,0

)

.

0 3 y x 10 y 3 x

3 2+ 2+ + + = :

Rpta.

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:

0 1 y 7 x 3 y x

2 2+ 2+ − − = 115 y

8 x

16 N2+ N2 =

: Rpta.

La parábola y2 =2px tiene un extremo de la cuerda focal en el punto

( )

8,8

A= . Hallar las coordenadas del otro extremo.

      −, 2

2 1

: Rpta.

Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una

parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una

altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el

centro.

Figure

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References