216
12. Aplicaciones de las derivadas
PREPARACI ÓN DE LA UNIDAD
• a) La solución de esta
inecuación es, pues,
b) La solución de esta inecuación es, por tanto,
c) Como esta
desigualdad estricta nunca es
cierta, la
ine- cuación no tiene solución.
• a) x 2 + 1 ≤ 0 , x 2 ≤− 1
Esta inecuación no se
cumple para ningún real
x, ya 0, luego no tiene solución. ≥ 2 que x
b) (x − 3) 2 ≤ 4, ! x − 3 ! ≤ 2, −2 ≤ x − 3 ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 5
La solución de esta
inecuación es el inter valo [1,
5].
c) 2 (5 − x 2 ) > 3 x , 10
− 2 x 2 > 3 x ,
2 x 2 + 3 x − 10 < 0
3 1
2 3
2 3 3 2
2 3
2
3 2 3
2
( ) ,
,
x x x x x
x
x x
− − > − − − > −
− > −
1 12 ,
. +∞
2 3
8 5 1
2 3 4
2 3 45 1
8 3
4
2 3 20
x x
x
x x
x
x
− − − <−
− − − <−
− −
,
( ) ,
x x x
x x
x x
+ <− − + <−
< >
4 8 3
4 18 1 6
1 12 1
12
, ,
,
−∞
, . 47 15
3 7 52 3 1
2 1
3 7 10 15 1
2 2
7
x x
x
x x
x
x
+ − − ≥ − −
+ − + ≥ − −
− +
( ) ,
,
2 22 3
2 14 44 3
15 47
47 15
≥ − − + ≥ −
− ≥− ≤
x x
x
x x
, ,
,
Como se cumple que:
y el producto de
dos números es negativo
si y
sólo si inecuación se signo, la tienen distinto esos números
cumple si: ⇒ No tiene solución.
La solución de la inecuación es, pues,
d) En este caso, 15
x 2 − 4 x + 2 = 0 no
tiene soluciones que siempre que significa reales, lo
tiene el
mismo signo (pues es una función continua en cualquier
in-tervalo cerrado). Así,
como en x = 0 la
expresión es x, luego todo real positiva para 0, será 2 >
la inecua- ción no tiene solución.
• a)
′ = +
′= ′+
′=
= ⋅ ′+
f x x
x x
x
x
() ( ln )
( ln ) ( )
(ln )
4 4
4
2 2
2 2 4
2 + x = − 21 x ⋅
x
2 1
5 3 2 22 1 5 3
4 2 15 15
2 2
2 2
x x
x x
x x
x
− > −
> ⋅
− >
, ( ) ,
,
− − +
< 2 4
0 x
− − − +
3 4 89 4 3 4 89 4
, .
x x
x x
+ − < ⇒ <− +
+ + > ⇒ >− −
3 89
4 0 3
4 89
4
3 89
4 0 3
4 89
4
⇒
⇒ ∈ − − − +
+ −
x x
3 4 89 4 3 4 89
4
3 8
,
9 9 4 0 3
4 89
4
3 89
4 0 3
4 89
4
> ⇒ >− +
+ + < ⇒ <− −
x
x x
⇒
2 3 10 3
89 4 3
89 4
2 x
x x
x − + = − +
+
+
Aplicaciones
de las derivadas
1 2
216
12. Aplicaciones de las derivadas
PREPARACIÓN DE LA UNIDAD
•a)
La solución de esta inecuación es, pues,
b)
La solución de esta inecuación es, por tanto,
c)
Como esta desigualdad estricta nunca es cierta, la ine-cuación no tiene solución.
•a) x2+1 ≤0 , x2≤ −1
Esta inecuación no se cumple para ningún real x, ya
que x2≥0, luego no tiene solución.
b) (x −3)2≤4, !x −3!≤2, −2 ≤x −3 ≤2, 1 ≤x ≤5
La solución de esta inecuación es el intervalo [1, 5].
c) 2 (5 −x2) >3 x , 10 −2 x2>3 x ,
2 x2+3 x −10 <0
3 1
2
3 2
3 3 2
2
3 2 3
2
3 2
( )
, ,
x
x x x x x
x x
− − > − − − > −
− > −
1 12,+∞ .
2 3
8
5 1
2 3
4
2 3 4 5 1
8
3 4
2 3 20
x x x
x x x
x
− − − < −
− − − < −
− −
,
( )
,
xx x
x x
x x
+ < − − + < −
< >
4 8
3
4 18 1 6
1 12 1
12
, ,
,
−∞
,47 .
15
3 7 5 2 3 1
2 1
3 7 10 15 1 2
2 7
x x x
x x x
x
+ − − ≥ − −
+ − + ≥ − −
− +
( ) ,
,
222 3
2 14 44 3
15 47 47
15
≥ − − + ≥ −
− ≥ − ≤
x x x
x x
, ,
,
Como se cumple que:
y el producto de dos números es negativo si y sólo si esos números tienen distinto signo, la inecuación se cumple si:
⇒ No tiene solución.
La solución de la inecuación es, pues,
d)
En este caso, 15 x2−4 x +2 =0 no tiene soluciones
reales, lo que significa que siempre tiene el mismo signo (pues es una función continua en cualquier
in-tervalo cerrado). Así, como en x =0 la expresión es
2 >0, será positiva para todo real x, luego la
inecua-ción no tiene soluinecua-ción.
•a) ′ = + ′ = ′ + ′ =
= ⋅ ′ +
f x x x x x
x
( ) ( ln ) ( ln ) ( )
(ln )
4 4
4
2 2
22⋅x2 1− =4+2
x x
2 1
5 3
2 2 2 1 5 3
4 2 15 15
2
2
2 2
x x
x x
x x x
− > − > ⋅
− >
, ( ) ,
, −−4x+ <2 0
− − − +
3 4
89 4
3 4
89 4
, .
x x
x x
+ − < ⇒ < − +
+ + > ⇒ > − −
3 89
4 0
3 4
89 4
3 89
4 0
3 4
89 4
⇒
⇒ ∈ − − − +
+ −
x
x
3 4
89 4
3 4
89 4
3 8
,
99
4 0
3 4
89 4
3 89
4 0
3 4
89 4
> ⇒ > − +
+ + < ⇒ < − −
x
x x
⇒
2 3 10 3 89
4
3 89
4 2
x + x− =x+ − x
+ +
Aplicaciones
217
12. Aplicaciones de las derivadas
b)
c)
d) k′(x) =(x2ex)′ =(x2)′ ⋅ex+x2⋅(ex)′ =
=2 x ⋅ex+x2⋅exln e =2 xex+x2ex=
=xex(2 +x)
e)
f)
1. DERIVADA Y MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
1. Calcularemos el valor de la derivada de la función en el punto y decidiremos a partir de su signo si la función es creciente o decreciente en dicho punto:
a) f′(x) =(2 x3−x2)′ =6 x2−2 x , f′(2) =20 >0 ⇒
⇒f es estrictamente creciente en x =2.
b)
es
estrictamen-te crecienestrictamen-te en x =5.
c)
es
estrictamen-te decrecienestrictamen-te en x =1.
′ = − ⋅
− = − < ⇒
f( )1 3 1 f
2 2 1 3 2 0 2 3 ′ =
(
−)
′ = − −f x x x
x
( ) 2 3 ,
2 2
3 2
3
′ = − ⋅ −
− = > ⇒
f ( ) f
( )
5 5 2 5 1
5 1 7 8 0 2 2 ′ = + − ′ = − − + ⋅
f x x
x
x x x
x
( ) ( ) ( )
(
2 1 2
1
2 1 1 1
−− = = − − − 1 2 1 1 2 2 2 ) ( ) x x x ′ = ′ =
( )
′ ⋅ − ⋅ ′ = =i x x
e
x e x e
e xe x x x x ( ) ( )
( )2
1 2 xx x x x x x x e e
x x e
e x x e − ⋅ = − = = − ⋅ 2 2 1 2 1 2 2 ′ = ′ = ′ ⋅ ′ = ⋅ = =
m x tg x tg x x
x x
x
( ) ( ) ( ) ( )
cos
c
2 2 2
2 2
1 2
2 o
os2x2
′ =
(
−)
′ = − ′ = = ⋅ −h x x x
x
( ) ( )
(
2 2 12
2
9 9
1
2 9)) ( )
( ) 1 1 2 2 2 2 9 1 2 1
9 2 0 9
− ⋅ − ′ = = ⋅ − ⋅ − = − x x x x x ′ = − ′ = = ′ ⋅ − − ⋅ −
g x x
x
x x x x
( )
( ) ( ) (
2 2
2 2 2 2
4
4 44
4
2 4 2 0
4 8 2 2 2 2 2 2 ′ − = = ⋅ − − ⋅ − − = − ) ( ) ( ) ( ) ( ) x
x x x x
x
x
((x2−4)2
2. Debemos hallar los ceros de la derivada de la función y ver qué signo tiene en ellos la derivada se-gunda:
a) 0 =f′(x) =6 x2−2 x ⇔ x =0 o
f″(x) =(6 x2−2 x)′ =12 x −2
f″(0) =12 ⋅0 −2 = −2 <0 ⇒f tiene un máximo
re-lativo en x =0.
tiene un
míni-mo relativo en .
b)
tiene un máximo
relativo en .
f tiene un mínimo
relativo en .
c)
f″(0) =0, luego con esto no nos basta para decidir.
Por tanto, estudiaremos el crecimiento y el decre-cimiento de la función f a partir de una tabla:
Por tanto, x =0 no es un extremo relativo de f,
lue-go f no tiene extremos relativos.
3. a) 1. f′(x) =(x3−3 x2−9 x +1)′ =
=3 x2−6 x −9
0 3
2 2 3 0 0
6 2 2
2 3 2 = ′ = − − ⇔ − = ⇔ = = − ⋅ −
f x x
x x x
f x x ( )
( )
″
xx x x
x
x
x x
3 2 2
3
3 2
3
3 2 3
2 2
2 2
12 2 9
− − ⋅ − − −
(
)
= = − − − ( ) xx x xx x x
x x 4 3 3 3 4 3 3 4 2 4 2
12 2 9
4 2 3 − − = = − − − −
(
)
= − ( )( ) 224
4 2 3 3
x
x
−
(
)
x = +1 2
f″ 1 2 4
2 0
3 +
(
)
=( )
> ⇒x= −1 2
f″ 1 2 4
2 3 0
−
(
)
=−
( )
< ⇒0 2 1
1
2 1 0 1 2
2 2 2 = ′ = − − − ⇔ ⇔ − − = ⇔ = − =
f x x x
x
x x x o x
( )
( )
11 2
2 2 12 2 2 1 2 1
+
= − ⋅ − − − − ⋅ −
f x″( ) ( x ) (x ) (x x ) (x ))
(( ) ) ( ) x x − = = − 1 4 1 2 2 3
x =1
3
f″ 1
3 12
1
3 2 2 0
= ⋅ − = > ⇒
x=1
3
x (−∞, 0) 0
f′(x) − 0 −
f(x)
( ,0 32)
→ →
12. Aplicaciones de las derivadas
b) c) d) k′ (x) = (x 2 e x )′= (x 2 )′⋅ e x + x 2 ⋅ (e x )′= = 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x ln e = 2 xe x + x 2 e x = = xe x (2 + x) e) f) 1 . DERIVADA Y MONOTONÍA DE UNA FUNCI Ó N 1. Calcularemos el valor de la derivada de la función en
el función es si la su signo partir de decidiremos a punto y
creciente o decreciente en dicho punto:
a) f ′(x) = (2 x 3 − x 2 )′= 6 x 2 − 2 x , f ′(2) = 20 > 0
⇒ 2. f es estrictamente creciente en x = ⇒
b) es
estrictamen-te crecienestrictamen-te en x = 5.
c) es
estrictamen-te decrecienestrictamen-te en x = 1. ′ = − ⋅ − =− < ⇒ f f ()1 3 1 2 2 1 3 2 0 2 3 ′ = −
(
)
′ = − − f x x x x () , 2 3 2 2 3 2 3 ′ = − ⋅ − − = > ⇒ ff ) ( 5 ()
5 2 5 1 5 1 7 8 0 2 2 ′ = + − ′ = − − +
⋅ x x f
x x x x x () ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 1 1 1 − − = = − − − 1 2 1 1 2 2 2 ) ( ) x x x ′ = ′ =
(
)
′⋅ − ⋅ ′ = = i x x e x e x e e x e x x x x () ( ) ( ) 2 1 2 x x x x x x x x e e x x e e x x e − ⋅ = − = = − ⋅ 2 2 1 2 1 2 2 ′ = ′= ′ ⋅ ′= ⋅ = = m x tg x tg x x x x x () ( ) ( )( ) cos c 2 2 2 2 2 1 2 2 o os 2 2 x ′ = −(
)
′ = − ′ = = ⋅ − h x x x x () ( ) ( 2 2 1 2 2 9 9 1 2 9)) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 9 1 2 1 9 2 0 9 − ⋅ − ′= = ⋅ − ⋅ − = − x x x x x ′ = − ′ = = ′⋅ − − ⋅ − g x x x x x x x () ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 2 4 2 0 4 8 2 2 2 2 2 2 ′ − = = ⋅ − − ⋅ − − = − ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x ( ( ) 2 x2 4 −
2. De be mo s h all ar lo s c ero s d e l a d eri va da d e l
a se- la derivada en ellos signo tiene ver qué función y
gunda: a) 0 = f ′(x) = 6 x 2 − 2 x ⇔ x = 0 o
f ″(x) = (6 x 2 − 2 x)′= 12 x −
2 f ″(0) = 12 ⋅ 0 − 2 =− 2 < 0 ⇒ f tiene un máximo
re- 0. lativo en x =
tiene un
míni-mo relativo en . b) tiene un máximo relativo en . f tiene un mínimo relativo en . c) f ″(0) = 0, luego con esto no nos basta para
decidir. el decre- crecimiento y estudiaremos el Por tanto,
cim ien to d e la fun ció n f a par tir de u na t abl a: Por tanto, x = 0 no es un extremo relativo de f,
lue- go f no tiene extremos relativos.
3. a) 1. f ′(x) = (x 3 − 3 x 2 − 9 x + 1)′= = 3 x 2 − 6 x − 9 0 3 2 2 3 0 0 6 2 2 2 3
2 =− ′ =
− ⇔− = ⇔ = = − ⋅ − f x x x x x f x x () () ″ x x x x x x x x 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2 12 2 9 −− ⋅ − − −
(
)
= = − − − ( ) x x x x x x x x x 4 3 3 3 4 3 3 4 2 4 2 12 2 9 4 2 3 − − = = − − − −(
)
= − ( ) ( ) 2 24 4 2 3 3 xx −
(
)
x = + 1 2 f ″ 1 2 4 20 > 3
)
(
=)
+(
⇒ x = − 1 2 f ″ 1 2 4 2
0 < 3
)
−(
=)
−(
⇒ 0 2 1 1 2 1 0 1 2 2 2 2 = ′ = − − − ⇔ ⇔ − − = ⇔ = − = f x x x x x x x ox () ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2
1 2 2
+ = − ⋅ − − − − ⋅
− x ( ) x x ( ) x ( ) x ( x () ″ f
) ) (( )) ( ) x x − = = − 1 4 1 22 3 x = 1 3 f ″ 1 3 12 1 3 2 2
0 > = − ⋅ = ⇒ x = 1 3 x (−∞, 0) 0 f ′(x) − 0 − f(x) (, ) 2 3 0
218
12. Aplicaciones de las derivadas
Los ceros de f ′ son:
3 x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇒ x =− 1 o x =
3
Como f y f ′ son polinómicas, no tienen
puntos de discontinuidad.
2. Lo s i nte rva lo s q ue deb em os co nsi der ar so
n ). −1, 3) y (3, +∞ (−∞, −1), (
3. Elaboramos una
tabla en la que
indicamos la o d ign el s ir d art a p de f nía oto mon
e f ′:
Por tanto, f es
estrictamente creciente
en estrictamente decre- ), y +∞ en (3, −1) y (−∞,
ciente en (−1, 3).
b) 1. La función f
′ no tiene ceros, pues
el numera- dor nunca se anula.
Los puntos de discontinuidad
de f ′ son los
ce- ros del denominador:
2. Debemos considerar
los inter valos
y .
3. Elaboramos la tabla de monotonía de f:
Por tanto, f es estrictamente creciente en
y en .
c) 1. Los ceros de f
′ son:
Los puntos de discontinuidad
de f ′
son aqué- llos en los que se anula el denominador:
x x
x 0 1 2
0 = ⇔ = −
′ =
−
(
)
′ = − = −
f x x x
x x
x
()
2 2
2
1 2
2 1 1
− +∞
1 2
, −∞−
,
1 2
− +∞
1 2 ,
−∞−
1 2 ,
(
) 1 2
0 1
2
2 x
x ⇔ = +
=−
′ = − +
′ =
= ⋅ + − − ⋅
f x x x
x x
() ( ) ( )
(
1 2 1
1 2 1 1
2
2 2 1 3
2
1 2
2 ) + x ( = ) + x
2.Los intervalos
determinados por los ceros y los son: ′ puntos de discontinuidad de f
(−∞, −1) , (−1, 0) , (0, 1) y (1, +∞ )
3.Construimos la tabla de monotonía de f: Por tanto, f es
estrictamente decreciente
en creciente en y estrictamente (−1, 0), −1) y (−∞,
(0, 1) y (1, +∞ ).
d) 1.f ′(x) = (e
−
x
2
)′= e
−
x
2
⋅ (−2 x) =− 2 xe
−
x
2
Los ceros de f
′ son: −2 xe
−
x
2
= 0 ⇔ x =
0 es discontinuidad, pues puntos de no tiene ′ f
producto de dos funciones continuas en
!
.
2.L os in te rva lo s q ue d eb em os co nsi de rar so
n ). (−∞, 0) y (0, +∞
3.Construimos la tabla de monotonía de f: Por tanto, f es estrictamente creciente
en ( −∞, 0)
y ). estrictamente decreciente en (0, +∞
2. DERIVADA Y CUR VATURA DE UNA FUNCI
ÓN
4. Deb em os cal cu lar la d eri vad a s egu nd a d e c ad a f un
- signo ver qué pedido para el punto evaluarla en ción y
tiene: a) f(x) = x 3 − x 2 , f ′(x) = 3 x 2 − 2 x ,
f ″(x) = 6 x − 2
f ″(−3) = 6 ⋅ (−3) − 2 < 0 ⇒ f es cóncava en x =−
3.
b) f(x) = 2 x 3 − 3 x 2 , f ′(x) = 6 x 2 − 6 x ,
f ″(x) = 12 x − 6
f ″(0) = 12 ⋅ 0 − 6 < 0 ⇒ f es cóncava en x =
0.
c) es convexa en x =
5. f ) ( 5 () ″ f
4 5 1
0 > 3 − =
⇒
f x x x f x x x
x
f x
() ,
() ( ) ,
() (
= +
− ′ = − −
−
=
2 2
2
1 1 2
1 1
4 ″
x x
−
1
3 )
x (−∞, −1)
−1 (−1, 3)
3 (3, +∞ )
f ′(x) + 0 − 0 +
f(x)
→ →
→
x f ′(x) +
"
∃ +f(x)
"
∃
− +∞
1 2
, 1 2 − −∞−
1 2 ,
→ →
x (−∞, −1)
−1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞ )
f ′(x) −
"
∃ − 0 +"
∃ +f(x)
→ →
→ →
x (−∞, 0)
0 (0 , +∞ )
f ′(x) +
0 −
f(x)
→ →
218
12. Aplicaciones de las derivadas
Los ceros de f′son:
3 x2−6 x −9 =0 ⇒ x = −1 o x =3
Como f y f′son polinómicas, no tienen puntos
de discontinuidad.
2. Los intervalos que debemos considerar son (−∞, −1), (−1, 3) y (3, +∞).
3. Elaboramos una tabla en la que indicamos la
monotonía de f a partir del signo de f′:
Por tanto, f es estrictamente creciente en (−∞, −1) y en (3, +∞), y estrictamente decre-ciente en (−1, 3).
b) 1.
La función f′no tiene ceros, pues el
numera-dor nunca se anula.
Los puntos de discontinuidad de f′son los
ce-ros del denominador:
2. Debemos considerar los intervalos
y .
3. Elaboramos la tabla de monotonía de f:
Por tanto, f es estrictamente creciente en
y en .
c) 1.
Los ceros de f′son:
Los puntos de discontinuidad de f′son
aqué-llos en los que se anula el denominador: x
x2−1 = ⇔ =0 x 0
′ =
(
−)
′ =− = −
f x x x
x
x x
( ) 2
2 2
1 2
2 1 1
− +∞
1 2,
−∞ −
, 1
2
− +∞
1
2,
−∞ −
, 1
2
(2 1) 0 1
2 2
x+ = ⇔ x= −
′ = −
+
′=
= ⋅ + − − ⋅
f x x
x
x x
( )
( ) ( )
( 1
2 1
1 2 1 1 2
22 1
3
2 1
2 2
x+ ) =( x+ )
2. Los intervalos determinados por los ceros y los
puntos de discontinuidad de f′son:
(−∞, −1) , (−1, 0) , (0, 1) y (1, +∞)
3. Construimos la tabla de monotonía de f:
Por tanto, f es estrictamente decreciente en (−∞, −1) y (−1, 0), y estrictamente creciente en (0, 1) y (1, +∞).
d) 1. f′(x) =(e−x2)′ =e−x2⋅(−2 x) = −2 xe−x2
Los ceros de f′ son: −2 xe−x2 =0 ⇔ x =0
f′ no tiene puntos de discontinuidad, pues es
producto de dos funciones continuas en !. 2. Los intervalos que debemos considerar son
(−∞, 0) y (0, +∞).
3. Construimos la tabla de monotonía de f:
Por tanto, f es estrictamente creciente en (−∞, 0) y estrictamente decreciente en (0, +∞).
2. DERIVADA Y CURVATURA DE UNA FUNCIÓN
4. Debemos calcular la derivada segunda de cada fun-ción y evaluarla en el punto pedido para ver qué signo tiene:
a) f(x) =x3−x2 , f′(x) =3 x2−2 x ,
f″(x) =6 x −2
f″(−3) =6 ⋅(−3) −2 <0 ⇒f es cóncava en x = −3.
b) f(x) =2 x3−3 x2 , f′(x) =6 x2−6 x ,
f″(x) =12 x −6
f″(0) =12 ⋅0 −6 <0 ⇒ f es cóncava en x =0.
c)
es convexa en x =5.
f″( ) f
( )
5 4
5 13 0
=
− > ⇒
f x x
x f x
x x
x f x
( ) , ( )
( ) ,
( ) (
= +
− ′ =
− −
− =
2 2
2 1
1
2 1
1 4
″
xx−1)3
x (−∞, −1) −1 (−1, 3) 3 (3, +∞)
f′(x) + 0 − 0 +
f(x) → → →
x
f′(x) +
"
∃ +f(x)
"
∃− +∞
12,
−1
2
−∞ −
, 1
2
→ →
x (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
f′(x) −
"
∃ − 0 +"
∃ +f(x) → → → →
x (−∞, 0) 0 (0, + ∞)
f′(x) + 0 −
219
12. Aplicaciones de las derivadas
d)
es cóncava en x =3.
e)
es cóncava
en x =1.
f)
= −4 <0 ⇒ f es cóncava en
5. Debemos hallar los ceros de la derivada segunda y es-tudiar el signo de la derivada tercera (o de la primera derivada que no se anule a partir de la tercera) en di-chos puntos:
a) •
• tiene un punto
de inflexión en .
b) •
• tiene un
punto de inflexión en .
c) • no tiene solución, luego f″
no tiene ceros y, por tanto, f no tiene puntos de inflexión.
d) • no tiene solución,
lue-go f no tiene puntos de inflexión.
0 1
1
2 3
= = −
−
(
)
f x
x
″( )
0 4
13
= =
−
f x x
″( )
( )
x=1
2
f′″( )x = , f′″ f
= > ⇒
12 1
2 12 0
0 12 6 1
2
=f x″( )= x− ⇔ x =
x =1
3
f″′( )x =6, f″′1 = > ⇒f
3 6 0
0 6 2 1
3
=f x″( )= x− ⇔ x =
x =3
4
π.
f x tg x f x
x f x
sen x x
f
( ) , ( )
cos , ( ) cos
= ′ = 12 ″ =2 3
″″ 3
4 2
3 4 3 4
2 2 2
2 2
3 3
π π
π
= = ⋅
−
sen
cos
==
f x″( )= ⋅ − ⋅ f
⋅
(
−)
= − < ⇒
3 1 24 1
4 2 1
21
4 0
4
3 3
f x x f x x
x
f x x x
( ) , ( ) ,
( )
= − ′ = −
−
= −
2 3
2 2
3 24
4 2
3 2
3 4
″
−−
(
x3)
3f″( )3 1 f
3 1
0
2 3
= − −
(
)
< ⇒f x x f x x
x f x
x
( ) , ( ) ,
( )
= − ′ =
− = −
−
(
)
2
2
2 3
1
1 1
1
″
e) •
⇔ x =0 o x =2, pero x =2 no es del dominio
de f, luego sólo debemos considerar x =0.
•
tiene un punto de
in-flexión en x =0.
f) •
•
⇒ f tiene un punto de inflexión en x =kπ,
k ∈".
6. a) 1. f(x) =x3−x2−8 x , f′(x) =3 x2−2 x −8,
f″(x) =6 x −2
Los ceros de f″son: 0 =6 x −2 ⇔
f″no tiene puntos de discontinuidad, pues es
polinómica.
2. Los intervalos definidos por los ceros (y los
puntos de discontinuidad) de f″son
y .
3. Elaboramos una tabla en la que indicar la cur-vatura de f a partir del signo de f″:
Por tanto, la función es cóncava en y
convexa en .
b) 1. g(x) =x3−3 x +2 , g′(x) =3 x2−3 ,
g″(x) =6 x
Los ceros de g″son: 0 =6 x ⇔ x =0
g″es polinómica, luego no tiene puntos de
dis-continuidad.
2. Los intervalos que debemos considerar son (−∞, 0) y (0, +∞).
1
3,+∞
−∞
,1
3 1
3,+∞
−∞
,1
3
x=1
3
f x sen x
x
f k sen k
″′
″′
( )
cos
( ) ( )
cos
= +
= +
2 4
2 4
2 4
2 4
π π
((kπ) = + = > ⇒
2 0
1 2 0
0= =2 3 ⇔ =0 ⇔ =
∈
f x sen x
x sen x x k
k
″( )
cos ,
.
π
"
f″′( )0 96 f
8 2
0
5
= −
( )
< ⇒f x x x
x
″′( )= − − ,
−
(
)
3 120 96
8 2
6 3
3 5
0 3 24
4 2
0 3 24
4
3 3
4
= = −
−
(
)
⇔ = − ⇔f x x x
x
x x
″( )
x
f″(x) − 0 +
f(x)
1
3,+∞
1 3
−∞
,1
3
!
"
12. Aplicaciones de las derivadas
d) es cóncava
en x = 3.
e) es cóncava
en x = 1.
f) =− 4 < 0 ⇒ f es cóncava en
5. Debemos hallar
los ceros de la
derivada segunda
y es- primera de la tercera (o la derivada signo de tudiar el
derivada que no se anule a
partir de la tercera)
en di- chos puntos:
a) • • tie
ne un pu nto
de inflexión en .
b) • • tie
ne un
punto de in fle xió n e n .
c) • no
tie ne sol uci ón , lu ego f ″
no tiene ceros y,
por tanto, f no tiene puntos
de inflexión.
d) • no
tie ne sol uci ón , lu
e-go f no tiene puntos de inflexión.
0 1
1 2
3 =− =
−
(
)
f x x
″
()
0 4
1
3 ) − x ( = x () ″ f =
x
=
1 2
f x f
f ⇒ > = ′″ , 12 = () ′″
1 2 12 0
0 12
6 1
2
= = − ⇔
= x x x () ″ f
x
=
1 3
f x f
f ⇒ > = ″′ , 6 = () ″′
1 3 6 0
0 6
2 1
3
= = − ⇔
= x x x () ″ f
x
=
3 4
π
.
f x tg x f x x
f x sen x x
f
() ,
() cos , () cos
= ′ =
= 1
2 2
3 ″
″ ″
3 4 2 3 4 3 4 2 2
2 2
2
3 3
π π
π
= =
⋅ −
sen cos
= =
f x
f ⋅ − ⋅ = () ″
⋅
−
(
)
=− <
⇒ 1 24 1 3
4 2 1 21
4 0
4 3 3
f x x
f x x
x
f x x x
() ,
() ,
()
= − ′ = − −
= −
2 3
2 2
3 24
4 2
3 2
3
4
″
− −
(
)
3 x 3f
f ()3 ″
1 3 1
0 3 2 =−
−
(
)
< ⇒
f x x f x x
x
f x x
() ,
() ,
()
= − ′ = −
=−
−
(
)
2 2
2 3
1 1
1 1
″
e) • ⇔ x = 0 o x = 2, pero x =
2 no es del
dominio de f, luego sólo debemos considerar x =
0.
• tiene un
punto de
in-flexión en x = 0.
f) • • ⇒ f tiene un punto
de inflexión en x
= k
π, ". k ∈
6. a) 1. f(x) = x 3 − x 2 − 8 x , f ′(x) = 3 x 2 − 2 x − 8,
f ″(x) = 6 x − 2
Los ceros de f
″ son: 0 = 6 x − 2 ⇔
f ″ no tiene puntos de
discontinuidad, pues
es polinómica.
2. Lo s i nte rva lo s d efi nid os por lo s c ero s ( y l os
puntos de discontinuidad) de
f ″ son
y .
3. Elaboramos una
tabla en la que indicar la
cur- ″: e f o d ign el s ir d art a p de f ura vat
Por tanto, la función
es cóncava en
y
convexa en .
b) 1. g(x) = x 3 − 3 x + 2 , g′(x) =
3 x 2 − 3 ,
g″(x) = 6 x
Los ceros de g″ son: 0 =
6 x ⇔ x = 0
g″ es polinómica, luego no
tiene puntos
de dis- continuidad.
2. Lo s i nte rva lo s q ue deb em os co nsi der ar so
n ). (−∞, 0) y (0, +∞
1 3 ,
+∞
−∞
1 3 ,
1 3 ,
+∞
−∞
,
1 3
x
=
1 3
f x sen
x x
f k sen
k
″′ ″′
() cos
( ) (
)
cos
= +
= +
2 4
2 4
2 4 2
4 π
π
( ( ) π k
= + = >
⇒ 0 2 0 1 2
0 2
0 ⇔ 3 = =
= ⇔
=
∈
f x sen x x sen
x x k
k
″
() cos
,
.
π
"
f
f ()0 ″′
96 8 2 0 < 5
)
−(
= ⇒f x x x
x
″′
()
, − − =
−
(
)
3 120 96
8 2
6 3
3 5
0 3
24 4 2 0
3 24
4 3 3
4 − = =
−
(
)
⇔ = −
⇔ x f
x x
x x
x () ″
x f ″(x) −
0 +
f(x)
1 3 ,
+∞
1 3
−∞
,
1 3
220
12. Aplicaciones de las derivadas
3. La tabla de curvatura de g es:
Por tanto, g es cóncava en
(−∞, 0) y convexa
en ). (0, +∞
c) 1. h″ no tiene ceros, pues
el numerador
nunca se anula.
Los puntos de discontinuidad
de h ″ son los
ce- ros del denominador:
(1 − x) 3 = 0 ⇔ x = 1
hx x
x
h x x x
x
h x x
() () ( )
() ( )
= −
′ = −
− = −
2 2 2 3
1 2 1 2
1
″
2. Lo s i nte rva lo s q ue deb em os co nsi der ar so
n ). (−∞, 1) y (1, +∞
3. Elaboramos la tabla de curvatura de h:
Por tanto, h es convexa en
(−∞, 1) y cóncava
en ). (1, +∞
d) 1. i(x) = 2 sen x , i′
(x) = 2 cos x ,
i″(x) =− 2 sen x
Los ceros de i″ son:
−2 sen x = 0 ⇔ x = k π, k ∈
"
i″ no tiene discontinuidades, pues
sen x
es una . ! función continua en
2. Debemos considerar los intervalos:
(k π, (k + 1) π), k ∈
"
x (−∞, 0)
0 (0 , +∞ )
g″(x) −
0 +
g(x)
!
"
x (−∞, 1)
1 (1 , +∞ )
h ″(x) +
"
∃ −h(x)
"
∃
!
"
3. Elaboramos la tabla de curvatura de i:
Por tanto, i es
convexa en los inter valos de
la forma ((2 k
− 1) π, 2 k π) y cóncava en
los de
la forma 1) π), siendo k ∈ π, (2 k + (2 k
"
.
x ... ((2 k − 1) π, 2 k π) 2 k π (2k π, (2 k +
1)π) (2 k + 1)π ...
i″(x) +
0 −
0
i(x)
!
"
e) Por tanto , por
lo que j″ e i ″ tienen
el mismo signo y
los mismos ceros. Así,
tienen los mismos intervalos de concavidad y convexidad.
f) 1. k(x) = xe x , k′(x) =
e x (x + 1) ,
k″(x) = e x (x + 2)
Los ceros de k
″ son: 0 = e x (x + 2) ⇔ x =− 2
k″ es continua, luego no
tiene puntos
de dis- continuidad.
2. Debemos considerar
los inter valos (
−∞,
−2) y ). +∞ (−2,
3. Elaboramos la tabla de curvatura de k:
Así pues, k es cóncava en
(−∞, −2) y convexa
en ). +∞ (−2,
j x i
x () ″ 1 2 = () ″
jx x
sen x
ix cos ()
() − =
=
= π 2
1 2
x (−∞, −2)
−2 (−2,
+∞ )
k″(x) −
0 +
k(x)
!
"
3. REPRESENTACI
ÓN GR ÁFICA DE
FUNCIONES
7. a) 1. Dominio: D(f) =
!
, pues f es polinómica.
2. Cor tes con los eje s:
—C on el ej e O X:
—C on el ej e O Y:
f(0) = 0 3 − 0 2 − 8 ⋅ 0 = 0
3. Signo: Consideramos
los inter
valos determina- ya que de f, los ceros dos por
no tiene
discon- vemos cuál polinómica, y ser f tinuidades al
es su signo en cada uno de ellos:
0 8
1 33
2 33 7
1 33
2 23
7
3
2 − = =
− ⇔
⇔ = + =
= − =−
f x x x x
x x y
() ,
, x x
=
0
x (−∞, −2,37)
−2,37 (−2,37, 0)
f(x) −
0 +
x 0 (0, 3, 37) 3,3 7 (3, 37, +∞ )
f(x) 0 −
0 +
220
12. Aplicaciones de las derivadas
3. La tabla de curvatura de g es:
Por tanto, g es cóncava en (−∞, 0) y convexa en (0, +∞).
c) 1.
h″no tiene ceros, pues el numerador nunca se
anula.
Los puntos de discontinuidad de h″son los
ce-ros del denominador:
(1 −x)3=0 ⇔ x =1
h x x
x
h x x x
x h x
x ( )
( )
( )
( )
( )
= −
′ = −
− =
−
2
2 2
3 1
2 1
2 1
″
2. Los intervalos que debemos considerar son (−∞, 1) y (1, +∞).
3. Elaboramos la tabla de curvatura de h:
Por tanto, h es convexa en (−∞, 1) y cóncava en (1, +∞).
d) 1. i(x) =2 sen x , i′(x) =2 cos x ,
i″(x) = −2 sen x
Los ceros de i″son:
−2 sen x =0 ⇔ x =kπ, k ∈"
i″no tiene discontinuidades, pues sen x es una
función continua en !.
2. Debemos considerar los intervalos:
(kπ, (k +1) π), k ∈"
x (−∞, 0) 0 (0, + ∞)
g″(x) − 0 +
g(x)
"
!
x (−∞, 1) 1 (1, + ∞)h″(x) +
"
∃ −h(x)
!
"
∃"
3. Elaboramos la tabla de curvatura de i:
Por tanto, i es convexa en los intervalos de la forma ((2 k −1) π, 2 kπ) y cóncava en los de la forma
(2 kπ, (2 k +1) π), siendo k ∈".
x ... ((2 k −1)π, 2 kπ) 2 kπ (2kπ, (2 k +1)π) (2k +1)π ...
i″(x) + 0 − 0
i(x)
!
"
e)
Por tanto , por lo que j″e i″tienen
el mismo signo y los mismos ceros. Así, tienen los mismos intervalos de concavidad y convexidad.
f) 1. k(x) =xex , k′(x) =ex(x +1) ,
k″(x) =ex(x +2)
Los ceros de k″son: 0 =ex(x +2) ⇔ x = −2
k″es continua, luego no tiene puntos de
dis-continuidad.
2. Debemos considerar los intervalos (−∞, −2) y (−2, +∞).
3. Elaboramos la tabla de curvatura de k:
Así pues, k es cóncava en (−∞, −2) y convexa en (−2, +∞).
j x″( )= 1i x″( ) 2
j x( ) cos= x− sen x i x( )
= =
π
2
1 2
x (−∞, −2) −2 (−2, +∞)
k″(x) − 0 +
k(x)
"
!
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
7. a) 1. Dominio: D(f) =!, pues f es polinómica.
2. Cortes con los ejes: — Con el eje OX:
— Con el eje OY:
f(0) =03−02−8 ⋅0 =0
3. Signo: Consideramos los intervalos determina-dos por los ceros de f, ya que no tiene discon-tinuidades al ser f polinómica, y vemos cuál es su signo en cada uno de ellos:
0 8
1 33
2 3 37
1 33
2 2 37
3 2
= = − − ⇔
⇔ = + =
= − = −
f x x x x
x
x y
( )
,
, xx=0
x (−∞, −2,37) −2,37 (−2,37, 0)
f(x) − 0 +
x 0 (0, 3,37) 3,37 (3,37, +∞)
221
12. Aplicaciones de las derivadas
4. Simetrías y periodicidad: No tiene, pues:
f(−x) ≠f(x) ≠ −f(−x)
5. Asíntotas y ramas infinitas:
f no tiene asíntotas pues es una función poli-nómica no constante ni lineal.
f tiene ramas infinitas en +∞y −∞, pues:
lim ( ) , lim ( )
x→+∞f x = +∞ x→−∞f x = −∞
6. Monotonía y extremos relativos:
Calculamos f′y estudiamos su signo en los
in-tervalos determinados por sus ceros y puntos de discontinuidad:
f′(x) =3 x2−2 x −8
f′(x) =0 ⇔ x =2 y
Como f′no tiene discontinuidades por ser
po-linómica consideramos la tabla:
x = −4
3
Así, f es estrictamente creciente en
y en (2, +∞), y es estrictamente decreciente en
7. Curvatura y puntos de inflexión:
f″(x) =6 x −2
f″(x) =0 ⇔
Como f″no tiene discontinuidades por ser
po-linómica los intervalos que tenemos que con-siderar son los que definen sus ceros, es decir:
Luego f es cóncava en el intervalo
es convexa en el intervalo y tiene
un punto de inflexión en .
Con esta información, podemos elaborar su gráfica:
x=1
3 1
3,+∞
−∞
,1,
3
x=1
3
−
43,2.
−∞ −
, 4
3
b) 1. Dominio: D(g) =!, pues g es polinómica.
2. Cortes con los ejes: — Con el eje OX:
0 =g(x) =x3−3 x +2 ⇔
⇔ x =1 y x = −2
— Con el eje OY:
g(0) =03−3 ⋅0 +2 =2
3. Signo: Como g es polinómica consideramos los intervalos dados por los ceros de g y calcula-mos su signo en éstos:
4. Simetrías y periodicidad: No tiene, pues:
g(−x) ≠g(x) ≠ −g(−x)
5. Asíntotas y ramas infinitas:
g no tiene asíntotas por ser polinómica de gra-do mayor que 1.
g tiene ramas infinitas en +∞y −∞, pues:
6. Monotonía y extremos relativos:
Calculamos g′y estudiamos su signo en los
in-tervalos dados por sus ceros ya que no tiene discontinuidades:
g′(x) =3 x2−3
g′(x) =0 ⇔ x = −1 y x =1
lim ( ) , lim ( )
x→+∞g x = +∞ x→−∞g x = −∞
x 2 (2, +∞)
f′(x) + 0 − 0 +
f(x) M m
−
43,2
−4
3
−∞ −
, 4
3
→
→ →
f(x) = x3 – x2 – 8x
Y
X
5
–5 5
–5
–10 x
f″(x) − 0 +
f(x) PI
1
3,+∞
1 3
−∞
,1,
3
!
"
x (−∞, −2) −2 (−2, 1) 1 (1, +∞)g(x) − 0 + 0 +
12. Aplicaciones de las derivadas
4. Simetrías y periodicidad: No tiene, pues:
f(−x) ≠ f(x) ≠− f( −x)
5. Asíntotas y ramas infinitas:
f no tiene asíntotas
pues es una función poli- nómica no constante ni lineal.
f tiene ramas infinitas en +∞ y −∞, pues:
lim () ,
lim
() f x x f x
x →−∞ ∞ =+ →+∞
=− ∞
6. Monotonía y extremos relativos:
Calculamos f ′ y estudiamos su signo
en los
in- y puntos sus ceros determinados por tervalos
de discontinuidad:
f ′(x) = 3 x 2 − 2 x − 8
f ′(x) = 0 ⇔ x = 2 y
Como f ′ no tiene discontinuidades por
ser po- linómica consideramos la tabla:
x
=−
4 3
Así, f es estrictamente creciente en
y en (2, +∞ ), y es estrictamente decreciente en
7. Curvatura y puntos de inflexión: f
″(x) = 6 x − 2
f ″(x) = 0 ⇔
Como f ″ no tiene discontinuidades por
ser po- que con- que tenemos intervalos linómica los
siderar son los que definen sus
ceros, es decir:
Luego f es cóncava en el
intervalo
es convexa en el
intervalo y tiene
un punto de inflexión en .
Con esta información, podemos
elaborar su gráfica:
x
=
1 3
1 3 ,
+∞
−∞
,
, 1 3
x
=
1 3
−
4 3 2 , .
−∞−
4 3 ,
b) 1. Dominio:D(g)
= !,p ues g es p olin óm ica .
2. Cor tes con los eje s:
—C on el ej e O X:
0 = g(x) = x 3 − 3 x + 2 ⇔
⇔ x = 1 y x =− 2
—C on el ej e O Y:
g(0) = 0 3 − 3 ⋅ 0 + 2 = 2
3. Signo: Como
g es polinómica consideramos
los y calcula- de g los ceros dados por intervalos
mos su signo en
éstos:
4. Simetrías y periodicidad: No tiene, pues:
g(−x) ≠ g(x) ≠− g( −x)
5. Asíntotas y ramas infinitas:
g no tiene asíntotas
por ser polinómica de
gra- do mayor que 1.
g tiene ramas infinitas en +∞ y −∞, pues:
6. Monotonía y extremos relativos:
Calculamos g ′ y estudiamos su signo
en los
in-tervalos dados por
sus ceros ya que
no tiene discontinuidades:
g′ (x) = 3 x 2 − 3
g′ (x) = 0 ⇔ x =− 1 y x =
1
lim () ,
lim
() gx →−∞ x ∞ =+ gx →+∞ x
=− ∞
x 2
(2, +∞ )
f ′(x) +
0 −
0 +
f(x) M
m
−
4 3
2 , 4 3 − −∞−
4 3 ,
→ →
→
f(x) = x 3 – x 2 – 8x
Y X
5 – 5 5
– 5
– 1 0
x f ″(x) −
0 +
f(x) PI
1 3 ,
+∞
1 3 −∞
,
, 1 3
!
"
x ( −∞, −2) −2 (−2, 1)
1 (1, +∞ )
g(x) − 0
222
12. Aplicaciones de las derivadas
Así, consideramos la siguiente tabla:
Por lo tanto g
es estrictamente
creciente en ), estrictamente (1, +∞ (−∞, −1) y
decreciente en x un máximo y presenta −1, 1) en (
=−
1 y un 1. mínimo en x =
7. Curvatura y puntos de inflexión: Calculamos g ″ y estudiamos su signo
en los
in- no tiene ya que sus ceros dados por tervalos
discontinuidades por ser polinómica:
g″(x) = 6 x ⇒ g″(x) = 0 ⇔ x = 0
Así, resulta la siguiente tabla:
Por lo tanto, g
es cóncava en (
−∞, 0),
convexa un punto 0 presenta = en x ) y +∞ en (0,
de in- flexión.
Así, podemos representar la gráfica de g:
c) 1. Dominio:
D(h) = {x ∈
!
!
1 − x ≠ 0} =!
− {1}
2. Cortes con los ejes:
—C on el ej e O X:
h(x) = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0
—C on el ej e O Y: h()0 0
1 0 0
2 = − =
g(x) = x 3 – 3x + 2
Y –
1
X 3 –
–
1
1
2
3
4 1 2 3
3. Signo: Consideramos
los inter
valos determina- 0 y = cero, x su único dos por
su único
punto 1. de discontinuidad, x =
4. Simetrías y periodicidad: No tiene, pues:
h(−x) ≠ h(x) ≠− h(−x)
5. Asíntotas y ramas infinitas:
•la recta x
= 1 es una asíntota vertical, pues:
•h no tie ne así nto tas h ori zon tal es, pu es:
•A. O:
Así, y =− x − 1 es asíntota oblicua
de h,
por lados. los dos
6. Monotonía y extremos relativos:
Calculamos h ′ y consideramos los inter
valos s: ade uid tin con dis s y ero us c or s os p dad
h ′(x) = 0 ⇔ x = 0 y x = 2
h′ tiene una discontinuidad en x =
1 Así, consideramos la siguiente tabla:
′ = −
′ =
= − − −
− =
h x x x
x x x
x
() ( ) ( )
( )
2 2
2
1
2 1 1
1 2 2
1
2 2
x x
x
−
− (
)
m hx
x x
x
x x b x
x
= =
− =−
= →±∞ →±∞
→±∞
lim () lim
lim
2 2
1
( ( () ( ))
lim lim
hx x
x x
x x
x
−− =
= −
+
=
=
→±∞
2
1
→ →±∞ →±∞
+ −
− =
= −
=− lim
x x x
x x
x x
2 2
1 1 1
lim () ,
lim
() hx →−∞ x ∞ =− hx →+∞ x
=+ ∞
lim
() hx → x
=∞ 1
x (−∞, −1)
−1 (−1, 1)
1 (1, +∞ )
g′(x) +
0 − 0 +
g(x) M
m → →
→
x ( −∞, 0 ) 0 (0, 1) 1 (1, +∞ )
h(x) +
0 + " ∃ −
x (−∞, 0)
0 (0, 1)
1 (1, 2)
2 (2, +∞
)
h ′(x) −
0 +
" ∃ +
0 −
h(x) m
" ∃
M → →
→ →
x (−∞, 0)
0 (0, +∞
)
g″(x) −
0 +
g(x) PI
"
!
222
12. Aplicaciones de las derivadas
Así, consideramos la siguiente tabla:
Por lo tanto g es estrictamente creciente en (−∞, −1) y (1, +∞), estrictamente decreciente en (−1, 1) y presenta un máximo en x = −1 y un
mínimo en x =1.
7. Curvatura y puntos de inflexión:
Calculamos g″y estudiamos su signo en los
in-tervalos dados por sus ceros ya que no tiene discontinuidades por ser polinómica:
g″(x) =6 x ⇒ g″(x) =0 ⇔ x = 0
Así, resulta la siguiente tabla:
Por lo tanto, g es cóncava en (−∞, 0), convexa
en (0, +∞) y en x =0 presenta un punto de
in-flexión.
Así, podemos representar la gráfica de g:
c) 1. Dominio:
D(h) ={x ∈!
!
1 −x ≠0} =!−{1}2. Cortes con los ejes: — Con el eje OX:
h(x) =0 ⇔ x2=0 ⇔ x =0
— Con el eje OY: h( )0 0
1 0 0
2
=
− =
g(x) = x3 – 3x + 2
Y
–1 X
–3
–1 1 2 3 4
1 2 3
3. Signo: Consideramos los intervalos
determina-dos por su único cero, x =0 y su único punto
de discontinuidad, x =1.
4. Simetrías y periodicidad: No tiene, pues:
h(−x) ≠h(x) ≠ −h(−x)
5. Asíntotas y ramas infinitas:
• la recta x =1 es una asíntota vertical, pues:
• h no tiene asíntotas horizontales, pues:
• A.O:
Así, y = −x −1 es asíntota oblicua de h, por
los dos lados.
6. Monotonía y extremos relativos:
Calculamos h′y consideramos los intervalos
dados por sus ceros y discontinuidades:
h′(x) =0 ⇔ x =0 y x =2
h′tiene una discontinuidad en x =1
Así, consideramos la siguiente tabla:
′ =
−
′ =
= − − −
− =
h x x
x
x x x
x ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
1
2 1 1
1
22 1
2 2 x x
x
− −
( )
m h x
x
x x x b
x x
x
= =
− = −
=
→±∞ →±∞
→±∞
lim ( ) lim
lim
2
2 1
(( ( ) ( ))
lim
lim
h x x
x
x x
x
x
− − =
=
− +
=
=
→±∞ 2 1
→ →±∞
→±∞
+ −
− =
=
− = −
lim
x x x
x x
x x
2 2
1
1 1
lim ( ) , lim ( )
x→+∞h x = −∞ x→−∞h x = +∞
lim ( )
x→1h x = ∞
x (−∞, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, +∞)
g′(x) + 0 − 0 +
g(x) → M → m → x (−∞, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
h(x) + 0 + "∃ −
x (−∞, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, +∞)
h′(x) − 0 + "∃ + 0 −
h(x) → m → "∃ → M →
x (−∞, 0) 0 (0, +∞)
g″(x) − 0 +
223
12. Aplicaciones de las derivadas
4. TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
8. Veamos si f(x) =x3−x2satisface las tres hipótesis del
teorema de Rolle en [0, 1]:
• f continua en [0,1]: se verifica, pues f es polinómica. • f derivable en (0,1): se verifica, pues f es polinómica.
• f(0) =f(1): f(0) =03−02=0 =13−12=f(1), luego
también se verifica.
Así, h es estrictamente creciente en (0,1) y (1, 2) y estrictamente decreciente en (−∞, 0) y
(2, + ∞). Además, presenta en x = 0 un
mínimo relativo y en x =2 un máximo relativo.
7. Curvatura y puntos de inflexión:
Calculamos h″, sus ceros y discontinuidades y a partir de estos puntos determinamos los in-tervalos donde estudiamos el signo de h″.
Como h″no tiene ceros y tiene una
disconti-nuidad en x =1, resultan los siguientes
inter-valos:
Así, h es convexa en (−∞, 1) y cóncava en (1, +∞). Por lo tanto, la representación gráfica de h es:
h x x x
x
x x x x
″( )
( )
( )( ) ( ) (
= −
− =
= − − − − −
2 1
2 2 1 2 2 1
2 2
2 2 xx
x
x
)( )
( )
( )
−
− =
= −
1 1
2 1
4
3
x (−∞, 1) 1 (1, +∞)
h″(x) + "∃ −
h(x)
!
"∃"
h(x) =
X
5
Y x2
1 – x
10
5
–5
–5
Por tanto, f verifica las hipótesis del teorema de Rolle, luego cumplirá la tesis de dicho teorema:
∃c ∈(0, 1) ! f′(c) =0
Para calcular el valor de c, derivamos f e igualamos a 0 la derivada:
f′(x) =3 x2−2 x , f′(x) =0 ⇔ x =0 o
Como 0∉(0, 1), el valor de c es
— Puesto que f cumple las hipótesis del teorema de Rolle, también cumplirá las del teorema de La-grange, pues son las dos primeras del teorema de Rolle.
Por tanto, se satisfará la tesis:
Observamos que es la misma condición que la ob-tenida en el teorema de Rolle, luego ya hemos cal-culado el valor de c:
(Esto se debe a que el teorema de Rolle es el caso particular del teorema de Lagrange en el que f
ve-rifica f(a) =f(b).)
9. a)
Para eliminar la indeterminación, aplicamos la re-gla de L’Hôpital:
b)
Aplicamos la regla de L’Hôpital:
= − + − −
⋅ − +
→
lim ( ) cos ( )
( ) l
x
sen x x x
x
x sen x
1
1 1 1
1 1 nnx⋅cos(x− )=
= + −
+ =
1
0 1 1 0 0
0 0 lim
ln ( )
x
x
x sen x
Efectuamos
→ = − −
= ∞ − ∞
1
1 1 lla diferencia x
x sen x
xlim ln ( )
:
→ = − −
1
1
1 ==
= ⋅ − −
⋅ − =
→
lim ( ) ln
ln ( )
x
x sen x x
x sen x
1
1 1
0 00
lim lim
x x
x x
x
e x
e x
e x
→ →
−
− =
+ 0
3
4 0
3
3 4
3 3 3
4 cos
cos
sen
ee4x 4 4x
3 0 4 0
3 4
+ =
= +
+ =
sen lim
x x x
e x
e x
→ −
− = −− =
0 3 4
3 4
1 1 1 1
0 0 cos
cos
c=2
3.
∃ ∈
′ = −
− = −− =
c
f c f f
( , )
( ) ( ) ( )
0 1
1 0
1 0
0 0
1 0 0
c =2
3.
x=2
3
12. Aplicaciones de las derivadas
4
.
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
8. Veamos si f(x)
= x 3 − x 2 satisface las
tres hipótesis
del teorema de Rolle en [0, 1]:
•f con tin ua en [0 ,1] : s e v eri fic a, p ues f e s p olin óm ica .
•f derivable en
(0,1): se verifica, pues
f es polinómica.
•f(0) = f(1): f(0) = 0 3 − 0 2 = 0 = 1 3 − 1 2 =
f(1), luego también se verifica.
Así, h es estrictamente creciente en
(0,1) y (−∞, 0) decreciente en y estrictamente (1, 2)
y 0 un = x presenta en ). Además, +∞ (2,
mínimo relativo y en
x = 2 un máximo relativo.
7. Curvatura y puntos de inflexión: Calculamos h ″, sus ceros y
discontinuidades y puntos determinamos de estos a partir
los in- tervalos donde estudiamos el signo de h
″.
Como h ″ no tiene ceros y
tiene una
disconti- los siguientes 1, resultan = x nuidad en
inter- valos:
Así, h es convexa en (
−∞, 1) y cóncava en (1,
+∞ ).
Por lo tanto, la representación gráfica de h es:
h x x x
x
x x x x
″
() ( )
( )( ) ( )(
= −
− =
= − − − − −
2 1
2 2 1 2
21
2 2
2 2
x x
x x
)( )
( )
( )
−
− =
= −
1
1 2
1
4 3
x (−∞, 1)
1 (1,
+∞ )
h″(x) +
" ∃ −
h(x) "
∃
"
!
h(x) =
X 5
Y x
2 1 – x 1
0
5
–
5
–
5
Por tanto, f verifica las hipótesis
del teorema de Rolle, luego cumplirá la tesis de dicho teorema:
∃ c ∈ (0, 1) ! f ′(c) = 0
Para calcular el valor
de c, derivamos f e
igualamos a
0 la derivada:
f ′(x) = 3 x 2 − 2 x , f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 o
Como 0 ∉ (0, 1), el valor de c es
—Puesto que f
cumple las hipótesis del
teorema de del teorema cumplirá las Rolle, también
de La- del teorema dos primeras son las grange, pues
de Rolle.
Por tanto, se satisfará la tesis:
Observamos que es
la misma condición que
la ob- hemos cal- luego ya de Rolle, el teorema tenida en
culado el valor de c:
(Esto se debe a que el teorema de
Rolle es
el caso el que Lagrange en teorema de particular del
f ve- f(b).) rifica f(a) =
9. a) Para eliminar la indeterminación,
aplicamos la
re- gla de L’Hôpital:
b) Aplicamos la regla de L’Hôpital:
= −
+ −
−
⋅ −
+ →
lim ( ) cos ( )
( ) l
x sen x x x x
x sen x
1 1
1 1
1 1
n n cos ( ) − x ⋅ x
=
= + −
+ =
1
0 1 1
0 0 0 0
lim ln (
) x
x x sen x
Efec tua mos
→
= − −
= ∞−
∞ 1 1 1
l la dife ren cia
x x sen
x x
lim ln (
)
:
→
= − −
1
1 1
= =
= ⋅ − −
⋅ −
= → lim
( ) ln
ln (
) x
x sen x x
x sen
x 1
1 1 0 0 0
lim
lim x
x x x
x x e
e x
e x
→ →
− − =
+
0 3 4 0
3 3
4 3
3 3
4
cos cos sen
e e x 4 4 x 4
3 0
4 0 3 4
+ =
= + + =
sen
lim x x x e x
e
x →
− − =
− −
= 0
3 4 3
4 1 1
1 1 0 0
cos cos
c
=
2 3 .
∃ ∈
′ = − − = − − =
c
f c f f (, )
() () () 01
1 0
1 0 0 0
1 0 0
c
=
2 3 .
x
=
