IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

UNIDADES DE LA CANTIDAD DE

MOVIMIENTO

UNIDADES

MKS – S.I. 𝑘𝑔

𝑚 𝑠

CGS 𝑔

𝑐𝑚 𝑠

INGLÉS 𝑙𝑏

IMPULSO

𝐼 = 𝐹 ∙ ∆𝑡

𝐼 = 𝑚 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑡

𝐼 = 𝑚 ∙ ∆ 𝑣

𝐼 = 𝑚 ∙ ( 𝑣_𝑓 − 𝑣_𝑖)

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE

MOVIMIENTO

Si sobre un sistema de partículas no se ejerce una fuerza resultante externa, la cantidad de movimiento del mismo no variará o se conservará.

COLISIONES

COLISIONES

INELÁSTICAS

NO se conserva la energía cinética

PERFECTAMENTE INELÁSTICAS Después de la colisión cuerpos quedan unidos con velocidad

común

ELÁSTICAS

SI se conserva la energía cinética.

CASO 1 - PERFECTAMENTE INELÁSTICA

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂ 𝑣₁

𝑣₂ = 0

CASO 1- PERFECTAMENTE INELÁSTICA

𝑝_{𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠} = 𝑝_{𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠}

𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = (𝑚₁ + 𝑚₂) ∙ 𝑣_𝑐

𝑣_𝑐 = 𝑚1𝑣1

𝑚₁ + 𝑚₂

𝑚₂ 𝑚₁

CASO 2 - PERFECTAMENTE INELÁSTICA

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂

𝑣₁ 𝑣₂

𝑣_𝐶

CASO 2 - PERFECTAMENTE INELÁSTICA

𝑝_{𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠} = 𝑝_{𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠}

𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = (𝑚₁ + 𝑚₂) ∙ 𝑣_𝑐

𝑣_𝑐 = 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2

𝑚₁ + 𝑚₂ ; 𝑣2 (−)

𝑆𝑖 𝑣_𝑐 + ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

CASO 3 - COLISIÓN ELÁSTICA

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂ 𝑣₁

𝑣₂ = 0

CASO 3 - COLISIÓN ELÁSTICA

𝑝_{𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠} = 𝑝_{𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠}

𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = 𝑚₁𝑢₁ + 𝑚₂𝑢₂ 𝑚₁𝑣₁ − 𝑚₁𝑢₁ = 𝑚₂𝑢₂

𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) = 𝑚₂𝑢₂ (1) 𝐸_{𝑐 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠} = 𝐸_{𝑐 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠} 𝑚₁𝑣₁2

2 +

𝑚₂𝑣₂2 2 =

𝑚₁𝑢₁2 2 +

𝑚₂𝑢₂2 2

𝑚₁𝑣₁2 = 𝑚₁𝑢₁2 + 𝑚₂𝑢₂2 𝑚₁𝑣₁2 − 𝑚₁𝑢₁2 = 𝑚₂𝑢₂2 𝑚₁(𝑣₁2− 𝑢₁2) = 𝑚₂𝑢₂2

𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) (𝑣₁+𝑢₁) = 𝑚₂𝑢₂2 (2)

Dividir (2) entre (1):

𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) (𝑣₁+𝑢₁) 𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) =

𝑚₂𝑢₂2 𝑚₂𝑢₂ 𝑣₁ + 𝑢₁ = 𝑢₂ ∴ 𝑢₁ = 𝑢₂ − 𝑣₁ (3)

Reemplazar 𝑢₁ (3) en (1):

𝑚₁𝑣₁ − 𝑚₁(𝑢₂ − 𝑣₁) = 𝑚₂𝑢₂ 𝑚₁𝑣₁ − 𝑚₁𝑢₂ + 𝑚₁𝑣₁ = 𝑚₂𝑢₂ 𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₁𝑣₁ = 𝑚₁𝑢₂ + 𝑚₂𝑢₂

2𝑚₁𝑣₁ = 𝑢₂(𝑚₁ + 𝑚₂) 2𝑚₁𝑣₁

𝑚₁ + 𝑚₂ = 𝑢2

Reemplazar 𝑢₂ en (3):

CASO 4 - COLISIÓN ELÁSTICA

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂

𝑚₁ 𝑚₂

𝑣₁ 𝑣₂

CASO 4 - COLISIÓN ELÁSTICA

𝑝_{𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠} = 𝑝_{𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠}

𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = 𝑚₁𝑢₁ + 𝑚₂𝑢₂ 𝑚₁𝑣₁ − 𝑚₁𝑢₁ = 𝑚₂𝑢₂ − 𝑚₂𝑣₂ 𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) = 𝑚₂(𝑢₂ − 𝑣₂) (1)

𝐸_{𝑐 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠} = 𝐸_{𝑐 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠} 𝑚₁𝑣₁2

2 +

𝑚₂𝑣₂2 2 =

𝑚₁𝑢₁2 2 +

𝑚₂𝑢₂2 2

𝑚₁𝑣₁2 + 𝑚₂𝑣₂2 = 𝑚₁𝑢₁2 + 𝑚₂𝑢₂2 𝑚₁𝑣₁2 − 𝑚₁𝑢₁2 = 𝑚₂𝑢₂2 − 𝑚₂𝑣₂2

𝑚₁(𝑣₁2− 𝑢₁2) = 𝑚₂(𝑢₂2− 𝑣₂2)

𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) (𝑣₁+𝑢₁) = 𝑚₂(𝑢₂−𝑣₂) (𝑢₂+𝑣₂) (2)

Dividir (2) entre (1):

𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) (𝑣₁+𝑢₁) 𝑚₁(𝑣₁−𝑢₁) =

𝑚₂(𝑢₂−𝑣₂) (𝑢₂+𝑣₂) 𝑚₂(𝑢₂ − 𝑣₂)

𝑣₁ + 𝑢₁ = 𝑢₂ + 𝑣₂ ∴ 𝑢₁ = 𝑢₂ + 𝑣₂ − 𝑣₁ (3)

Reemplazar 𝑢₁ (3) en (1):

𝑚₁𝑣₁ − 𝑚₁(𝑢₂ + 𝑣₂ − 𝑣₁) = 𝑚₂𝑢₂ − 𝑚₂𝑣₂ 𝑚₁𝑣₁ − 𝑚₁𝑢₂ − 𝑚₁𝑣₂ + 𝑚₁𝑣₁ = 𝑚₂𝑢₂ − 𝑚₂𝑣₂ 𝑚₁𝑣₁ − 𝑚₁𝑣₂ + 𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = 𝑚₁𝑢₂ + 𝑚₂𝑢₂

2𝑚₁𝑣₁ − 𝑣₂(𝑚₁ − 𝑚₂) = 𝑢₂(𝑚₁ + 𝑚₂)

2𝑚₁𝑣₁ − 𝑣₂(𝑚₁ − 𝑚₂)

𝑚₁ + 𝑚₂ = 𝑢2

Reemplazar 𝑢₂ en (3):

𝑢₁ = (𝑚1−𝑚2)𝑣1 − 2𝑚1𝑣2 𝑚₁ + 𝑚₂

Nótese que si el bloque 𝑚2 está en

reposo antes de la colisión (𝑣2 = 0),

entonces las expresiones para 𝑢1 y

CASO 5 – COLISIÓN 2D

𝜃_{1𝑖 𝜃1𝑓}

𝜃_2𝑓 𝜃_2𝑖

𝑣_1𝑖

𝑣_2𝑖

𝑣_1𝑓

𝑣_2𝑓

𝑦

CASO 5 – COLISIÓN 2D

𝐸𝑛 𝑥:

𝑃_𝑖𝑥 = 𝑃_𝑓𝑥

𝑚₁𝑣_1𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 + 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 = 𝑚₁𝑣_1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑓 + 𝑚₂𝑣_2𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑓

𝐸𝑛 𝑦:

𝑃_𝑖𝑦 = 𝑃_𝑓𝑦

𝑚₁𝑣_1𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 + 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 = 𝑚₁𝑣_1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑓 + 𝑚₂𝑣_2𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑓

𝑚₁𝑣_1𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 + 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 = 𝑃_𝑓𝑥 (1) 𝑚₁𝑣_1𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 + 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 = 𝑃_𝑓𝑦 (2)

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑣_2𝑖 1 𝑦 𝑣_2𝑖 2 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟

𝑃_𝑓𝑥

CASO 5 – COLISIÓN 2D

𝑃_𝑓𝑥 − 𝑚₁𝑣_1𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 =

𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₁𝑣_1𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖

𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 𝑃_𝑓𝑥 − 𝑚₁𝑣_1𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 = 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖(𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₁𝑣_1𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖)

𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑃_𝑓𝑥 − 𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑚₁𝑣_1𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 = 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑚₁𝑣_1𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑚₁𝑣_1𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 − 𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑚₁𝑣_1𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 = 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑃_𝑓𝑥 𝑣_1𝑖 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 − 𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 = 𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑃_𝑓𝑥

𝑣_1𝑖 = 𝑚2𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑖𝑃𝑓𝑦 − 𝑚2𝑠𝑒𝑛𝜃2𝑖𝑃𝑓𝑥

𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 − 𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖

𝑣_1𝑖 = 𝑚2(𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑖𝑃𝑓𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝜃2𝑖𝑃𝑓𝑥)

𝑚₂𝑚₁(𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖)

𝑣_1𝑖 = 𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑖𝑃𝑓𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝜃2𝑖𝑃𝑓𝑥

CASO 5 – COLISIÓN 2D

𝑃_𝑓𝑥 − 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖 =

𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖

𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖 𝑃_𝑓𝑥 − 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 = 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖(𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₂𝑣_2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖)

𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑃_𝑓𝑥 − 𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑚₂𝑣_2𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 = 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑚₂𝑣_2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑚₂𝑣_2𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 − 𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑚₂𝑣_2𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 = 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑃_𝑓𝑥 𝑣_2𝑖 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 − 𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖 = 𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑃_𝑓𝑦 − 𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑃_𝑓𝑥

𝑣_2𝑖 = 𝑚1𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑖𝑃𝑓𝑦 − 𝑚1𝑠𝑒𝑛𝜃1𝑖𝑃𝑓𝑥

𝑚₁𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑚₂𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 − 𝑚₁𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑚₂𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖

𝑣_2𝑖 = 𝑚1(𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑖𝑃𝑓𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝜃1𝑖𝑃𝑓𝑥)

𝑚₁𝑚₂(𝑐𝑜𝑠𝜃_1𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃_2𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝜃_1𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃_2𝑖)

𝑣_2𝑖 = 𝑐𝑜𝑠𝜃1𝑖𝑃𝑓𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝜃1𝑖𝑃𝑓𝑥

EJERCICIO 1

Un cuerpo de masa 𝑚₁ = 40𝑔 se mueve hacia

la derecha con una rapidez 𝑣₁ = 90𝑐𝑚_𝑠 y otro

cuerpo de masa 𝑚₂ = 140𝑔 se mueve hacia la

izquierda con una rapidez 𝑣₂ = 10𝑐𝑚_𝑠 . Si los

EJERCICIO 2

Un pez de 6 kg está nadando a 0,3 m/s hacia la derecha. Se traga otro pez de 0,3 kg que nada

hacia a el (hacia la

izquierda) a 2 m/s.

EJERCICIO 3

EJERCICIO 4

EJERCICIO 5

Un arma de 3 kg dispara una bala de 2 x 10-3 _kg

con una rapidez de 480 m/s. ¿Cuál es la

EJERCICIO 6

EJERCICIO 7

ℎ

𝑚₂ 𝑚₁

Se dispara un proyectil de 5g, con una rapidez de 450 m/s, contra un péndulo en reposo que tiene una masa de 800 g. Si los cuerpos quedan unidos después de la interacción, ¿hasta que altura oscilará el péndulo?

EJERCICIO 8

ℎ

𝑚₂ 𝑚₁

Una bala de 10 g se mueve hacia un péndulo que se encuentra en reposo, el cual tiene una masa de 800g. Si la bala queda dentro de la masa del péndulo y este sube hasta una altura de 50 cm, calcular la velocidad de la bala antes de entrar al péndulo.

EJERCICIO 9

Tres bloques de masas iguales están alineados sobre una mesa sin fricción. El bloque 1 avanza con velocidad constante

𝑉 y choca inelásticamente contra el bloque 2, quedando pegado a él. Estos dos bloques chocarán inelásticamente contra el tercero que queda pegado a los anteriores. La velocidad del conjunto final es igual a:

A. 𝑉

EJERCICIO 10

Si en la situación anterior se tuviesen n bloques y chocasen sucesiva e inelásticamente en igual forma, la velocidad del conjunto final formado por los n bloques, será igual a:

A. 𝑉

B. _𝑛+1𝑛𝑉 C. 𝑛𝑉

EJERCICIO 11

Una bola roja viaja a la derecha con rapidez de 5m/s y colisiona elásticamente con una bola negra de igual masa que viaja a la izquierda con el doble de rapidez. Si después de la colisión la bola roja se desplaza a la izquierda y la negra a la derecha, determine:

a) La velocidad de cada bola después de la colisión.

b) La cantidad de movimiento de la bola negra después de la colisión.

EJERCICIO 12