CAP´ITULO
1
Acerca de los N´
umeros Naturales, los Enteros no negativos y las
Fracciones
En ´este cap´ıtulo se pretende repasar y afianzar los conocimientos b´asicos sobre las opera-ciones aritm´eticas con n´umeros naturales, enteros no negativos y las fracciones, adquiridos por los estudiantes en la educaci´on media.
1.1 N´
umeros Naturales
Los n´umeros 1, 2, 3, 4, 5, . . ., es decir, aquellos n´umeros sencillos que surgieron del proceso natural de contar y que se utilizan en forma habitual y desde siempre en muchas actividades de la vida, se denominan n´umeros naturales.
Representaremos el conjunto de los n´umeros naturales con el s´ımbolo N y escribiremos N={1, 2, 3, . . .}. Sin embargo, la construcci´on formal del conjunto de los n´umeros natu-rales es bastante elaborada. Una manera de hacerlo, es a trav´es de los axiomas de Peano, construcci´on que puede leerse en el agradable libro “el concepto de n´umero,” del profesor Cesar Trejo.
EnNse puede apreciar que:
Tiene un primer elemento, el uno (1).
Cada elemento tiene un siguiente. (El siguiente de 1 es 2, el siguiente de 200 es 201,. . ., el siguiente denesn+ 1, lo cual significa queNtiene infinitos elementos).
1 no es el siguiente de ning´un otro n´umero.
No existe un ´ultimo elemento.
Hay un orden natural entre ellos: 1 < 2 <3 <· · ·, donde el simbolo “<”se lee “menor que”.
Entre los n´umeros naturales distinguiremos:
Los n´umeros pares 2, 4, 6, . . . ,que forman el subconjunto
P ={2, 4, 6, . . . ,2n, . . .}.
Los n´umeros impares 1, 3, 5, . . . ,que forman el subconjunto
I={1, 3, 5, . . . ,2n−1, . . .}.
Se sigue que aes un n´umero par si a = 2n para alg´unn ∈ Ny b es un n´umero impar si
b= 2n−1 para alg´unn∈N. Por lo tanto, podemos escribir
P ={2n|n∈N}
e I={2n−1|n∈N}
En lo que sigue, usaremos el s´ımbolo de la igualdad, “= ”, en el sentido de identidad l´ogica. De esta manera, si a, bycson n´umeros naturales, se cumple:
a=a, para cada n´umero naturala.
Sia=b, entonces b=a.
Sia=byb=c, entoncesa=c.
1.2 Operaciones en
N
1.2.1 Adici´on
La adici´on enNes una operaci´on binaria entre dos n´umeros naturalesaybllamados suman-dos cuyo resultado es otro n´umero natural, denominado suma.
En s´ımbolos,
+ :N×N−→N
(a, b)7−→+(a, b) =a+b=:s
1.2.1.1 Propiedades de la Adici´on
La adici´on enNtiene las siguientes propiedades:
Conmutativa: Si a, bson n´umeros naturales,a+b=b+a.
Asociativa: Sia, b, cson n´umeros naturales,a+ (b+c) = (a+b) +c.
Uniformidad: Si a, b, c son n´umeros naturales y a = b, entonces
a+c=b+c.
Observaci´on 1:
Como a+ (b+c) = (a+b) +c, se escribe a+b+c, omitiendo los par´entesis, para significara+ (b+c) ´o (a+b) +c. Adem´as, cuando la propiedad asociativa de la suma se cumple para tres elementos, tambi´en se cumple para n elementos; as´ı que todas las formas posibles en que los asociemos para sumarlos, producen el mismo resultado y podemos escribir sencillamentea1+a2+· · ·+an para significar cada una de esas sumas. Igualmente, dada una sumaa1+a2+· · ·+an, la propiedad conmutativa de la suma permite cambiar el orden de los sumandos.
Ejercicio 1.
1. Qu´e es 1 + 1, 1 + (1 + 1), 1 + ((1 + 1) + 1)?
2. Sean a, b, c n´umeros naturales. Escriba a+b+c de 6 maneras distintas y muestre que todas son iguales.
3. De cu´antas maneras puede escribir la suma de 4 n´umeros naturalesa, b, cyd, (en ese orden)?
4. Demuestre, justificando:
Si a, b, c∈N,a+ (b+c) = (c+a) +b.
Para cada a∈N, 2 + (a+ 7) = 9 +a.
5. ¿Tiene todo subconjunto de n´umeros naturales un primer elemento? un ´ultimo elemento? Justifique su respuesta.
6. ¿EsA={1,2,3,4}subconjunto de N?
7. Halle todos los subconjuntos deA={1,2,3,4}.
8. Cu´antos subconjuntos tiene N={1,2,3, . . .}?
9. ¿TieneNm´as elementos queP? Qu´eI? compare adem´asP eI
10. Si en N, se define a∗b = a, hallar: 2∗3, 3∗2, 4∗(5∗1), (4∗5)∗1.¿Es ∗
asociativa?¿es conmutativa?
11. Demuestre:
Si a, bson pares, entoncesa+bes par.
Si a, bson impares, entoncesa+bes par.
Si aes par y bimpar, entoncesa+bes impar. 12. Resuelva el siguiente problema.
Una poblaci´on crece en veinte mil doce habitantes con respecto al a˜no anterior. Halle su poblaci´on al final de un decenio, si al comienzo de ´este, la poblaci´on era de un mill´on veinte mil cinco habitantes.
13. Qui´en garantiza que sia=b, entoncesa+ 1 =b+ 1?
1.2.2 Multiplicaci´on
La multiplicaci´on enNes una operaci´on binaria entre dos n´umeros naturalesaybllamados factores cuyo resultado es otro n´umero natural denominado producto. En s´ımbolos,
·:N×N−→N
(a, b)7−→ ·(a, b) =a·b=:p
escribiremosa·bcomo ab.
1.2.2.1 Propiedades de la Multiplicaci´on
La multiplicaci´on enNtiene las siguientes propiedades:
Conmutativa: Sia, bson n´umeros naturales,ab=ba.
Asociativa: Sia, b, c∈N, entoncesa(bc) = (ab)c.
Modulativa: Existe 1∈ N, tales que para todo a ∈N: 1·a=a.
Uniformidad: Sia, b, c∈Nya=b, entoncesac=bc.
Distributiva: [De la multiplicaci´on con respecto a la adici´on]
Sia, b, c∈N, a·(b+c) =a·b+a·c.
Observaci´on 2:
1. La propiedad de uniformidad nos dice que la multiplicaci´on es compatible con la igualdad.
2. La propiedad distributiva, adem´as de distribuir, nos dice que podemos sacar un factor com´un.
ab+ac=a(b+c)
3. La propiedad distributiva se puede generalizar asi:
a·(b1+b2+· · ·+bn) =a·b1+a·b2+· · ·+a·bn)
4. Se pueden hacer consideraciones para la multiplicaci´on de n´umeros naturales similares a las dadas para la adici´on en la observaci´on (1).
Ejercicio 2.
1. ¿Qu´e esa·1? ¿Por qu´e? 2. ¿Qu´e es (x+y)·z? ¿Por qu´e? 3. Demuestre que:
(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd
4. Halle 23×67 de 5 maneras diferentes. 5. Demuestre
El producto de dos n´umeros pares es un n´umero par.
El producto de dos n´umeros impares es un n´umero impar.
El producto de un n´umeros par y un n´umero impar, es un n´umero par.
6. La multiplicaci´on, en N, se interpreta usualmente
como la suma de sumandos iguales; de ´esta manera,
b+b+· · ·+b
| {z }
a veces
se escribea·b.
Por ejemplo,
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 veces 7 = 5·7 = 35 1 + 1 +· · ·+ 1
| {z }
n veces
=nveces 1 =n·1 =n
(u+v) + (u+v) +· · ·+ (u+v)
| {z }
20veces
= 20·(u+v)
con base en lo anterior, escriba en forma abreviada,
8 + 8 + 8 + 8 + 8 =
r+r+r=
(m+n) + (m+n) + (m+n) + (m+n) =
(m+n) + (m+n) +· · ·+ (m+n)
| {z }
p+q veces
=
7. Seana, b∈N. Se definea∗b:=a+b+ 2ab. Halle 2∗3, 2∗(3∗1), (2∗3)∗1, (2∗
3)∗(1∗5).¿Es∗, conmutativa, asociativa? 8. Resuelva los siguientes problemas.
a. Se compran 115 reses a $650 000c|u; mueren 15 y las que quedan se venden a $900 000 cada una; ¿Hubo utilidad?
b. Se compr´o un lote por $83 750 000 y se vendi´o ganando $5 650 300. Por cu´anto se vendi´o?
1.3 Representaci´
on Gr´
afica de los N´
umeros Naturales
Los n´umeros naturales se representan mediante puntos sobre una semirecta que inicia con el n´umero 1 y a la derecha se van colocando los siguientes naturales igualmente espaciados tal como se observa en la siguiente figura,
1.4 Enteros no Negativos (
N
0)Definamos N0 , como
N0:=N∪ {0}={0,1,2,3, . . .}
Este conjunto es el conjunto de enteros no negativos y es obvio que
N⊂N0
Ejercicio 3.
1. ¿Cu´al es el primer elemento deN0?
2. ¿Tiene, cada elemento de N0, un siguiente enN0?
3. ¿Es cero el siguiente de alg´un elemento enN0?
4. ¿Es cero par o impar? Justifique. Extienda el concepto de n´umero par (impar) al conjunto N0.
5. Seg´un el numeral 4, el conjunto de n´umeros pares deN0 es
{ , . . .}
6. Complete: el conjunto de n´umeros pares deN0, P, es:
P ={ | }
y el conjunto de n´umeros impares deN0, I, es:
I={ | }
7. Qu´e significa que la igualdad enN0 sea una relaci´on de equivalencia enN0?
8. Lea la definici´on de la adici´on enNy exti´endala aN0.
9. ¿Qu´e es 0 + 0, 2 + 0, 0 + 4, 0 + 2, . . . , a+ 0, 0 +a?
10. ¿Tiene la adici´on enN0, las mismas propiedades que la adici´on en N? Hay otra?
Cu´al es?
11. Demuestre: Para todoa, b∈N0: a+ (b+ 0) =b+a.
12. Lea la definici´on de la multiplicaci´on enNy exti´endala aN0.
13. Escriba bien las propiedades de la multiplicaci´on enN0.
14. ¿Distribuye la adici´on a la multiplicaci´on enN0?
15. Qu´e es 2·0, 3·, 0·5, . . . , a·0, . . . ,0·a?
16. Demuestre que, para cadaa∈N0: a·0 = 0
17. Se define enN0: a∗b= max{a, b}. Hallar 1∗2, 2∗1, 3∗(2∗3), (4∗0)∗2.
18. Represente gr´aficamente los elementos deN0.
19. Qu´e significa que la adici´on (multiplicaci´on) enN0sea compatible con la relaci´on
1.4.1 Potenciaci´on en N0
Seann∈Nya∈N0. Se definean como sigue:
an=a
·a· · ·a
| {z } n veces
donde aes la base,nel exponente yan la potencia. De este modo,
a1=a es la primera potencia dea a2=a
·a es la segunda potencia dea y se lee “aal cuadrado”
a3=a·a·a es la tercera potencia dea y se lee “aal cubo”
en particular:
01= 0 02= 0
·0 = 0 03= 0
·0·0 = 0
Igualmente, para a ∈ N, se define a0 = 1. Esto significa que por definici´on, 00 no est´a
definido.
Ejemplo 1.1.
3·3·3·3 = 3
4
2
5= 2
·2·2·2·2
(a+b)
1=a+b
(a+b)
2= (a+b)(a+b)
(a+b)(a+b)· · ·(a+b)
| {z }
n veces
= (a+b)n.
6870457
0= 1
1.4.1.1 Propiedades de La Potenciaci´on en N0
a
m·an=am+n
(a·b)
m=am·bm
(a
m)n=amn
En efecto:
a
m·an =a·a· · ·a | {z } m veces
·a·a· · ·a
| {z } n veces
=a·a· · ·a
| {z }
m+n veces
=am+n
(a·b)
m= (ab)(ab)· · ·(ab)
| {z }
m veces
=a·a· · ·a
| {z } m veces
·b·b· · ·b
| {z } m veces
=am·bm
(a
m)n =am
·am
· · ·am
| {z }
n veces
=a
m+m+· · ·+m
| {z }
n veces =anm=amn
Ejercicio 4.
1. Completar:
(a.) a·a3 ·a2=
(b.) (a3
·b2)5=
(c.) 7m
·5m=
(d.) an
·a= (e.) a4
·b0=
(f.) (a3 ·b)0=
(g.) 2(32+ 52) =
(h.) a·am+2=
(i.) 2(3 + 5)2=
(j.) a3(a2b3)4=
2. Completar:
(a.) 4?= 64
(b.) 63=?
(c.) 104=?
(d.) ?2= 0
(e.) ?10= 1
(f.) 272·3·34= 3?
(g.) 343·72= 7?
(h.) 125·8 = (5·2)?
(i.) 1213=?6
3. Hay 5 insectos para un experimento; si por cada insecto despu´es de 1 hora aparecen 5 m´as, ¿Cu´antos habr´an al cabo de 4 horas?
4. Entre recibir diariamente 10 millones de pesos durante un mes o recibir hoy un peso, ma˜nana dos pesos, pasado ma˜nana 4 pesos y asi sucesivamente para ir duplicando la cantidad del d´ıa anterior durante un mes, qu´e alternativa es mejor?
5. Paraa∈N0yn∈Nse definea∗n=an. ¿Es∗, asociativa, conmutativa?
¿Ser´a que (a∗b)∗n= (a∗n) + (b∗n)?
6. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera
(a.) Sia2 es par, entoncesaes par.
(b.) Sib2es impar, entonces bes impar.
(c.) n(n+ 1) es par.
1.4.2 Relaciones Entre Elementos de N0
1.4.2.1 Orden en N0
Dadosm, n∈N0, se dice que m≤n si existep∈N0tal que m+p=n.
Ejemplo 1.2.
2≤7 ya que existe 5∈N0tal que 2 + 5 = 7 1≤1 ya que existe 0∈N0tal que 1 + 0 = 1 La relaci´on≤define un orden enN0, esto es:
La relaci´on≤es reflexiva. Para cadam∈N0, m≤m.
En efecto: Sim∈N0,m≤m, puesto que existe 0∈N0 tal quem+ 0 =m.
La relaci´on≤es antisim´etrica. Sim, n∈N0 cumplenm≤nyn≤m, entoncesm=n. En efecto, sim≤nyn≤m, existenp, q∈N0tales quem+p=nyn+q=m. Luego,
m=n+q= (m+p) +q=m+ (p+q).
Por lo tanto, p+q= 0 y en consecuenciap=q= 0, lo cual implica,m=n.
La relaci´on ≤ es transitiva . Si m, n, r ∈ N0 son tales que m ≤ n y n ≤r, entonces
m≤r.
En efecto: Sim≤nyn≤r, entonces existenp, q ∈N0 tales quem+p=nyn+q=r,
por lo tanto
r=n+q= (m+p) +q=m+ (p+q)
dondep+q∈N0, luegom≤r.
Como es usual, definimos m < n si m≤n ym 6=n. Por ejemplo, 2<3 ya que 2≤3 y 26= 3 y es claro que sia < byb < c, entoncesa < c.
1.4.2.2 Ley de Tricotom´ıa
Dadosm, n∈N0, una y s´olo una de las siguientes afirmaciones es cierta:
m < n, m=n ´o n < m
Obs´ervese que la adici´on y la multiplicaci´on son compatibles con las relaciones ≤y < ya que param, n∈N0 yp∈N, se tiene
Sim≤nentonces m+p≤n+p.
Sim < nentonces m+p < n+p.
Si m≤nentoncesmp≤np.
Ejercicio 5.
1. Justifique:
(a.) 2<3 (b.) 5≤5 (c.) 2≤3 (d.) 5≤7
2. Verifique y demuestre, si es posible:
(a.) Sia < b yc < d, entoncesa+c < b+d.
(b.) Sia < b yc < d, entoncesac < bd.
(c.) Sia≤b yb < c, entonces a < c.
(d.) Si 2< b, entonces a < ab,a6= 0.
1.4.3 Divisibilidad en N0
Seana, b dos n´umeros deN0 ya= 0. Se dice que6 adivide a b o queb es divisible porao
quebes un m´ultiplo deao queaes un factor deby se escribea|b, si existec∈N0tal que b=ac.c es llamado el cociente de la divisi´on debpora.
Ejemplo 1.3.
3|12 ya que existe 4∈N0 tal que 12 = 3·4, con 4 el cociente de 12 por 3; 2∤3 ya que no
existe c∈N0 tal que 3 = 2c.
Propiedades 1.4.[Propiedades B´asicas de la Relaci´on de Divisibilidad]
1. La multiplicaci´on es compatible con la relaci´on “|”; esto es, sean a, b∈N0, a6= 0 y
c6= 0. Sia|b, entoncesac|bc.
2. Sia6= 0, entoncesa|0 y a|a.
3. 1|a.
4. Sia|bentoncesa|bc.
5. Sia|byb|a, entoncesa=b.
6. Sia|byb|centoncesa|c.
En efecto:
1. Comoa|b yc6= 0, entoncesb=ampara alg´unm∈N0, entoncesbc= (am)c. Luego, bc= (ac)my esto implica queac|bc.
2. Se siguen de 0 =a·0 ya=a·1
3. Se sigue dea=a·1
Ejercicio 6.
1. Halle, enN0, los divisores de:
(a.) 0 (b.) 1 (c.) 12 (d.) 121 (e.) 105 (f.) 79
2. (a.) Halle denN0 tales qued|18,d∤12 y 36d
∤10
(b.) Halle denN0 tales qued∤1 000, 5|d, d|60 y d2
|75
(c.) HalledenN0 tales que 18|dyd|216
(d.) Halle denN0 tales que 20|dyd|300
3. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera. (n∈N0).
(a.) n(n+ 1)(n+ 2) es divisible por 3
(b.) n(n+ 1)(n+ 2) es m´ultiplo de 6
(c.) n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) es m´ultiplo de 4
(d.) Sines divisible por 6, entonces nes divisible por 2
(e.) Simes divisible por 2, entonces mes divisible por 4
4. Probar o refutar:
(a.) Sia|byb|c, entonces (a+b)|(b+c).
(b.) Sia|(b+c), entoncesa|b oa|c.
(c.) Sia|byc|b, entoncesac|b.
(d.) Sia|bc, entoncesa|b ´oa|c.
(e.) Sia|byc|d, entoncesac|bd.
5. Demuestre que:
(a.) 4 es un factor den4
−n2+ 4.
(b.) 2 es un factor den2+n+ 6.
(c.) 6|(7n
−1).
1.4.4 N´umeros Primos
Un n´umero p, de N0, mayor que 1, es un n´umero primo si sus ´unicos divisores son 1 y p.
(Asi que, 1 no es primo, por qu´e?). Un n´umero deN0que no sea primo. se llama compuesto.
menores que 50 y 25 primos menores que 100.
Un m´etodo sencillo y eficiente para verificar si un elementon, deN0, relativamente peque˜no,
es o n´o primo, consiste en chequear si es divisible por un primoptal quep2 ≤n. Si no es
divisible por ninguno de ellos, se sigue que nes primo. Por ejemplo, veamos si n= 127 es o no primo. Como 112<127<122, hacemos la lista de todos los primosp≤11. Estos son
2, 3, 5, 7 y 11. Ahora, vemos si alguno de esos primos divide a 127; como ninguno de ellos lo divide, entonces 127 es primo.
Debemos recalcar que este m´etodo es eficiente sines relativamente peque˜no. Si por ejemplo,
n= 2127
−1 = 1 270 141 183 460 469 231 731 686 303 715 884 105 727
un n´umero con 39 c´ıfras, es impracticable aplicar el m´etodo. No obstante, en 1878 se prob´o que ese ´umero es primo usando un sofisticado algoritmo. Este era el primo m´as grande cono-cido, antes de la era de los computadores.
Ejercicio 7.
1. ¿Es 0 primo o compuesto?
2. Escriba todos los primos menores que 50, (menores que 100).
3. Justifique:
a. ¿Son compuestos todos los n´umeros pares?
b. ¿Son pares todos los n´umeros compuestos?
c. ¿Son primos todos los n´umeros impares?
d. ¿Son simples todos los n´umeros primos?
4. ¿Qu´e es la Criba de Erat´ostenes?
5. Haga una lista en 6 columnas, de los n´umeros del 1 al 100 y aplique la Criba de Erat´ostenes.
6. C´omo aplicar´ıa eficientemente, la Criba de Erat´ostenes para hallar los n´umeros primos entrea= 141 yb= 161?
7. Determine el n´umero de primos que hay en cada intervalo.
(a.) [0,2]. (b.) [1,10].
(c.) [24,25]. (d.) [57,65].
(e.) [57,91]. (f.) [40,50].
(g.) [39,69]. (h.) [111,125].
1.4.4.1 Criterios de Divisibilidad
En esta secci´on, recordaremos los criterios de divisibilidad, aprendidos en estudios anteriores.
Un n´umero es divisible
por 2, si 2 divide al ´ultimo d´ıgito.
por 3, si 3 divide a la suma de sus cifras.
3 divide a 10 173 ya que 3 divide a 1+0+1+7+3=12
por 4, si 4 divide al n´umero formado por las dos ´ultimas cifras.
4 divide a 94 152 ya que 4 divide a 52
por 5, si el ´ultimo d´ıgito es 0 ´o 5.
5 divide a 7 015 ya que el ´ultimo digito es 5
por 6, si es divisible por 2 y 3.
6 divide a 1 506 ya que es divisible por 2 y por 3
por 7, cuando la diferencia entre el n´umero sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es un m´ultiplo de 7. (La regla es recurrente)
7 divide a 343 ya que, 34−2·3 = 34−6 = 28 es m´ultiplo de 7 7 divide a 105, 10−2·5 = 0 es m´ultiplo de 7
7 divide a 2 261, 226−2·1 = 224,
se repite el proceso con 224; 22−2·4 = 14 es m´ultiplo de 7
por 8, si el n´umero formado por sus tres ´ultimas cifras es m´ultiplo de 8.
8 divide a 8 000 ya que 000 es m´ultiplo de 8 8 divide a 1 048 ya que 048 es m´ultiplo de 8
8|1 512 ya que 512 es m´ultiplo de 8
por 9, si 9 divide a la suma de sus cifras.
9 divide a 1 242 ya que 9 divide a 1+2+4+2=9
por 10, si la cifra de las unidades es 0.
10 divide a 12 340 ya que el ´ultimo digito es 0
por 10
k, si los ´ultimos kd´ıgitos son ceros.
104divide a 6 070 000 ya que los ´ultimos 4 digitos son 0
por 11, si 11 divide a la suma de los d´ıgitos con signos alternos.
11 divide a 752 301 ya que divide a 7−5 + 2−3 + 0−1 = 0;
por 12, si es divisible por 3 y 4.
12 divide a 576 ya que es divisible por 3 y 4;
por 13, cuando la diferencia entre el n´umero sin la cifra de las unidades y 9 veces ese d´ıgito es un n´umero divisible por 13. (La regla es recurrente).
Sea a= 16 312 179, entonces
1 631 217−9×9 = 1 631 136 163 113−9×6 = 163 059
16 305−9×9 = 16 222 1 622−9×2 = 1 586
158−9×6 = 104 que es divisible por 13
por 17, cuando la diferencia entre el n´umero sin la cifra de las unidades y 5 veces ese d´ıgito es un m´ultiplo de 17. (La regla es recurrente).
Sea a= 493, entonces
49−5×3 = 34 y 34 es divisible por 17,
luego 17 divide a 493.
por 19, cuando la diferencia entre el n´umero sin la c´ıfra de las unidades y 17 veces ese d´ıgito, es un m´ultiplo de 19. (La regla es recurrente);
Sea a= 855,entonces
87−17×5 = 0 que es divisible por 19
luego 19 divide a 855.
Ejercicio 8.
1. Aplicar cada criterio de divisibilidad a los siguientes n´umeros
(a.) 84 (b.) 375
(c.) 193
(d.) 437 000 (e.) 300
(f.) 7 086 025
(g.) 11 366 693 (h.) 753 420
(i.) 44 257 500
(j.) 644 271
2. Halle los valores dextales que el n´umero
(a.) 738 527 82xsea divible por 2 (b.) 738 527 82xsea divible por 3 (c.) 738 527 82xsea divible por 6
(d.) 738 527 82xsea divible por 5 (e.) 738 527 82xsea divible por 9
1.4.4.2 Teorema Fundamental de la Aritm´etica
Sea n∈N0,n >1;n es primo o se puede descomponer como un producto de primos. Esta
descomposici´on es ´unica salvo el orden de los factores.
Ejemplo 1.5.Factorizar 2 520.
2 520 2 1 260 2 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1
2 520 = 2·2·2·3·5·7 = 23 ·32
·5·7
A veces estamos interesados en hallar el n´umero de divisores de un natural dado. El n´umero de divisores se obtiene sumando la unidad a los exponentes (del n´umero factorizado) y multiplicando los resultados obtenidos.
Ejemplo 1.6.Como 2 520 = 23 ·32
Para hallar los 48 divisores de 2 520 se procede de la siguiente manera.
1. En una fila se escriben las potencias 20 21 22 23 (potencias del primer factor).
1 2 4 8;
2. multiplicamos la fila anterior por 31 32, para obtener,
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
3. Multiplicamos cada fila anterior por (las potencias del tercer factor) 5 para obtener
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
5 10 20 40
15 30 60 120
45 90 180 360
4. Multiplicamos cada fila anterior por (las potencias del siguiente factor) 7 para obtener
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
5 10 20 40
15 30 60 120
45 90 180 360
7 14 28 56
21 42 84 168
63 126 252 504
35 70 140 280
105 210 420 840
315 630 1 260 2 520
El ´ultimo divisor obtenido debe coincidir con 2520.
Ejercicio 9.
1. Descomponga en factores primos y halle el n´umero de divisores de
(a.) 2 250
(b.) 3 500
(c.) 2 520
(d.) 8·5
(e.) 4·8·16
(f.) 6·30
(g.) (27·17)2
(h.) (400)2
(i.) (1 000)1 000
(j.) 9090
(k.) 16 777 216
(l.) 16 266 151
(m.) 813 ·52
2. Halle los divisores de:
(a.) 180 (b.) 600 (c.) 2 100 (d.) 81·52
·73
3. Sea el n´umeron= 2x
·103. Si se sabe quentiene 24 divisores, hallar n.
1.4.4.3 El Algoritmo de la Divisi´on
Sean a, b∈N0, conb6= 0. Existen enteros no negativos ´unicosq yrtales que a=bq+r,
0≤r < b,res llamado resto o residuo de los divisores deaporb
a b
r q
yaes el dividendo,b el divisor yqel cociente.
Ejemplo 1.7.Sia= 61 yb= 7, entonces al dividir 61 por 7 obtenemos un cocienteq= 8 y un residuo r= 5, luego 61 = 8·7 + 5.
Ejemplo 1.8.Hallar el residuo de dividir:
(723)5+ (282)3+ (10 384)2 por 5
Soluci´on.
723 = 720 + 3 282 = 280 + 2 10 384 = 10 380 + 4,
entonces
7235= (720 + 3)5= (720)5+ 5(720)4(3) +
· · ·+ 5(720)(3)4+ 35
2823= (280 + 2)3= (280)3+ 3(280)2(2) + 3(280) + 22+ 23
10 3842= (10 380 + 4)2= (10 380)2+ 2(10 380)(4) + 42
cada n´umero de cada suma, excepto 35, 23, 42 son divisibles por 5, luego
7235+ 2823+ 10 3842= (720)5+· · ·+ 2(10 380)(4)
| {z }
5q
+(35+ 23+ 42)
= 5q+ 267 = 5q+ 265 + 2 = 5q+ 5·53 + 2 = 5(q+ 53) + 2 = 5w+ 2
Ejercicio 10.
1. Halleqyrsabiendo queayb son, respectivamente
(a.) 1 y 2
(b.) 0 y 20
(c.) 57 y 7
(d.) 177 y 3
(e.) 38 y 38
(f.) 8 195 y 4
(g.) 3 421 y 21
(h.) 2 091 y 19
2. Cual es el residuo de dividir
(a.) 2976+ 7342+ 8 325 por 11
(b.) (5 284)(7 396)(21 437) por 3
3. Si a= 86,q= 4, yr= 6, hallarb. 4. Resolver los siguientes problemas:
(a.) Se reparti´o cierto n´umero de naranjas entre 13 personas y despu´es de dar 6 naranjas a cada una, sobraron 5. Cu´antas naranjas hab´ıan.
(b.) Qu´e n´umero debe agregarse a 324 para que la divisi´on de 324 por 11 sea exacta?
(c.) se compran 42 dulces por $1 260 y se vende cierto n´umero por $950, a $50 cada uno. Cu´antos me quedan y cuanto gan´e en cada uno de los que vend´ı.
1.4.4.4 M´aximo Com´un Divisor
Seana, b∈N0,d∈N0,d6= 0;des un divisor com´un deayb si, d|a d|b.
Ejemplo 1.9.
5 es un divisor com´un de 15 y 20 ya que 5|15 y 5|20. Y como 1|ay 1|b, entonces 1 es un divisor com´un deayb, as´ı que el conjunto de divisores comunes deayb es no vac´ıo.
El m´as grande de los divisores comunes de ay b, ser´a el m´aximo com´un divisor dea yb, que representaremos (a, b).
Ejemplo 1.10.
Sea a= 12,b= 18, entonces
divisores de 12= div(12) ={1,2,3,4,6,12}
divisores de 18= div(18) ={1,2,3,4,6,9,18}
divisores comunes de 12 y 18={1,2,3,6}= div(12)∩div(18).
El m´aximo com´un divisor de 12 y 18, (a, b) = 6.
Obs´ervese que:
Ejemplo 1.11.
Seana= 16,b= 24,c= 56. Hallar (a, b, c).
Soluci´on. Seg´un lo anotado, tenemos,
div(16) ={1,2,4,8,16}
div(24) ={1,2,3,4,6,8,12,24}
div(56) ={1,2,4,7,8,14,28,56}
divisores comunes de 16, 24, 56 = div(16)∩div(24)∩div(56) ={1,2,4,8}
entonces
(16,24,56) = 8 = max(div(16)∩div(24)∩div(56))
Ejercicio 11.
1. Hallar elM CD de los siguientes n´umeros
(a.) 1 y 25
(b.) 22y 23
(c.) 18 y 19
(d.) 10 y 30
(e.) 24, 56 y 30
(f.) 12, 24 y 36
(g.) 24,48, 72, 96 y 120
(h.) 15, 17, 24 y 45
(i.) 0 y 0
1.4.4.5 M´ınimo Com´un M´ultiplo
Un entero no negativom(m6= 0) es un m´ultiplo com´un deayb, no ambos iguales a cero, si
a|myb|m
Ejemplo 1.12.
15 es un m´ultiplo com´un de 3 y 5 ya que
3|15 y 5|15
Ejemplo 1.13.
Hallar los m´ultiplos comunes de 4 y 6.
Soluci´on.
M´ultiplos de 6: mul(6) ={6,12,18,24, . . .}
M´ultiplos comunes de 4 y 6 ={12,24,36, . . .}
= mul(4)∩mul(6)
El m´ınimo com´un m´ultiplo de 4 y 6 es 12.
C´omo su nombre lo indica el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos o m´as n´umeros, es el m´ultiplo com´un m´as peque˜no. El m´ınimo com´un m´ultiplo deayblo representaremos con el simbolo: [a, b], por lo tanto
[a, b] = min(mul(a)∩mul(b)).
Una forma para hallar elM CDy elmcmdeaybconsiste en descomponerayben factores primos. Escribamos,
a=pα1
1 ·p
α2
2 · · ·p
αk k
b=pβ1
1 ·p
β2
2 · · ·p
βk
k ,
entonces
(a, b) =pmin{α1,β1}
1 ·p
min{α2,β2}
2 · · ·p
min{αk,βk}
k
[a, b] =pmax{α1,β1}
1 ·p
max{α2,β2}
2 · · ·p
max{αk,βk}
k
Ejemplo 1.14.
Hallar, por descomposici´on en factores primos, (12,18) y [12,18]
Soluci´on. 12 = 22
·3, 18 = 2·32, entonces (12,18) = 21
·31= 6 y [12,18] = 22
·32= 36.
esta metodolog´ıa puede extenderse a m´as de dos n´umeros.
Ejemplo 1.15.
Hallar M CDymcmde 10, 12, 18.
Soluci´on.
10 = 2·5 = 21 ·30
·51
12 = 22·3 = 22·31·50 18 = 232= 21
·32
·50, entonces
(10,12,18) = 21 ·30
·50= 2 y [10,12,18] = 22 ·32
·51= 180
En la pr´actica el m´etodo se puede abreviar, realizando la descomposici´on simult´aneamente, como se muestra a continuaci´on:
Ejemplo 1.16.
Hallar elM CD ymcmde 50, 80, 120, y 300.
50 80 120 300 2∗
25 40 120 300 2
25 20 30 75 2
25 10 15 75 2
25 5 15 75 3
25 5 5 25 5∗
5 1 1 5 5
1 1 1 1
por lo tanto,
50 = 2·52= 21 ·30
·52
80 = 24·5 = 24·30·51 120 = 23
·3·5 = 23 ·31
·51
300 = 22
·3·52= 22 ·31
·52
luego (50,80,120,300) = 21·51 = 2·5 = 10 con 2 y 5 los n´umeros se˜nalados con ∗ y
[50,80,120,300] = 24·31·52 = 2·2·2·2·3·5·5 = 1200 donde 2·2·2·2·3·5·5 es el
n´umero obtenido multiplicando los factores primos localizados en la descomposici´on.
Ejemplo 1.17.
Hallar mcmyM CD de 20, 90, 70
Soluci´on. Tenemos
20 90 70 2∗
10 45 35 2
5 45 35 3
5 15 35 3
5 5 35 5∗
1 1 7 7
1
entonces (20,90,70) = 2·5 = 10 y [20,90,70] = 2·2·3·3·5·7 = 1260
Ejercicio 12.
1. Aplicar el m´etodo abreviado para hallar elmcmy elM CD de
(a.) 32 y 80 (b.) 18, 24 y 40
(c.) 14, 38, 56 y 114
(d.) 122 y 1412
(e.) 773 y 242
(f.) 264 y 2 600
2. (a.) Cu´al es el menor n´umero que dividido por 16, 27 y 60 deja como residuo 15? Rta: 2 175.
(c.) Un viajero va a Bogot´a cada 14 d´ıas y otro cada 26 d´ıas. Hoy han estado los dos en Bogot´a, dentro de cu´antos d´ıas volveran a estar los dos al mismo tiempo en Bogot´a?
Rta: 182 dias.
(d.) Un sem´aforo est´a en verde cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los 3 coinciden. Cu´antas veces volveran a coincidir los 5 minutos siguientes?
Rta: 6:33 .
(e.) Se quiere embaldosar el suelo de una habitaci´on que tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcule la longitud del lado de la baldosa (en cm) y el n´umero de baldosas que se coloquen de manera que ´este sea minimo y no sea necesario cortar ninguna de ellas.
Rta:15 baldosas.
(f.) Cu´anto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un n´umero exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de ancho?¿Y cu´antas baldosas se necesitan?
Rta:160 cm de lado y 20 baldosas.
1.4.5 Sustracci´on enN0
La sustracci´on enN0, denotadaa−b est´a definida sia≥b. Comob≤aequivale a hallarx
tales que b+x=a, entoncesxes precisamentea−bpuesto que, b+x=b+ (a−b) =a. Por ejemplo, la ecuaci´onx+ 5 = 9 tiene soluci´on enN0, ya quex= 9−5 = 4 y 4∈N0. Se
puede ver facilmente que la sustracci´on en N0,
no es conmutativa, 3−26= 2−3 (2−3) no existe enN0
no es asociativa, 6−(4−2)6= (6−4)−2
no es modulativa, 6−0 = 6 pero 0−6∈/ N0
Ejercicio 13.
1. Ena−b=x,aes el minuendo,b el sustraendo yxla diferencia. Qu´e se obtiene
(a.) Si se resta la diferencia del minuendo
(b.) Si se suma el minuendo con el sustraendo y la diferencia (c.) Si el sustraendo se suma con la diferencia
(d.) Si del minuendo se resta la diferencia y de ´esta diferencia se resta el sus-traendo
2. Si a−b=c,b+c= 300 ya−c= 130. Hallarc.
1.5 Fracciones
1.5.1
Definici´on 1.18.Sean∈N,n > 1. Si dividimos la unidad enn partes iguales tendremos la fracci´on 1
n. De este modo, sin= 2,3,4, . . . ,tendremos las fracciones
1 2,
1 3,
1 4, . . .
1 2 1
4 1
n
0 1
3
· · · 1
Todo n´umero natural n, puede considerarse como una fracci´on con denominador 1. Por ejemplo,
2 = 2 1, 3 =
3 1, . . .
Si tomamos mveces la fracci´on 1
n tendremos la fracci´on m
n donde mes el n´umerador yn
el denominador. Asi que,mveces 1
n es m
n, esto esm
1
n
:= m
n.
Ejemplo 1.19.
3 veces 1
4 es la fracci´on 3
4 con numerador 3 y denominador 4.
Cuando m < n, la fracci´on m
n es llamada fracci´on propia y cuando m > n, es llamada
fracci´on impropia, por lo tanto 3
4 es una fracci´on propia y 4
3 es una fracci´on impropia.
Ejemplo 1.20.
Supongamos que en un equipo de voleiball hay 4 hombres y 6 mujeres. La raz´on (fracci´on)
de hombres en el grupo es # hombres # Personas =
4 10 =
2
5, ´esto significa que de cada 5 personas 2 son hombres. Igualmente, podemos calcular, la fracci´on # Mujeres
# Personas = 6 10 =
3 5, que significa que de cada 5 personas 3 son mujeres. Adem´as, podemos establecer la comparaci´on
# hombres
# Mujeres =
4 6 =
2
3, lo cual significa que hay 2 hombres por cada 3 mujeres en el equipo, o que el # de hombres es igual a 2
3 del # de mujeres.
La fracci´onm
n es reducida simynson primos relativos, es decir si el m´aximo com´un divisor
entremynes 1.
19
54 es reducida ya que (19,54) = 1.
36
Para reducir una fracci´on, se divide el numerador y el denominador por su m´aximo com´un divisor, por ejemplo,
36 54 =
36÷18 54÷18 =
2 3
En la pr´actica se simplifica por 2, 3 y 3 (ya que 18 = 2·3·3 es elM.C.D), asi,
36 54 =
36 2 54
2 =18
27= 18
3 27
3 =6
9 = 6 3 9 3
= 2 3.
El procedimiento se dispone de la siguiente forma
2 ✁ 6 ✚18✚ ✚36✚ ✚54✚ ✚27✚ ✁ 9 3
= 2 3
Cada fracci´on puede ser escrita como la suma de un entero no negativo y una fracci´on propia, las cuales son la parte entera y la parte fraccionaria de la fracci´on.
Usaremos la notaci´onab
c paraa+ b
c; asi que,
34 5 = 3 +
4 5 =
19 5
31 2 = 3 +
1 2 =
7 2
igualmente
0 +2 7 =
2 7
4 +0 1 =
4 1 = 4
Obs´ervese que la parte fraccionaria de un entero no negativo es igual a 0. La parte entera de una fracci´on es el cociente obtenido al realizar la divisi´on del numerador y el denominador; la parte fraccionaria es igual al residuo de la misma divisi´on dividido por el denominador. Las partes enteras y fraccionarias pueden obtenerse usando el algoritmo de la divisi´on; por ejemplo,
21 6
3 3 =⇒
21 6 = 3 +
3 6 = 3 +
1 2 = 3
1 2
1.5.2 Fracciones Equivalentes
Definici´on 1.21. a b y
c
d son fracciones equivalentes, y escribiremos a b ∼
c
d si ad = bc.
Luego,
a b ∼
c
d si y s´olo si ad=bc.
N´otese que la equivalencia de fracciones est´a definida en t´erminos de igualdad de n´umeros naturales.
Ejemplo 1.22.
3 5 ∼
12
20 ya que 3·20 = 5·12
3·8 = 6·4 entonces 3 4 ∼
6 8 ´o
3 6 ∼
4 8.
A menudo en vez del s´ımbolo∼se usa tambi´en el de igualdad, =.
Observaci´on 3:
a b ∼
a b
a b ∼
c d =⇒
c d ∼
a b
a b ∼
c d y
c d ∼
e f =⇒
a b ∼∼
e f
La desigualdad de fracciones se define asi,
m n <
p
q ⇐⇒mq < np
m n >
p
q ⇐⇒mq > np
y similarmente ocurre para≤ y ≥.
Ejemplo 1.23.
144 233 <
89
Ejercicio 14. 1. Simplificar: 21 28, 70 60, 84 60, 216 264, 112 128, 700 420, 91 63
2. Descomponer en una parte entera y una fraccionaria
1 13, 6 2, 2 6, 20 18, 48 14, 91 14, 2 001 1 000,
1 848 39 , 1 821 21 , 1 011 12
3. Determine el entero negativo m´as cercano a la fracci´on dada
1 3, 2 3, 4 3, 109 10, 75 16, 111 7 , 201 23 , 3 528 24 , 1 994 17 , 11 011 3
4. Coloque “<” ´o “>”entre las fracciones dadas
(a.) 2 3, 3 5 (b.) 21 3 , 8 5 (c.) 41 3 , 66 5 (d.) 3 2, 7 5, 13 10 (e.) 5 8, 8 13, 13 21 (f.) 35 3 , 58 5 , 93 8
(g.) 4 181 6 765,
6 765 10 946,
10 946 17 711
1.5.3 Aritm´etica de Fracciones
1.5.3.1 Adici´on
a b +
c b =
a+c b
“aveces 1
b sumado conc veces
1
b daa+cveces
1 b” 2 3 + 5 3 =
2 + 5
3 = 7 3 5 6 + 1 6 =
5 + 1
6 =
6 6 = 1
a b +
c d =
ad+bc bd
En efecto: a
b + c d = ad bd + cb bd =
ad+bc bd . Ejemplo 1.24. 1 3 + 2 7 =
1·7 3·7+
2·3 3·7 =
7 21+
6 21 =
7 + 6
21 =
Un m´etodo alternativo (usado preferiblemente cuando el m´aximo com´un divisor de los denominadores de las fracciones es>1), consiste en aplicar la f´ormula
a b +
c d =
a· Lb +c·Ld
L L=mcm(b, d)
Ejemplo 1.25.
3 8+
5 12 =
3·6 + 5·4
48 mcm(48,12) = 48
=18 + 20
48 =
38 48 =
19 24
El mismo c´alculo, con la f´ormula inicial, nos da
3 8 +
5 12 =
3·12 + 5·8
96 =
36 + 40
96 = 76 96 = 19 24 Ejemplo 1.26.
Hallar 32 3 + 2
1 6.
Soluci´on.
32 3 + 2
1 6 =
3 + 2
3
+
2 + 1 6
= (3 + 2) + 2 3+ 1 6
= 5 + 4 + 1
6 = 5 +
5 6 = 5
5 6 =
35 6
Otra forma de hacerlo es la siguiente
32 3+ 2
1 6 = 11 3 + 13 6 =
22 + 13
6 =
35 6 = 5
5 6
1.5.3.2 Sustracci´on
a b −
c b =
a−c b a b − c d =
ad−bc bd Ejemplo 1.27. 1. 3 4− 1 4 =
3−1
4 = 2 4 = 1 2 2. 3 4− 1 3 =
3·3−1·4
4·3 =
9−4
12 = 5 12 3. 8 21− 8 28=
8·4−9·3
84 =
32−27
84 =
5
84; 84 =mcm(21,28)
´
8 21−
9 28 =
8·28−9·21
588 =
35 588=
5 84
4. 32 3−2
1 6 =
3 + 2
3
−
2 + 1
6
= 3 + 2 3−2−
1 6
= 1 +2 3 −
1 6 = 1 +
4−1
6 = 1 +
3 6
= 1 +1 2 = 1
1 2 = 3 2 ´ o tambi´en, 32 3 −2
1 6 = 11 3 − 13 6 =
22−13
6 =
9 6 =
3 2
5. 72 8−5
1 7 =
7 + 2
8
−
5 + 1
7
= 7 + 2 8−5−
1 7
= 2 +2 8 −
1 7
= 2 + 6 56 = 2 +
3 28 =
59 28.
6. 45 8 −3
1 4 + 1
2
5 = (4−3 + 1) + 5 8− 1 4 + 2 5
= 2 + 5×5−1×10 + 2×8 40
= 2 + 25−10 + 16
40 = 2 +
31 40
= 231 40 7. 2 4+ 5 4 − 12 4 + 7 4 =
2 + 5−12 + 7
4 = 2 4 = 1 2 8. 3 7+ 4 5 − 1 3 =
(5·3) (3) + (7·3)(4)−(7·5)(1)
7·5·3 =
45 + 84−35 7·5·3 =
94 105 9. 3 4+ 5 8 − 2 7 =
42 + 35−16
56 =
61
56; mcm(4,8,7) = 56;
10. 1 8+ 1 5 + 3 2 − 4 7 =
35 + 56 + 420−160
280 =
351
280; mcm(8,5,2,7) = 280
1.5.3.3 M´ultiplicaci´on
m n · p q = mp
nq; n6= 0, q6= 0
(1.) 3 4 ·
5 9 =
3·5 4·9 =
15 36 =
5 12;
(2.) 3 4 ·7 =
3 4 · 7 1 = 21 4 ;
(3.) 3·2
5 = 3 1 · 2 5 = 6 5;
(4.) 13 5·2
1 3 = 8 5 · 7 3 = 56 15;
Se define si b6= 0, a
b
0
= 1 a
b
1
= a
b, y
a b n = a b · a b · · ·
a b
| {z }
n−veces
.
Con esto se tiene, paran, m∈N
a b n = a n bn a b
ma
b
n =a
b
m+n
a b · c d n =a
b
n
·dc
n
a
b
mn =a
b mn a b n c d n = ad bc n a b m a b n = a b
m−n
, sim≥n
1.5.3.4 Divisi´on
m n ÷ p q = m n p q =m n · q p = mq
np, n, q6= 0.
Ejemplo 1.29.(1.) 5 3÷ 3 8 = 5 3 · 8 3 = 40 9 (2.) 3 4 ÷5 =
3 4· 1 5 = 3 20
(3.) 2÷3
5 = 2· 5 3 =
10 3
(4.) 53 5÷7
Ejercicio 15. 1. Calcular: (a.) 1 2+ 2 5 (b.) 1 2+ 1 3
(c.) 3 + 1 2 (d.) 1 2· 1 3 (e.) 1 2÷ 1 3 (f.) 2 7· 2 4 (g.) 2 7÷ 2 4
(h.) 2÷34
(i.) 3 4 ÷
1 3
(j.) 3÷27
(k.) 2 3 ÷3
(l.) 53 13+ 3
3 4 (m.) 2 9 − 1 7 + 2 3 (n.) 1 4+ 2 5+ 1 30 23 30 (o.) 41
2 −3 2 3 +
1 4 2−1
5 (p.) 2 5 + 3 10− 1 20 2 3+ 1 9 + 5 6 (q.) 1 + 1
1 + 1 2
(r.) 3
1 + 1
1 + 1 2
(s.) 3÷
2 +1
3 1 2 − 1 3· 1 12
2. Calcule que fracci´on de la unidad representa:
(a.) La mitad de la mitad; (b.) La mitad de la tercera parte;
(c.) La tercera parte de la mitad; (d.) La mitad de la cuarta parte.
3. Compr´e una camisa por $ 120.000 y la vend´ı ganando 3
4 del costo. Cu´al es el precio de la venta?
4. Cuando vendo por los 3 5 de los
7
8 de lo que me ha costado$8 000, que cantidad pierdo?
5. Los 3
4 del tanque de reserva de una bomba de gasolina se gastan llenando 5 tractomulas de igual capacidad. La parte del tanque que se gast´o para llenar cada tractomula es ?
6. Un tanque transportador de leche est´a lleno a 1
5 de su capacidad. Despu´es de agregarle 165 litros el indicador muestra 4
5. Cu´antos galones llenan el tanque, si est´a vacio?
7. complete: (a.) 1 a+ 1 a= (b.) a b + a b = (c.) a b + b a= (d.) a b · b a = (e.) a b ÷ a b =
(f.) 11
a
=
(g.) a÷1a =
(h.) a+b
c =
(i.) a
1.5.3.5 Significado de la Fracci´on
Habiendo repasado las operaciones b´asicas con las fracciones aritm´eticas, insistamos en su significado. Tenemos:
La fracci´on como parte de la Unidad:
En este caso el todo se forma como la unidad y la fracci´on expresa un valor con relaci´on al todo.
Ejemplo 1.30.
Un tanque contiene 2
3 de gasolina. El todo es el tanque lleno,
3 3
, de los cuales 2
3 nos dice que de 3 partes, 2 est´an ocupadas con gasolina.
La fracci´on como Cociente:
Ejemplo 1.31.
Repartir 10 panes entre 5 amigos: 10
5 = 2 panes
La fracci´on como Operador:
En este caso, se calcula la fracci´on de un n´umero.
Ejemplo 1.32.
Hallar 2 3 de 60. 2
3 de 60 = 2
3 ·60 = 40.
Ejemplo 1.33.
Hallar los 6 4 de los
5 3 de los
16 20 de 24. 6
4 de 5 3 de
16
20 de 24= 6 4 ·
5 3 ·
16
20·24 = 48.
La fracci´on como raz´on de proporcionalidad:
Cuando establecemos el cociente (o comparamos) las cantidades, con la misma unidad de medida, estamos usando las fracciones como razones.
Ejemplo 1.34.
Dividir 126 en la raz´on 5 partes a 13 partes.
Como la raz´on es 5 partes a 13 partes, entonces el n´umero total de partes es 5 + 13 = 18. Luego,
18 partes corresponden a 126 1 parte corresponde a 126
asi que,
5 partes corresponden a 35(=5×7)
13 partes corresponde a 91(=13×7)126
18 = 7 y 35+91=126
y se tiene la proporci´on 5 13 =
35
91 con 35 + 91 = 126.
Ejemplo 1.35.
Una varilla de 273cmde longitud se corta en 3 pedazos en la raz´on de 3 a 7 a 11. Hallar la longitud de cada pedazo.
El n´umero total de partes es 3+7+11=21. Luego,
21 partes corresponden a 273 cm
1 parte corresponde a 273
21 = 13 cm
3 partes corresponden a 3×13 = 39 cm
7 partes corresponden a 7×13 = 91 cm
11 partes corresponden a 11×13 = 143 cm
y las longitudes son pedazos de 39 cm, 91 cm, y 143 cm y 39 + 91 + 143 = 273.
Ejemplo 1.36.
Hallar la raz´on entre las medidas de dos varillas que miden 25 cm y 4.25 m
Trabajando con la misma unidad de medida, tenemos
25 cm 4.25 cm =
25 cm 425 cm =
25 425=
1 17
Ejercicio 16.
1. Una varilla de 31 mm se corta en dos pedazos en la raz´on 7 a 17. Cu´anto mide cada pedazo?
2. Un pedazo de madera de 621 cm se divide en 3 pedazos en la raz´on 3 a 7 a 13. Cu´anto mide cada pedazo?
3. $ 4 940 000 deben dividirse en dos familias en la raz´on 9 a 17. Cu´anto toca a cada familia?
1.6 Fracciones Decimales
Ejemplo 1.37.
7 10,
3 100,
12
1 000 son fracciones decimales.
Un n´umero decimal es un n´umero que a diferencia de un n´umero natural, posee una parte decimal, que puede expresarse mediante una fracci´on decimal. Consta de dos partes; Parte entera y parte decimal.
Ejemplo 1.38.
Para el n´umero 3.27, la parte entera de este n´umero es 3 y su parte decimal 0.27
Para expresar un n´umero decimal, que tiene un n´umero finito de cifras en su parte deci-mal, como fracci´on decimal, escribimos como numerador el n´umero sin el punto y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el n´umero.
Ejemplo 1.39.
2.56 = 256 100
0.1683 = 1 683 10 000
23 430.2 =
234 302 10
Rec´ıprocamente, si tenemos una fracci´on decimal de la forma a
10n cona=a1a2· · ·ak pro-cedemos de acuerdo con la f´ormula
a
10n =
a1a2· · ·ak
10n =
0.a1a2· · ·ak si k=n 0.000· · ·a1a2· · ·ak
| {z }
n cifras
si k < n
Ejemplo 1.40.
457 1 000 =
457
103 = 0.457 ya quek= 3 =n
23 10 000 =
23
104 = 0.0023 ya que k= 2
n= 4
Cu´ando el n´umeradora >10n, entonces el n´umero de cifras de a es mayor quen (k > n); en este caso basta contar hacia la izquierda tantas cifras como lo indique el valor de n y separar con punto.
Ejemplo 1.41.
3 478
100 =
3 478
102 = 34.78
250 963 10 000 =
250 963
104 = 25.0963
Lo anterior se justifica de la siguiente manera: Como a >10n, dividiendo por 10n, el algo-ritmo de la divisi´on, nos garantiza que existenqyrtales que
luego
a
10n =
q·10n+r
10n =
q·10n 10n +
r
10n =q+
r
10n =q+ 0.000| {z· · ·0r} n cifras
de este modo:
3 478
100 =
34×102+ 78
102 =
34×102
102 +
78
102 = 34 + 0.78 = 34.78
250 963 10 000 =
25×104+ 963
104 =
25×104
104 +
963
104 = 25 + 0.0963 = 25.0963
por otra parte, si consideramos los ejemplos anteriores
457
103 = 0.457
23
104 = 0.0023
3 478
102 = 34.78
250 963
104 = 25.0963
observamos que la parte decimal de cada uno de ellos est´a formada por un n´umero finito
de cifras. Por ello se dice que la fracci´on decimal 457
103, por ejemplo
es finita o que el
n´umero decimal (0.457, por ejemplo) es exacto.
Ahora bien, como 10 = 2·5, entonces 10n= (2·5)n= 2n5n, luego tambi´en ser´an fracciones finitas, aquellas cuyo denominador contiene como factores el 2 ´o el 5 ´o el 2 y el 5.
Por ejemplo:
7 20,
3 125,
3 16,
9
200, son fracciones finitas. ya que
20 = 2
2 ·5
125 = 5
3
16 = 2
4
200 = 2
3·52
contienen en su descomposici´on prima el 2 ´o el 5 ´o el 2 y el 5 y tenemos
7
20 = 0.35
3
125 = 0.024
3
16 = 0.1875
9
cuando en el denominador de la fracci´on no aparece como factor primo ning´un 2 o ning´un 5, decimos que la fracci´on es infinita, ya que la parte decimal del n´umero decimal tiene infinitas cifras, o decimos que la fracci´on es peri´odica pura.
Por ejemplo:
2 3,
5 11,
4 17,
2 21,
22
7 son fracciones peri´odicas puras.
2
3 = 0.66666. . .= 0.6
5
11 = 0.454545. . .= 0.45
4
17 = 0.23529411764705882352. . .= 0.2352941176470588
5
12 = 0.4166. . .= 0.416
Igualmente, hay n´umeros decimales que no pertenecen a ninguno de los tipos anteriores, es decir, son no exactos y no periodicos, tales como los que se muestran en el siguiente ejemplo
Ejemplo 1.42.
π= 3.141592653589. . . √
2 = 1.414213562. . .
e= 2.71828182845904523536028747135266249775. . .
0.01001000100001000001. . .
Ejercicio 17.
1. Escriba como n´umero decimal
(a.) 234 1 000
(b.) 36 669 1 000
(c.) 12 10 000
(d.) 123 005 10 000
(e.) 5 036 10
2. Clasificar y escribir el n´umero decimal asociado a las siguientes fracciones 3 5, 9
14, 57 20,
8 11,
25 24,
4 3,
7 16,
1 20,
3 35,
5 18.
Observaci´on 4:
Cuando se trabaja con n´umeros decimales se suele hacer aproximaciones; para ello, se acostumbra usar el redondeo de cifras o el truncamiento de decimales. Para redondear n´umeros decimales dejamos inalterable la cifra que deseamos si el siguiente d´ıgito 0, 1, 2, 3, ´o 4; pero la incrementamos en una unidad si el siguiente d´ıgito es 5, 6, 7, 8 ´o 9.
Ejemplo 1.43.
2.36105∼= 2.4 (redondeo hasta las decimas).
2.36105∼= 2.36 (redondeo hasta las cent´esimas).
2.36105∼= 2.361 (redondeo hasta las mil´esimas).
2.36105∼= 2.3611 (redondeo hasta las diezmil´esimas).
Para truncar un n´umero decimal hasta un orden dado, se escriben las cifras hasta ese orden, elimando las dem´as
Ejemplo 1.44.
2.3647∼= 2.3 (Truncamiento hasta las d´ecimas)
2.3647∼= 2.36 (Truncamiento hasta las cent´esimas)
2.3647∼= 2.364 (Truncamiento hasta las mil´esimas)
1.6.1 Operaciones con N´umeros Decimales
La adici´on y sustracci´on se realizan con los algoritmos que se tienen para la adici´on y la sustracci´on de n´umeros naturales.
Ejemplo 1.45.
Hallar 42.7 + 3.04 + 8.7 + 0.06 + 2
los n´umeros se escriben de modo que el punto decimal quede uno debajo del otro.
42. 7 3. 04 8. 7 0. 06 2. 00 56. 50
Ejemplo 1.46.Restar 1.5678 de 3.045
3. 0450 - 1. 5678 1. 4772
Para multiplicar n´umeros decimales, se multiplican como si fuesen n´umeros naturales. El resultado final es un n´umero decimal cuyo n´umero de decimales es igual a la suma del n´umero de decimales de los dos factores.
Ejemplo 1.47.
46.562
× 38.6 27 92372 372 496 1396 86
179 7.2932
0.24
× 0.012 4 8 24 0.00 288
Observaci´on 5:
Para multiplicar un n´umero decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros acompa˜nen la unidad
3.427×10 = 34.27
3.427×100 = 342.7
3.427×1 000 = 3427
3.427×10 000 = 34270
Para la divisi´on de n´umeros decimales consideramos los siguientes casos
1. S´olo el dividendo es decimal
Se realiza la divisi´on de manera normal, teniendo en cuenta que cuando bajemos la primera decima se coloca el punto decimal en el cociente y se continua la divisi´on.
526.6562 7
36 75.2366
16 25
46 42
0
2. S´olo el divisor es decimal
5 126 62.37 =
5 126×102
62.37×102 =
512 600
6 237 = 82.18
3. El dividendo y el divisor son decimales
Se procede como en el caso anterior
Ejemplo 1.48.
37.81 1.7 =
37.81×101
1.7×101 =
3781.1
17 = 22.24117. . .
Observaci´on 6:
Cuando se divide un n´umero por la unidad seguida de ceros, se desplaza el punto decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompa˜nan a la unidad
Ejemplo 1.49.
235 10 = 23.5
235 100= 2.35
235
1 000 = 0.235
235
10 000 = 0.0235
Ejercicio 18.
1. Calcular:
(a.) 0.31 + 0.501−0.163
(b.) 3.17−15.723 + 14
(c.) 0.72−12 + 30.28
2. Calcular:
(a.) 0.0001×1943 (b.) 0.183×19 (c.) 13×0.08 (d.) 5.73×4.2
3. Calcular:
(a.) 421.8÷17 (b.) 1 923÷24.32 (c.) 0.0147÷2.3
(a.) (15.43−0.001)×51
(b.) (0.978−0.0013)×8.01
(c.) (121 + 0.02 + 0.002)×9.01
(d.) (0.08 + 0.456 + 8)×6 25.45
(e.) (8.03 + 0.452 + 0.1)×0.3 (8−0.1 + 0.32)×4
(f.)
1 0.1+
1 0.01+
1 0.001
×0.3
(g.)
8 0.16−
0.15 0.5
+ 0.01
(h.) 0.06
0.3 + 0.052
2
÷ 0.636 3
(i.) 0.0056 + 0.03
3 0.0564
3
+32.24 3
5. Resolver los siguientes problemas.
a. Una jarra vac´ıa pesa 0.64 kg y llena de agua 1.728 kg. Cu´anto pesa el agua?
b. Un ciclista ha recorrido 145.8 km, 136.65 km y 162.62 km en tres et´apas. Si la competencia es de 1 000 km, cu´anto le falta por recorrer?
c. Se tiene 240 cajas con 25 bolsas de caf´e cada una. Si cada bolsa pesa 0.62 kg. Cu´al es el peso del caf´e?
d. Sabiendo que 2.077 m3 de aire pesan 2.7 kg, cu´anto pesa 1 m3 de aire?
e. Ana sigue un r´egimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada comida de 600 calorias.
Ayer almorz´o: 125 gr de pan; 140 gr de verduras; 45 gr de queso y una manzana de 130 gr. Si un gramo de pan aporta 3.3 calorias, 1 gr de verdura, 0.32; 1 gr de queso, 1.2 gr y 1 gr de manzana 0.52. ¿Respet´o su r´egimen?
1.6.2 Porcentaje
Son fracciones que tienen el n´umero 100 como denominador. De este modo,
1. 25 por ciento significa 25 por cada 100, es decir 25
100= 25×
1
100
= 25×(0.01) = 0.25;
luego 25% = 0.25.
2. 100% significa 100 por cada 100, esto es 100 100 = 1.
Ejemplo 1.50.Expresar como porcentaje:
(a.) 1.875 = 1.875×100100 =1.875×100
100 =
187.5
100 = 187.5%
(b.) 0.0125 = 0.0125×100
100 =
1.25
(c.) 5
16 = 0.3125 =
0.3125×100
100 =
31.25
100 = 31.25%
(d.) 7
5 = 1.4 =
1.4×100
100 =
140
100 = 140%
Ejemplo 1.51.Hallar:
(a.) 20% de 750= 20
100×750 = 0.2×750 = 150
(b.) 15% de 3.5=15
100×3.5 = 0.15×3.5 = 0.525
(c.) 12.5% de 378=12.5
100 ×378 = 0.125×378 = 47.25
Ejemplo 1.52.¿Que % es 250 de 5 000?
Busquemos que parte es 250 de 5 000.
250
5 000 = 0.05 =
0.05×100
100 =
5 100= 5%
Ejemplo 1.53.Una moto vale $4 500 000. Actualmente cuesta $250 000 m´as. Qu´e porcentaje aument´o?
Basta hallar que parte es $250 000 de$4 500 000
250 000
4 500 000 = 0.055555· · ·=
0.55555· · · ×100
100 =
5.5
100= 5.5%
Ejemplo 1.54.Hallar el 15% m´as de 2 000.
A 2 000 le sumamos el 15% de 2 000,
2 000 + 15
100·2 000 = 2 000 + 0.15·2 000 = (1 + 0.15)×2 000 = 1.15×2 000 = 2 300
Ejemplo 1.55.Hallar el 12% menos de 800
A 800 le restamos el 12% de 800.
800−10012 ×800 = 800−0.12×800
= 800 (1−0.12) = 800×0.88 = 704
Ejemplo 1.56.Inter´es Compuesto
Soluci´on. Capital inicial: $10000.
Al final del primer a˜no el capital se habr´a incrementado (0.06)(10000) = $600, esto es, habr´a
10000 + (0.06)(10000) = 10000(1 + 0.6) = 10000(1.06).
El monto total al finalizar el segundo a˜no ser´a:
10000(1.06) + 10000(1.06)(0.06) = (10000)(1.06)(1 + 0.06) = 10000(1.06)(1.06)
= 10000(1.06)2.
El monto tota al finalizar el tercer a˜no ser´a:
10000(1.06)3
Al finalizar el 4
a˜no : 10000(1.06)4
Al finalizar el 5
a˜no : 10000(1.06)4
Al finalizar el 6
a˜no : 10000(1.06)4
Ejercicio 19.
1. Expresar como porcentaje
(a.) 0.057
(b.) 0.374
(c.) 1.285
(d.) 7 33
(e.) 19 24
(f.) 111 16
2. Hallar:
(a.) 18% de 2758. (b.) 47% de 18.42 (c.) 147% de 14.1
3. ¿El precio de un computador es $1 350 000, sin IVA. Cu´anto hay que pagar si el IVA es del 16%?
4. Se adquiere un colch´on cuyo precio es de $350 000. Se hace un descuento del 7.5%. Cu´anto hay que pagar?
5. Se invierten $12000 durante un periodo de 20 a˜nos a una tasa del 2%. Cu´al es el monto al final del periodo?
