Lares Dominguez Nadia U1

Instituto Tecnológico de Tijuana.

Subdirección Académica.

Departamento de Sistemas y

Computación.

Ing. Tecnologías de la Información y

Comunicaciones.

Semestre Agosto - Diciembre 2013

Álgebra Lineal 6TI3A

Profesor: Bermúdez Jiménez María Eugenia.

Unidad 1

“Números complejos y Reales”

Alumno: Lares Domínguez Nadia Lizeth 12211497

Unidad  1.  

Unidad I.- Números complejos y reales.  ...  3  

1.1 Definición y origen de los números complejos:  ...  3  

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.  ...  4  

1.3 Potencias de i, módulo.  ...  5  

Módulo de un número complejo:  ...  5  

1.4 Forma polar y exponencial de números complejos.  ...  6  

Forma polar:  ...  6  

Forma exponencial:  ...  6  

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y raíces de números complejos.  ...  7  

1.6 Ecuaciones polinómicas.  ...  8  

Unidad I.- Números complejos y reales.

1.1 Definición y origen de los números complejos:

“Un número complejo es un número cuyo cuadrado es negativo. Este término fue descartado por el matemático Rene Descartes en el siglo XVII donde expresaba claramente sus ideas. Actualmente los números imaginarios o complejos se ubican sobre el eje vertical del plano complejo.

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo”[5].

“Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados

Un número complejo es una expresión de la forma

z = α + iβ

Donde α y β son números reales, α se denomina la parte real de z y se denota por Re z. β

se denomina la parte imaginaria de z y se denota por Im z e i = -1. En ocasiones la representación recibe el nombre de forma cartesiana o rectangular del número complejo z “[1].

El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i2 = -1 [2].

Ejemplos:

(a) 5 - 3i tiene parte real 5 y parte imaginaria -3

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 +b2) i

Ejemplo: z1 = 7 - 2i y z2 = 4 - 3i

z1 + z2 = (7 + 4) + (-2 - 3) i = 11 - 5i

Y su diferencia es:

z1 -z2 = (a1 - a2) - (b1 - b2) i

Ejemplo: z1 = 3 + 7i y z2 = 4 + 2i

z1 - z2 = (3 - 4) - (7 - 2) i = -1 - 5i

El producto de z1 y z2 es:

z1. z2 = (a1+b1i). (a2+b2i) = a1. a2 + (a1b2 + b1a2) i + b1b2i2

Ejemplo: z1 = (5 -3i) y z2 = (4 + 2i)

z1 - z2 = (5 -3i) (4 + 2i) = 20 + 10i - 12i - 6i2 = 26 - 2i

Un caso particular de la multiplicación de números complejos ocurre cuando z1 es

real. En esta situación se tiene el sencillo resultado:

z1. z2 = z1 (a2+b2i) = z1a2+z1b2i

Si z = α + iβ

es un número complejo, el conjugado de z, es el número complejo

Al considerar sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes complejos, necesitamos dividir números complejos para completar el proceso de solución y obtener una forma razonable de la solución. Sean z1 = a1+b1i y z2= a2+b2i. Si c2 ≠ 0,

es decir, si a2≠ 0 o b2 ≠ 0, entonces dividimos z1 entre z2:

Ejemplo: z1 = 2 - 5i y z2 = -3 + 4i

1.3 Potencias de i, módulo.

"El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i2 = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:

i3 = i2 i = -i

i4 = i2i2 = 1

i5 = i2i2i = -i

i6 = i2i2i2 = -1

Y así sucesivamente..."[1]

Módulo de un número complejo:  

"Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de es

"[2].

1.4 Forma polar y exponencial de números complejos.

“Un número complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en la forma de a + bi. De esta forma, a es considerada como el ancho del rectángulo, y b como la altura del mismo. Sin embargo, los números complejos también pueden expresarse en forma polar o exponencial. La forma polar se expresa como r θ y generalmente se leído r en un ángulo θ. La ‘r’ denota la magnitud de los números complejos y representa la distancia de los números del origen cuando se toman en el sentido de las manecillas del reloj, a través del lado no negativo del eje real”[2].

Forma polar:  

Al número complejo z = x+iy lo podemos describir también por medio de coordenadas polares (r, θ), tomando r =|z|. Es decir, z = x+iy = r (cosθ+isenθ) = |z| (cosθ+isenθ), donde θ es un argumento del punto z =(x, y). A esta descripción la llamaremos forma polar del número complejo z. θ no está unívocamente determinado, pues cualquier otro ángulo de la forma θ+2kπ, k∈Z, es también un argumento de z. Denotamos por arg (z) el conjunto de todos los posibles ángulos (en radianes) que junto con r =|z| forman un par de coordenadas polares de z =(x, y) [3].

Ejemplo: z1 = 6 + 2i

r = 62+22 =  √40

● = arctg(2/6) = 18.4˚

Z = √40(cos18.4°+isen18.4°)

Forma exponencial:  

La ecuación eiθ _{= cos θ + i sen θ que define el símbolo e}iθ_{, o exp (iθ), para todo valor} real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar z = r (cos θ + i sen θ), la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial [3]:

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y raíces de números complejos.

Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r (cosθ + isenθ) y para cualquier n∈Z: zn _{= r}n _{(cos (}n_{θ)+isen (}n_{θ)) [3].}

Potencias de números complejos:

“Sea z∈C y n∈N, se definen: z0 = 1

z1 = z z2 = zz . .

Zn = z···z

Y, si z ≠ 0 z−n _{= 1/ z}n_{” [3].}

Ejemplo:

(1+i)3 = (1+i)2(1+i) = (1+2i−1) (1+i) = −2+2i.

Un polinomio de grado n con coeficientes reales tiene n raíces complejas, algunas de las cuales podrían ser números reales. Por lo tanto el polinomio f1(x) = x4 - 1 tiene las

raíces i, -i, 1 y -1; el polinomio f2(x) = x2 - 1 tiene las raíces 1 y -1; y el polinomio f3(x) = x2

1.6 Ecuaciones polinómicas.

El sistema de los números complejos, a diferencia del sistema de los números reales, es algebraicamente cerrado; es decir, todo polinomio con coeficientes en este campo tiene todas sus raíces contenidas en el [3].

“Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo

Dados los valores apropiados de los coeficientes an _{a a}0 _{, esta ecuación tendrá n}

soluciones reales así que permiten reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por

Que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos.

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significa que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi) (c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc) i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del denominador de la fracción” [4]:

Bibliografías:

[1] Álgebra Lineal, Stanley Grossman, Sexta Edición.

[2] Álgebra Lineal, Bernard Kolman - David R. Hill, Octava Edición.