Método Interactivo basado en Grafos para la Segmentación de Múltiples Objetos en Imágenes

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Escuela Académico Profesional de Informática. Método Interactivo basado en Grafos para la Segmentación de. Leissi Margarita Castañeda Leon. BI. BL. IO T. Múltiples Objetos en Imágenes. Trujillo - La Libertad 2017. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Método Interactivo basado en Grafos para la Segmentación de. BI. BL. IO T. Múltiples Objetos en Imágenes. I. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. LEISSI MARGARITA CASTAÑEDA LEON. CA S. MÉTODO INTERACTIVO BASADO EN GRAFOS PARA. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. LA SEGMENTACIÓN DE MÚLTIPLES OBJETOS EN IMÁGENES. Tesis presentada a la Escuela Académico Profesional de Informática en la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional de Trujillo, como requisito parcial para la obtención del grado del Título profesional de Ing. Informático. BI. BL. IO T. ASESOR: JUAN ORLANDO SALAZAR CAMPOS. Trujillo - La Libertad 2017 II. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. HOJA DE APROBACIÓN. Método Interactivo basado en Grafos para la Segmentación. CA S. de Múltiples Objetos en Imágenes. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Leissi Margarita Castañeda Leon. Tesis defendida y aprobada por el jurado examinador:. Prof. Mg. Juan Orlando Salazar Campos - Asesor Departamento de Informática - UNT. Prof. Mg. José Luis Peralta Luján Departamento de Informática - UNT. BI. BL. IO T. Prof. Mg. Jorge David Bravo Escalante Departamento de Informática - UNT. Trujillo, 19 de julio del 2017. III. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedico esta tesis a :. BI. BL. IO T. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Mi amado Christopher y a mi querida familia.. IV. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Agradecimientos. Agradezco infinitamente el apoyo de mi familia desde el inicio de mis estudios. CA S. de graduación hasta la defensa de la tesis. A mi mami Ilsa, a mi papi José y a mis queridos hermanos Roy y Edwin, gracias por todo su amor, esfuerzo, ayuda y. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. comprensión, soy infinitamente grata con cada uno de ustedes. A mi esposo Jorge Guevara y a mi amado hijo Christopher, quienes son mi complemento y motor en el día a día.. A mis profesores, personal administrativo, compañeros y amigos del Departamento de Informática. Fueron años que influenciaron tanto en mi carrera profesional como en lo personal.. A mi asesor de tesis Prof. Mg. Juan Orlando Salazar Campos quien siempre se mostró disponible e interesado en ayudarme, por sus consejos y observaciones. De. IO T. igual, forma un agradecimiento a los miembros del jurado examinador. Al Prof. Dr.. BI. BL. Paulo Miranda por las conversaciones y consejos sobre el método propuesto.. V. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Resumen Actualmente, los métodos interactivos basados en grafos son usados para tareas de segmentación. La idea principal es modelar la imagen como un grafo conectado. CA S. y dividirlo formulando un problema de optimización satisfaciendo ciertas restric-. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. ciones de optimalidad.. En el contexto de segmentación de múltiples objetos en imágenes, tenemos que cada objeto presente en una única imagen tiene sus propias características de conectividad, forma, entre otros. De la misma forma, podemos tener un cierta información estructural entre los objetos. Los métodos existentes no consideran ambos aspectos juntos.. En este sentido, en esta investigación se propone un método interactivo basado en grafos que considere información individual de cada objeto presente en la imagen e información estructural entre los objetos. Los resultados obtenidos son comparables al estado del arte en diferentes escenarios.. IO T. Palabras claves: método basado en grafos, segmentación de imágenes, segmenta-. BI. BL. ción de múltiples objetos.. VI. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Abstract. Nowadays, interactive graph-based methods are very used for image segmenta-. CA S. tion tasks. Their main idea is to model the image as a connected graph and partition it formulating an optimization problem satisfying some optimality constraints.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. In the context of multiple object segmentation in images, each object in a unique image has its own distinctive features of connectivity, shape between others. Also, we may have some structural information between objects. The present literature do not consider both aspects.. In this sense, in this research is proposed an interactive method based on graphs which uses individual information from image objects ans also the structural information between them. Results obtained are comparable to the state-of-the-art methods in different scenarios.. Keywords: graph-based methods, image segmentation, multiples object segmen-. BI. BL. IO T. tation.. VII. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Lista de símbolos. I. Imagen digital.. (2). I. Dominio de la imagen.. (3). I(t). Intensidad del pixel t.. (4). A. (5). ρ. (6). d(s, t). Distancia Euclidiana entre los pixels s y t.. (7). G. Grafo.. (8). V. (9). E. (10). ω. Relación de adyacencia.. Constante específica para distancia Euclidiana.. Vértices.. Aristas.. Pesos de las aristas.. π, τ. Caminos.. (12). Π. Conjunto de caminos.. πs. Camino con destino no pixel s.. BL. (11). BI. IO T. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. (1). (13). VIII. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (14). πsP. Camino inducido por la floresta de caminos óptimos P con destino no. pixel s. f. Función de costo o conexidad.. (16). L. Imagen con marcadores.. (17). V. Mapa de costos mínimos.. (18). Q. Cola de prioridad.. (19). So. Conjunto de marcadores que representan al objeto (o, object).. (20). Sb. Conjunto de marcadores que representan el fondo (b, background).. (21). Oi. Objeto i en la imagen.. (22). E. Energía del contorno de corte de un objeto.. (23). Ei , Eo. (24). Ci , Co. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. (15). Energía interna (i, inner) y energía externa (o, outer) respectivamente. Conjunto de aristas de corte interno (i, inner) y corte externo (o, outer). IO T. respectivamente. h. BL. (25). BI. (26). xlp. Árbol de representando la relación de inclusión entre los objetos. Variable binaria representando el marcador sobre el pixel p del digrafo del. objeto l. IX. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (27). Hi. Digrafo ponderando representando definido como capa y que representa. al objeto i. H. Digrafo ponderado representando una jerarquía de capas.. BI. BL. IO T. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. (28). X. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Lista de abreviaturas. IRM. Imagen de Resonancia Magnética.. (2). IFT. Transformada de Imagen-Floresta (Image Foresting Transform).. (3). MC. Funciones Monótonas Crecientes.. (4). FCNS. (5). OIFT. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. (1). Funciones de conexidad no suaves.. Transformada de Imagen-Floresta Orientada (Oriented Image Foresting. Transform). (6). GSC. Convexidad Geodésica en Estrella (Geodesic Star Convexity).. (7). GSC–IFT. Transformada de Imagen-Floresta con Convexidad Geodésica en Estre-. lla (Image Foresting Transform with Geodesic Star Convexity). (8). GSC–OIFT. Transformada de Imagen-Floresta Orientada con Convexidad Geodé-. BI. BL. IO T. sica en Estrella (Oriented Image Foresting Transform with Geodesic Star Convexity).. XI. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA S. Índice de figuras. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 1.1. Formas de segmentar imágenes. En el lado izquierdo es representado la segmentación en forma manual, en el lado derecho la segmentación automática, y en medio la segmentación interactiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Segmentación de múltiples objetos en una imagen de resonancia magnética. En el lado izquierdo de la imagen, se presentan los objetos anatómicos, y en el lado derecho una posible segmentación. Imagen extraída de Rajchl et al. (2014). . .. 4. 2.1. Adyacencia Euclidiana. (a) Adyacencia 4-conexo con ρ = 1. (b) Adyacencia 8-conexo con ρ =. √ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.2. Ejemplo sobre la ejecución de la IFT, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. IO T. 2.3. Segmentación obtenida por (a) IFT y (b) OIFT con polaridad de oscuro para claro. 24. BL. 2.4. Maximización de la Energía descrita por cortes en el grafo. . . . . . . . . . . .. 27. BI. 2.5. Segmentación con (a) IFT e (b) IFT con convexidad geodésica en estrella. . . .. 26. XII. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.6. Formas de convexidad. (a) Forma convexa en estrella, (b) Forma no convexa y (c) Forma no convexa en estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.7. Efectos del parámetro de potencia β sobre la topología de la floresta de caminos óptimos y en la segmentación resultante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. CA S. 3.1. (a) Imagen con cuatro objetos. (b) Jerarquía de las relaciones de inclusión entre. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. los objetos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.2. El esquema propuesto para la segmentación de múltiples objetos. Dados los parámetros de entrada, construimos un digrafo ponderado jerárquico de capas usando las interacciones geométricas de inclusión (línea sólida) y exclusión (línea punteada) entre los objetos. Finalmente, tenemos una imagen de marcadores como salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.3. (a) Imagen de entrada con cuatro objetos. (b) Creando capas para cada objeto. .. 36. 3.4. Definición de las aristas entre capas, envolviendo dos objetos i, j para el caso de la inclusión, donde Oj es el padre de Oi , wij = 0 y wji = ∞. . . . . . . . .. 38. 3.5. Definición de las aristas entre capas, envolviendo dos objetos i, j para el caso. IO T. de la exclusión (Oi , Oj son hermanos), donde wij = 0 y wji = ∞. Las aristas especiales son representadas por líneas punteadas y el significado cambiado de 40. BI. BL. las variables xjp ’s en la capa j son marcados con un círculo de color negro. . . .. XIII. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.6. Construcción de las aristas entre capas, envolviendo tres objetos i, j y k. Los arcos especiales son representados por líneas punteadas y el significado cambiado de las variables xjp ’s en la capa j por círculos en color negro. . . . . . . . . . .. 41. 4.1. Ejemplo de la segmentación de dos objetos usando nuestro método donde O2. CA S. es padre de O1 y cada objeto tiene diferentes características de alto nivel. . . . .. 51. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 4.2. Segmentación de la rodilla modelada por tres objetos. Fueron obtenidos tres resultados diferentes, el primero usando la IFT y los otros dos nuestro método pero usando diferentes características para O1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4.3. Segmentación del cerebro considerando siete objetos. Para los parámetros dados como entrada, obtenemos un resultado inicial. Luego, adicionando más 56. BI. BL. IO T. marcadores (círculos en rojo), el resultado de la segmentación es mejorado. . .. XIV. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA S. Índice de tablas. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 3.1. Descripción de la relación de inclusión y definición en el árbol como objeto padre. 32 50. 4.2. Imágenes de teste con diferentes características de los objetos. . . . . . . . . .. 52. BI. BL. IO T. 4.1. Características de los objetos usados en la Figura 4.1. . . . . . . . . . . . . . .. XV. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA S. Índice general. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Dedicatoria Agradecimientos Resumen Abstract. Lista de símbolos. Lista de abreviaturas Índice de Figuras. IV. V. VI. VII. VIII. XI. XIV. XV. 1. Introducción. 1. BL. IO T. Índice de Tablas. 5. BI. 1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XVI. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 6. 1.3. Importancia de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.4.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.4.2. Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. CA S. 1.2. Formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.6. Metodología de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.7. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 1.5. Contribución de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Marco teórico. 11. 2.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.1.1. Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.1.2. Relación de adyacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.1.3. Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. Subgrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.1.3.2.. Grafo dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.1.3.3.. Grafo ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.1.3.4.. Camino en un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.1.3.5.. Grafo conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.1.3.6.. Árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. BI. BL. IO T. 2.1.3.1.. XVII. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Floresta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.1.3.8.. Corte de un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.1.4. Imagen como grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.1.5. Objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.1.6. Marcadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. CA S. 2.1.3.7.. 17. 2.1.8. Caminos óptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.1.9. Valor del camino óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.1.10. Mapa de predecesores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.1.11. Floresta generadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.1.12. Imagen con marcadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.2. Transformada Imagen-Floresta (IFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.3. Transformada Imagen-Floresta Orientada (OIFT) . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.4. Convexidad geodésica en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 2.1.7. Función de costo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Método propuesto. 30 30. 3.2. Método para la segmentación de múltiples objetos . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. BI. BL. IO T. 3.1. Notaciones y Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2.1. Construcción de las capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.2.2. Construcción de la jerarquía de capas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. XVIII. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Inclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.2.2.2.. Exclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.2.2.3.. Inclusión y Exclusión juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.2.3. Optimización de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.3. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. CA S. 3.2.2.1.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 3.3.1. Complejidad Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Resultados de la tesis. 45 46 47. 4.1.1. Parámetros de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 4.1.2. Parámetros del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.1.3. Medida de acurácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.2. Casos de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.2.1. Características diferentes para los objetos . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.2.2. Comparación con el método de la IFT . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.2.3. Segmentación de imágenes más sofisticadas . . . . . . . . . . . . . . .. 55. IO T. 4.1. Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Consideraciones finales. BL. 5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 58. BI. 5.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. XIX. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 1. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Introducción. La segmentación de imágenes es uno de los problemas mas fundamentales y desafiadores en visión computacional. Ella consiste en dividir una imagen en diferentes regiones/objetos de pixels asignando una determinada etiqueta/marcador para cada pixel.. Dentro de las diferentes formas de segmentación tenemos: segmentación manual, segmentación automática y segmentación interactiva, tal como presentado en la Figura 1.1. La segmentación manual es realizada por un usuario, mientras que la segmentación automática a través de programas de computador previamente entrenados. Luego, los resultados obtenidos a través de métodos automáticos pueden fallar, y para corregirlos seria necesario volver a calcular ciertos. IO T. parámetros. Para ayudar en eso, fueron propuestos los métodos interactivos, que reciben como entrada un conjunto de marcadores tanto para los objetos como para el fondo (background). Los. BL. marcadores son básicamente pixels seleccionados como pertenecientes a un objeto o al fondo.. BI. Estos métodos actúan como una combinación de la segmentación automática con ayuda manual.. 1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Figura 1.1: Formas de segmentar imágenes. En el lado izquierdo es representado la segmentación en forma manual, en el lado derecho la segmentación automática, y en medio la segmentación interactiva. Los métodos interactivos basados en grafos son ampliamente usados para la tarea de segmentación de imágenes. La idea principal es modelar la imagen como un grafo conectado y luego la tarea de segmentación puede ser formulado como un problema de dividir o cortar el grafo en objetos y fondo. Entre algunos de los métodos populares basados en grafos tenemos: Watershed (Cousty et al., 2010; Roerdink and Meijster, 2000), Random Walks (Grady, 2006),. IO T. Graph Cut (Boykov and Funka-Lea, 2006), Normalized Cuts (Shi and Malik, 2000), LOGIS-. BL. MOS (Yin et al., 2010; Oguz and Sonka, 2014), Image Foresting Transform (IFT) (Falcão et al.,. BI. 2004) y Fuzzy connectedness (Bejar and Miranda, 2015; Udupa and Saha, 2003).. 2. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La segmentación de múltiples objetos/regiones en imágenes es aún una tarea difícil. En esta tarea, la segmentación es definida por varios objetos en la imagen, donde cada objeto tiene sus propias características, que requieren diferentes conocimientos a priori de alto nivel tales como conexidad (Vicente et al., 2008; Mansilla and Miranda, 2016), polaridad en el contorno (Sin-. CA S. garaju et al., 2008; Miranda and Mansilla, 2014), forma del objeto (Isack et al., 2016; Gulshan et al., 2010; Mansilla and Miranda, 2013b; Veksler, 2008; Miranda and Falcão, 2009), entre. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. otros. Por lo tanto, con el fin de obtener un buen resultado en la segmentación, el método de segmentación debe contemplar esas características individuales de cada objeto/región, así como capturar la relación contextual entre ellos. Sin embargo, pocos métodos consideran información estructural. Como consecuencia, los métodos existentes tienen poco desempeño en práctica. Adicionalmente, muchos de los métodos no incluyen algún tipo de información estructural o solo incluyen características de alto-nivel para un único objeto a ser segmentado (Vicente et al., 2008; Isack et al., 2016; Gulshan et al., 2010; Mansilla and Miranda, 2016; Miranda and Falcão, 2009; Singaraju et al., 2008; Miranda and Mansilla, 2014). Consecuentemente, ellos pueden ser inapropiados en el contexto de múltiples objetos.. IO T. Un ejemplo de segmentación de múltiples objetos en una imagen IRM es mostrado en la Figura 1.2. En la figura podemos observar diferentes características de forma individual para. BL. cada uno de los objetos como una relación estructural entre los mismos. Por ejemplo, de forma. BI. estructural los objetos están definidos como RC que representa el objeto cardiaco o el corazón,. 3. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. y (RB ) el fondo torácico. Luego tenemos que el corazón es dividido en tres objetos: miocardio (Rm ), sangre (Rb ), y tejido cicatrizado (scar tissue) (Rs ). Respecto al objeto Rb podemos decir es un objeto de forma regular con polaridad de contorno de claro para oscuro, donde no podemos decir lo mismo para los otros objetos. En este sentido decimos que los objetos tienen. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. características individuales que precisan ser modeladas como tal.. Figura 1.2: Segmentación de múltiples objetos en una imagen de resonancia magnética. En el lado izquierdo de la imagen, se presentan los objetos anatómicos, y en el lado derecho una posible segmentación. Imagen extraída de Rajchl et al. (2014).. Dentro de los métodos de segmentación de múltiples objetos que consideran información estructural son basados en la optimización de corte en el grafo (graph-cut) que es ejecutado con. IO T. un algoritmo de min-cut/max-flow (Delong and Boykov, 2009; Delong et al., 2012; Ulén et al.,. BL. 2013). Esos métodos consideran como información estructural a las interacciones geométricas,. BI. como inclusión o exclusión, entre los objetos. La inclusión refiere a cuando un objeto se encuentra contenido totalmente dentro de otro objeto y la exclusión refiere a cuando dos objetos 4. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. se encuentran totalmente excluidos uno del otro, esto es, no existe intersección entre ellos. El principal problema de estos métodos es que sus resultados óptimos globales se encuentran restrictos a solamente ciertos casos en particular. Por ejemplo, cuando un objeto contiene otros dos objetos que son mutuamente excluyentes, es un caso difícil de ser tratado, a pesar de ser un caso. CA S. simples. Adicionalmente, estos métodos requieren de un alto costo computacional.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. En el contexto de la segmentación por métodos basados en el esquema de la IFT, para incluir información estructural entre los objetos, tenemos a los Modelos de Objeto Difuso (Fuzzy Object Models – FOMs) (Rittner et al., 2014; Sun et al., 2014; Udupa et al., 2014; Tong et al., 2013). Sin embargo, esos métodos son basados en ejecuciones separadas de IFT’s separadas para cada objeto. Por consiguiente, ellos no consideran información contextual junto con características individuales de alto nivel para todos los objetos, en la optimización de una única energía, limitando de esta forma su potencial.. 1.1.. Motivación. IO T. La mayoría de los métodos presentes en la literatura asumen que la segmentación deseada. BL. solamente está representado por un objeto aislado en la imagen, lo que limita su aplicación. Den-. BI. tro de los métodos que incluyen algunas informaciones estructurales se basan principalmente en. 5. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. el min-cut/max-flow o en algoritmos de aproximación, lo que implica un alto costo computacional y su aplicación es limitada a ciertos casos. Luego, los métodos basados en grafos de bajo costo computacional, como las extensiones basadas en la Transformada de Imagen-Floresta (IFT), no permiten optimizar el grafo de la imagen para cada objeto de tal forma que las ca-. CA S. racterísticas individuales de los objetos sean optimizadas junto con informaciones estructurales entre los objetos en una única energía.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Por lo tanto, nuestra principal motivación es unir información estructural e individual de los objetos en la imagen de tal forma que una única energía sea optimizada, logrando que la aplicación de nuestro método sea menos restricta.. 1.2.. Formulación del problema. En este trabajo, se propone un método interactivo basado en grafos permite segmentar múltiples objetos en una imagen, para responder a la siguiente pregunta:. IO T. ¿Es posible segmentar múltiples objetos en una imagen?. Importancia de la investigación. BL. 1.3.. BI. La segmentación de imágenes no es solo importante desde el punto de vista de visión. computacional sino también del impacto que tiene sobre otras diferentes áreas como Ecología, 6. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Medicina, Neurología, Inteligencia Artificial (Umbaugh, 2010; Gordon et al., 2016; Toennies, 2012; Suetens, 2009; Visser et al., 2016). Por ejemplo, en imágenes médicas, la segmentación de imágenes puede ser usada para aislar ciertos objetos correspondientes a los órganos en imágenes de resonancia magnética (IRM), ayudando a analizar la forma y volumen de los órganos. CA S. y así relacionar alteraciones con posibles patologías, permitiendo un análisis del impacto de un. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. medicamento durante el tratamiento de un individuo (Toennies, 2012; Suetens, 2009).. 1.4.. Objetivos. 1.4.1.. General. La investigación tiene como objetivo principal proponer un método interactivo basado en grafos para la segmentación de múltiples objetos en imágenes.. 1.4.2.. Específicos. a) Estudiar los métodos de segmentación interactiva basados en grafos básicos para nuestra. IO T. propuesta.. BL. b) Diseñar un método interactivo basado en grafos para la segmentación de múltiples objetos. BI. en imágenes.. 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. c) Implementar tres casos de prueba para el método propuesto. En el primer caso, segmentaremos dos objetos asignando diferentes características a los mismos. En el segundo caso, compararemos nuestro método con el de la IFT. En el tercero, modelaremos objetos en imágenes más sofisticadas.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 1.5.. CA S. d) Analizar los resultados obtenidos.. Contribución de la investigación. La principal contribución es la propuesta de un método para la segmentación de múltiples objetos en un imagen considerando tanto características de alto nivel de los objetos como interacciones geométricas entre los mismos, logrando ser un método menos restrictivo.. 1.6.. Metodología de la investigación. Para llegar a los objetivos propuestos, el desarrollo de la investigación comprendió las si-. IO T. guientes etapas de trabajo a saber:. BL. a) Análisis del problema de segmentación de múltiples objetos en imágenes 2D;. BI. b) Formulación del problema principal de la investigación, justificando su importancia;. 8. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. c) Levantamiento bibliográfico de los diferentes temas necesarios para la elaboración de la investigación, tales como representación de una imagen como grafo, métodos de segmentación interactiva basados en grafos, entre otros;. CA S. d) Estudio y análisis de los métodos basados en la Transforma Imagen Floresta (IFT); e) Proponiendo un método interactivo para la segmentación de múltiples objetos.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. f) Implementación del método propuesto en la investigación;. g) Análisis de nuestros resultados con diferentes imágenes en 2D en tres casos de prueba.. 1.7.. Estructura de la tesis. El presente trabajo está dividido en seis capítulos. El primer capítulo presenta los aspectos generales del tema tratado: antecedentes al proyecto, la formulación del problema, importancia de la investigación, los objetivos, la contribución, además de la metodología de la investigación y la estructura de la tesis.. IO T. En el capítulo 2 se presenta el referencial teórico, soporte del tema, contemplando los conceptos y definiciones base de la tesis. Entre ellos tenemos conceptos de imagen como grafo,. BL. caminos, floresta, el método de la Transformada Imagen-Floresta, de la Transformada Imagen-. BI. Floresta Orientada, del método con restricción de forma de convexidad geodésica en estrella.. 9. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. El capítulo 3 trata del tema central de la tesis, presentado el método propuesto para la segmentación de múltiples objetos en imágenes considerando información individual de los objetos e información estructural, básicamente de interacción geométrica entre ellos. En el capítulo 4 se presentan los resultados obtenidos en la investigación. En el capítulo. CA S. cinco se presentan las consideraciones finales obtenidas en esta tesis. Inicialmente se presentan las conclusiones, seguida de las recomendaciones para futuras investigaciones relacionadas al. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. tema en cuestión.. BI. BL. IO T. Finalmente las referencias bibliográficas usadas para la investigación en esta tesis.. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Capítulo 2 Marco teórico. En este capítulo se presenta los conceptos básicos, notaciones y definiciones usados en esta investigación, donde la idea principal es modelar la imagen como un grafo conectado y formulado como un problema de dividir o cortar el grafo se realiza la tarea de segmentación. La mayoría de estos conceptos básicos fueron anteriormente presentados en los papers de Falcão et al. (2004); Miranda and Mansilla (2014); Mansilla et al. (2013); Mansilla and Miranda (2013b). Adicionalmente, se presenta un resumen de los métodos que ayudaron a consolidar el. IO T. método propuesto en esta tesis tal como la Transformada Imagen-Floresta (IFT), la Transformada Imagen-Floresta Orientada (OIFT) y la convexidad geodésica en estrella con IFT y OIFT. BI. BL. (GSC–IFT y GSC–OIFT).. 11. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1.. Conceptos básicos. 2.1.1.. Imagen. Una imagen I es un par (I, I) donde I es un conjunto finito de pixels (i.e., I ∈ Z2 ), y I es. Relación de adyacencia. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 2.1.2.. CA S. un mapeo que asigna un valor de pixel I(t) al pixel t ∈ I.. Una relación de adyacencia A es una relación binaria entre los pixels en I. Usualmente consideramos relaciones invariantes a traslación, lo que significa que A depende solo de la posición relativa t − s de los pixels.. De esta forma, se puede definir A como el conjunto de todos los pares de pixels distintos (s, t) ∈ I × I tal que d(s, t) ≤ ρ donde d(s, t) denota la distancia Euclidiana y ρ es una constante específica. Por ejemplo, en esta relación de adyacencia Euclidiana, cuando ρ = 1 representa la adyacencia 4-conexo (vea (a) en la Figura 2.1), y ρ =. √. 2 significa 8-conexo (vea. (b) en la Figura 2.1).. BI. BL. IO T. Usamos la expresión t ∈ A(s) y (s, t) ∈ A, para indicar que t es adyacente a s.. 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) (b). EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. (a). CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Figura 2.1: Adyacencia Euclidiana. (a) Adyacencia 4-conexo con ρ = 1. (b) Adyacencia 8√ conexo con ρ = 2.. 2.1.3.. Grafo. Un grafo G es definido como el par (V, E), donde V es un conjunto finito no vacío de vértices o nodos y E representa las aristas o arcos, que es un conjunto compuesto por pares de elementos distintos de V.. Usaremos |V| e |E| para denotar el número de vértices y el número de aristas del grafo respectivamente.. Subgrafo. IO T. 2.1.3.1.. Decimos que el grafo G2 = (V2 , E2 ) es un subgrafo del grafo G1 = (V1 , E1 ) si V2 ⊆ V1 y. BL. E2 ⊆ E1 .. BI. Cuando V2 = V1 entonces G2 es llamado de subgrafo generador de G1 . 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1.3.2.. Grafo dirigido. Un grafo G es dirigido (digrafo) cuando el conjunto de aristas E está compuesto por pares ordenados de los elementos de V, es decir, las aristas formadas por los pares (s, t) e (t, s) son consideradas distintas.. Grafo ponderado. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 2.1.3.3.. CA S. Un digrafo G es simétrico si ∀(s, t), el par (t, s) también es una arista de G.. Un grafo G es llamado de grafo ponderado, si posee pesos o valores asociados a las aristas. Denotaremos como ω(s, t) al peso asociado a la arista (s, t) ∈ E.. Para el caso de grafos no dirigidos tenemos que ω(s, t) = ω(t, s) y para el caso de digrafos puede ser que sean diferentes.. 2.1.3.4.. Camino en un grafo. Para un dado grafo G, un camino es una secuencia de pixels π = ht1 , t2 , . . . , tk i, donde (ti , ti+1 ) ∈ A, para 1 ≤ i ≤ k − 1.. IO T. Denotamos como πtk cuando el pixel tk es terminal de π. Para explícitamente indicar el origen de un camino, usaremos la notación πs;t = hs = t1 , t2 , . . . , tn = ti, donde s indica. BL. el origen y t el terminal. Así, s representa el vértice raíz del camino, el cual denotamos como. BI. R(πt ). Un camino es trivial cuando k = 1.. 14. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Si πs y τ = (s, t) son ambos caminos, denotamos como πs · τ a la concatenación de los dos caminos. Se todos los vértices de un camino son distintos, entonces tenemos un camino simple. En este trabajo todos los caminos son caminos simples, es decir los caminos pasan por todos los. CA S. vértices sin repetirlos.. 2.1.3.5.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Denotamos como Π(G, t) al conjunto de caminos en el grafo G con terminal t.. Grafo conexo. Un grafo G es conexo si existe un camino simple entre cada par de vértices de G. Caso contrario el grafo G es llamado de desconexo.. Los subgrafos maximales conexos de un grafo G son llamados de componentes conexos.. 2.1.3.6.. Árbol. Un árbol es un grafo T = (V, E) no dirigido, conexo y acíclico (no existen caminos con vértices que se repiten a excepción del primer y último vértice del camino).. IO T. Denominamos como árbol generador, se el árbol es un subgrafo generador.. Floresta. BL. 2.1.3.7.. BI. Una floresta es un árbol o conjunto de árboles.. 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1.3.8.. Corte de un grafo. Un corte de un grafo G = (V, E) no dirigido es una partición de V definido como (V 0 , V − V 0 ). Luego decimos que, una arista (s, t) ∈ E cruza el corte (V 0 , V − V 0 ), se uno de sus vértices. Imagen como grafo. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 2.1.4.. CA S. pertenece a V 0 y el otro vértice pertenece a V − V 0 .. Una imagen I puede ser interpretada como un grafo dirigido ponderado G = (I, A, ω) si la relación de adyacencia A es fijada, donde los pixels de la imagen en I son los vértices, los pares de pixels (s, t) ∈ A son las aristas dirigidas y ω(s, t) ≥ 0 es un peso para cada arista (s, t), el mismo que puede ser obtenido por una medida de disimilaridad entre los pixels s y t. Por ejemplo, ω(s, t) puede ser definido como |I(t) − I(s)|.. 2.1.5.. Objeto. Un objeto o región en la imagen I = (I, I) es un subconjunto de I formado por uno o mas componentes conexos.. IO T. El borde de un objeto es un conjunto de pixels de su interior que posee al menos un pixel. BL. adyacente en el exterior. Así, un objeto puede ser representado por sus bordes o por los pixels. BI. que componen su interior.. 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1.6.. Marcadores. Todo método interactivo, recibe como entrada un conjunto de marcadores S, tanto para los objetos denotados por So , como para el fondo denotados por Sb (b, background), donde S = {So ∪ Sb } y So ∩ Sb = ∅.. CA S. Los marcadores son básicamente pixels seleccionados dentro de un objeto o dentro del fon-. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. do. Estos marcadores serán las raíces (R) de las florestas de caminos correspondiente tanto a los objetos como al fondo.. 2.1.7.. Función de costo. Una función de costo f , es una función de asigna a un camino πt no grafo G un valor o costo f (πt ), en algún conjunto totalmente ordenado F de valores de costo. Esa función de costo f , regularmente depende de las propiedades locales de la imagen, tales como color, gradiente, posición a lo largo del camino, o pesos de las aristas que componen el camino. Entre algunas de las funciones de costo mas comunes tenemos a las funciones fsum y fmax ,. BI. BL. IO T. las cuales son definidas por las Ecuaciones 2.1, 2.3 respectivamente. . fsum (hti) =. 0 se t ∈ S +∞ caso contrario. fsum (πs · hs, ti) = fsum (πr ) + ω(s, t). (2.1). 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. fmax (hti) =. 0 se t ∈ S +∞ caso contrario (2.2). CA S. fmax (πs · hs, ti) = máx{fmax (πs ), ω(s, t)}. Las funciones fsum y fmax , pertenecen a una clase de funciones llamadas monótonamente. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. crecientes (MC), que satisfacen la siguiente expresión:. fM I (hti) = H(t). fM I (πs · hs, ti) = fM I (πs ). (s, t). (2.3) (2.4). donde H(t) es algo arbitrario, πs · hs, ti es la concatenación de una nueva arista a un camino, y : F × E → F es una operación binaria que satisface las siguientes condiciones: (C1) x0 ≥ x ⇒ x0. (s, t),. (s, t) ≥ x,. IO T. (C2) x. (s, t) ≥ x. para x, x0 ∈ F y cualquier arista (s, t) ∈ E.. BL. Las funciones de costo MC pueden ser usadas en la tarea de segmentación de imágenes. BI. usando caminos óptimos en el grafo G.. 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1.8.. Caminos óptimos. Dado Π(G, t), el conjunto de caminos en el grafo G con terminal t, un camino π es óptimo si f (πt ) ≤ f (τt ) para cualquier otro camino τt ∈ Π(G, t). Adicionalmente, tenemos que un camino πtn = ht1 , t2 , ..., tn i es óptimo completo si todos. Valor del camino óptimo. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 2.1.9.. CA S. los caminos πti = ht1 , t2 , ..., ti i para i = 1, 2, ..., n son caminos óptimos.. Sea V el conjunto de los valores de costo. Sin perdida de generalidad, asumimos que V contiene el máximo elemento, el cual denotamos por +∞. El valor del camino óptimo Vopt (t) es obtenido tomando para cada pixel terminal t un camino óptimo , el cual es definido por:. Vopt (t) =. 2.1.10.. mı́n. ∀πt ∈Π(G,t). {f (πt )}. (2.5). Mapa de predecesores. Un mapa de predecesores es un función que asocia a cada pixel t ∈ I un otro pixel adya-. IO T. cente en I, o un marcador distintivo nil ∈ / I. En este último caso, t es llamado como raíz del. BI. BL. mapa.. 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1.11.. Floresta generadora. Una floresta generadora es definida por un mapa de predecesores sin contener ciclos. Tenemos que para cualquier pixel t ∈ I, una floresta generadora P define un camino πtP recursivamente las hti si P (t) = nil (el cual representa el vértice raíz del camino, R(πt )), y πsP · hs, ti si. Imagen con marcadores. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. 2.1.12.. CA S. P (t) = s 6= nil (el cual representa el vértice predecesor de t como πt ).. Es una imagen donde cada uno de sus pixels tienen asignado un determinado marcador. Para el caso binario (objeto y fondo), vamos a tener como resultado de la segmentación una imagen con marcadores L, la cual es definida por:. . L(t) =. 1 si R(πtP ) ∈ So 0 caso contrario,. (2.6). donde πtP es un camino óptimo con término en el pixel t obtenido de P .. Transformada Imagen-Floresta (IFT). IO T. 2.2.. BL. En el artículo de Falcão et al. (2004) se propone un método interactivo llamado la Transfor-. BI. mada de Imagen-Floresta (IFT, Image Foresting Transform), el cual para un digrafo ponderado G y una función de costo f , asocia un camino óptimo πt para cada pixel t ∈ I de tal forma 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. que una floresta P de caminos óptimos es obtenida minimizando una función de costo f usando programación dinámica. Sin embargo, debe considerarse que f necesita ser una función MC, caso contrario los caminos generados pueden no ser óptimos (Falcão et al., 2004). Luego, tenemos que el algoritmo de la IFT (Falcão et al., 2004) es básicamente un pro-. CA S. cedimiento de Dijkstra para el cálculo de costo mínimo ligeramente modificado para permitir múltiples fuentes y una función más general de costo, el cual es presentado en el Algoritmo 1.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. Algorithm 1 Algoritmo General IFT. ~ adyacencia A, conjunto de marcadores So , Sb , y la función de costo f . ENTRADA: Imagen Iˆ = (I, I), SALIDA: La floresta de caminos óptimos P , mapa de costos mínimos V el cual converge para Vopt en el caso de funciones MC y un mapa de L marcadores. 1: Para t ∈ So hacer L(t) ← 1 2: Para t ∈ Sb hacer L(t) ← 0 3: Para t ∈ I hacer 4: Hacer P (t) ← nil, V (t) ← f (hti) 5: Hacer status(t) ← 0. . status es un arreglo auxiliar 6: Si V (t) 6= +∞, luego insertar t en Q . Q es una pila de prioridad auxiliar 7: Mientras Q 6= hacer 8: Remover s de Q tal que V (s) sea mínimo 9: Hacer status(s) ← 1 10: Para t ∈ A(s), tal que status(t) = 0, hacer 11: Computar tmp ← f (πs .hs, ti) . tmp es una variable auxiliar 12: Si tmp < V (t), luego 13: Si V (t) 6= +∞, luego 14: Remover t de Q 15: Hacer P (t) ← s, 16: V (t) ← tmp, 17: L(t) ← L(s) 18: Insertar t en Q. IO T. En el algoritmo tenemos que los atributos de salida incluye el mapa de costos mínimos V, las raíces R(πt ), los marcadores L(t), y la floresta generadora P . En las líneas 1 y 2 del algorit-. BL. mo, son definidos en el mapa de marcadores los valores respectivos de acuerdo a los marcadores. BI. dados de entrada. En las líneas 3, 4 y 5, para todos los caminos triviales se inicializan el mapa 21. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. de predecesores P , el mapa de costos V y el estado del nodo. En la línea 6 del algoritmo, es insertado todos los candidatos raíces (marcadores) en la pila de prioridad Q. En el loop principal (líneas del 7 al 18) son computados los caminos óptimos, de tal forma que en cada iteración un mínimo valor del camino πsP es obtenido enP cuando se remueve el último vértice s de Q. CA S. (línea 8). En las demás líneas (líneas del 9 al 16) es calculado y propagado los mejores caminos para sus vértices adyacentes, siguiendo un orden no-creciente de valores de costo y aplicando. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. la siguiente regla de expansión: Si f (πs .hs, ti) < πt (línea 12), luego πt es reemplazado por πs .hs, ti (línea del 15 al 18). Esto último quiere decir que, el algoritmo evalúa si el camino πs .hs, ti que llega a t por s es menos costoso que el actual πt en P y actualiza P (t), V(t), L(t) y Q adecuadamente.. En la Figura 2.2 mostramos de forma gráfica la ejecución de la IFT sobre un determinado. BI. BL. IO T. grafo, dado los marcadores para el objeto y para el fondo (caso binario).. 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) BI. BL. IO T. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Figura 2.2: Ejemplo sobre la ejecución de la IFT, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. 23. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3.. Transformada Imagen-Floresta Orientada (OIFT). La Transformada Imagen-Floresta Orientada (OIFT), presentado en los papers de Mansilla and Miranda (2013a); Miranda and Mansilla (2014), explora la orientación o polaridad del. CA S. contorno del objeto en digrafos usando funciones de costo no MC y algunos criterios de optimalidad basado en una medida de corte del grafo. En la Figura 2.3, podemos observar la diferencia. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. entre el resultado usando IFT y OIFT. Dado los marcadores del objeto y fondo, (a) la IFT tiende a cometer ciertos errores; por otro lado, (b) la OIFT consigue diferenciar entre dos contornos similares y cercanos con polaridades opuestas de diferentes objetos mejorando así el resultado esperado. En este caso la OIFT está considerando que la polaridad del contorno debería ir de oscuro para claro partiendo del objeto hacia el fondo.. (b). IO T. (a). Figura 2.3: Segmentación obtenida por (a) IFT y (b) OIFT con polaridad de oscuro para claro.. BL. En este sentido, los pesos ω(s, t) de las aristas en el digrafo ponderado simétrico G, son. BI. definidos como la combinación de medidas de disimilaridad no dirigidas ψ(s, t) entre pixels 24. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. adyacentes s y t, multiplicada por un factor de orientación como sigue:   ψ(s, t) × (1 + α) si I(s) > I(t), ψ(s, t) × (1 − α) si I(s) < I(t), ω(s, t) =  ψ(s, t) caso contrario,. (2.7). CA S. donde α ∈ [−1, 1]. Debemos percibir que usualmente tenemos ω(s, t) 6= ω(s, t) para α 6= 0. Adicionalmente, para α > 0, la OIFT favorece las transiciones en los pixels del contorno de. opuesta).. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. claro para oscuro, y cuando α < 0 favorece las transiciones de oscuro para claro (orientación. Luego, la OIFT es construida sobre el esquema de la IFT pero usando funciones de costo no MC (como la Ecuación 2.8), y considerando pixels conquistados por caminos con raíces en S o como pixels del objeto.. ?. . −1 si t ∈ S o ∪ S b +∞ caso contrario. . ω(s, t) si r ∈ S o ω(t, s) caso contrario. f (hti) =. ?. f (πr;s · hs, ti) =. (2.8). Finalmente, la OIFT es definida a partir de la imagen de marcadores L computada con el Al-. IO T. goritmo 1 usando la función f ? . Y la optimalidad de la OIFT es soportada por la maximización. BI. BL. de la energía E(L), descrita por un criterio de corte externo en el grafo C(L), dadas por:. C(L) = {(s, t) ∈ A | L(s) = 1 y L(t) = 0}. (2.9). 25. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. E(L) =. mı́n. (s,t) ∈ C(L). ω(s, t). (2.10). En la Figura 2.4, mostramos un ejemplo de maximización de energía. Vea que dada la imagen y los marcadores, tenemos las diferentes energías dada por los cortes minimizados, en este. CA S. caso por los cortes de 124, 93 y 214, luego maximizamos esas energías, dando como resultado. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. la imagen con marcadores. En este caso el objeto segmentado fue el de energía igual a 214.. Figura 2.4: Maximización de la Energía descrita por cortes en el grafo.. Convexidad geodésica en estrella. IO T. 2.4.. Las restricciones de forma, para contornos más regulares, pueden ayudar a evitar ciertos. BL. errores en la segmentación. Por ejemplo, en ciertas estructuras anatómicas en imágenes médi-. BI. cas, como mostrado en la Figura 2.5, debido al bajo contraste en los contornos.. 26. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(47) (b). EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. (a). CA S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Figura 2.5: Segmentación con (a) IFT e (b) IFT con convexidad geodésica en estrella. En el paper de Mansilla et al. (2013), se presenta un método basado en la IFT con restricciones de forma, específicamente con convexidad geodésica en estrella (GSC–IFT). Esta restricción permite priorizar o favorecer la segmentación de objetos con forma mas regular. Adicionalmente, en el paper de Mansilla and Miranda (2013b), se presenta también un método con restricción de convexidad geodésica en estrella pero basado en la OIFT (GSC–OIFT). De esta forma, tenemos que este método permite restricciones de polaridad de contorno y de forma regular juntos.. Un objeto atiende la convexidad en estrella en relación a un punto central del objeto. La. IO T. misma puede ser interpretada como un restricción de visibilidad , es decir, un objeto es convexo. BL. en estrella se para todo punto p en el objeto, éste es visible al centro c a través de un segmento. BI. ligando ellos, el mismo que también debe formar parte del objeto, porque el fondo es conside-. 27. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(48) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. rado como un obstáculo. En la Figura 2.6 se muestra un ejemplo al respecto. Observe también que toda forma convexa es convexa en estrella, pero no toda forma convexa en estrella es una. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. forma convexa.. (a). (b). (c). Figura 2.6: Formas de convexidad. (a) Forma convexa en estrella, (b) Forma no convexa y (c) Forma no convexa en estrella.. Para tener una restricción de convexidad geodésica en estrella lo se hace es considerar como centros de la estrella a los marcadores internos del objeto dados por el usuario, y los segmentos de recta serán los caminos ligando cada punto del objeto hacia el centro de la estrella más. IO T. próximo, formando una floresta de caminos de costo geodésico (fsum ) mínimo de la IFT. Luego, los pesos de las aristas son definidos por δ(s, t) en la regla de extensión del camino para fsum. δ(s, t) = [ω(s, t) + 1]β + ||t − s||,. (2.11). BI. BL. como sigue:. 28. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(49) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. donde ||t − s|| es la distancia Euclidiana entre los pixels s y t, y β controla la topología de la floresta. De esta forma, para valores pequeños de β (β ≈ 0,0), δ(s, t) se aproxima de ||t − s|| tornándose la topología da floresta como una floresta de caminos óptimos Euclidianos. Por otro lado, para valores de β mayores, [ω(s, t) + 1]β domina la expresión, haciendo que los. CA S. caminos se adapten a las formas presentes en la imagen haciendo curvas, tal como mostrado en. IO T. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. la Figura 2.7.. (b) β = 0,3. (c) β = 0,7. BL. (a) β = 0,1. BI. Figura 2.7: Efectos del parámetro de potencia β sobre la topología de la floresta de caminos. óptimos y en la segmentación resultante. 29. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(50) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. Capítulo 3 Método propuesto. En este capítulo se presenta el método propuesto para la segmentación de múltiples objetos en imágenes. Antes de presentar los detalles del método y el algoritmo principal, mencionamos algunas notaciones y definiciones que serán usadas en la segmentación de múltiples objetos por nuestro método propuesto.. 3.1.. Notaciones y Definiciones. IO T. Denotamos como L al conjunto de índices, donde cada elemento en L está asociado a un. BI. BL. objeto.. Denotamos por m = |L| al número de objetos a ser segmentados.. 30. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(51) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La variable binaria xip identifica la localización del pixel p ∈ I respecto al objeto i ∈ L, i.e., xip = 1 o xip = 0 para pixels dentro y afuera del i-ésimo objeto, respectivamente. Denotamos como h el árbol de relaciones entre objetos, donde cada uno de sus nodos representa un objeto y sus arcos representa una jerarquía de relación de inclusión apriori. CA S. entre los objetos. Formalmente h es un grafo conectado acíclico cuyos nodos son indexa-. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. dos por 1 ≤ i, j ≤ m.. Usamos la notación h[i].padre = j para indicar que el nodo j es padre del nodo i y la notación h[i].padre = h[j].padre, para decir que dos nodos son nodos hermanos. En seguida, presentamos las dos definiciones resultantes a partir de las relaciones codificadas en h.. Definición 1 (Objeto padre) Para una secuencia de conjuntos dada O1 , O2 , . . . Om de pixels, los cuales representan m objetos, tal que O1 ⊆ O2 ⊆ · · · ⊆ Om , definimos como el objeto padre de Oi (1 ≤ i ≤ m − 1) al objeto Oi+1 , esto es, h[i].padre = i + 1.. Luego, la notación h[i].padre = j también refleja que un objeto Oj es un objeto padre de. IO T. un objeto Oi . Si h[i].padre = −1 tenemos que el dominio de la imagen I es el padre del objeto. BI. BL. i. El fondo llega a formar parte de ese dominio.. 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(52) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Un ejemplo sobre esta definición es mostrado en la Figura 3.1, en donde en el lado izquierdo mostramos una imagen conteniendo cuatro objetos y en el lado derecho la jerarquía de las. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. relaciones de inclusión de ellos como árbol.. (a). (b). Figura 3.1: (a) Imagen con cuatro objetos. (b) Jerarquía de las relaciones de inclusión entre los objetos.. Adicionalmente, de la Figura 3.1, considerando la definición de objeto padre, tenemos la Tabla 3.1, donde presentamos descripción de los objetos en relación a la inclusión y como son definidos en h como objeto padre. Observe también que el h[4].padre = −1, dado que el padre. BL. IO T. de O4 es el dominio de la imagen, el cual definimos como fondo.. Relación Objetos O 1 ⊆ O2 O 2 ⊆ O4 O 3 ⊆ O4 O4 ⊆ Dominio de I. Objeto Padre h[1].padre = 2 h[2].padre = 4 h[3].padre = 4 h[4].padre = −1. BI. Tabla 3.1: Descripción de la relación de inclusión y definición en el árbol como objeto padre.. 32. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(53) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Definición 2 (Objeto hermano) Decimos que los siguientes conjuntos Oi1 , Oi2 , . . . , Oik , para k > 1, son objetos hermanos si ellos tienen el mismo objeto padre Oj (i.e., h[i1].padre = j, . . . , h[ik].padre = j) y Oi1 ∩ Oi2 ∩ · · · ∩ Oik = ∅. De la Figura 3.1 y de la Tabla 3.1, tenemos que O2 y O3 son objetos hermanos dado que. 3.2.. EC Y AD M E AT C EM IEN ÁT CIA IC S AS FÍ SI. CA S. h[2].padre = h[3].padre = 4, es decir, tienen el mismo padre, en este caso O4 .. Método para la segmentación de múltiples objetos. En esta sección presentamos un nuevo método para la segmentación de múltiples objetos. La Figura 3.2 muestra una visión del esquema general del método propuesto. En la figura observamos que dada una imagen, un conjunto de marcadores para todos o algunos objetos, y un árbol de relaciones jerárquica entre los objetos; el método propuesto comprende las siguientes etapas:. (1) Construcción de digrafos ponderados representando cada uno de los objetos presentes en la imagen. Cada uno de esos digrafos representan cada objeto con sus propias caracte-. IO T. rísticas de alto nivel, el cual llamaremos de capa (descrito en la Sección 3.2.1).. BL. (2) Definición de las conexiones entre capas representando por intermedio de un digrafo. BI. de jerarquía de capas las interacciones geométricas de inclusión y exclusión (descrito en la Sección 3.2.2). 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.